0 引　言

船体阻力与海洋环境等因素均会影响舰船燃油消耗量，传统定速航行的燃油消耗控制措施，属于一种静态策略，无法应对复杂多变航行环境中航速波动、主机效率衰减等动态因素的耦合影响，导致节油效果较差，存在燃油浪费现象^[1]。为适应实时海况变化，需要研究舰船燃油消耗动态建模及优化控制方法，避免主机长期低效运行。

周寅正等^[2]通过反向建模法，构造船舶动力系统的能量流模型，获取燃油消耗量，计算油耗的总温室气体排放量，并以最小化总温室气体排放量为目标函数，建立船舶能量管理模型，结合模型预测控制方法得到船舶能量管理策略，实现船舶燃油消耗优化控制。反向建模需基于船舶动力系统的精确数学模型，如果动力系统存在非线性特性或参数不确定性，则模型误差会降低燃油消耗量计算精度。黄斌等^[3]通过逻辑门限值规则，改进等效油耗最小能量管理策略，实现燃油消耗优化控制。利用改进蚁群算法优化管理策略中的充放电等效因子，提升控制效果。逻辑门限值规则基于工程经验设定，无法动态适应海况变化，导致能量分配非最优，进而影响控制效果。郭文强等^[4]以最小化总燃油消耗为目标，构造船舶燃油消耗优化控制模型，通过深度Q网络驱动的协同元启发式算法，求解该模型，得到船舶燃油消耗优化控制策略。深度Q网络需大量历史数据训练，若数据样本不足或分布不均衡，模型泛化能力下降，影响控制效果。阮计连等^[5]利用卷积神经网络-长短期记忆神经网络（CNN-LSTM），预测等效油耗，以最小化等效油耗为目标，设计船舶能量管理策略，优化控制船舶燃油消耗。但易捕捉到噪声而非真实燃油消耗趋势，增加等效油耗预测误差，影响控制效果。

灰色预测模型可以捕捉小样本、不确定环境下的燃油消耗趋势，构造高精度预测模型，具备较强的鲁棒性。偏微分方程（PDE）可以在物理约束下精细化描述燃油消耗状态的动态演化过程，提升燃油消耗优化控制效果。为此，研究融合灰色预测与偏微分方程的舰船燃油消耗动态建模及优化控制方法，可以降低油耗，确保舰船动力系统稳定运行。

1 舰船燃油消耗动态建模及优化控制 1.1 舰船燃油消耗模型

依据舰船总阻力与主机输出功率，构建舰船燃油消耗模型，得到连续、可靠的实际燃油消耗时间序列^[6]，作为灰色预测模型的输入样本。舰船总阻力的计算公式为：

$ \left\{\begin{aligned} &H={H}_{s}+{H}_{a}+{H}_{w}，\\&{H}_{s}=\frac{\left({Z}_{p}{Z}_{f}+{Z}_{p}{Z}_{r}+{Z}_{p}\Delta {Z}_{f}\right){\rho }_{s}V_{s}^{2}{A}_{s}}{2}，\\ &{H}_{a}=\frac{{A}_{a}V_{H}^{2}{Z}_{a}}{2}，\\ &{H}_{w}=\frac{{\rho }_{s}{\left(\beta W\right)}^{2}{Z}_{b}g}{L}。\end{aligned}\right. $

(1)

式中：H为舰船总阻力；H_s为静水阻力；H_a为空气阻力；H_w为波浪增阻；Z_p为舰船附体阻力系数；Z_f为摩擦阻力系数；Z_r为剩余阻力系数；ΔZ_f为粗糙度补偿系数；ρ_s为海水密度；V_s为舰船航行速度；A_s为舰船湿面积；A_a为中横剖面投影面积；V_H为相对风速；Z_a为空气阻力系数；β为特征波高；W为船宽；Z_b为舰船方形系数；g为重力加速度；L为舰船总长。

依据H计算舰船主机输出功率为：

$ Q=\frac{H\cdot {V}_{s}}{{\delta }_{t}{\delta }_{m}\left(\dfrac{{K}_{t}J}{2\text{π} {K}_{q}}\right){\delta }_{r}} 。$

