0 引　言

在当今科技迅猛发展的新时代，无人技术的融合与创新已成为推动现代军事和民用技术进步的关键驱动力。特别是在海洋与空域协同作业需求日益增长的背景下，无人机（Unmanned Aerial Vehicle，UAV）与无人艇（Unmanned Surface Vehicle，USV）协同系统凭借其独特的跨域协同能力和灵活的任务适应性，已逐渐成为学术界和工业界的研究热点。通过整合UAV的高机动性和广域感知能力与USV的持久作业能力，UAV−USV异构协同系统不仅能够在复杂环境下高效执行任务，还可以为海洋资源勘探、环境监测以及海上搜救等提出全新的解决方案^[1]。然而，由于UAV与USV在动力学特性、控制模型以及空间维度上存在显著差异，如何实现两者的高效协同与控制仍面临诸多技术挑战^[2]。因此，研究由UAV和USV组成的异构编队协同控制问题具有重要的理论和工程意义。

为了有效实现异构多智能体系统的编队协同控制，国内外学者已开展了大量卓有成效的研究工作。XIONG等^[3]研究了由无人车（Unmanned Ground Vehicle，UGV）和UAV 构成的异构编队协同控制问题，并提出了一种自适应分数阶滑模控制策略，成功地实现了UGV−UAV系统按照预定要求完成特定的编队配置。CHENG等^[4]提出了一种基于自适应神经网络的有限时间终端滑模控制策略，实现了UGV−UAV异构编队协同控制。然而，前述异构编队控制方法^{[3 - 4]}大多基于时间渐近收敛原理进行设计。在诸多实际应用场景中，系统任务往往伴随着严格的时间限制，要求系统在指定时间内完成协同任务。因此，POLYAKOV^[5]首次提出固定时间控制方法。该方法能够确保系统状态在固定时间内实现收敛，且这一收敛时间与系统的初始条件无关。为了解决异构多智能体系统固定时间控制问题，CHENG等^[6]提出了一种基于观测器的分布式固定时间控制策略。LIU等^[7]针对UAV和USV组成的异构多智能体轨迹跟踪控制问题，提出了一种分布式自适应固定时间滑模控制策略，以实现空海协同编队控制。为了更有效地解决UAV−USV异构编队跟踪控制问题，BAI等^[8]、XIANG等^[9]提出了固定时间编队控制策略。近年来，预设性能控制在提升系统误差精度方面具有重要作用。然而，上述文献所提出的控制策略在设计过程中未将预设性能控制纳入考量范畴。为此，许多学者致力于研究预设性能控制方案，以优化编队系统误差的暂态和稳态性能^[10]。LI等^[11]研究了一种基于神经网络自适应的预设性能编队控制算法，以保证多个欠驱动无人船编队误差在预设时间内收敛。WANG等^[12]、GHOMMAM等^[13]设计了一种基于预设性能函数的自适应包围控制方案，进而提高了多无人船编队误差的收敛精度。为了实现更快的收敛速度，WANG等^[14]提出了一种有限时间预设性能无人船编队控制方案，保证了编队误差在有限时间内快速收敛到性能函数边界范围之内。针对由UAV和UGV组成的异构多智能体系统固定时间编队控制问题，CHENG等^[15]设计了一种基于有限时间预设性能的固定时间控制方案。然而，相关研究在由UAV作为多艘USVs领导者组成的异构编队系统中仍有待解决。

此外，模型不确定性和外部环境干扰总存在于实际系统中，这将导致异构编队控制系统在稳定性和控制精度上面临挑战。因此，如何提高异构编队系统的抗干扰能力是众多学者需要解决的一个问题。针对异构系统中存在的模型不确定性和外部环境干扰等问题，文献[4 - 7]设计了一种自适应神经网络观测器来估计和补偿系统中的复合扰动，来提高异构编队系统的整体鲁棒性。文献[16 - 17]提出了一种基于固定时间收敛理论的扰动观测器设计方法，以处理异构系统中的复合扰动问题；通过引入固定时间控制策略，所设计的观测器实现了对系统扰动的快速精确估计，确保了系统状态在预设时间内达到稳定，从而显著提升了系统的抗干扰性能和鲁棒性。然而单一类型的观测器难以同时满足异构编队系统对快速性、精确性和鲁棒性的综合需求。

