0 引　言

随着大功率船舶柴油机的不断发展，曲轴系统的应力集中和疲劳可靠性等问题尤为突出^{[1 − 2]}。因此，如何提升曲轴疲劳寿命，使大功率船舶柴油机长期可靠运行具有重要意义。在提高抗疲劳性的方法上，黄映云等^[3]利用多体动力学和有限元分析方法对某型号柴油机曲轴进行了疲劳强度和寿命分析。魏效玲等^[4]利用有限元方法建立了曲轴疲劳寿命模型，在此基础上对曲轴再制造可行性进行研究。Que等^[5]通过有限元法对汽车发动机曲轴剩余疲劳寿命进行预测，断裂力学理等论来提高预测的准确性。Wang等^[6]通过多部件耦合瞬态动力学方法对单缸柴油机曲轴进行应力分析和疲劳寿命分析，并验证曲轴的可靠性。Bulut等^[7]通过Ansys研究了单缸曲轴，进行了低周疲劳试验分析，并提出优化方案。Chen等^[8]通过有限元法来预测汽车发动机曲轴在不同转速下的疲劳寿命。许鑫等^[9]基于有限元方法对飞机发动机主轴的疲劳寿命进行预测，并进行了验证。游孟平等^[10]建立曲轴刚柔耦合动力学模型的基础上，对压缩机曲轴疲劳裂纹扩展和寿命进行了分析。在对曲轴优化方面，吴辰等^[11]基于Ansys研究了汽车发动机曲轴系统，根据分析结果对曲轴的薄弱环节进行了优化设计，提高了曲轴的强度和可靠性。安亮等^[12]利用有限元对船舶柴油机曲轴系统振动特性分析，为减振优化设计提供理论依据。

众多学者进行了相关研究，但关于船舶柴油机曲轴的疲劳寿命优化分析研究较少，本文针对船舶曲轴的疲劳寿命展开研究，建立船舶柴油机曲轴有限元模型，进行等效应力、变形的仿真分析和疲劳特性的仿真分析，在此基础上，针对疲劳寿命薄弱环节对曲轴主轴的关键参数进行优化求解，获得等效应力和疲劳寿命多目标优化的改进方案，并建模再分析船舶曲轴的疲劳寿命。该研究工作可为船舶曲轴系统的疲劳寿命分析和优化提供理论依据。

1 船舶曲轴有限元分析

以某型六缸四冲程船舶柴油机曲轴为研究对象。对船舶曲轴实体建模时，在不影响其动态特性的前提下，对曲轴模型进行了适当简化，在SolidWorks中建立三维模型，导入Ansys Workbench中。在Workbench中建立船舶曲轴有限元模型，并对曲轴模型进行7 mm的网格划分，划分后的有限元模型如图1所示。

曲轴的材料为42CrMo，其材料参数如表1所示。

根据该六缸四冲程柴油机的发火次序的和发火间隔角等额定工况，对船舶曲轴有限元模型添加动态交变载荷。船舶柴油机的气缸压力如图2所示，六缸四冲程船舶柴油机发火间隔角为120°，发火顺序为1-5-3-6-2-4。按照柴油机的实际工况，将其输入到Ansys Workbench中的曲轴有限元模型中。柴油机的标定转速为1000 r/min，活塞应力样条曲线中横坐标为0～720°曲轴转角，即曲柄连杆机构单个做功循环周期，时间为0.12 s，载荷采样区间为0.5°曲轴转角，即数据点为1440个，设置完成后进行仿真分析。

通过对船舶曲轴进行仿真分析，得到曲轴的Von-mises等效应力云图和变形云图，分别如图3、图4所示。图3中曲轴的最大等效应力为70.44 MPa，位于主轴颈与曲柄过渡圆角处。图4中曲轴的最大变形量为0.398 mm，出现在曲轴第3曲柄和第4曲柄之间。基于上述分析结果，针对曲轴可靠性提升需求，将对曲轴开展疲劳寿命分析。

2 船舶柴油机曲轴的疲劳寿命分析 2.1 疲劳寿命理论分析

船舶柴油机曲轴在经过大量循环次数的载荷之后会产生疲劳损害，属于典型的高周疲劳，通过S-N曲线和线性累积损伤理论的Miner法则进行分析。高周疲劳在Ansys Workbench中的疲劳寿命计算的应力-寿命法的公式为：