(2)

式中：δ_t为传动设备、推力轴承及中间轴承的总传动效率；δ_m为舵管内轴承及密封装置的总传动效率；K_t为螺旋桨推力系数；K_q为螺旋桨转矩系数；J为螺旋桨进速比；δ_r为推力减额系数。

依据Q与主机油耗率γ_e，计算实际舰船燃油消耗量为：

$ y=Q\cdot {\gamma }_{e}。$

(3)

1.2 基于灰色预测的期望舰船燃油消耗预测

利用灰色预测模型，结合舰船燃油消耗模型得到的实际燃油消耗量，预测未来时刻期望舰船燃油消耗量，为后续基于PDE的舰船燃油消耗动态建模及优化控制，提供一个动态、可靠且具备前瞻性的性能参考基准。针对舰船燃油消耗量小样本、多干扰、不确定性强的特性，采用灰色预测模型捕捉其变化趋势，以实际舰船燃油消耗量序列Y_n=(y(1),...,y(n))为输入，预测未来期望燃油消耗量，具体步骤如下：

步骤1　以实际舰船燃油消耗量为原始数据，构建非负行为序列Y=(y(0),y(1),...,y(n))，补充任意值y(0)，实现全数据参与运算，n为实际舰船燃油消耗量的有效数据数量。计算累加序列，获取背景值矩阵：

$ \begin{cases} {y}^{(1)}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}y(i)，(k=0,1,\ldots ,n)，\\ {\boldsymbol{Z}}=\left[\begin{matrix} -\dfrac{{y}^{(1)}(1)+{y}^{(1)}(0)}{2} & 1\\ \vdots & \vdots \\ -\dfrac{{y}^{(1)}(n)+{y}^{(1)}(n-1)}{2} & 1 \end{matrix} \right]。\end{cases} $

(4)

式中：y⁽¹⁾(k)为第$ k $时刻的舰船燃油消耗累加值；Z为背景值矩阵；y(i)为实际舰船燃油消耗量。

步骤2　实际燃油消耗有效序结合Z求解刻画燃油消耗变化规律的灰参数：

$ {[\alpha ,\lambda ]}^{\mathrm{T}}=\frac{{Y}_{n}}{\boldsymbol{Z}}。$

(5)

式中：$ \alpha $为发展灰数，反映燃油消耗的变化速率；$ \lambda $为灰色作用量，反映燃油消耗的静态基准值；$ T $为转置符号。

步骤3　根据实际燃油消耗首值y(1)与$ \alpha $、$ \lambda $，输出未来k+1时刻的期望舰船燃油消耗量$ \hat{y}(k+1) $：

$ \hat{y}(k+1)=(1-\exp \left(\alpha \right))\cdot \left(y(1)-\frac{\lambda }{\alpha }\right)\exp \left(-\alpha k\right)。$

(6)

1.3 偏微分方程的燃油消耗动态建模及优化控制

船舶动力系统具有复杂的非线性特征。例如，船舶主机的燃油消耗率与转速、负载之间并非简单的线性关系，在不同的运行工况下，其燃油经济性表现出明显的非线性变化。此外，螺旋桨的推力和扭矩特性也随着航速、海水密度等因素的变化呈现非线性。同时，船舶动力系统中的各种控制环节，如燃油喷射系统、进气调节系统等，都存在一定的非线性响应特性，这些非线性因素会导致燃油消耗的动态过程偏离线性模型的预测。为了更准确地描述舰船燃油消耗的动态过程，利用PDE精细化描述燃油消耗状态的动态演化过程，结合实际燃油消耗量与期望燃油消耗量，进行舰船燃油消耗动态建模及优化控制。舰船燃油消耗过程可以表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial y(x,k)}{\partial k}=-\theta \cdot N\left[y(x,k),\dfrac{\partial y(x,k)}{\partial x}\right]+R\dfrac{{\partial }^{2}y(x,k)}{\partial {x}^{2}}+\\ \qquad\qquad O(x,k)+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{i}{\vartheta }_{i}y\left(x,k-{\tau }_{i}\right)，\\ \qquad y(x,0)={y}_{0}，\\ \omega y({0}^-,k)=\omega y({0}^+,k)-\xi {\left.\dfrac{\partial y(x,k)}{\partial x}\right| }_{x={{0}^+}}，\\ \qquad{\left.\dfrac{\partial y(x,k)}{\partial x}\right| }_{x=N}=0。\end{array}\right.$

