0 引　言

双曲率壳结构是指具有2个主曲率方向的薄壁空间结构，其几何特性赋予了它在承受复杂载荷时的优异性能。这类结构在自然界中广泛存在，如蛋壳、贝壳等生物结构都采用了双曲率形式。与单曲率壳体（如圆柱壳等）相比，双曲率壳在强度和稳定性方面表现更为突出。受此启发，双曲率壳结构在航空航天、深海探测等尖端领域备受青睐。特别是在深海装备方面，随着潜艇等水下作战装备的工作深度不断增加，对耐压壳结构的综合性能提出了更高要求，传统球形和圆柱形壳体已逐渐难以满足需求，而双曲率壳凭借其出色的稳定性和空间利用率，成为该领域的研究热点。

近年来，新型材料（如复合材料、功能梯度材料）的不断涌现、先进制造技术（如3D打印、大曲率壳板加工技术）的快速发展以及仿生设计等理念的引入，为双曲率壳结构的制造和设计提供了全新的路径和方法。同时，计算力学理论和数值模拟技术的进步，也为复杂双曲率壳结构的精确分析提供了有力支持。

本文整理了近十年来双曲率壳结构静力学研究的主要成果，从理论方法、数值模拟、创新材料的应用以及结构设计多个方面进行系统整理，总结现有研究进展，展望未来发展方向，为相关领域的研究提供参考。

1 双曲率壳结构的理论模型 1.1 弯曲理论

双曲率壳弯曲理论研究已形成较为完整的体系，涵盖了从经典薄壳理论（包括薄膜理论）到高阶剪切变形理论等多种计算模型。近年来，随着数值算法的快速发展，双曲率壳理论不断取得新进展，针对各经典理论的改进模型陆续涌现，显著提升了对双曲率壳结构力学行为的预测能力。

1.1.1 薄壳理论

壳体是由2个曲面限定的物体，这2个曲面之间的距离称为壳体厚度。当双曲率壳体的厚度t与中面最小曲率半径R_min相比很小时（t/R_min < 1/20）称为薄壳^[1]。对于壁厚很小的薄壳，经典Donnell薄壳理论能够较好地描述其力学行为。该理论基于Kirchhoff-Love假设，忽略横向剪切变形，且假定壳体变形前后中面上的法线始终垂直于中面。其理论平衡方程为：

$ \left\{\begin{aligned} &\dfrac{\partial {N}_{x}}{\partial x}+\frac{\partial {N}_{xy}}{\partial y}+{p}_{x}=0，\\ &\dfrac{\partial {N}_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {N}_{y}}{\partial y}+{p}_{y}=0，\\ &\dfrac{{\partial }^{2}{M}_{x}}{\partial {x}^{2}}+2\frac{{\partial }^{2}{M}_{xy}}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}{M}_{y}}{\partial {y}^{2}}+\frac{{N}_{x}}{{R}_{x}}+\frac{{N}_{y}}{{R}_{y}}+{p}_{z}=0。\end{aligned} \right.$

(1)

式中：$ {N}_{x}、{N}_{y} $分别为$ x、y $方向的法向薄壳内力；$ {N}_{xy} $为剪切内力；$ {M}_{x}、{M}_{y} $分别为绕$ y $、$ x $轴的弯矩；$ {M}_{xy} $为绕法向轴的扭矩；$ {p}_{x}、{p}_{y} $均为面内载荷（通常可忽略）；$ {p}_{z} $为横向载荷（如压力等）。

在过去针对不同结构的双曲率薄壳，国内外学者基于薄壳理论，做了大量研究，包括椭圆环面^[2]、球-锥组合壳^[3]以及多壳体容器^[4]。

薄膜理论作为薄壳理论的简化分支，也已成功应用于计算各类双曲率薄壳的应力状态。其核心假设是壳体在荷载作用下主要通过薄膜内力（拉压和剪切）抵抗变形，弯曲力矩和扭转力矩可忽略不计。当薄壳结构的几何和边界条件满足无矩假设时，薄膜理论解与薄壳理论解一致。其理论方程如下：

