0 引　言

稳健可靠的水声通信是实现水下各类设备网络化、信息化和智能化的关键。近年来，海洋科学研究、工业资源勘探等领域中的多场景应用需求推动水声通信技术快速发展，研究方向主要集中在克服水声信道的复杂特性实现高速率、远距离、实时的信息交互，但面对水下通信带宽有限的现实挑战，为提高水下通信网络吞吐量和频谱利用率，带内全双工水声通信及其自干扰抵消技术成为新的研究热点。

针对带内全双工水声通信数字域自干扰抵消技术的研究主要集中在2个方面：1）国内外学者针对数字域自干扰抵消结构进行研究，Shen等^[1]通过辅助支路将功率放大器的输出引入数字域作为自适应滤波算法的参考信号，较之传统采用数字域发送信号直接作为参考信号的方法有23 dB的自干扰抵消性能提升；2）相关研究集中于自适应滤波算法在自干扰抵消中的应用，Lu等^[2]针对经过模拟域或空间域初步自干扰抑制后的残余干扰信号问题，采用改进的变步长最小均方误差（Variable Step Size Least Mean Square，VSS-LMS）算法，在考虑期望通信信号影响的前提下提升了算法的收敛速度和稳态效果；赵云江^[3]综合考虑了信道时变和期望信号到达引起的自干扰信道估计误差，采用改进的变遗忘因子递归最小二乘（Variable Forgetting Factor Recursive Least Squares，VFF-RLS）算法结合卡尔曼滤波器解决了时变信道下的数字域自干扰抵消；QIAO等^[4]着重于数字域自干扰抵消的实时实现，基于LMS算法和RLS算法采用硬件在环仿真实现；董佳鑫^[5]采用变步长仿射投影（Variable Step Size Affine projection，VSS-AP）算法进行LTE 无线通信环境中的全双工 MIMO自干扰消除，在干信比较大时取得了较好的自干扰消除效果。

综合来看，水声通信中的数字域自干扰抵消技术以辅助支路引入参考信号的结构为基础，围绕LMS算法、RLS算法和AP算法以最小化收敛速度和稳态误差为目标开展了各种具体应用研究。但对于带内全双工水声通信的具体工程应用，还需要分析算法在辅助支路量化噪声存在和接收信号信干比不同时的自干扰抵消性能和通信误码率，进而了解各种算法的适用条件和特点，为各算法的改进优化和实际应用提供指导。本文基于模拟辅助的数字域自干扰抵消系统模型，结合通信误码率从稳态误差、收敛速度和计算量等方面对比研究了LMS算法、AP算法和RLS算法应用于带内全双工水声通信自干扰抵消的性能，重点分析了辅助支路量化位数和接收信号信干比不同时的自干扰抵消效果，为带内全双工水声通信数字域自干扰抵消中自适应滤波算法的选择和改进应用提供参考。

1 模拟辅助的数字域自干扰抵消系统模型

带内全双工水声通信通过同时同频收发以提高频谱利用率，己方发射的水声通信信号成为微弱期望通信信号解调接收的大功率自干扰，需通过己方已知的自干扰信号副本作为自适应滤波算法的输入参考信号进行自干扰抵消，以消除发射端对接收端的影响。己方水声通信信号在数字域生成后经过数模转换、功率放大器放大、自干扰信道到达接收端，接收端接收的自干扰信号中包括己方数字域水声通信信号的线性分量、非线性分量以及发射机噪声^[6]，各分量能否有效抵消直接关系着整体自干扰抵消效果，而数字域自干扰抵消的关键在于自干扰信号的重构，即合理选择输入参考信号和自适应滤波算法，通过调整自适应滤波器权值系数使得输入参考信号和接收信号之间的误差趋于最小。自干扰抵消中的输入参考信号有2种选择，一是数字域生成的发射信号，二是通过辅助支路将经过功率放大器放大的发射信号引入数字域，前者不需额外的电路设计但未将功放非线性失真考虑在内，后者考虑了功率放大器的影响但辅助支路会引入额外噪声，本文基于后者采用模拟辅助的数字域自干扰抵消系统模型^{[15 - 22]}。