基于上述研究成果的启发，本文提出一种基于固定时间神经网络观测器的无人机−无人艇异构编队固定时间鲁棒控制策略。

1 模型构建及预备知识 1.1 图论的相关知识

本文采用有向图来描述机-艇异构编队控制系统中$ \boldsymbol{N} $个异构智能体的信息流，有向图被定义为$ \mathbf{\aleph }\mathbf{=}\left\{\mathbf{\partial }\mathbf{,}\hslash \right\} $，式中：$ \mathbf{\partial }\mathbf{=}\left\{{\upsilon }_{1},{\upsilon }_{2},\cdots ,{\upsilon }_{N}\right\} $为节点集；$ \hslash \mathbf{\in }\left\{({\upsilon }_{i},{\upsilon }_{j})\colon {\upsilon }_{i}, {\upsilon }_{j}\mathbf{\in }\mathbf{\partial };i\mathbf{\notin }j\right\} $为边集。$ \boldsymbol{\overline{\boldsymbol{A}}}=[{a}_{ij}]\in {\boldsymbol{R}}^{N\times N} $为非负元素$ {a}_{ij} $的邻接矩阵。当且仅当$ ({\upsilon }_{i},{\upsilon }_{j})\in \partial $时，$ {a}_{ij} $为第$ i $个智能体和第$ j $个智能体之间的有向信息，并且$ {a}_{ij} \gt 0 $，否则$ {a}_{ij}=0 $。拉普拉斯矩阵被定义为$ \boldsymbol{L}=\boldsymbol{D}-\overline{\boldsymbol{A}} $，式中$ \boldsymbol{D}= \boldsymbol{d}\boldsymbol{i}\boldsymbol{a}\boldsymbol{g}\left\{{\deg }_{\bf{in}}({\upsilon }_{1}),\cdots ,{\deg }_{\bf{in}}({\upsilon }_{\boldsymbol{N}})\right\} $，其中$ {\deg }_{\bf{{in}}}({\upsilon }_{i})= \displaystyle\sum \limits_{j=1}^{N}{a}_{ij} $。在异构编队控制系统中，领航者与跟随者之间的信息交流关系定义为$ \boldsymbol{B}=diag({b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{N}) $，式中$ {b}_{i}=1 $表示第$ i $个智能体可以获得领航者信息，否则$ {b}_{i}=0 $。在本文中，至少有1个跟随者可以获得领航者信息。因此，$ \boldsymbol{N}+1 $个智能体的通信网络由$ \boldsymbol{L}+\boldsymbol{B} $表示，并且$ \boldsymbol{L}+\boldsymbol{B} $可逆。

1.2 模型构建

考虑将一个无人机系统作为领导者，无人机的数学模型如下^[6]：

$ {\left\{\begin{aligned} &{\ddot{x}}_{a} = (\cos \omega \sin \theta \cos \varphi + \sin \omega \sin \varphi ){u}_{a1}/{m}_{a} - {\phi }_{xa}{\dot{x}}_{a}/{m}_{a} + {d}_{a1}，\\ &{\ddot{y}}_{a}= (\cos \omega \sin \theta \sin \varphi - \sin \omega \cos \varphi ){u}_{a1}/{m}_{a} - {\phi }_{ya}{\dot{y}}_{a}/{m}_{a} + {d}_{a2}，\\ &{\ddot{z}}_{a} = (\cos \omega \sin \theta ){u}_{a1}/{m}_{a}-{g}_{a}-{\phi }_{za}{\dot{z}}_{a}/{m}_{a} + {d}_{a3}，\\& \ddot{\omega }=\dot{\theta }\dot{\varphi }({J}_{ya}-{J}_{za})/{J}_{xa}-\dot{\theta } \text{π} {J}_{r}/{J}_{xa}+{u}_{a2}/{J}_{xa}-{\phi }_{\omega }\dot{\omega }/{J}_{xa}，\\ &\ddot{\theta }\;=\dot{\omega }\dot{\varphi }({J}_{za}-{J}_{xa})/{J}_{ya}-\dot{\omega } \text{π} {J}_{r}/{J}_{ya}+{u}_{a3}/{J}_{ya}-{\phi }_{\theta }\dot{\theta }/{J}_{ya}，\\ &\ddot{\varphi }\,=\dot{\omega }\dot{\theta }({J}_{xa} - {J}_{ya})/{J}_{za} + {u}_{a4}/{J}_{za} - {\phi }_{\varphi }\dot{\varphi }/{J}_{za}。\\ \end{aligned} \right.}$

(1)

