0 引　言

随着世界各国对海洋装备在军用、民用领域的发展愈加重视，水面无人艇（Unmanned Surface Vehicle，USV）因其灵活性、低风险和高效性成为海洋领域的重要装备^[1]。USV在海洋无人作战、岛礁警戒巡逻、人员运输投放、水面目标检测等任务中扮演着不可替代的作用^[2]。轨迹跟踪控制属于USV的运动控制系统，在不同的任务需求中，精确的轨迹跟踪控制是其执行任务并自主作业的第一步^[3]。然而，由于海洋复杂多变的环境以及任务的时效性，USV往往需要于未知海况下在某一规定时刻内沿期望轨迹到达目标地点并执行任务，这使其进行精准的跟踪控制充满了困难与挑战^[4]。

在工程实践中，为确保USV的航行安全，将系统的瞬态性能和稳态性能、模型的不确定性以及外部未知干扰同时考虑到控制器设计中非常重要，应用预设性能控制（Prescribed Performance Control，PPC）可以将其的位置速度误差保持在预设界限范围内^{[5 - 6]}。Fu等^[7]应用一种一阶积分滑模控制和预设性能技术进行USV轨迹跟踪控制，选取了经典的指数性能函数和误差转换函数，控制跟踪误差渐进收敛；Qu等^[8]采用一阶微分滑模控制和预设性能技术进行USV集群分布式包含控制器设计，通过使用干扰观测器估计外部干扰。Shen等^[9]提出一种鲁棒自适应预设性能动态面控制方案，采用一个简单的非对数函数来保证跟踪误差收敛，并设计改进的非线性干扰观测器来估计未知的环境干扰；在此之上，其又提出一种改进的预设性能全状态约束动态表面控制方案，设计了一种具有预设性能的非对称式障碍李雅普诺夫函数，同时利用RBF神经网络逼近模型不确定性，并对逼近误差和未知非线性扰动的边界进行自适应估计^[10]。上述使用预设性能控制的方法实现了系统的渐进稳定，然而，由于任务的时效性，往往需要USV在一定时间内达到期望状态。

为进一步提高USV的控制性能，Lin等^[11]针对欠驱动USV集群跟踪控制问题，提出了有限时间稳定性理论的预设性能控制方案，使跟踪误差在有限时间内收敛。Nie等^[12]通过结合预设性能控制和固定时间状态扩张观测器，提高了形成误差的收敛速度，从而产生了更小的稳态误差边界。然而由于上述控制方法在面对系统初始状态的变化时仍然缺乏灵活性，缺乏时间参数的自主调节能力，因此难以适应复杂海洋环境下的多样化任务需求。基于上述问题，Li等^[13]提出一种USV预设时间性能跟踪控制方案，可以通过调整参数来直接预设稳定时间，所设计的控制器能够保证跟踪误差在预设时间内收敛到预定的紧集。Sui等^[14]引入一种时变函数设计出改进的性能函数，其优势是可通过调整参数来控制收敛速率，并且设计了一种改进的预设时间扩张状态观测器用于快速、精确地重构不可测速度和集总扰动，与上述方法相比，表现出更高的收敛效率。预设时间性能控制因其可以通过动态调节期望稳定时间显著提升了系统的灵活性以及鲁棒性，更符合工程实际需求。

虽然所提出的预设时间性能控制方案具有显著的优势，但仍存在一定的局限性：为了保证跟踪误差在规定时间内快速、精确地到达指定状态，控制算法可能会产生较大输入，导致执行机构过载，为此引入事件触发机制可以有效降低通信资源的浪费，降低执行机构的触发频率，延长其使用寿命。Wang等^[15]针对上述问题使用预设性能滑模控制和事件触发策略相结合，通过有效地减少通信次数和所需的通信资源量，增强了系统的通信效率，这种优化可以在保持控制方法有效性和鲁棒性的同时显著节省通信资源。Liu等^[16]引入一种移位函数来重构转换误差，对于预设性能方法来说可以减少用于控制设计的实际误差，同时引入一种新型的触发式制导策略，该策略显著降低了期望航向角的计算频率。王敏等^[17]将事件触发预设性能控制器引入一类非线性系统的跟踪控制问题。值得注意的是，上述文献无法同时保障包括收敛时间、最大超调和稳态误差在内的预设性能指标。