$ 法向平衡\quad \frac{{N}_{\theta }}{{\rho }_{1}}+\frac{{N}_{\phi }}{{\rho }_{2}}=p，$

(2)

$ 切向平衡\quad \frac{\partial }{\partial \phi }\left(N{}_{\phi }\rho {}_{2}\right)-{N}_{\theta }{\rho }_{2}\frac{\cot \phi }{{\rho }_{1}}=0。$

(3)

式中：$ {N}_{\theta }、{N}_{\phi } $分别为经向和环向应力；$ {\rho }_{1}、{\rho }_{2} $分别为环向和经向曲率半径；$ p $为外载荷。

文献[5]基于薄膜理论分析了椭圆环面扁壳的力学行为，文献[6 − 8]基于薄膜理论推导了封闭母线的蛋形耐压壳（见图1）强度载荷公式（如式(4)），文献[9]对非封闭母线双曲率旋转壳承载能力进行了探讨，结果表明相较于圆柱壳，双曲率壳体具有明显的承载优势。

$ {\sigma }_{\phi }=-\frac{P{R}_{2}\left(x\right)}{2t}，$

(4)

$ {\sigma }_{\theta }={\sigma }_{\phi }\left(x\right).\left(2-\frac{{R}_{2}\left(x\right)}{{R}_{1}\left(x\right)}\right) 。$

(5)

式中：$ {\sigma }_{\phi } $为蛋壳经向应力；$ {\sigma }_{\theta } $为蛋壳纬向应力；$ {R}_{1}(x)、{R}_{2}(x) $分别为第一、第二曲率半径，计算公式为：

$ {R}_{1}\left(x\right)=\left| \frac{{\left[1+{\left({R}^{\prime}\left(x\right)\right)}^{2}\right]}^{\frac{3}{2}}}{{R}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right|，$

(6)

$ {R}_{2}\left(x\right)=R\left(x\right)\cdot \sqrt{1+{\left({R}^{\prime}\left(x\right)\right)}^{2}}。$

(7)

式中：$ R\left(x\right) $为蛋形耐压壳母线方程函数，即设蛋形耐压壳母线方程为$ y=R\left(x\right) $。

1.1.2 欧拉—伯努利梁理论

尽管薄膜理论的应用已非常成熟，但在解决封头筒体（耐压壳）时，由于筒体变形受到约束，在端部即容器筒体与封头连接处，会出现较大的弯曲应力，导致局部理论值与实际误差偏大。为解决这一问题，近年来部分学者开展了理论创新。文献[10]借鉴梁的弯曲理论，假设壳体的纵向弯曲行为可通过等效梁模型描述，即将壳体沿纵向划分为多条拱形梁，忽略部分横向剪切变形的影响，将非封闭母线双曲旋转薄壳的二维弯曲问题简化为一维壳带梁模型（见图2～图4），大幅降低了分析复杂度。

壳带的弯曲微分方程为：

$ D{\omega }^{\text{{IV}}}\frac{P{r}_{0}}{2}{\omega }^{\prime\prime}\frac{Et\omega }{{r}^{2}}=P\left(1-\frac{\mu r{}_{0}}{2r}\right)。$

(8)

方程通解为：

$\begin{split} \omega =&{C}_{1}{\mathrm{ch}}{\alpha }_{1}x\cos {\alpha }_{2}x+{C}_{2}{\mathrm{sh}}{\alpha }_{1}x\cos {\alpha }_{2}x+\\ &{C}_{3}{\mathrm{ch}}{\alpha }_{1}x\sin {\alpha }_{2}x+{C}_{4}{\mathrm{sh}}{\alpha }_{1}x\sin {\alpha }_{2}x+\\ &\dfrac{P{r}^{2}}{Et}\left(1-\frac{\mu {r}_{0}}{2r}\right) 。\end{split} $