如图1所示，发射端己方水声通信信号$ x(n) $经数模转换（Digital to Analog Converter，DAC）被转换为模拟信号$ x(t) $，而后经功率放大器（Power Amplifier，PA）放大后得到$ {x}_{pa}(t) $并经发射换能器转换为声波辐射到海水中。与此同时，来自远端通信发信一方的期望通信信号$ {r}_{ds}(t) $和来自近端的自干扰信号$ {r}_{si}(t) $经历了不同的传播信道到达水听器，经过低噪放大器（Low Noise Amplifier，LNA）放大后得到$ {y}_{{\mathrm{LNA}}}(t) $（见式(1)），而后$ {y}_{{\mathrm{LNA}}}(t) $经由模数转换（Analog to Digital Converter，ADC）得到数字信号$ y(n) $（见式(2)）作为自适应滤波器的接收信号。

$ \begin{split}&{y}_{{\mathrm{LNA}}}(t)={r}_{ds}(t)+{r}_{si}(t)+{v}_{an}(t)+{v}_{{\mathrm{LNA}}}(t)=\\&{x}_{ds}(t)\otimes {h}_{ds}(t)+{x}_{pa}(t)\otimes {h}_{si}(t)+{v}_{an}(t)+{v}_{{\mathrm{LNA}}}(t)。\end{split}$

(1)

$ \begin{split}&y(n)={Q}_{B}[{y}_{{\mathrm{LNA}}}(t)]={r}_{ds}(n)+{r}_{si}(n)+\\&{v}_{an}(n)+{v}_{{\mathrm{LNA}}}(n)+{v}_{q}(n)={r}_{ds}(n)+{r}_{si}(n)+v(n)。\end{split}$

(2)

式中：$ {h}_{si}(t) $和$ {h}_{ds}(t) $分别为自干扰信号和期望通信信号的信道冲激响应；$ {v}_{an}(t) $为海洋环境噪声；$ {v}_{{\mathrm{LNA}}}(t) $为LNA产生的加性噪声；$ \otimes $为2个信号的卷积运算。$ {Q}_{B}[\cdot ] $为量化位数为B的ADC的量化过程；$ {r}_{ds}(n) $、$ {r}_{si}(n) $、$ {v}_{an}(n) $、$ {v}_{LNA}(n) $分别为量化后的数字域期望通信信号、自干扰信号、海洋环境噪声和LNA噪声；$ {v}_{q}(n) $为量化噪声，不失一般性地，将接收信号$ y(n) $中的噪声合并表示为$ v(n) $。

自适应滤波器的输入参考信号$ {x}_{pa}(n) $由模拟域中功率放大器的输出信号$ {x}_{pa}(t) $通过辅助支路的时延衰减和ADC后得到，经过自适应滤波算法后得到重构的自干扰信号$ y_{si}^{\prime}(n) $，接收信号$ y(n) $与重构自干扰信号$ y_{si}^{\prime}(n) $的差$ \widehat{{r}_{ds}}(n) $即为经过数字域自干扰抵消后得到的期望通信信号。考虑功率放大器的非线性失真和记忆效应，基于Volterra级数法的记忆多项式（Memory Polynomial，MP）模型^[7]仿真PA输出信号$ {x}_{pa}(t) $（见式(3)），式中，K、M分别为模型的非线性阶数和记忆深度，仿真时取K=3、M=5，$ {a}_{km} $为模型系数。ADC采取四舍五入均匀量化，假设其参考电压为$ [V_{ref}^{a},V_{ref}^{b}] $，$ x_{pa}^{\prime}(t) $满量程输入时，量化位数为B时ADC输出信号$ {x}_{pa}(n) $可表示为式(4)。

$ {x}_{pa}(t)=\sum\limits_{k=0}^{K-1}\sum\limits_{m=0}^{M-1}{a}_{km}x(t-m){\left| x(t-m)\right| }^{k} ，$

(3)