根据上述分析，本文针对复杂扰动环境下的水面无人艇跟踪控制问题，提出一种事件触发下的全局预设时间性能自适应控制算法。

1 问题描述及预备知识 1.1 USV模型

本文USV水平面运动用纵荡、横荡和艏摇来描述，其在大地坐标系下的运动状态如图1所示。

USV水平面3自由度运动数学模型为：

$ \left\{ \begin{aligned} &{\dot \chi \left( t \right) = R\left( \psi \right)\varsigma } ，\\ &{M\dot \varsigma + C\left( \varsigma \right)\varsigma + D\left( \varsigma \right)\varsigma = \tau + d} 。\end{aligned} \right. $

(1)

式中：$\chi = {\left[ {x,y,\psi } \right]^{\mathrm{T}}}$，$x、y$为USV在大地坐标系下的位置坐标，$\psi $为USV的航向角；$\varsigma = {[u,v,r]^{\mathrm{T}}}$，$u、v$分别为USV的纵荡、横荡速度，$r$为USV的角速度；$\tau $和$d$分别为USV的控制力矩和外部扰动力矩。${\boldsymbol{R}}\left( {\boldsymbol{\psi}} \right)$为惯量矩阵，且具有性质${\boldsymbol{R}}{\left( {\boldsymbol{\psi}} \right)^{\mathrm{T}}} = R{\left( \psi \right)^{ - 1}}$；$M$为包含附加矩阵的正定对称惯性矩阵；${\boldsymbol{C}}\left( {\boldsymbol{\varsigma}} \right)$为船体科里奥利向心矩阵；${\boldsymbol{D}}\left({\boldsymbol{ \varsigma}} \right)$为阻尼系数矩阵。其表达式分别为：

$ {\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\psi}} ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \psi \right)}&{ - \sin \left( \psi \right)}&0 \\ {\sin \left( \psi \right)}&{\cos \left( \psi \right)}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] ，$

(2)

${\boldsymbol{ M}} = \left[ \begin{matrix} {m - {X_{{{{\dot {u}}}}}}}&0&0 \\ 0&{m - {Y_{{{{{\dot {v}}}}}}}}&{m{x_{{{{g}}}}} - {Y_{{{{{\dot {r}}}}}}}} \\ 0&{m{x_{{{{g}}}}} - {N_{{{{{\dot {v}}}}}}}}&{{I_{{{{g}}}}} - {N_{{{{{\dot {r}}}}}}}} \end{matrix} \right]，$

(3)

$ {\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{\varsigma}} ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - {m_{22}}v - {m_{23}}r} \\ 0&0&{{m_{11}}u} \\ {{m_{22}}v + {m_{23}}r}&{ - {m_{11}}u}&0 \end{array}} \right]，$

(4)

$ {\boldsymbol{D}}\left( {\boldsymbol{\varsigma}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_{11}}}&0&0 \\ 0&{{d_{22}}}&{{d_{23}}} \\ 0&{{d_{32}}}&{{d_{33}}} \end{array}} \right]。$

(5)

式中：$m$为USV的质量；${X_{{{\dot {u}}}}}$、${Y_{{{\dot {v}}}}}$、${N_{{{\dot {r}}}}}$为水力在其3个自由度方向由于各自加速度引起的附加质量；${Y_{{{{\dot r}}}}}$和${N_{{\dot v}}}$分别为横荡、艏摇因耦合造成的附加质量；$ {I_{{g}}} $ 为转动惯量；${x_{{g}}}$为USV重心到艇体坐标原点的距离；${m_{11}} = m - {X_{{{\dot u}}}}$，${m_{22}} = m - {Y_{{{\dot v}}}}$，${m_{23}} = m{x_{{g}}} - {Y_{{{\dot r}}}}$。