$ N={\left(\frac{{S}_{f}\cdot {f}_{{\mathrm{corr}}}}{{\sigma }_{a}}\right)}^{\frac{1}{b}} 。$

(1)

式中：$ N $为失效循环次数；$ {\sigma }_{a} $为交变应力幅值$ {\sigma }_{a}=\dfrac{{\sigma }_{\max }-{\sigma }_{\min }}{2} $；$ b $为疲劳强度指数（Basquin指数）；$ {f}_{{\mathrm{corr}}} $为修正因子（含表面粗糙度、尺寸效应、应力梯度等）；$ {S}_{f} $为疲劳强度系数（Basquin方程中$ N=1 $的应力幅值）。

平均应力修正公式为（Goodman修正）：

$ {\sigma }_{eq}=\dfrac{{\sigma }_{a}}{1-\dfrac{{\sigma }_{m}}{{\sigma }_{{\mathrm{UST}}}}} 。$

(2)

式中：$ {\sigma }_{eq} $为等效交变应力幅值；$ {\sigma }_{{\mathrm{UST}}} $为材料极限抗拉强度；$ {\sigma }_{m} $为平均应力，$ {\sigma }_{m}=\dfrac{{\sigma }_{\max }+{\sigma }_{\min }}{2} $；

线性累积损伤理论Miner法则公式为：

$ D=\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{{n}_{i}}{{N}_{i}}。$

(3)

式中：$ D $为累积损伤值，当$ D\geqslant 1 $时发生疲劳破坏，工程中常用临界值0.7～1.0；$ {n}_{i} $为第$ i $级应力水平下的实际循环次数；$ {N}_{i} $为第$ i $级应力水平下导致破坏的理论疲劳寿命；$ k $为载荷谱中不同应力水平的总级数。

2.2 船舶柴油机曲轴的寿命仿真分析

通过Ansys Workbench疲劳分析工具对船舶曲轴进行疲劳计算，得到疲劳寿命云图如图5所示。分析可知，船舶曲轴的疲劳寿命薄弱区主要集中在曲轴主轴颈与曲柄臂过渡圆角处，以及曲轴中间2个曲柄臂及其相邻的主轴颈位置，与应力分析结果一致。该位置疲劳寿命较低的主要原因是在曲轴运动的过程中出现了应力集中现象。分析结果表明，曲轴寿命最小循环次数为6.9188×10⁹次，以样机在1000 r/min的工况计算，可持续工作230626.7 h。

3 船舶柴油机曲轴疲劳寿命的优化

为提高船舶柴油机曲轴的可靠性和疲劳寿命，对船舶柴油机曲轴进行结构优化。在结构优化过程中采用Ansys中的响应面法进行设计改进，在响应面优化流程中，实验设计采用拉丁超立方采样，响应面模型是基于Kriging代理模型构建，以等效应力、形变和疲劳寿命为响应进行多目标优化。使船舶柴油机曲轴在保证力学性能稳定的前提下，提高可靠性和疲劳寿命。

对曲轴尺寸参数进行优化时，需综合考虑到曲轴各尺寸相互之间的关系。将曲轴的可调尺寸作为设计变量，其设计参数范围如表2所示。

3.1 拉丁超立方采样

在对船舶发动机曲轴进行优化分析时采用拉丁超立方采样，拉丁超立方采样能够在较少样本的情况下，提供更均匀、更广泛的采样空间覆盖，具有高度的空间填充性和对曲轴非线性响应的适应性。采样的均匀分布特性能更好地捕捉设计空间中的突变、拐点等非线性特征，确保曲轴的结构参数在非线性突变区有足够的样本点。拉丁超立方采样的公式为：

$ {\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{ij}}={a}_{j}+\frac{\left({\boldsymbol{P}}_{i}-0.5\right)\left({b}_{j}-{a}_{j}\right)}{n}。$

(4)

式中：$ {\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{ij}} $为第$ j $个设计变量的第$ i $个样本值；$ {a}_{j} $为第$ j $个设计变量的下界；$ {b}_{j} $为第$ j $个设计变量的上界；$ {\boldsymbol{P}}_{i} $为随机置换向量（或值）；$ n $为样本总数。