$\begin{split} {x}_{pa}(n)=&{Q}_{B}[x_{pa}^{\prime}(t)]={\mathrm{round}}({x_{pa}^{\prime}(t)+V_{ref}^{b}}/{LSB})\cdot\\ & LSB+V_{ref}^{a}={x}_{pa\_q}(n)+x_{pa\_ err}^{B}(n)，\end{split}$

(4)

$ LSB={V_{ref}^{b}-V_{ref}^{a}}/{{2}^{B}-1}。$

(5)

式中；$ {\mathrm{round}}(\cdot ) $为四舍五入；$ LSB $为ADC的最低有效位；$ {x}_{pa\_ q}(n) $和$ x_{pa\_ err}^{B}(n) $分别为纯净量化信号和B位ADC的量化噪声。

为研究辅助支路ADC的量化位数以及接收信号中期望通信信号的存在对自干扰抵消效果的影响，定义$ SN{R}_{x} $和$ SI{R}_{y} $、$ SN{R}_{y} $分别描述输入参考信号$ {x}_{pa}(n) $的信噪比以及接收信号$ y(n) $的信干比、信噪比：

$ SN{R}_{x}=10{\log }_{10}({P}_{{{x}_{pa{\_} q}}}/{P_{{x}_{pa{\_} err}}^{B}})，$

(6)

$ SI{R}_{y}=10{\log }_{10}({P}_{{{r}_{ds}}}/{{P}_{{{r}_{si}}}})，$

(7)

$ SN{R}_{y}=10{\log }_{10}({P}_{{{r}_{ds}}}/{{P}_{v}})。$

(8)

式中：$ P_{{x}_{pa\_ err}}^{B} $为量化位数为B的ADC的量化噪声功率；$ {P}_{{{x}_{pa\_ q}}} $、$ {P}_{{{r}_{ds}}} $、$ {P}_{{{r}_{si}}} $、$ {P}_{v} $分别为辅助支路ADC纯净量化输出信号$ {x}_{pa\_ q}(n) $、期望通信信号$ {r}_{ds}(n) $、自干扰信号$ {r}_{si}(n) $和接收信号$ y(n) $中的噪声$ v(n) $的功率。

2 自适应滤波算法原理 2.1 LMS算法

在应用LMS算法的自干扰抵消模型中，一般采用如图2所示的横向型滤波器结构^[8]，输入参考信号可以转换为输入向量$ {\boldsymbol{x}}_{pa}(n)={[{{x}_{pa}}(n),{{x}_{pa}}(n-1), {x}_{pa}}(n-2),\cdots ,$ $ {{{x}_{pa}}(n-N+1)]}^{\mathrm{{T}}} $，估计得到的误差信号$ e(n) $为：

$ \begin{split}e(n)=&y(n)-y_{si}^{\prime}(n)=y(n)-{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{{T}}}(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(n)=\\&{r}_{ds}(n)+{r}_{si}(n)+v(n)-{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{{T}}}(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(n)。\end{split}$

(9)

式中：$ \boldsymbol{w}(n)={[w(0),w(1),\cdots w(N-1),w(N)]}^{\mathrm{{T} }}$为滤波器权值系数，即自干扰信道向量，N为滤波器阶数，即自干扰信道抽头数。

根据维纳滤波理论的最速下降算法，第n+1次迭代得到的滤波器权值系数如式(10)所示，式中$ \mu $为步长因子，$ \nabla J $（见式(11)）为均方误差的梯度。由于实际应用中接收信号的先验知识未知，LMS算法以瞬时均方误差$ {e}^{2}(n) $代替均方误差$ E[{e}^{2}(n)] $进行梯度估计，得到LMS滤波器权值系数更新公式如式(12)^[9]所示。

$ \boldsymbol{w}(n+1)=\boldsymbol{w}(n)+\mu (-\nabla J(\boldsymbol{w})), $

(10)

$ \nabla J(\boldsymbol{w})=\nabla \left\{E[{e}^{2}(n)]\right\}。$

(11)