1.2 RBF神经网络系统

未知非线性函数通过径向基函数神经网络（RBFNN）近似，即存在RBFNN项$ {W^*}^{\mathrm{{T}}}h\left( \eta \right) $满足$ \left| {{W^{\mathrm{T}}}h\left( \eta \right){ - f}} \right| \leqslant{\mathbf{\Delta }} $,$ \forall {\mathbf{\Delta }} \gt 0 $，其中$ {f} $是一个未知非线性函数；$ W = {[ {{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_n}} ]^{\mathrm{T}}} \in {\mathbb{R}^n} $表示权值向量，其中$n \gt 1$为神经网络节点数；$ \eta $为输入，$ h( \eta ) = {[ {{h_1}( {\eta } ),{h_2}( {\eta } ), \ldots ,{h_n}( {\eta } )}]^{\mathrm{T}}} $为神经网络基函数向量，高斯函数表示为：

$ {h}_{i}\left(\eta \right)=\mathrm{exp}\left(-\frac{{\Vert {\eta }_{i}-{c}_{i}\Vert }^{2}}{2{b}_{i}^{2}}\right)\text{，}i=1,2,\dots ,n 。$

(6)

式中：$ {c_i} $为网络中心向量；${b_i}$为宽度参数。

假设1　USV的期望轨迹${\chi _d}$及其一阶导数${\dot \chi _d}$和二阶导数${\ddot \chi _d}$均连续且有界。

假设2　USV所受到的外部扰动有界，即存在正未知数$d$，满足$\left\| d \right\| \leqslant d$。

1.3 全局预设时间预设性能函数

为了使USV系统可以在初始误差较大的情况下在期望的时间内进行精确的轨迹跟踪，需设计一个对跟踪误差具有全局约束能力的预设性能函数，表达式为：

$ \iota (x) = \frac{{\zeta x}}{{\sqrt {{\kappa ^2} - {x^2}} }}。$

(7)

式中：$\zeta $、$\kappa $均为正常数。根据$\iota \left( x \right)$定义可知，其在区间$( - \kappa ,\kappa )$内单调递增。为了使其符合性能函数的构造条件，引入单调递减函数：

$ \xi (t) = \frac{1}{{\beta \left( t \right)}}。$

(8)

式中：$ \beta \left( t \right) $为单调递增函数，$T$为收敛时间，$\beta \left( 0 \right) = {1}/{\kappa }$，$\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \beta \left( t \right) = {1}/{{\bar \beta }}$，$\beta \left( t \right) = {1}/{{\bar \beta }}，\forall t \in \left[ T \right.,\left. \infty \right)$，$\bar \beta $为$\beta \left( t \right)$的上界且$0 \lt \bar \beta \lt < \kappa $。

将式(8)代入式(7)，构造全局预设时间性能函数：

$ \iota \left( {\xi \left( t \right)} \right) = \frac{{\zeta \xi \left( t \right)}}{{\sqrt {{\kappa ^2} - \xi {{\left( t \right)}^2}} }}。$

(9)

根据函数定义，定义$\zeta = \displaystyle\frac{{\sqrt {{\kappa ^2} - {{\bar \beta }^2}} }}{{\bar \beta }}{\iota _{\min }}$，${\iota _{\min }} \gt 0$，有

$ \left\{ \begin{aligned} &{\iota \left( {\xi \left( 0 \right)} \right) = \iota \left( \kappa \right) = + \infty } ，\\ &{\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \iota \left( {\xi \left( t \right)} \right) = t\left( {\bar \beta } \right) = \frac{{\zeta \bar \beta }}{{\sqrt {{\kappa ^2} - {{\bar \beta }^2}} }} = {\iota _{\min }}} 。\end{aligned} \right. $