(9)

式中：$ \omega $为壳带任一点处的位移；$ {r}_{0} $为壳体端部旋转半径；$ r $为任意一点处的曲率半径；$ {C}_{1}\sim {C}_{4} $为待定系数，与边界条件有关；$ D $为抗弯刚度，其表达式见式(10)；$ P $为薄壳所受外压。

$ D=\frac{E{t}^{3}}{12\left(1-{\mu }^{2}\right)} 。$

(10)

式中：$ t $为壳体厚度；$ E $为材料的弹性模量；$ \mu $为泊松比。

1.1.3 一阶剪切变形理论

随着海洋工程、航空航天工程、建筑工程等领域不断发展，大量复合材料层合壳以及厚壳结构在工程实践中得到广泛应用。对于层合壳体，其层间剪切模量较低，剪切变形不可忽略；另外当双曲率壳体为进入厚壳阶段时（厚径比$ t/{R}_{\min } \gt 1/20 $），横向剪切变形也不可忽视。经典薄壳理论无法准确描述剪切变形效应，因此需要更精确的理论计算模型。Hildebrand等^[11]和Reissner^[12]率先提出一阶剪切变形理论（First-order Shear Deformation Theory, FSDT），该理论考虑了横向剪切应力的影响，克服了薄壳理论的局限性。在这类壳理论中，沿壳厚度方向的剪应力被视为恒定值。其位移场理论如下：

$ \begin{cases} u\left(x,y,z\right)={u}_{0}\left(x,y\right)+z{\phi }_{x}\left(x,y\right)，\\ v\left(x,y,z\right)={v}_{0}\left(x,y\right)+z{\phi }_{y}\left(x,y\right)，\\ w\left(x,y,z\right)={w}_{0}\left(x,y\right)。\\ \end{cases} $

(11)

式中：$ {u}_{0}、{v}_{0}、{w}_{0} $均为中面位移；$ {\phi }_{x}、{\phi }_{y} $为截面绕$ y $轴和$ x $轴的旋转角度。

横向剪切应变为：

$ {\gamma }_{xz}={\phi }_{x}+\frac{\partial {w}_{0}}{\partial x}\text{，}{\gamma }_{yz}={\phi }_{y}+\frac{\partial {w}_{0}}{\partial y}。$

(12)

文献[13-14]使用FSDT研究了石墨烯增强的功能梯度板和圆柱壳的静态和自由振动行为。文献[15]利用FSDT对功能梯度壳进行了静力、振动和屈曲分析。文献[16]使用FSDT分析了功能梯度圆柱壳和球壳的静态和自由振动行为。虽然一阶剪切变形理论可以预测横向剪力，但其假定在整个板厚上横向剪应力恒定变化，需要引入剪切修正系数来解决这一问题，如Reissner给出的修正系数为5/6，文献[17]则提出一种更为合理的方法，通过引入函数：$ g\left(z\right)=1.25-5{z}^{2}/{h}^{2} $替代剪切修正系数，使横向剪切应力呈抛物线分布，精确预测了功能梯度壳厚度方向的剪应力分布，提高理论精度。

1.1.4 高阶剪切变形理论

由于一阶剪切变形理论横向剪切应变被假设为常数，忽略了实际中剪切应变沿厚度方向呈抛物线分布（上下表面剪切应力为0，中心层剪切应力最大），导致剪应力在板上下表面不为0（与实际边界条件矛盾）；尽管引入了剪切修正因子调整结果，但仍然无法自然满足上下表面剪切应力为0的边界条件。为克服一阶剪切变形理论缺陷，Reddy等^[18]率先提出高阶剪切变形理论（High-order Shear Deformation Theory, HSDT），它无需引入剪切修正因子，并严格满足边界条件。其理论位移场为：