$ \boldsymbol{w}(n+1)=\boldsymbol{w}(n)+\mu \cdot e(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(n) 。$

(12)

LMS算法的具体步骤如下：

步骤1　初始化滤波器阶数N、步长$ \mu $、权值系数$ {\boldsymbol{w}}_{\mathbf{0}}=\mathbf{0} $；

步骤2　输入参考信号$ {x}_{pa}(n) $通过多路时延生成输入参考信号向量$ {\boldsymbol{x}}_{pa}(n) $，计算当前时刻的估计自干扰信号$ y_{si}^{\prime}(n)={\boldsymbol{w}}^{\mathrm{T}}(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(n) $；

步骤3　计算当前时刻的估计期望通信信号$ e(n)= y(n)-y_{si}^{\prime}(n) $；

步骤4　根据式(12)更新滤波器权值系数向量；

步骤5　令$ n=n+1 $，返回执行步骤2。

2.2 AP算法

AP算法是归一化最小均方误差（Normalized Least Mean Square，NLMS）的推广，对于相关性强的输入参考信号有更快的收敛速度^[10]。NLMS算法在考虑输入信号特性的基础上用输入参考信号向量的平方范数进行步长归一化，以克服LMS算法会放大较大输入参考信号梯度噪声的缺点，NLMS算法的滤波器权值系数更新公式为：

$ \boldsymbol{w}(n+1)=\boldsymbol{w}(n)+\frac{\mu }{\left|\left|{\boldsymbol{x}}_{pa}(n)\right|\right|_{2}^{2}+\delta }e(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(n) 。$

(13)

式中：$ \delta $为正则因子，为防止$ \left|\left|{\boldsymbol{x}}_{pa}(n)\right|\right|_{2}^{2} $过小时引起滤波器稳定性下降而引入^[11]。

与上述算法不同的是，AP算法不仅利用当前时刻的输入参考信号向量$ {\boldsymbol{x}}_{pa}(n) $，而且重复利用过去的L−1个输入参考信号向量（L为投影阶数），得到当前时刻的输入参考信号向量矩阵为$ {\boldsymbol{X}}_{pa}(n)= $ $ [{\boldsymbol{x}}_{pa}(n), {\boldsymbol{x}}_{pa}(n-1),\cdots,{\boldsymbol{x}}_{pa}(n-L+1)] $。类比NLMS算法，投影阶数L小于滤波器阶数N（$ 1\leqslant L \lt N $）时，AP算法的权值系数更新公式和误差向量为^{[12 - 13]}：

$\begin{split} & \boldsymbol{w}(n + 1) = \boldsymbol{w}(n) + \mu {\boldsymbol{X}}_{pa}(n){({\boldsymbol{X}_{pa}^{\mathrm{T}}}(n){{\boldsymbol{X}}_{pa}}(n) + \delta \boldsymbol{I})}^{-1}\boldsymbol{e}(n),\\&\qquad\quad\qquad\quad 1\leqslant L \lt N ，\end{split}$

(14)

$ \boldsymbol{e}(n)=\boldsymbol{y}(n)-\boldsymbol{X}_{pa}^{\mathrm{T}}(n)\boldsymbol{w}(n) 。$

(15)

式中：$ \boldsymbol{y}(n)=[y(n),y(n-1),\cdots , $ $ y(n-L+1)] $为接收信号向量；$ \boldsymbol{e}(n)=[e(n),e(n-1),\cdots ,e(n-L+1)] $为误差信号向量；可以发现当L=1时，AP算法退化为NLMS算法。

AP算法的具体步骤如下：

步骤1　初始化滤波器阶数N、投影阶数L、步长$ \mu $、正则因子$ \delta $、权值系数$ {\boldsymbol{w}}_{\mathbf{0}}=\mathbf{0} $；

步骤2　输入参考信号$ {x}_{pa}(n) $通过多路时延生成输入参考信号向量$ {\boldsymbol{x}}_{pa}(n) $，根据投影阶数L生成输入参考信号向量矩阵为$ {\boldsymbol{X}}_{pa}(n) $，计算当前时刻的估计自干扰信号$ y_{si}^{\prime}(n)=\boldsymbol{X}_{pa}^{\mathrm{{T}}}(n)\boldsymbol{w}(n) $；

