0 引　言

集装箱运输作为国际海运的核心，其航线优化直接关乎运输成本、效率与服务质量^[1]。集装箱船舶航线优化是集装箱运输领域的关键环节，它直接关系到运输成本、运输效率和服务质量。合理的航线规划能够在满足客户需求的前提下，充分降低船舶运营成本，提升航运企业的市场竞争力。同时，优化后的航线还能减少能源消耗和环境污染，符合可持续发展的要求。

李振福等^[2]提出考虑自愿速度损失和货主满意度的航线优化算法，动态油耗模型和风险-速度权衡模型，结合货主满意度构建多目标优化模型，采用启发式算法求解模型。该方法研究过程中存在指标冲突问题，即提高准时率可能增加航速，导致燃油成本上升而减少货损率可能要求更保守的航线，延长航行时间。黄国良等^[3]提出基于改进蚁群算法的航线优化算法，将港口、航线、运输成本等要素抽象为图结构，将不同航线设定成边，选取蚁群算法设定各个边的初始信息素浓度，每只蚂蚁根据信息素浓度和启发式函数选择下一港口，构建完整航线。该算法中蚁群算法依赖信息素积累，初期蚂蚁的搜索路径具有较大随机性，导致收敛缓慢，实时性难以保证。任晓玲等^[4]提出基于混合自适应布谷鸟算法的航线优化算法，将港口、航线、运输成本（燃油费、港口费）、时间窗等要素抽象为带权图，表示航线网络。采用布谷鸟算法随机生成n个初始解，每个解代表一条候选航线，采用动态发现概率调整与自适应步长控制优化布谷鸟算法增强其全局探索能力，通过地图展示求解所得最优航线。该算法的实现基于稳定的需求假设，难以适应需求波动的情况，导致在实际运营中可能出现船舶运力过剩或不足、货物积压或延误等问题，增加了运输成本，降低了客户满意度。叶嘉宁等^[5]提出面向导航服务的航线优化算法，采集气象、船舶性能、海图、实时交通等多源数据，以最短时间、最低油耗为优化目标构建数学模型，采用人工神经网络算法优化算法在构建的模型中搜索最优或近似最优的航行路径。航线优化算法在面对异常数据或不确定环境时的适应能力不足。例如，在遇到港口需求波动时，算法可能无法及时调整航行路径以保障效率和经济性。

然而，上述研究多基于稳定需求假设，难以有效应对实际运营中复杂多变的需求波动。因此，本文研究面向波动需求的集装箱船舶航线双层优化算法。

1 集装箱船舶航线优化算法 1.1 航段货运量与港口集装箱需求量

考虑集装箱船舶在航线$ h $上挂靠的港口顺序是已知的^[6]，如果集装箱船舶在航线上不同港口均只挂靠1次，其航线结构如图1所示。

图1内方框中的港口在航线的两端，港口间不存在货物流通，若A、B两端港口的数量分别为$ {n}_{1f} $个和$ {n}_{2f} $个，那么集装箱船舶航线上的港口数量可通过$ {n}_{1f}+{n}_{2f} $表示，由此可利用式(1)描述集装箱船舶航线$ f $的不同航段货运量与港口对之间需求量的相关性：

${ V_{f}^{k}=\left\{\begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j={n}_{1f}+1}^{{n}_{1f}+{n}_{2f}}z_{f}^{ij}+\sum\limits_{i={n}_{1f}+1}^{{n}_{1f}+{n}_{2f}}\sum\limits_{j=1}^{{n}_{1f}}z_{f}^{ij},k=1,2,\cdots ,{n}_{1f}-1，\\ &\sum\limits_{i=1}^{{n}_{1f}}\sum\limits_{j=1}^{{n}_{1f}+{n}_{2f}}z_{f}^{ij}, k={n}_{1f}，\\ &\sum\limits_{i=1}^{{n}_{{{}_{1f}}}}\sum\limits_{j=k+1}^{{n}_{1f}+{n}_{2f}}z_{f}^{ij}+\sum\limits_{i={n}_{1f}+1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{{n}_{1f}}z_{f}^{ij},k={n}_{1f}+1,\cdots ,{n}_{1f}+{n}_{2f}-1，\\ &\sum\limits_{i={n}_{1f}+1}^{{n}_{1f}+{n}_{2f}}\sum\limits_{j=1}^{{n}_{1f}}z_{f}^{ij}, k={n}_{1f}+{n}_{2f}。\end{aligned} \right.}$

(1)