$\left\{ \begin{split} & u\left(x,y,z\right)={u}_{0}\left(x,y\right)+z{\phi }_{x}\left(x,y\right)-\dfrac{4{z}^{3}}{3{h}^{2}}\left({\phi }_{x}+\dfrac{\partial {\omega }_{0}}{\partial x}\right)，\\ & v\left(x,y,z\right)={v}_{0}\left(x,y\right)+z{\phi }_{y}\left(x,y\right)-\dfrac{4{z}^{3}}{3{h}^{2}}\left({\phi }_{y}+\dfrac{\partial {\omega }_{0}}{\partial y}\right)，\\ & w\left(x,y,z\right)={w}_{0}\left(x,y\right)。\end{split} \right.$

(13)

式中：$ {u}_{0}、{v}_{0}、{w}_{0} $均为中面位移；$ {\phi }_{x}、{\phi }_{y} $为横向剪切转角；$ h $为结构厚度。

近年来，高阶剪切变形理论逐渐成为中厚度双曲率壳研究的主流理论。文献[19-20]基于高阶剪切变形理论的模型分析复合材料和夹层双曲率壳的弯曲行为，通过引入更高阶的位移场函数，精确预测了厚度方向的剪切应变分布，避免了一阶剪切变形理论需要剪切修正因子的缺陷。研究表明，对于a/h=5的中等厚度壳，HSDT模型预测结果与三维弹性解的误差小于3%，一阶剪切变形理论误差高达15%。文献[21]采用基于虚功原理的高阶剪切变形理论研究了石墨烯折纸增强双曲率壳体的弯曲性能，为新型复合材料壳体的力学分析提供理论框架。

随着对双曲率壳研究的持续不断深入，为了更好地描述中厚度以上的双曲率壳的力学行为，学者们开始对HSDT进行改进。文献[22]将HSDT应用于中等厚度双曲抛物面层合壳的静力和自由振动分析，提出了考虑厚度与曲率半径比（$ h/R $）效应的改进模型。该模型通过引入曲率修正项，显著提高了厚壳分析的精度。数值模拟结果显示，当$ h/R \gt 1/20 $时，改进的HSDT模型比经典HSDT的预测精度提高12%。文献[23]发展了改进的高阶锯齿理论（MHOZT），通过结合高阶位移运动学和局部锯齿线性变化场，有效处理了层合界面处的应力不连续问题，该理论能够准确预测层合复合壳和夹层壳的固有频率。文献[24]基于高阶剪切变形理论建立了双曲层合复合板的分析模型，通过广义微分求积方法求解，系统研究了曲率纤维路径对应力分布的影响。研究发现，纤维沿曲率路径排列可使最大应力降低18%～25%。文献[25]提出了新型基于五变量位移场的二维和准三维HSDT位移场模型，通过引入三角-指数混合函数能更好地描述剪切应变在壳厚度方向上的分布。

1.2 稳定性研究

稳定性是壳体设计的重要指标，直接影响结构的安全性。在海洋工程领域，稳定性对深潜器耐压壳至关重要，它确保壳体在深海极端高压环境下不发生屈曲或垮塌，从而维持结构完整性和安全性。目前从检索的文献看，对双曲率壳稳定性的分析大多采用解析法和数值法相结合的方式。

在线弹性稳定性研究方面，已有的研究表明双曲率薄壳的临界屈曲载荷显著受几何形状、材料属性、厚度比以及初始缺陷等多种因素的综合影响。以蛋形耐压壳为例，文献[6,26]的研究表明，相较于传统球形耐压壳，蛋形耐压壳具有更低的缺陷敏感性和更高的空间利用率，其屈曲载荷与形状参数（如蛋形系数）密切相关。并基于Mushtri方程，结合式(4)推导了关于蛋形耐压壳的局部失稳载荷公式：