步骤3　计算当前时刻的估计期望通信信号$ e(n)=y(n)-y_{si}^{\prime}(n) $；

步骤4　根据式(14)更新滤波器权值系数向量；

步骤5　令$ n=n+1 $，返回执行步骤2。

2.3 RLS算法

不同于LMS算法、AP算法以均匀加权的瞬时误差平方和最小为滤波器设计目标函数，RLS算法通过设置遗忘因子$ \lambda $采用指数加权的方式赋予每一时刻误差信号不同的权重（见式(16)），令$ J(\boldsymbol{w}) $的梯度等于0求得最优权值系数向量（见式(17)）。

$ J(\boldsymbol{w})=\sum\limits_{i=0}^{n}{\lambda }^{n-i}{\left| y(i)-{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{T}}(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(i)\right| }^{2}，$

(16)

$ \left\{\begin{split}&\boldsymbol{w}(n)={\boldsymbol{R}}^{-1}(n)\boldsymbol{r}(n)，\\ &{\boldsymbol{R}}^{-1}(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}{\lambda }^{n-i}{\boldsymbol{x}}_{pa}(i)\boldsymbol{x}_{pa}^{\mathrm{T}}(i)+\delta {\lambda }^{n}\boldsymbol{I}，\\ &\boldsymbol{r}(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}{\lambda }^{n-i}{\boldsymbol{x}}_{pa}(i)y(i)。\end{split} \right.$

(17)

其中：$ \boldsymbol{R}(n) $为输入参考信号确定性相关矩阵；$ r(n) $为输入参考信号和接收信号确定性互相关向量；$ \delta $为正则因子；$ \boldsymbol{I} $为单位矩阵；而后递归改进求得滤波器权值系数$ \boldsymbol{w}(n) $的时间递推公式为：

$ \left\{\begin{split}&\boldsymbol{w}(n)=\boldsymbol{w}(n-1)+\boldsymbol{k}(n)\varepsilon (n)，\\ &\varepsilon (n)=y(n)-{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{T}}(n-1){\boldsymbol{x}}_{pa}(n)，\\ &\boldsymbol{k}(n)=\frac{\boldsymbol{P}(n-1){\boldsymbol{x}}_{pa}(n)}{\lambda +\boldsymbol{x}_{pa}^{\mathrm{T}}(n)\boldsymbol{P}(n-1){\boldsymbol{x}}_{pa}(n)}，\\ &\boldsymbol{P}(n)={\boldsymbol{R}}^{-1}(n)=(\lambda \boldsymbol{R}(n-1)+{{\boldsymbol{x}}_{pa}}(n){\boldsymbol{x}_{pa}^{\mathrm{T}}}(n))^{-1}。\end{split}\right. $

(18)

式中：$ \boldsymbol{k}(n) $为增益向量；$ \varepsilon (n) $为先验估计误差^[14]。

由此得到RLS算法的具体步骤如下：

步骤1　初始化遗忘因子$ \lambda $、权值系数$ {\boldsymbol{w}}_{\mathbf{0}}=\mathbf{0} $、逆相关矩阵初始值$ \boldsymbol{P}(0)={\delta }^{-1}\boldsymbol{I} $，正则化因子$ \delta $为一个取值很小的正数，一般取输入参考信号功率的倒数；

步骤2　输入参考信号$ {x}_{pa}(n) $通过多路时延生成输入参考信号向量$ {\boldsymbol{x}}_{pa}(n) $，计算当前时刻的先验估计误差信号$ \varepsilon (n)=y(n)-y_{si}^{\prime}(n)=y(n)-{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{{T}}}(n-1){\boldsymbol{x}}_{pa}(n) $；