式中：$ {x}_{a}、{y}_{a}、{z}_{a} $分别为水平平面上的位置和$ z $轴方向的高度或深度；$ \omega、\theta $和$ \varphi $分别为滚转角、俯仰角和偏航角；$ {u}_{a1}、{u}_{a2}、{u}_{a3} $和$ {u}_{a4} $为无人机的控制推力和3个控制力矩；$ {J}_{xa}、{J}_{ya} $和$ {J}_{za} $为惯性矩；$ {m}_{a} $为无人机的质量；$ {g}_{a} $为重力加速度；$ {\phi }_{xa}、{\phi }_{ya}、{\phi }_{za} $和$ {\phi }_{\omega }、{\phi }_{\theta }、{\phi }_{\varphi } $均为气动阻尼系数；$ {J}_{r} $为转动惯量；$ \text{π} $为旋翼角速度。

因此，无人机的三自由度模型可以被定义为：

$ {\ddot{\chi }}_{a}(t)={\Omega }_{a}{\tau }_{a}+{\mathrm{H }}_{a}({\dot{\chi }}_{a})+{\Xi }_{a}({\dot{\chi }}_{a},t) 。$

(2)

式中：$ {\mathrm{H }}_{a}({\dot{\chi }}_{a})={[-{{\phi }_{xa}}{{\dot{x}}_{a}}/{{m}_{a}},-{{\phi }_{ya}}{{\dot{y}}_{a}}/{{m}_{a}}, -{{g}_{a}}-{{\phi }_{za}}{{\dot{z}}_{a}}/{{m}_{a}}]}^{\mathrm{{T}}} $；$ {\Omega }_{a}=diag\{{m}_{a}{}^{-1},{m}_{a}{}^{-1},{m}_{a}{}^{-1}\} $；$ {\Xi }_{a}({\dot{\chi }}_{a},t)={o }_{a}\mathrm{H }({\dot{\chi }}_{a})+{d}_{a}(t) $为由无人机模型不确定性和外部扰动所构成的复合扰动，其中$ {o }_{a}{\mathrm{H }}_{a}({\dot{\chi }}_{a}) $为模型不确定性，$ {d}_{a}(t) $为外部环境扰动；$ {\tau }_{a}={[{{u}_{ax}},{{u}_{ay}},{{u}_{az}}]}^{\mathrm{{T}}} $为$ X、Y $和$ Z $轴方向上的实际控制输入，可以表示为：

$ \left\{\begin{aligned} &{u}_{ax}=(\cos \omega \sin \theta \cos \varphi +\sin \omega \sin \varphi ){u}_{a1}，\\ &{u}_{ay}=(\cos \omega \sin \theta \sin \varphi -\sin \omega \cos \varphi ){u}_{a1}，\\ &{u}_{az}=(\cos \omega \sin \theta ){u}_{a1}。\\ \end{aligned}\right. $

(3)

为了便于控制策略的设计，令$ {\dot{\chi }}_{a}={\Theta }_{a},{\dot{\Theta }}_{a}={\ddot{\chi }}_{a} $，则无人机的数学模型可以表示为：

$\left\{ \begin{aligned} &{\dot{\chi }}_{a}={\Theta }_{a}，\\& {\dot{\Theta }}_{a}={\Omega }_{a}{\tau }_{a}+{\mathrm{H }}_{a}({\Theta }_{a})+{\Xi }_{a}({\Theta }_{a},t)。\\ \end{aligned}\right. $

(4)

在异构编队系统中，第$ \boldsymbol{i} $艘（$ \boldsymbol{i}=1,2,\ldots,N $） 无人艇的运动学和动力学模型可以表示为^[18]：

$ \left\{\begin{aligned} &{\mathbf{\dot{\boldsymbol{\chi }}}}_{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{R}({\psi }_{\boldsymbol{i}}){\boldsymbol{\nu }}_{i}，\\ & ({\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{i}} + \Delta {\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{i}} ){\mathbf{\dot{\boldsymbol{\nu }}}}_{\boldsymbol{i}} + (\boldsymbol{C} ({\boldsymbol{\nu }}_{\boldsymbol{i}} ) + \Delta \boldsymbol{C} ({\boldsymbol{\nu }}_{\boldsymbol{i}} ) ){\boldsymbol{\nu }}_{\boldsymbol{i}} + \\&\quad\quad\quad (\boldsymbol{D}({\boldsymbol{\nu }}_{\boldsymbol{i}}) + \Delta \boldsymbol{D}({\boldsymbol{\nu }}_{\boldsymbol{i}})){\boldsymbol{\nu }}_{\boldsymbol{i}} = {\boldsymbol{\tau }}_{\boldsymbol{i}} + {\boldsymbol{d}}_{\boldsymbol{i}}。\\ \end{aligned}\right. $