$ {p}_{cr}=\frac{2E{t}^{2}}{\left(2\overline{{R}_{1}}-\overline{{R}_{2}}\right)\overline{{R}_{2}}}\sqrt{\frac{1}{3\left(1-{\mu }^{2}\right)}}。$

(14)

式中：$ t $为壳体厚度；$ E $为材料的弹性模量；$ \mu $为泊松比。考虑到蛋形耐压壳失稳形式一般为局部失稳，因此式中，$ \overline{{R}_{1}}、\overline{{R}_{2}} $分别为局部区域内的第一、第二曲率半径平均值，其计算公式如下：

$ \overline{{R}_{1}}=\frac{1}{2a}\int _{-a}^{a}{R}_{1}{\mathrm{d}}x，$

(15)

$ \overline{{R}_{2}}=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}{R}_{2}{\mathrm{d}}x。$

(16)

式中：$ a $为蛋形耐压壳长半轴。

对于波纹壳体，文献[27-28]指出，通过在扁球壳^[27]、圆柱壳^[28]纵向加入藕节形结构，能够显著提高其屈曲载荷，但为避免应力集中，需对波纹深度和形状进行优化。此外，对于复合材料双曲率壳，其屈曲行为受铺层方式、纤维路径及层间应力等因素影响，采用高阶剪切变形理论和渐进损伤模型，可更准确地预测其屈曲模式，相关研究成果见文献[29-30]。

在非线性稳定性研究方面，文献[31]采用伽辽金方法建立控制方程，并结合弧长法和二次控制法确定后屈曲行为。研究结果显示，初始缺陷的幅值对非线性载荷-位移曲线的早期阶段有较大影响，但随着载荷增加，其影响逐渐减小。文献[32]基于Donnell薄壳理论，结合几何非线性和初始缺陷，详细分析了波纹球壳的屈曲和后屈曲行为，发现边缘波纹设计可使临界载荷提高约100%，但后屈曲阶段呈现跳跃失稳特征。

1.3 数值方法研究

解析法能为结构性能提供有用见解，非常适合进行参数研究，但其缺点是难以处理复杂或高维的问题。数值方法虽然不像解析那样便于进行同等程度的参数控制，但在处理复杂情况时更为灵活，在评估屈曲性能和非线性效应等方面特别有用。随着计算力学的发展，数值方法已成为双曲率壳研究不可或缺的手段。有限元法（Finite Element Method, FEM）作为主流数值手段，近年来在双曲率壳的研究中发展出多种改进模型，它极大地拓展了双曲率壳结构分析的边界。文献[17]基于改进的一阶剪切变形理论，提出一种八节点四边形等参元模型，在功能梯度双曲率扁壳分析中表现出色，位移预测误差小于3%。文献[33]提出一种基于高阶剪切变形理论的混合Trefftz有限元模型，通过Trefftz函数（齐次控制方程的精确解）描述单元内部位移场，无需满足边界条件的特解，且支持多边形网格，避免了传统有限元法对规则网格的依赖和网格畸变问题。而样条函数法（包括样条有限点法和样条有限元法）在处理多跨双曲拱等复杂结构时，相比传统有限元法（FEM）具有更高的计算效率和精度^[34]。在非线性屈曲研究方面，文献[31]采用的弧长法（Riks方法）与改进的Newton-Raphson算法的结合，提升了对双曲率壳后屈曲位移的预测精度。

此外，优化算法与数值模拟的结合同样推动了双曲率壳的研究。多岛遗传算法和非支配排序遗传算法等算法，与有限元软件（如ABAQUS）的集成，实现了复合材料双曲率壳的多目标优化^[30]。文献[35]采用的目标驱动优化方法，以浮力变化最小为目标函数。优化后的铝合金、钛合金和碳纤维壳体，相应体积变化量分别下降15.88%、20.17%和10%，显著提高了滑翔机的控制精度和航程。