步骤3　计算增益向量$ \boldsymbol{k}(n) $并进行逆相关矩阵$ \boldsymbol{P}(n) $更新；

步骤4　根据式(18)中的更新规则更新滤波器权值系数向量；

步骤5　令$ n=n+1 $，返回执行步骤2。

2.4 3种算法的稳态误差

为分析辅助支路量化位数和接收信号信干比对自干扰抵消的影响，现推导以上3种算法在此条件下的稳态误差。此时，通过辅助支路引入的输入参考信号为$ {x}_{pa}(n)={x}_{pa\_ q}(n)+x_{pa\_ err}^{B}(n) $，滤波器的接收信号为$ y(n)={r}_{ds}(n)+\boldsymbol{h}_{si}^{\mathrm{{T}}}(n){\boldsymbol{x}}_{pa\_ q}(n)+v(n) $，定义滤波器权值系数向量$ \boldsymbol{w}(n)={\boldsymbol{w}}_{opt}-\bigtriangleup \boldsymbol{w}(n) $，其中$ {\boldsymbol{w}}_{opt} $为在输入参考信号量化噪声$ {x}_{pa\_ err}(n) $的影响下的最优权值系数向量：

$ \left\{\begin{split}&{\boldsymbol{w}}_{opt}=({{\boldsymbol{R}}_{{x}_{pa\_ q}}}+{{\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa\_ err}}}})^{-1}{\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa\_ q}}}{\boldsymbol{h}}_{si}，\\ &{\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa\_ q}}}=E[{x}_{pa\_ q}(n)x_{pa\_ q}^{\mathrm{T}}(n)]，\\ &{\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa\_ err}}}=E[{x}_{pa\_ err}(n)x_{pa\_ err}^{\mathrm{T}}(n)]。\end{split} \right.$

(19)

式中：$ {\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa\_ q}}} $和$ {\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa\_ err}}} $分别为量化信号和量化噪声的自相关矩阵；$ \bigtriangleup \boldsymbol{w}(n) $为梯度噪声失调引起的权值系数误差，由此，自适应滤波器的误差信号可表示为式(20)，基于信号独立性假设，均方误差可表示为远端期望通信信号分量、接收信号中的噪声分量、残留自干扰分量和权值系数失调分量的和，在小步长假设前提下进一步化简可得3种算法的稳态误差：

$ \begin{split}&e(n)={r}_{ds}(n)+v(n)+\boldsymbol{h}_{si}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{x}}_{pa\_ q}(n)-\boldsymbol{w}_{opt}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{x}}_{pa}(n)+\\&\qquad \quad \Delta {\boldsymbol{w}}^{\mathrm{T}}(n){\boldsymbol{x}}_{pa}(n)。\end{split}$

(20)

$ \begin{split}&{J(n)=E[{e}^{2}(n)]=E[r_{ds}^{2}(n)]+E[{v}^{2}(n)]+E[({{\boldsymbol{h}}_{si}^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{x}}_{pa\_ q}}(n)-}\\ &\qquad {{{\boldsymbol{w}}_{opt}^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{x}}_{pa}}(n))^{2}]+E[{(\Delta {{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{T}}}(n){{\boldsymbol{x}}_{pa}}(n))}^{2}] 。}\end{split}$

(21)

$ {J(\mathrm{\infty }) = \left\{ \begin{array}{l} \zeta + \zeta \cdot \dfrac{\mu }{2}tr({\boldsymbol{R}}_{{{x}_{pa}}})，{\mathrm{LMS}}算法，\\ \zeta + \zeta \cdot \dfrac{\mu }{2}tr({\boldsymbol{R}}_{{{\boldsymbol{X}}_{pa}}}({{\boldsymbol{R}}_{{{\boldsymbol{X}}_{pa}}}} + \delta \boldsymbol{I})^{-1})，{\mathrm{AP}}算法，\\ \zeta + \zeta \cdot \dfrac{1}{2(1-\lambda )}tr(\boldsymbol{R}_{{\boldsymbol{x}}_{pa}}^{-1})，{\mathrm{RLS}}算法，\end{array} \right. }$

(22)