在已知货运量$ V_{r}^{k} $的条件下，通过式(1)能够确定集装箱需求量$ z_{f}^{ij} $，其中$ k $为航线$ f $内的航段数量。

1.2 航线优化模型构建

在上述航段货运量与港口集装箱需求量分析的基础上，建立集装箱船舶航线优化采用双层模型^[7]，下层模型确定航线收益，上层模型依照航线收益选取航线。

上层模型的目标函数为：

$ \max S=\sum\limits_{f\in N}{\rho }_{f}\times {r}_{f}。$

(2)

式中：$ N $和$ {\rho }_{f} $分别为全部可行集装箱船舶航线集合和取值为0或1的整数，如果航线$ f\in N $被选中，那么$ {\rho }_{f} $取值为1，相反取值为0；$ {r}_{f} $为航线$ f $的航线收益，可通过下层模型确定。

上层模型的约束条件为：

$ \sum\limits_{f\in N}{\rho }_{f}=1 。$

(3)

通过式(3)能够保障航线优化仅获取一个最优结果。

下层模型的目标函数为：

$ {\begin{split}&\max {r}_{f}=\sum\limits_{i\in {M}_{f}}\sum\limits_{j\in {M}_{f}}\left[({P}_{1ij}-{e}_{1fij})\times {x}_{1fij}-{e}_{2fij}\times {x}_{2fij}\right]\times B-{\theta }_{Gf}。\end{split}}$

(4)

式中：$ {M}_{f} $和$ {P}_{1ij} $分别为集装箱船舶航线$ f $内全部港口集合和港口$ i $至港口$ j $的海运费率；$ {e}_{1fij} $和$ {x}_{1fij} $分别为$ f $内航运企业所需支付的重箱装卸费和港口$ i $至港口$ j $的重箱运量；$ {e}_{2fij} $和$ {x}_{2fij} $分别为$ f $内航运企业所需支付的空箱装卸费和港口$ i $至港口$ j $的空箱运量；$ {e}_{2fij} $和$ {\theta }_{Gf} $分别为集装箱船舶班期频率和航线$ f $的运输成本。

下层模型的运输成本约束为：

$ \sum\limits_{i\in P}\sum\limits_{j\in P}{u}_{ij}{\delta }_{ij}V_{f}^{k} \lt 1.5{\theta }_{v}。$

(5)

式中：$ {u}_{ij} $和$ {\delta }_{ij} $分别为从港口$ i $到港口$ j $的运输费和距离；$ {\theta }_{v} $分别为客户所能接受的运输费用。

航运时间的约束为低于客户要求的送达时间：

$ {T}_{1} \lt \sum\limits_{i\in P}\sum\limits_{j\in P}{t}_{ij}+\sum\limits_{i\in P}\sum\limits_{l\in M}{t}_{il}V_{f}^{k} \lt {T}_{2} 。$

(6)

式中：$T_1$、$ {T}_{2} $和$ {t}_{il} $分别为客户设定的货物最早到达时间、最晚到达时间和从港口$ i $到港口$ j $的航行时间；$ {t}_{il} $为从港口$ i $到港口$ l $的中转航行时间。

集装箱船舶在各航段的载货能力约束^[8]考虑集装箱需求，公式描述为：

$ {x}_{ij}=z_{f}^{ij}\forall {x}_{ij}\geqslant z_{f}^{ij}。$

(7)

式中：$ {x}_{ij} $为集装箱船舶在挂靠港口$ i $至港口$ j $之间的重箱舱位分配变量。

腹地货运量的约束考虑集装箱需求：

$ \sum\limits_{i\in {M}_{k}}{o}_{sij}=z_{f}^{ij}。$

(8)

式中：$ {o}_{sij} $分别为由港口$ i $运往港口$ j $的腹地需求。

若港口$ i $对从城市$ s $至港口$ j $的腹地运输需求的服务水平函数可通过$ {g}_{i(s,{j})}\left(\cdot \right) $表示，则

$ {g}_{i(s,\mathrm{j})}\left(z_{f}^{ij}+{x}_{1kij}\right)=\frac{x_{1kij}^{{\alpha }_{2}}}{{\left({{P}_{1ij}}+{{P}_{2si}}\right)}^{{{\alpha }_{1}}}\cdot {\left({{\alpha }_{3}}+{z_{f}^{ij}}\right)}^{{{\alpha }_{2}}}}。$

(9)

式中：$ {P}_{2si} $和$ {\alpha }_{1} $、$ {\alpha }_{2} $、$ {\alpha }_{3} $分别为内陆城市$ s $至港口$ i $的运费率和非负参数。