(10)

根据上述分析，全局预设时间预设性能控制函数的优势在于：

1）通过参数$T$直接指定系统从初始状态过渡到稳态的时间，避免传统方法中依赖系统动力学特性的不确定性；

2）性能函数初始值$ \iota \left( {\xi \left( 0 \right)} \right) $为无穷大，从而兼容任意有界初始误差，无需根据初始条件调整参数。

为了方便后续控制器的设计，定义USV轨迹跟踪控制系统的误差为：

$ {\chi _e} = \chi - {\chi _d} 。$

(11)

构造全局预设时间性能约束为：

$ \left\| {{\chi _e}} \right\| \lt \iota \left( {\xi \left( t \right)} \right)。$

(12)

则对于有界初始误差，有 $ \left\| {{\chi _e}\left( 0 \right)} \right\| \lt \iota \left( {\xi \left( 0 \right)} \right) = $ $ \infty $。因此，上述预设性能约束在$t = 0$时刻始终满足。

由式(12)可得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left\| {{\chi _e}} \right\| \lt \displaystyle\frac{{\zeta \xi \left( t \right)}}{{\sqrt {{\kappa ^2} - \xi {{\left( t \right)}^2}} }}} ，\end{array} $

(13)

$ {\beta \left( t \right)\displaystyle\frac{{\kappa {\chi _e}}}{{\sqrt {{{\left\| {{\chi _e}} \right\|}^2} + {\zeta ^2}} }} \lt 1} 。$

(14)

由此构建如下障碍李雅普诺夫函数：

$ {V_1} = \ln \left( {\frac{1}{{1 - {\varphi ^{\mathrm{T}}}\varphi }}} \right)。$

(15)

其中，

$ \varphi = \beta \left( t \right)\frac{{\kappa {\chi _e}}}{{\sqrt {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} }} 。$

(16)

可以注意到，

$ \left\{ \begin{gathered} {\left. {{V_1} \leqslant \left( {\varphi \left( {{\chi _e}} \right)} \right)} \right|_{{\chi _e} = 0}} = 0 ，\\ {V_1} \to \infty \Leftrightarrow \left\| {{\varphi ^2}} \right\| \to 1 。\\ \end{gathered} \right. $

(17)

可知，当$ \left\| \varphi \right\| \in \left[ 0 \right.,\left. 1 \right) $时，水而无人艇系统跟踪误差始终处于性能约束区域内，即：当${V_1} \in {L_\infty }$时，有

$ \left\| \varphi \right\| \in \left[ 0 \right.,\left. 1 \right) \Leftrightarrow \left\| {{\chi _e}} \right\| \lt \iota \left( {\xi \left( t \right)} \right)。$

(18)

根据式(15)和式(18)，全局预设时间性能约束转化为了对障碍李雅普诺夫函数${V_1}$的有界性控制。因此，所设计的控制器只需要保证${V_1}$的有界性即可。

2 控制器设计及稳定性分析

为实现水面无人艇全局预设时间预设性能控制，结合时变衰减复合性能函数、事件触发机制和RBF神经网络自适应补偿控制律设计控制器。

2.1 控制器设计

为了在确保对系统的控制效果的同时，降低通信频率，减少执行机构的负担，设计事件触发控制律如下：

$ \left\{ \begin{aligned} &\tau \left( t \right) = \upsilon \left( {{t_k}} \right),\forall t \in \left[ {{t_k},\left. {{t_{k + 1}}} \right)} \right.,{\text{ }}k \in {\mathbb{N}^ + } ，\\ &{t_{k + 1}} = \inf \left\{ {t \gt {t_k}|\left| {{e_{\nu i}}\left( t \right)} \right| \geqslant {\vartheta _i}\left| {{\tau _i}\left( t \right)} \right| + {\mathchar'26\mkern-10mu\lambda _i}} \right\} 。\\ \end{aligned} \right. $

(19)