(7)

式中：y(x,k)为实际舰船燃油消耗量；$ x $为舰船航行海况维度；$ \theta $为燃油消耗对流系数，反映航行海况变化对燃油消耗的传递速率；$ N $为海况区间的最大范围；$ R $为燃油消耗扩散系数，反映燃油消耗在不同海况间的波动扩散特性；O(x,k)为风速、浪高、船体污损等外部不可控因素对燃油消耗的干扰项；y₀为初始实际燃油消耗量；$ \omega $为边界修正系数，用于修正油耗的边界响应规律；ξ为边界梯度修正系数，刻画海况变化速率对油耗的影响；$ {\vartheta }_{i} $和$ {\tau }_{i} $分别为第$ i $个时滞项的系数和时间延迟。

以最小化实际与期望燃油消耗量的跟踪误差为优化目标，以偏微分方程的动态建模结果为约束条件，构建舰船燃油消耗优化控制模型。优化目标函数的表达式为：

$ {\min F = \int_{0}^{\infty} \left[ y(k) - \hat{y}(k) \right]^2 {\mathrm{d}}k + \varpi^2 \int_{0}^{\infty} \left[ u(k) - \hat{u}(k) \right]^2 {\mathrm{d}}k 。}$

(8)

式中：u(k)为舰船燃油消耗优化控制输入；$ \hat{u} $为高效工况控制期望值；$ \varpi $为权重系数，平衡跟踪精度与控制代价。

将式(7)的PDE离散化，获取舰船燃油消耗的离散状态关系：

$ \begin{cases} x(k+1)={\boldsymbol{A}}^{\prime}x(k)+{\boldsymbol{B}}^{\prime}u(k)，\\ y(k+1)={\boldsymbol{C}}^{\prime}x(k+1)。\end{cases} $

(9)

式中：x(k+1)为离散燃油消耗状态向量；$ {\boldsymbol{A}}^{\prime} $为状态转移矩阵，刻画前一时刻燃油消耗状态到当前时刻燃油消耗状态的动态演化关系，由PDE模型的对流、扩散系数推导得到，反映油耗的动态传递规律；$ {\boldsymbol{B}}^{\prime} $为控制输入矩阵，刻画控制输入u(k)对燃油消耗状态x(k)的影响程度；$ {\boldsymbol{C}}^{\prime} $为输出矩阵，负责将离散状态向量x(k+1)转换为实际燃油消耗量y(k+1)的映射矩阵，实现状态量到物理量的转换。

结合式(8)与式(9)获取舰船燃油消耗最优控制律：

$ u(k)=-{({{{{\boldsymbol{B}}^{\prime}}}^{\mathrm{{T}}}}{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{B}}^{\prime}}+O)}^{-1}({{{\boldsymbol{B}}^{\prime}}}^{\mathrm{{T}}}{\boldsymbol{S}}{\boldsymbol{A}}^{\prime})x(k+1)。$

(10)

式中：$ {\boldsymbol{S}} $为黎卡提方程解矩阵。

2 仿真分析 2.1 仿真设置

为了验证所研究内容的有效性，选用 NAPA 船舶性能仿真软件，其具备精准的船舶流体动力学、主机动力学及燃油系统建模能力，可模拟复杂航行环境与工况，为高保真仿真提供可靠支撑。原型舰船的基本信息如表1所示。

基于表1所示的原型舰船参数精确构建三维模型。并在仿真平台中模拟不同航行海况（平静海况、中等海况与恶劣海况），分析本文方法的燃油消耗优化控制效果。不同海况的设定如表2所示。