综上所述，弯曲理论方面，从经典薄壳理论、薄膜理论到高阶剪切变形理论（HSDT），通过将包含曲率参数的几何关系代入应变-位移关系，再结合本构关系以及平衡方程方程，进而求得壳体中面位移和转角，且模型的精确度逐步提升。改进的HSDT模型（如曲率修正、锯齿理论）将中厚壳分析误差大幅降低，而欧拉-伯努利梁模型也简化了非封闭母线双曲率薄壳的二维弯曲问题。稳定性研究方面，目前双曲率壳稳定性理论较少，数值法运用较多。从检索的文献看，仅有式(14)这一项理论公式，伴随着深海装备逐步向大潜深迈进，对于耐压壳稳定性的研究愈发重要，而双曲率壳兼具优异的力学性能和空间利用率，因此未来需要对双曲率耐压壳稳定性理论进一步深入研究。

2 材料创新与复合材料应用

双曲率壳结构的力学性能在一定程度上取决于材料特性，传统金属材料由于在强度、轻量化等方面已接近物理极限，其应用受到明显制约。近年来，功能梯度材料（Functional Gradient Material, FGM）、石墨烯增强材料以及碳纤维增强聚合物（Carbon Fiber Reinfroced Polymer, CFRP）等新型材料凭借其高强度和轻质等优点，在壳体应用中展现出独特优势。

功能梯度材料通过成分的梯度变化能有效缓解层间应力集中问题，在双曲率壳体应用中表现出卓越的力学性能。文献[17]对功能梯度双曲扁壳的静态弯曲响应进行了精确分析，采用改进的有限元剪切模型研究了Al/ZrO₂材料体系的力学行为。结果表明，FGM壳的应力过渡极为平滑，最大应力比传统层合结构降低25%～30%，且不存在界面剥离风险。文献[25]进一步考虑了弹性地基对FGM双曲率壳的影响，发现几何参数对FGM壳体的静态响应影响显著，应力、位移与长厚比成正比，Pasternak参数对固有频率的影响比Winkler参数更为显著。

石墨烯材料的出现为双曲率壳性能提升提供了新途径。文献[21]系统研究了不同石墨烯含量、折叠程度和热载荷对铜基体双曲壳的结构性能的影响，结果表明，石墨烯折纸的加入显著提高了铜基体的力学性能，尤其是在提高结构刚度和降低热膨胀系数方面效果显著。文献[36]进一步探索了石墨烯折纸超材料双曲壳中的弹性波传播，分析了波数、石墨烯折纸分布、含量、折叠度等多种因素对波传播特性的影响。

碳纤维增强聚合物（CFRP）在双曲率壳的研究中也取得了重要进展。文献[37]对CFRP增强圆柱壳进行了参数化研究，环向和纵向加固均有效提升屈曲压力，环向加固更优，尤其环向加固圆柱壳中部、纤维角度0°时效果最佳，且增加CFRP厚度可进一步提高屈曲压力、减小变形。文献[38]专门研究了CFRP增强周向内波纹耐压壳（见图5），通过（±40°₂/±55°₂/±70°₂/90°₂）的铺层方案实现应力均匀分布，在同等重量下承载能力提高26.26%，同等强度下重量减轻13.58%。文献[39]针对中等厚度碳纤维蛋形耐压壳（见图6）的结构失效展开理论与试验研究，通过解析法与有限元法计算器在2 000 m水深下的应力分布，结合静水外压破坏实验，获得极限载荷、破坏形态及应变。结果显示，该耐压壳在静水压下主要发生强度破坏，屈曲破坏不明显。

目前，复合材料在双曲率壳中的应用方面，国内外的学者所做的研究主要是针对航空航天、汽车和土木工程等领域，以实现轻量化和高性能的结构设计。而在深海耐压壳领域，复合材料的应用仍集中于圆柱壳上，在双曲率耐压壳的研究上很少。