式中：$ {e_{\nu i}}\left( t \right) = {\upsilon _i}\left( t \right) - {\tau _i}\left( t \right) $，$ \upsilon $代表虚拟控制律；$ {t_k} $为执行器输入更新时刻，${t_{k + 1}}$代表第$k + 1$个触发时刻，即当触发机制触发时，$ \tau \left( t \right) $更新；${\vartheta _i} \in \left( {0,1} \right)$，${\mathchar'26\mkern-10mu\lambda _i} \in \left( {0,1} \right)$。根据式(19)，控制力矩$\tau $和虚拟控制律$ \upsilon $之间存在如下函数映射关系：

$ \tau = \Gamma \upsilon + \varepsilon 。$

(20)

式中：$\Gamma = {\text{diag}}\left\{ {{\delta _1},{\delta _2},{\delta _3}} \right\}$，${\delta _i} = \displaystyle\frac{1}{{\left( {1 + {\phi _{i,1}}\left( t \right){\vartheta _i}} \right)}} \gt \displaystyle\frac{1}{2}$，${\phi _{i,1}} ( t ) \in \left[ { - 1,1} \right]$，$\varepsilon = {\text{diag}}\left\{ {{\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _3}} \right\}$，${\varepsilon _i} = \displaystyle\frac{{{\phi _{i,2}}\left( t \right){\mathchar'26\mkern-10mu\lambda _i}}}{{\left( {1 + {\phi _{i,2}}\left( t \right){\vartheta _i}} \right)}}$，${\phi _{i,2}}( t ) \in \left[ { - 1,1} \right]$，因此δ_i，ε_i是有界的。

虚拟控制律$\upsilon \left( t \right)$设计如下：

$ {\upsilon \left(t\right)=-0.5\left({k}_{2}+\frac{\beta \left(t\right)\kappa {\Vert P\Vert }^{2}}{1-{\phi }^{\mathrm{{T}}}\phi {\left({\chi }_{e}^{\mathrm{{T}}}{\chi }_{e}+{\zeta }^{2}\right)}^{\frac{3}{2}}}+ \frac{{\hat{\varkappa }}^{2}{\rho }^{2}}{\sqrt{{\hat{\varkappa }}^{2}{\Vert z\Vert }^{2}{\rho }^{2}+\epsilon^{2}}}\right){\left(R{M}^{-1}\right)}^{\mathrm{{T}}}z。} $

(21)

式中：$ P = \left( {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} \right){I_3} - {\chi _e}\chi _e^{\mathrm{T}} $，$ {k_2} \gt 0 $，神经网络最佳权值与估计误差满足$ \left\| {{{\boldsymbol{W}}^*}} \right\| \leqslant \bar W，\left\| {\mathbf{\Delta }} \right\| \leqslant \bar \delta $；$ \bar W $和$ \bar \delta $为未知有界正常数；$ \hat{\varkappa } $为未知参数$ \varkappa $的估计值；$ \varkappa =\mathrm{max}\left\{\overline{W},\overline{\delta }\right\} $，$ \tilde{\varkappa }=\varkappa -\hat{\varkappa } $代表估计误差，$ \varepsilon \gt 0 $，$ \rho = \left\| {h\left( \eta \right)} \right\| + 1 $。

设计自适应神经网络更新律为：

$ \dot{\hat{\varkappa }}=-\varrho \left({k}_{3}\hat{\varkappa }-\frac{1}{2}\Vert z\Vert \rho \right) 。$

(22)

式中：$\varrho \gt 0 ，{k_3} \gt 0$。自适应律通过更新估计参数$ \hat{\varkappa } $，实时调整控制输入$ \upsilon \left( t \right) $的增益，以补偿模型不确定性和外部扰动。这使得控制器能适应未知的动态变化，增强鲁棒性。