$ \zeta ={P}_{{{r}_{ds}}}+{P}_{v}+\boldsymbol{h}_{si}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}_{{x}_{pa\_ q}}^{-1}{\boldsymbol{R}}_{{x}_{pa\_ err}}{\boldsymbol{h}}_{si}。$

(23)

式中：$ \zeta $为最优权值下的最小均方误差。可以发现，对于LMS算法和AP算法，增大步长$ \mu $可以加快收敛速度但会增大稳态误差，对于RLS算法，较大的遗忘因子$ \lambda $使得算法更依赖历史数据，新数据对权重更新的贡献减小，因此收敛速度变慢，但会减小稳态误差；辅助支路量化噪声$ {x}_{pa\_ err}(n) $和接收信号中噪声$ v(n) $的存在通过增大最小均方误差对3种算法的稳态误差都起到增大的作用，根据误差信号的值改变步长或遗忘因子进行自干扰抵消时，不可忽略这2种噪声的影响。

3 性能仿真及对比分析

辅助支路不同量化位数和接收信号不同信干比条件下，利用LMS算法、AP算法和RLS算法分别进行水声通信自干扰抵消仿真。仿真时，远端采用直接序列扩频二进制相移键控的调制方式发送通信信号，接收端采用差分能量检测算法对期望通信信号进行解扩解码，扩频码为长度为31的m序列，通信信号经历最大多径时延为10 ms的多途衰落信道，自干扰信号的频段和时长均完全覆盖期望通信信号，采用非线性阶数为3、记忆深度为5的MP模型仿真功率放大器输出信号，模型系数取（仅考虑奇数阶）a_km=[1.0513; −0.0542; −0.9657; −0.0680; 0.234; −0.2451; 0.0289; −0.1621; 0.1229]，用平滑后的归一化均方误差曲线（Normalized Mean Square Error，NMSE）表征3种算法的收敛特性。下面分别针对接收信号不同信干比、辅助支路不同量化位数，对3种算法的自干扰抵消性能进行仿真分析，仿真时3种算法的参数如表1所示。

$ NMSE=10\mathrm{\lg }({e}^{2}(n)/{y}^{2}(n)) 。$

(24)

3.1 接收信号信干比不同时的对比分析

为研究对比3种算法在接收信号信干比不同时的收敛特性和抵消性能，辅助支路ADC采用高量化位数（24位）以尽可能减少辅助支路量化噪声对研究结果的影响，接收信号信噪比$ SN{R}_{y}=10\;{\mathrm{dB}} $，信干比$ SI{R}_{y} $为−10、−30、−50 dB时，仿真得到3种算法的NMSE曲线（见图3），可以发现接收信号信干比不同时，RLS算法的收敛速度最快，LMS算法次之，AP算法最慢；RLS算法的稳态误差最小，接收信号信干比$ SI{R}_{y}=-10\;{\mathrm{dB}} $时AP算法稳态误差略高于LMS算法，接收信号信干比变小时，AP算法在稳态误差方面较LMS算法有较大优势。数字域自干扰抵消作为自干扰抵消的最后一步，其抵消性能与通信误码率有直接关系，因此为进一步对比研究3种算法的抵消性能，仿真了3种算法在不同$ SI{R}_{y} $时的误码率（每个$ SI{R}_{y} $下进行100次仿真实验取均值）变化情况（见图4），以$ BER=0.01 $为通信系统可靠性指标，RLS算法和AP算法的抵消性能分别在$ SI{R}_{y}\geqslant -60\;{\mathrm{dB}} $、$ SI{R}_{y}\geqslant -50\;{\mathrm{dB}} $时满足通信可靠性要求，RLS算法和AP算法在$ SI{R}_{y} $由−20 dB增大到−10 dB时，误码率有所升高，分析其原因为接收信号中自干扰信号比例降低，加之环境噪声和量化噪声影响使得接收信号与输入参考信号差异增大，但误码率仍能满足工程应用的可靠性要求，而LMS算法在接收信号信干比不同时误码率均较高，具体原因为在多次仿真实验中LMS算法存在失调概率，算法可靠性较差，影响了通信误码率。