(5)

式中：$ {x}_{i}、{y}_{i}、{\psi }_{i} $分别为第$ i $艘无人艇在惯性坐标系下的位置和艏摇角；$ {u}_{i}、{v}_{i}、{r}_{i} $分别为第$ i $艘无人艇在附体坐标系下的纵向、横向和艏摇角速度；$ {\boldsymbol{\tau }}_{\boldsymbol{i}}={[{{\tau }_{i,1}},{{\tau }_{i,2}},{{\tau }_{i,3}}]}^{\mathrm{{T}}} $为第$ i $艘无人艇系统的实际控制输入；$ {\boldsymbol{d}}_{\boldsymbol{i}} $为由风、浪、流等构成的第$ i $艘无人艇外部环境干扰；$ \Delta {\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{i}} $,$ \Delta \boldsymbol{C}({\nu }_{i}) $和$ \Delta \boldsymbol{D}({\nu }_{i}) $为模型中不确定性的部分；$ \boldsymbol{R}({\psi }_{i}) $为坐标系转换矩阵，其性质为：$ {\boldsymbol{R}}^{\mathrm{T }}({\psi }_{i})\boldsymbol{R}({\psi }_{i})=\boldsymbol{I} $，$ \left| \left| \boldsymbol{R}({\psi }_{i})\right| \right| =1 $，$ \forall {\psi }_{i}\in [0,2\text{π} ] $，$ {\dot{\boldsymbol{R}}}({\psi }_{i})=\boldsymbol{R}({\psi }_{i})\boldsymbol{S}({r}_{i}) $和$ {\boldsymbol{R}}^{\mathrm{T }}({\psi }_{i}) \boldsymbol{S}({r}_{i}) \boldsymbol{R}({\psi }_{i})= $ $ \boldsymbol{R}({\psi }_{i})\boldsymbol{S}({r}_{i}){\boldsymbol{R}}^{\mathrm{T }}({\psi }_{i})=\boldsymbol{S}({r}_{i}) $；$ {\boldsymbol{M}}_{i}\in {\boldsymbol{R}}^{3} $、$ \boldsymbol{C}({v}_{i}) $和$ \boldsymbol{D}({v}_{i}) $分别表示正定对称惯性矩阵、科里奥利矩阵和线性水动力阻尼参数矩阵。

为了便于机−艇异构编队控制策略的设计，令$ {\Theta }_{i}={R}_{i}{v}_{i} $，则第$ i $艘无人艇的运动学和动力学模型可以转换为：

$ \left\{\begin{aligned} &{\dot{\chi }}_{i}={\Theta }_{i}，\\& {\dot{\Theta }}_{i}={H}_{i}+{\Omega }_{i}{\tau }_{i}+{\Xi }_{i}。\\ \end{aligned}\right. $

(6)

式中：$ {\Xi }_{i}={R}_{i}M_{i}^{-1}\left({d}_{i}-\Delta {M}_{i}{\dot{\nu }}_{i}-\Delta C({\nu }_{i}){\nu }_{i}-\Delta D({\nu }_{i}){\nu }_{i}\right) $为系统中由模型不确定性和外部环境干扰所构成的集总扰动；$ {H}_{i}={\dot{R}}_{i}{v}_{i}+{R}_{i}M_{i}^{-1}\left(-C({\nu }_{i}){\nu }_{i}-D({\nu }_{i}){\nu }_{i}\right) $，$ {\Omega }_{i}={R}_{i}M_{i}^{-1} $。

为了便于观测器的设计，本文构建广义化的机−艇异构模型：

$ \left\{\begin{aligned} &{\dot{\chi }}_{k}={\Theta }_{k}，\\ &{\dot{\Theta }}_{k}={H}_{k}+{\Omega }_{k}{\tau }_{k}+\Xi_{k}。\\ \end{aligned}\right. $

(7)

式中：当$ k=a $时，为领航者无人机的数学模型；当$ k=i $时，为跟随者无人艇的数学模型。

1.3 相关引理知识

引理1^[15]对于系统$ \dot{x}=f(x)，x(0)={x}_{0} $，有

1）若存在一个连续可微的正定函数$ V(x) $，满足：

$ \dot{V}(x)\leqslant -{m}_{1}{V}^{p}(x)-{m}_{2}{V}^{q}(x) 。$

(8)