2.2 稳定性分析

定理1　应用所设计的事件触发控制力矩(20)和自适应律(22)，那么以下结论成立：

1）闭环系统所有状态都是有界的；

2）跟踪误差满足全局预设时间预设性能约束；

3）所设计的事件触发机制能够严格避免芝诺现象，即存在一个正常数$T$满足相邻2次触发间隔${t_{k + 1}} - {t_k} \gt T$。

证明　首先，对${V_1}$求导得：

$ {\begin{aligned} {{\dot {V}}_1} = \frac{2}{{1 - {\varphi ^{\mathrm{T}}}\varphi }}{\varphi ^{\mathrm{T}}}\left( {\frac{{\dot {\beta} \kappa {\chi _e}}}{{\sqrt {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} }}} \right. \left. { + \frac{{\beta \left( t \right)\kappa P\left( {R\varsigma - {{\dot {\chi} }_d}} \right)}}{{{{\left( {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right)。\\ \end{aligned} }$

(23)

令

$ z = {R}\varsigma - \alpha。$

(24)

式中，$\alpha $为虚拟控制器，表达式为：

${ \alpha = {{\dot \chi }_d} - {{P}^{ - 1}}\left( {\frac{{\dot \beta \left( t \right)\left( {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} \right){\chi _e}}}{{\beta \left( t \right)}} - } \right. \left. {\frac{{\left( {{k_1} + \mu } \right){{\left( {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\varphi }}{{2\beta \left( t \right)\kappa }}} \right)。}$

(25)

式中，$ {k_1} \gt 0 $，$\mu =\displaystyle \frac{{\beta \left( t \right)\kappa }}{{{{\left( {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} $。

根据式(24)和式(25)以及杨氏不等式，式(23)可以推导为：

$ {\dot V_1} \leqslant - {k_1}\frac{{{\varphi ^{\mathrm{T}}}\varphi }}{{1 - {\varphi ^{\mathrm{T}}}\varphi }} + \frac{1}{{1 - {\varphi ^{\mathrm{T}}}\varphi }}\frac{{\beta \left( t \right)\kappa {{\left\| P \right\|}^2}{z^{\mathrm{T}}}z}}{{{{\left( {\chi _e^{\mathrm{T}}{\chi _e} + {\zeta ^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}。$

(26)

对于所研究水面无人艇的轨迹跟踪预设性能控制，选取如下形式的李雅普诺夫函数：

$ {V}_{2}={V}_{1}+\frac{1}{{\lambda }_{\mathrm{min}}}{z}^{\mathrm{T}}z+\frac{1}{\varrho }{\tilde{\varkappa }}^{2}。$

(27)

式中：$ {\lambda _{\min }} $为矩阵$ R{M^{ - 1}}\Gamma {\left( {R{M^{ - 1}}} \right)^{\mathrm{T}}} $的最小特征值。注意到矩阵$ \Gamma $为正定对角阵，且$ R{M^{ - 1}} $为满秩矩阵，因此$ {\lambda _{\min }} \gt 0 $。对其求导并代入事件触发控制力矩(20)，有

$ \begin{split}{\dot{V}}_{2}=&\;{\dot{V}}_{1}+\frac{2}{{\lambda }_{\mathrm{min}}}{z}^{\mathrm{T}}(\dot{R}\varsigma +R{M}^{-1}(-C\left(\varsigma \right)\varsigma \\ &-D\varsigma +\Gamma \upsilon +\epsilon +d)-\dot{\alpha })-\frac{2}{\varrho }\tilde{\varkappa }\dot{\hat{\varkappa }}。\end{split} $

(28)

采用神经网络处理不确定性项

$ {\begin{split} {W^*}^{\mathrm{T}}h\left( {\eta } \right) + {\mathbf{\Delta }} =&\; \frac{2}{{{\lambda _{\min }}}}\left( {\dot R\varsigma + } \right. {R}{{M}^{ - 1}}\left( { - {C}\left( {\varsigma } \right){\varsigma }} \right. - \\ &\left. {\left. {{D\varsigma } + {\varepsilon } + {d}} \right) - {\dot \alpha }} \right) 。\\ \end{split} }$