求解上述优化模型即可实现考虑波动需求的集装箱船舶航线优化目的。

2 实验结果与分析 2.1 实验环境

为验证本文算法的实际性能，选取某航运企业内运营状态下的3条集装箱船舶航线为研究对象，表1所示为研究对象基本信息。

实验研究时间为1年，根据货运量的波动性可分为三个时段，分别是：1）市场淡季（5月～8月）；2）市场旺季（9月～12月）；3）市场淡、旺季过度期（1月～4月）。且为确保对比的公平性与可复现性，所有对比算法均在与本文算法相同的实验数据与约束条件下运行，并采用经过调优的参数设置。其中所有算法均使用表1所示的相同四条航线基础数据及相同的年度需求波动分段。对比算法在优化过程中，施加与本文模型相同的核心约束条件，这确保了所有算法都在解决同一优化问题。各算法得出的航线方案，其航程、时间、成本及收益均依据本文第2.2节定义的统一公式进行计算，避免了因评价指标不同带来的偏差。

2.2 波动需求计算

针对航线1中的部分港口，采用本文算法计算各港口不同货运量条件下的集装箱需求量，结果如图2所示。

分析可知，在市场淡季（货运量较低）的条件下，本文算法的需求量计算误差基本控制在2%以内，说明货运量较低时，本文算法的集装箱需求计算误差较低。随着货运量的提升，需求计算误差呈现出逐渐提升的趋势：在市场淡、旺季过度期的条件下，集装箱需求误差小幅提升，控制在3%以内；在市场淡季（货运量较高）的条件下，本文算法的集装箱需求计算误差控制在5%以内，这表明本文算法通过“航段货运量反推港口对集装箱需求量”的数学逻辑具备较高精度。

2.3 航线优化结果

采用本文算法对波动需求下的航线4进行优化，优化过程中先后产生2个优化结果，分别是前5次迭代计算所得的航线优化方案与最终所得的航线优化方案，如图3所示。

图3中前5次迭代计算所得的航线优化方案与最终所得的航线优化方案对比结果如表2所示。

分析可知，相较于前5次迭代计算所得的航线优化方案，最终航线优化方案的收益与运营成本分别降低0.80%和2.98%，由此导致航线收益提升0.32%，这表明最终航线优化方案不仅能够降低客户运费支出，还能够提升航运企业的收益，令客户与航运企业之间达到双赢状态。与此同时，腹地需求的运输成本降低0.92%，单位集装箱运力收益与运输成本分别提升1.07%和下降0.67%，这主要是因为航运企业针对腹地的需求波动优化了航线，从而显著降低了集装箱船舶的运输成本。以上结论充分表明，本文方法所得的最终航线优化方案能有效应对腹地需求波动，提升航线运输效率与收益。

为检验本文模型对突发性需求波动，在航线4的基准数据上，设计一个突发场景：假设在原本的市场旺季（9月～12月）中，因突发情况导致“新加坡—鹿特丹”航段的需求在11月骤然提升至正常旺季水平的150%，同时“香港—高雄”航段需求下降至正常水平的70%。将此突变后的需求数据输入本文构建的双层优化模型进行重新求解。模型快速输出了调整后的优化方案。与原旺季优化方案相比，新方案主要变化为：适度减少了需求萎缩航段的船舶舱位分配，并将部分运力动态调配至需求激增的“新加坡—鹿特丹”航段。关键指标对比如表3所示。

分析可知，在面对突发性需求波动时，本文模型能够在1 min内响应并生成新的优化方案。新方案在需求激增航段保持了98.5%的极高需求满足率，同时通过动态资源调配，使船舶舱位利用率提升了2.2%。尽管总收益因部分航段需求下降而微降0.48%，但模型有效抑制了收益的急剧下滑，展现了出色的鲁棒性与运营韧性。这证明本文模型不仅适用于规律性的季节波动，其内置的波动需求约束与收益最大化机制，使其具备应对短期、剧烈需求突变的潜力。

2.4 优化性能对比

以文献[3]基于改进蚁群算法的航线优化算法和文献[4]基于混合自适应布谷鸟算法的航线优化算法对对比算法，对比本文算法和对比算法针对不同航线的优化性能，结果如表4所示。

分析可知，本文算法与2种对比算法相比，能够有效降低不同航线中的航程，降低航行时间与航行成本，由此提升不同航行的航线收益。其性能优势不仅体现在单一航线，在4条不同需求特征的航线中保持稳定，证明该算法能够适配实际海运中复杂的波动需求场景，为航运企业提供兼具 “时效性、经济性、收益性” 的航线优化方案，更具实际运营推广价值。

3 结　语

本文围绕考虑波动需求的集装箱船舶航线优化算法展开深入研究，提出“航段货运量反推港口对集装箱需求量”数学逻辑，在不同需求波动时段均展现出较高精度，误差控制在5%以内。以上层模型选取最优航线、下层模型计算航线收益为核心逻辑，构建双层航线优化模型实现了航线收益与需求的精准匹配，显著降低了不同航线的航行时间与成本等，充分体现了模型在经济效率与服务质量平衡上的优越性。