3 双曲率壳结构设计

双曲率壳结构的创新设计在过去十年取得了显著进展，研究人员通过仿生学启发、多段组合以及特殊构型设计等手段，开发出一系列具有卓越性能的新型结构。这些设计创新不仅大幅提升了壳体的承载能力和稳定性，还在空间利用率、流体性能等多方面实现了改善。

3.1 仿生结构

在海洋工程领域，近几年耐压壳体的研究突破了传统球形和圆柱形的局限，以自然界中的生物壳体为参考，发展出多种仿生几何构型。蛋形壳体设计是近年来最成功的仿生应用之一，文献[6-7]通过对鹅蛋壳的生物学特性研究发现，天然鹅蛋的蛋形系数符合均值为0.69的正态分布，据此优化的蛋形耐压壳在强度、稳定性和空间利用率方面均优于传统圆柱壳，蛋壳在均布外载下表现出极高的抗压强度。文献[26]首次提出将蛋形结构（见图7）应用于深海耐压壳设计，通过理论分析和数值模拟证明，蛋形耐压壳在强度、浮力储备和空间效率等方面均优于传统球形耐压壳，且蛋壳对几何缺陷不敏感。文献[8-40]对蛋形耐压壳进行了系列优化研究，确定了不同外载荷范围内的最优参数组合。文献[41]的试验表明，蛋形封头承载能力可达等质量半球形的80%，且制造工艺更简单。

除蛋形结构外，研究人员还探索了其他生物启发的双曲率壳设计。水滴形壳体是另一类受启发的创新设计, 文献[42]基于Nystrom公式拟合真实水滴轮廓（见图8），利用Mushtari公式计算临界屈曲载荷，研究发现当形状系数小于1.2时，临界屈曲载荷变化小；大于1.2时，临界屈曲载荷呈非线性下降。文献[43]提出以干桂圆为原型的桂圆形耐压壳（见图9），研究发现当形状系数k=0.10～0.11时，桂圆形壳弹塑性屈曲载荷高于球形壳约4%，且对初始缺陷不敏感。文献[44]研究了龟型耐压壳的设计及屈曲行为。通过优选壳体函数，设计出由椭球壳与球壳结合的龟型耐压壳结构，基于等屈曲原则进行变厚设计，通过数值法屈曲分析，发现龟型耐压壳的中间部位及上下两侧为薄弱区域。文献[45]开展了对分段螺旋环壳（见图10）的屈曲特性研究，发现随着段数增加，屈曲载荷初始快速下降，5段后趋稳，且失稳模式为局部凹陷。

3.2 变曲率与波纹结构

变曲率壳体（见图11），即壳体在经线方向曲率不断变化。相较于圆柱壳，变曲率壳体不仅具有更低的应力集中，还能显著提高屈曲载荷。文献[9,46]研究显示，变曲率壳体的最大应力比圆柱形壳体低11.5%，屈曲载荷提高29.3%，承载能力更高。在此基础上，文献[47]进一步研究了变曲率加筋壳体，发现在保持相同的空间利用率前提下，变曲率加筋壳体承载能力比传统圆柱形加筋壳体提高26.7%。文献[48]将液压胀形成型技术作用于圆柱壳上，制作变曲率膨胀桶结构，发现曲率增大能显著提高胀形桶体的外压承载能力。

近年来，波纹结构^{[28- 49]}（见图12）也受到广泛关注，其中文献[49]设计了波纹截面环形耐压壳，研究显示波纹数增加可使屈曲载荷持续提升，但超过12个后增益趋缓。文献[28]研究了周向波纹圆柱壳的屈曲行为，发现波纹形状对性能影响显著。三角形波纹壳的屈曲载荷最高，圆形次之，正弦波纹最低。文献[38]进一步研究了CFRP（碳纤维增强复合材料）周向内波纹圆柱壳，其抗屈曲性能进一步提升。