(29)

根据式(28)和式(29)，和式$ \left|a\right|-\displaystyle\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{\varepsilon}^{2}}}\leqslant \varepsilon $，有

$ \begin{split}&{\dot{V}}_{2}\leqslant -{k}_{1}\frac{{\phi }^{\mathrm{T}}\phi }{1-{\phi }^{\mathrm{T}}\phi }+ \frac{1}{1-{\phi }^{\mathrm{T}}\phi }\frac{\beta \left(t\right)\kappa {\Vert \text{P}\Vert }^{2}{z}^{\mathrm{T}}z}{{\left({\chi }_{e}^{\mathrm{T}}{\chi }_{e}+{\zeta }^{2}\right)}^{\frac{3}{2}}}+\\& \qquad\frac{2}{{\lambda }_{\mathrm{min}}}{\text{z}}^{\mathrm{T}}\text{R}{\text{M}}^{-1}\Gamma \text{υ}+\varkappa \Vert \text{z}\Vert \rho -\frac{2}{\varrho }\tilde{\varkappa }\dot{\hat{\varkappa }}。\end{split} $

(30)

将式(21)和式(22)代入式(30)，根据杨氏不等式以及不等式$\ln \left( {x + 1} \right) \lt x,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$，有

$ \begin{split}\dot{V}_{2}&\leqslant -{k}_{1}\frac{{\phi }^{\mathrm{T}}\phi }{1-{\phi }^{\mathrm{T}}\phi }-{k}_{2}{z}^{\mathrm{T}}z+2{k}_{3}\tilde{\varkappa }\hat{\varkappa }+\varepsilon\\& \leqslant -{k}_{1}{V}_{1}-{k}_{2}{z}^{\mathrm{T}}z-2{k}_{3}{\tilde{\varkappa }}^{2}+{k}_{3}{\tilde{\varkappa }}^{2}+{k}_{3}{\varkappa }^{2}+\varepsilon\\& =-\overline{k}{V}_{2}+o。\end{split} $

(31)

式中：$ \bar k = \min \left\{ {{k_1},{k_2}{\lambda _{\min }},{k_3}\varrho } \right\} $，$ o={k}_{3}{\varkappa }^{2}+\varepsilon $。根据式(31)可知，系统状态均有界。

由于${V_1}$有界，那么$ \left\| {\varphi } \right\| \in \left[ {0,\left. 1 \right)} \right. $，由式(18)可知有$ \left\| {{{\chi }_e}} \right\| \lt \iota \left( {\xi \left( t \right)} \right) $，可知USV轨迹跟踪误差$ {\chi _e} $满足全局预设时间预设性能。

对于事件触发控制律，需要证明芝诺现象不会发生，为此采用反证法进行证明，即假设对于某一事件触发时刻存在${T_k} = {t_{k + 1}} - {t_k} \to 0$，可以得到：

$ \mathop {\lim }\limits_{{T_k} \to 0} \left| {{\tau _i}\left( {{t_k}} \right) - {{\tilde \tau }_i}\left( {{t_k} + {T_k}} \right)} \right| = 0。$

(32)

然而，根据事件触发条件(19)可以得出：

$ \left\| {{\tau _i}\left( {{t_k}} \right) - {{\tilde \tau }_i}\left( {{t_k} + {T_k}} \right)} \right\| \geqslant {\lambda _i}\left| {{\tau _i}\left( t \right)} \right| + {r_i} \gt 0。$

(33)

通过比较式(32)和式(33)，可以发现两者相互矛盾，因此假设${T_k} = {t_{k + 1}} - {t_k} \to 0$不成立，这意味着总是存在一个正数$\bar T$，满足${T_k} = {t_{k + 1}} - {t_k} \geqslant \bar T$。综上，所设计的事件触发机制可以避免芝诺现象。