通过设计参数表2的范围值对船舶发动机曲轴进行拉丁超立方采样，采取75个样本点如表3所示。

3.2 Kriging模型建立

选择Kriging效应曲面作为船舶柴油机曲轴的优化模型，Kriging模型通过构建一个包含确定性全局趋势模型和随机过程的组合模型，来精确地捕捉和建模设计变量之间的空间相关性与非线性趋势，这种特性能够更加高效高精度地处理拉丁超立方采样产生的样本数据。本次所采用响应面模型的Kriging模型表达式为：

$ {y\left(\boldsymbol{X}\right)={\beta }_{0}+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{\beta }_{i}{d}_{i}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\beta }_{ii}d_{i}^{2}+\sum\limits_{i=2}^{n}\sum\limits_{j=1}^{i-1}{\beta }_{ij}{d}_{i}{d}_{j}+\boldsymbol{Z}\left(x\right)。}$

(5)

式中：$ \boldsymbol{X}=\left({d}_{1},{d}_{1},\cdots ,{d}_{i}\right) $为设计变量集合；$ {\beta }_{0} $为常数项（截距），表示所有变量为0时的基线响应；$ {\beta }_{i} $为线性项系数，反映单个变量$ {d}_{i} $对响应的线性影响；$ {\beta }_{ii} $为二次项系数，表征变量$ {d}_{i} $的非线性效应（如曲率）；$ {\beta }_{ij} $为交叉项系数（$ i \gt j $），描述变量$ {d}_{i} $和$ {d}_{j} $之间的交互效应；$ n $为设计变量总数；$ \boldsymbol{Z}\left(x\right) $为高斯随机过程$ \sim GP\left(0,{\sigma }^{2}R\right) $，捕捉局部偏差。

高斯核函数（相关函数）为：

$ \boldsymbol{R}\left({\boldsymbol{x}}^{\left(k\right)},{\boldsymbol{x}}^{\left(\text{l}\right)}\right)=\exp \left(-\sum\limits_{i=1}^{n}{\theta }_{i}{\left| x_{i}^{\left(k\right)}-x_{i}^{\left(l\right)}\right| }^{2}\right)。$

(6)

式中：$ \boldsymbol{R} $为样本点间相关性（值域$ \left[0，1\right] $）；$ {\boldsymbol{x}}^{\left(k\right)} $、$ {\boldsymbol{x}}^{\left(l\right)} $均为第$ k $，$ l $个样本点位置；$ x_{i}^{\left(k\right)} $、${x}_{{i}}^{\left(\mathrm{l}\right)} $均为样本点位置向量分量；$ {\theta }_{{i}} $为长度尺寸参数（$ {\theta }_{i} \gt 0 $，控制第$ i $个变量相关性的衰减速率）。

3.3 响应面模型分析

灵敏度分析柱状图如图6所示。可知，对寿命和应力影响最大的是主轴内孔直径和连杆轴颈直径，对变形影响最大的是连杆轴颈直径和主轴颈外直径，所有设计变量灵敏度都较高。以寿命为例，从其相关性来分析，主轴颈过渡圆角与寿命呈负相关，寿命则随着主轴颈过渡圆角的增大，寿命反而减小；其他3个参数与寿命成正相关，寿命则随着参数的增大而增大。

选取对3个优化输出目标影响最大的2个输入设计变量进行响应面出图，其对应的响应面如图7所示。响应面模型拟合精度越高，说明该模型与试验样本点考察结果一致性越好，模型越准确可靠。图7显示，针对该船舶柴油机曲轴的响应面模型表面光滑，具有很高的精确度和可靠性。

图7中，在空间直角坐标系中响应面表示输入参数和优化目标之间的关系，坐标系中的x轴和y轴为曲轴结构输入参数的大小，z轴为曲轴输出参数优化大小。可知，x轴和y轴间呈现非线性交互效应，与z轴共同构成非线性响应面图，其特征符合曲轴结构参数与寿命等的非线性性质。疲劳寿命与连杆轴颈直径呈现非线性增长，变形和应力随着连杆轴颈直径的减小而非线性增大，与灵敏度图分析一致。

3.4 Kriging模型评估指标

响应面模型的全局拟合精度需通过方差分析中的决定系数R²和调整决定系数$R_a^2 $进行综合评估；其预测精度需结合均方根误差（RMSE）的量化绝对拟合偏差，并采用归一化均方根误差（NRMSE）来实现多量纲响应的跨尺度可比性。通过上述指标来验证响应面模型的可靠性，其公式如下：

$ {S}_{{\mathrm{SE}}}={\sum\limits_{i=1}^{P}\left({Y}_{i}-{y}_{i}\right)^{2}}，$

(7)