仿真过程中，权重系数设为 0.7，时滞系数为0.3，时间延迟为1 min，仿真时长为24 h，以充分观察燃油消耗动态变化与优化控制效果。

2.2 结果分析

在恶劣海况下，利用本文方法计算该舰船的实际燃油消耗量，计算结果如图1所示。

分析可知，本文方法可有效计算舰船的实际燃油消耗量，在航行5～50 min时，该舰船的实际燃油消耗量大概在0.42～0.56 kg/s之间波动，整体处于较高耗油区间。燃油消耗量表现出明显的非稳态波动，无稳定平台期，反映恶劣海况下外部干扰对燃油消耗存在显著影响。

在平静海况与恶劣海况下，利用本文方法预测该舰船的期望燃油消耗量，并进行燃油消耗优化控制，燃油消耗优化控制结果如图2所示。

分析可知，平静海况的燃油消耗量波动幅度较小，主要在0.38～0.44 kg/s之间波动，优化控制的燃油消耗量曲线平滑，无剧烈波动，说明在平静海况下舰船动力系统响应稳定，外部干扰小。恶劣海况的燃油消耗量波动幅度有所增加，主要在0.40～0.52 kg/s之间波动，虽波动增大，但仍能有效控制油耗，避免过度燃油浪费，且在强干扰下，未出现失控或震荡放大现象，具备较优的优化控制效果。

分析不同海况下，应用本文方优化控制后，该舰船的燃油消耗节油率，分析结果如图3所示。

分析可知，不同海况以及不同数据缺失比例下，本文方法均可完成舰船燃油消耗优化控制，经过本文方法优化控制后，平静海况节油率主要在70%～73%之间波动，说明在低干扰环境中，本文方法能充分发挥优化控制性能。中等海况的节油率主要在68%～71%之间波动，相比平静海况节油率呈轻微下降趋势，反映动态干扰对控制精度的影响。恶劣海况的节油率主要在65%～69%，虽受环境影响节油率有所下降，但仍具备良好的节能潜力。

为了更加全面的验证所提方法的有效性，选取文献[4]和文献[5]作为对比方法。在不同舰船航行海况下，利用3种方法预测舰船的期望燃油消耗量，采用可决系数衡量本文方法的预测精度。其值越接近1，说明预测精度越高，分析结果如图4所示。

分析可知，3种舰船航行海况下，随着数据缺失比例的提升，期望燃油消耗量预测的可决系数均呈下降趋势。所提方法在不同数据缺失比例下，可决系数均高于文献[4]和文献[5]方法。即使在数据缺失比例达到20%时，在平静海况下可决系数仍接近0.98，中等海况下约为0.96，恶劣海况下约为0.92，显示出较强的稳定性和较高的预测精度。文献[4]方法在3种海况下的可决系数整体低于所提方法。随着数据缺失比例的增加，其预测精度下降较为明显，在恶劣海况且数据缺失比例达到20%时，可决系数降至约0.60。文献[5]方法的可决系数在3种方法中相对最低。在恶劣海况和数据高缺失比例的情况下，其预测精度表现较差，当数据缺失比例达到20%时，可决系数约为0.65左右。

综合来看，所提方法在不同海况和数据缺失比例下均表现出较好的预测性能，相较于文献[4]和文献[5]方法，具有更高的预测精度和稳定性，能够更有效地应对舰船燃油消耗预测中的复杂情况和数据缺失问题。

3 结　语

为提升舰船航行的节油效果，研究融合灰色预测与偏微分方程的舰船燃油消耗动态建模及优化控制方法，利用灰色预测模型解决小样本、不确定环境下，期望燃油消耗量精准预测问题，在不同数据缺失比例下，本文方法的期望燃油消耗量预测的最小可决系数约为0.92，与理想值1较为接近，即预测精度高。通过PDE动态建模，精细化描述燃油消耗状态的动态演化过程，提升燃油消耗优化控制效果。在不同海况下，本文方法的优化控制燃油消耗量均可精准跟踪期望消耗量，节油率主要在65%～73%波动，达到节约燃油消耗量的目的。