3.3 多段组合与交接结构

多段组合与交接结构是深海耐压壳设计的另一个重要方向，通过平衡力学性能、制造可行性与环境适应性，为深海装备的可靠性、经济性和功能性提供了关键技术支持。文献[50]表明，16段多柱分段环壳的屈曲性能已接近连续环壳，且制造难度显著降低。文献[51]设计了两段柱形壳结合体（见图13），并研究其屈曲性能，发现此结构存在阈值效应，即肋环厚度增加时，屈曲载荷近似线性增加，但达到一定厚度后不再增加。文献[52]提出的多蛋形交接耐压壳通过“变形协调”理念，解决了交接处应力集中问题，继承了单蛋壳90%以上的耐压特性。锥-环-柱组合壳^{[53 − 56]}与球-锥-环组合壳^[57]（见图14）也是潜艇耐压壳设计的经典方案，其本质是在连接处作平滑的几何过渡设计，将集中应力分散到更大区域，避免连接处的应力突变，提高结构强度与疲劳性能。

3.4 特殊构型与新型设计

除上述结构外，研究人员还设计出一些特殊的双曲率壳结构。文献[58]分析了形状指数对均匀外压下卡西尼椭圆壳弹性屈曲的影响，发现形状指数k_c=0.1的卡西尼椭圆形几何形状表现出高承载能力。文献[59]分析了一种独特的clothoidal-spherical壳体（见图15），其母线由clothoid曲线和圆弧组成，研究发现当形状接近球形时，临界屈曲载荷显著增加。文献[60]基于Booth曲线（见图16）设计了新型旋转壳体，与传统圆柱形和球形壳体相比，该结构在强度和稳定性方面表现出色。文献[26-32]受罗马建筑Flaminio圆顶的启发设计了一种正高斯曲率波纹球壳，相较于单一圆顶壳，波纹壳体在屈曲性能上有显著提升。

在双曲率壳的结构设计方面，多数研究都是在寻求双曲率壳不同外形的数学模型，进而研究其力学性能。但现阶段检索的文献中，双曲率壳的母线许多是闭合的，即起始于旋转轴，也终止于旋转轴，这样的壳体（如蛋壳）在实际应用中，特别是在潜艇耐压壳领域存在一定困难，而非封闭母线的双曲率壳较少。

4 结　语

双曲率壳结构因其优异的力学性能与空间利用率，在深海耐压壳领域展现出巨大潜力。通过梳理当前研究现状，可知：双曲率壳的弯曲理论已非常丰富，涵盖从经典薄壳理论、薄膜理论到高阶剪切变形理论（HSDT），以及欧拉—伯努利梁理论。数值法近年来在双曲率壳的研究中发展出多种改进模型，为双曲率壳结构的分析提供极大帮助。但双曲率壳的稳定性理论仍为匮乏，多数稳定性研究是依靠数值法完成的；复合材料在双曲率壳的应用方面，多数集中在航空航天领域，目的是为了结构的轻量化设计，而在深海耐压壳领域较少；结构设计方面，封闭母线的双曲率壳种类丰富多样，既有蛋壳、水滴壳等仿生设计，也有基于clothoid曲线和Booth曲线的特殊构型壳体，但这些壳体的母线都是闭合的，而非封闭母线的双曲率壳研究较少。综合分析当前双曲率壳的静力学性能的研究，未来可在以下方面进一步深入研究：

1）深海装备领域，可聚焦于双曲率耐压壳稳定性理论，可将双曲率薄壳纵向细分为多条拱形梁，借助欧拉—伯努利梁理论，研究其稳定性理论。

2）进一步探究复合材料对双曲率耐压壳性能的影响，目前复合材料在双曲率耐压壳的应用较少。

3）考虑到耐压壳结构设计应用的可行性，未来研究需要进一步加强对非封闭母线的双曲旋转壳研究。将双曲率旋转壳母线数学表达式作为切入点，开展不同函数（如圆锥曲线、三角函数等）所对应母线下的双曲率壳的力学行为研究。