3.2 辅助支路量化位数不同时的对比分析

辅助支路噪声主要由ADC量化产生，量化位数分别取16、12、8时，由式(4)量化模型得到量化后的输入参考信号的$ SN{R}_{x} $分别为65.85、45.91、20.91 dB，当接收信号信噪比$ SN{R}_{y}=10\;{\mathrm{dB}} $、信干比$ SI{R}_{y}=-30\;{\mathrm{dB}} $时，仿真得到ADC不同量化位数下3种算法的NMSE曲线如图5所示，可以发现在既定接收信号信干比条件下，ADC量化位数不同时，RLS算法、AP算法、LMS算法的收敛速度依次变慢，稳态误差依次增大。为研究辅助支路量化位数不同时算法抵消性能对通信可靠性的影响，进一步仿真得到既定条件（每个量化位数下进行100次仿真实验取均值）下，3种算法在上述量化位数下的误码率如图6所示，可以发现当ADC量化位数减少，即当辅助支路量化噪声增大时，3种算法的误码率呈上升趋势，当接收信号信干比降低时，3种算法在ADC量化位数较低条件下的自干扰抵消性能将进一步恶化，为满足通信可靠性要求，需进行残余干扰抵消和降噪。

3.3 计算复杂度对比分析

假设3种自适应滤波器的阶数为$ N $，AP算法的投影阶数为$ L $，按照前文所述的每种算法的关键步骤，统计3种算法一次迭代所需的计算量（见表2），由于LMS算法不涉及矩阵求逆运算，计算复杂度相对AP算法和RLS算法较小，AP算法的计算复杂度与投影阶数L有关，RLS算法的计算复杂度与滤波器阶数的平方成正比，在自干扰信道抽头数较大的水声环境中算法实时性较差，而AP算法可以通过设置较小的投影阶数$ L $（$ L=2\sim 5 $）在3种算法中以适中的计算量完成自干扰抵消。

3.4 仿真结果综合分析

由以上仿真分析可以得出以下结论：应用RLS、AP、LMS三种算法进行带内全双工水声通信数字域自干扰抵消时，在不同接收信号信干比和辅助支路量化位数条件下，RLS算法的收敛速度最快、稳态误差最小，但计算复杂度最高，因此适用于计算资源相对充裕的高性能平台（如大型固定节点或船舶）在快速时变水声信道实现高抵消要求的应用场景；LMS算法的计算复杂度最低，但在接收信号不同信干比和辅助支路有噪声条件下算法存在失调概率，导致通信误码率较高，可通过改变步长提升自干扰抵消效果，适用于超低功耗或计算资源极其受限的节点（如小型化平台或传感器节点）在慢变浅水短距通信场景下实现一定程度的自干扰抵消；AP算法的计算复杂度与投影阶数有关，当投影阶数远小于水声信道抽头数时，可以以适中的计算量完成接收信号不同信干比和辅助支路存在噪声条件下的自干扰抵消，但当接收信号信干比恶化或辅助支路噪声较大时，需进行进一步干扰抵消或降噪以保证通信可靠性，适用于计算资源受限但应用在中度时变水声信道且对自干扰抵消效果有一定要求的全双工水声通信平台。

4 结　语

本文基于模拟辅助的数字域自干扰抵消结构给出系统模型，给出了LMS算法、AP算法和RLS算法的实现原理，结合通信误码率从稳态误差、收敛速度和计算量等方面对比研究了3种算法应用于带内全双工水声通信数字域自干扰抵消的性能，重点分析了辅助支路量化位数和接收信号信干比不同时的自干扰抵消效果。仿真结果表明，3种算法各有优势，但AP算法可以以适中的计算量、收敛速度和稳态误差完成接收信号不同信干比和辅助支路存在噪声条件下的自干扰抵消，辅助支路量化位数8位、接收信号信干比为−30 dB时可达到10⁻²的通信误码率，对于自干扰抵消需求或辅助支路量化噪声更高的应用场景，需结合通信接收端数据处理技术增加额外的降噪手段，以保证通信可靠性。