3 仿真结果

为了验证本文所提出的全局预设时间性能方法，选取如下USV水动力参数进行仿真验证，相关参数如表1所示。

取期望轨迹为${\chi _d} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \left( {0.05\text{π} t} \right)} \\ {\cos \left( {0.05\text{π} t} \right)} \\ {\sin \left( {0.01\text{π} } \right)} \end{array}} \right]$，海洋环境扰动为${d} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.01\sin \left( {0.1t} \right)} \\ {0.01\cos \left( {0.1t} \right)} \\ {0.01\sin \left( {0.2t} \right)} \end{array}} \right]$，初始状态${\chi _0} = {\left[ {1,1,1} \right]^{\mathrm{T}}}$，${\varsigma _0} = {\left[ {0.1,0.1,0.1} \right]^{\mathrm{T}}}$，$ {\hat{\varkappa }}_{0}=2 $；预设性能函数参数为${\iota _{\min }} = 0.01$，$T = 10$，${\beta _0} = 0.01$，$\lambda = 0.01$；虚拟控制器$\alpha $的参数${k_1} = 0.1$；虚拟控制律$\upsilon \left( t \right)$的参数${k_2} = 2$，$ \varepsilon=0.1 $；RBF自适应律参数$ \varrho {\text{ = 0}}{\text{.1}} $，${k_3} = 0.2$；事件触发机制参数$\vartheta = \left[ {0.05,0.05,0.05} \right]$，$ \mathchar'26\mkern-10mu\lambda = \left[ {0.1,0.1,0.1} \right] $；神经网络隐含层节点数为5个，${b_i} = \sqrt {5i} $,${c_i} = \sin \left( {0.1i} \right)$；仿真时间总时长为40 s。

为了验证所设计的跟踪控制方法的优越性，采用文献[18]提出的预设性能抗扰控制方法进行仿真比较研究。USV对期望轨迹进行跟踪的实际轨迹仿真效果对比如图2所示，不难看出，本文所提出的方法可以使USV更加快速精确地在复杂环境下沿着期望轨迹进行轨迹跟踪。由图3和表2对误差$\left\| e \right\|$的定量分析可知，本文方法可以使误差始终处于性能边界内并且在6 s时就快速收敛，而文献[18]的控制方法在30 s左右才使误差收敛，这表明本文的控制算法对USV存在的不确定动态和未知环境海洋扰动具有更好的鲁棒性。图4为纵荡、横荡和艏摇3个自由度分别对其期望轨迹的跟踪效果。由图5可知，跟踪误差始终处于性能边界内，并且在预设时间10 s内收敛至稳态，所设计的控制器可以使跟踪误差始终满足全局预设性能边界，保证了USV具有良好的瞬态性能和稳态性能。纵荡速度、横荡速度和艏摇角速度随时间的状态变化如图6所示，控制输入如图7所示。由图8可知，通过事件触发机制，显著减少了执行机构的触发次数和频率，在保证系统控制效果的同时，大大降低了通信频率。用于动态调整控制律以补偿未知扰动和模型不确定性的神经网络自适应参数随时间的变化如图9所示。

如图10所示，将仿真时间延长，可以得到自适应参数$ \hat{\varkappa } $稳定后的曲线。

4 结　语

针对复杂海况下USV轨迹跟踪控制问题，本文提出一种基于事件触发的全局预设时间性能跟踪控制方法。通过构造初始值为无穷大的全局预设性能函数，突破了传统预设性能函数需离线根据初始误差进行更改的限制，显著提升了系统灵活性。结合事件触发机制，在保证跟踪精度的同时，显著降低了控制输入更新频率，有效缓解了执行机构负担并严格避免了芝诺现象。所设计的RBF神经网络自适应参数可有效补偿模型不确定性与海洋扰动，动态调整控制增益以增强系统鲁棒性。仿真结果表明，跟踪误差在预设时间内收敛至预设稳态区间，验证了该方法在收敛速度、控制精度与效率方面的综合优势。