$ {S}_{{\mathrm{ST}}}=\sum\limits_{i=1}^{P}\left({Y}_{i}-\overline{Y}\right)^{2},\overline{Y}=\frac{1}{P}\sum\limits_{j=1}^{P}{Y}_{j}。$

(8)

$ {R}^{2}=1-\frac{{S}_{{\mathrm{SE}}}}{{S}_{{\mathrm{ST}}}}，$

(9)

$ R_{a}^{2}=1-\frac{{S}_{{\mathrm{SE}}}/\left(P-L\right)}{{S}_{{\mathrm{ST}}}/\left(P-1\right)}，$

(10)

$ RMSE=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{P}{\left({Y}_{i}-{y}_{i}\right)}^{2}}{P}}，$

(11)

$ NRMSE=\frac{RMSE}{{Y}_{\max }-{Y}_{\min }}。$

(12)

式中：$ P $为样本总量；$ L $为多项式项数；$ {Y}_{i} $为第i个样本点的真实观测值；$ {y}_{i} $为第i个样本点的模型预测值；$ {Y}_{i}-{y}_{i} $为第i个样本点的残差；$ \overline{Y} $为所有真实观测值的算术平均值；$ {Y}_{\max } $为观测值中的最大值；$ {Y}_{\min } $为观测值中的最小值；$ {Y}_{\max }-{Y}_{\min } $为观测值的极差。

基于上述公式计算得到的二次响应面模型拟合度量结果如表4所示。可知，模型的R²与$ R_{a}^{2} $均在0.99左右，表明该模型具有较高的全局拟合精度，与试验结果一致性良好。同时，RMSE和NRMSE接近0，说明模型预测误差小、预测精度高。综合而言，响应面模型的总体精度满足要求，准确度较高，为后续多目标优化提供了可靠基础。

4 优化结果分析

经过对船舶柴油机曲轴参数进行优化分析后，结果如表5所示。响应面模型算出了曲轴的最优结构参数，但从工程实际出发，曲轴的实际制造需采用标准刀具来降低生产成本，现对最优结构参数进行取整。

取整操作过后，主轴内孔径减少至72 mm，主轴外径减少至192 mm，连杆轴的外径减少至190 mm，主轴颈过渡圆角半径增加到1.9 mm。根据取整数值，重新建立曲轴三维模型，并添加与上述同样的点火顺序和载荷，再次进行仿真计算。

根据仿真分析表明，优化后船舶曲轴抗疲劳性显著提升，如表6所示。从图8可知，曲轴最大等效应力从70.44 MPa下降至63.94 MPa，最大应力减小了12%且分布更加均匀。从图9可知，最大变形量由0.398 mm增加至0.439 mm，材料再分配使变形量轻微增大，变形量在合理范围内。从图10可知，曲轴最小疲劳循环次数从6.9188×10⁹次跃升至9.8028×10⁹次，有效工作时长增加96133.3 h，增幅41.7%。结构疲劳寿命显著提升。该优化通过重新分配材料以改善应力分布，显著提升了曲轴的疲劳寿命并降低了等效应力。

5 结　语

1）本文建立了船舶柴油机曲轴有限元模型，输入船舶柴油机的动态交变载荷，进行等效应力与疲劳特性分析。可知，曲轴的最大等效应力为70.44 MPa，曲轴的最大变形量为0.398 mm。船舶曲轴的疲劳寿命薄弱区主要集在曲轴主轴颈与曲柄臂过渡圆角处，曲轴疲劳寿命最小循环次数为6.9188×10⁹次。

2）为提高船舶柴油机曲轴的疲劳寿命，对等效应力、变形和疲劳寿命为输出进行多目标优化，对曲轴主轴的关键参数进行优化求解，获得了可使等效应力和变形量同步改进的优化方案。优化参数中主轴内孔径和连杆轴颈直径对疲劳寿命和应力的影响显著，具有较高的参考意义。通过响应面模型给出的优化设计方案进行建模再分析，结果表明显著降低了应力峰值，曲轴最大等效应力下降至61.96 MPa，最大应力减小了12%，且分布更加均匀。轴最小疲劳循环次数跃升至9.8028×10⁹次，使船舶曲轴的疲劳寿命提升约41.7%。本文研究工作为船舶曲轴系统的疲劳寿命分析和优化提供了新的手段和方法。