则系统是固定时间稳定的，且收敛时间满足如下不等式：

$ T\leqslant {T}_{\max }=\frac{1}{{m}_{1}(1-p)}+\frac{1}{{m}_{2}(q-1)} 。$

(9)

2）若存在一个很小的正常数$ \vartheta \gt 0 $，满足：

$ \dot{V}(x)\leqslant -{m}_{1}{V}^{p}(x)-{m}_{2}{V}^{q}(x)+\vartheta。$

(10)

则系统是固定时间稳定的，且其收敛时间满足：

$ T\leqslant {T}_{\max }=\frac{1}{{m}_{1}\varsigma (1-p)}+\frac{1}{{m}_{2}\varsigma (q-1)} 。$

(11)

式中：$ {m}_{1} $和$ {m}_{2} $为正实数，且$ 0 \lt p \lt 1，q \gt 1,\; 0 \lt \varsigma \lt 1 $。

引理2^[17]　对于任意$ x\in \mathbb{R},\ell\in {\mathbb{R}}^{+} $，则有：

$ 0\leqslant \left| x\right| -\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+\ell^{2}}} \lt \ell。$

(12)

引理3^[19]　对于常数y₁～y₃，若存在$ {y}_{1}= {y}_{2}- {y}_{3} $，且$ q \gt 1 $，则：

$ {y}_{3}y_{2}^{q}\leqslant \frac{1}{1+q}\left(2y_{1}^{1+q}-y_{3}^{1+q}\right)。$

(13)

引理4^[20]　对于任意常数，$ {z}_{1} \gt 0,\;{z}_{2} \gt 0,\;{z}_{3} \gt 0 $，并且$ x\in R，y\in R $，则：

$ {\left| x\right| }^{{{z}_{1}}}{\left| y\right| }^{{{z}_{2}}}\leqslant \frac{{z}_{1}}{{z}_{1}+{z}_{2}}{z}_{3}{\left| x\right| }^{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}+\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}+{z}_{2}}{z}_{3}{}^{-\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\left| y\right| }^{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}} 。$

(14)

引理5^[9]　对于任意实数$ x\in \mathbb{R}，\varepsilon \in {\mathbb{R}}^{+} $，$ {c}_{1}\in (0,1)，{c}_{2} \gt 1 $，并且向量$ {\boldsymbol{x}}_{k}={[{{x}_{1}},{{x}_{2}},....,{{x}_{N}}]}^{\mathrm{{T}}} $，则：

$ \left\{\begin{aligned} & {\sum \limits_{k=1}^{N}{\left| {\boldsymbol{x}}_{k}\right| }^{1+{{c}_{1}}}\geqslant \left(\sum \limits_{k=1}^{N}{\left| {\boldsymbol{x}}_{k}\right| }^{2}\right)}^{\frac{1+{c}_{1}}{2}}，\\ &{\left(\sum \limits_{k=1}^{N}\left| {\boldsymbol{x}}_{k}\right| \right)}^{{{c}_{1}}}\leqslant \sum \limits_{k=1}^{N}{\left| {\boldsymbol{x}}_{k}\right| }^{{{c}_{1}}}，\\& {\left(\sum \limits_{k=1}^{N}\left| {\boldsymbol{x}}_{k}\right| \right)}^{{{c}_{2}}}\leqslant {N}^{{{c}_{2}}-1}\sum \limits_{k=1}^{N}{\left| {\boldsymbol{x}}_{k}\right| }^{{{c}_{2}}}。\\ \end{aligned} \right.$

(15)

假设1　参考轨迹$ {\chi }_{ad} $光滑可导且有界，其一阶导数$ {\dot{\chi }}_{ad} $和二阶导数$ {\ddot{\chi }}_{ad} $存在且有界。

假设2　领航者无人机的集总扰动$ {\Xi }_{a}({\chi }_{a},t) $是未知但有界，且其变化率$ {\dot{\Xi }}_{a} $有界，即$ ||{\dot{\Xi }}_{a}||\leqslant {C}_{a} $，$ {C}_{a} $为正实数。

假设3　每艘跟随者无人艇的集总扰动$ {\Xi }_{i} $是未知但有界，且其变化率$ {\dot{\Xi }}_{i} $有界，即$ ||{\dot{\Xi }}_{i}||\leqslant {C}_{i} $，$ {C}_{i} $为正实数。

2 机−艇异构编队协同控制策略的设计 2.1 固定时间神经网络观测器设计

为提高机−艇异构编队控制系统对模型不确定性和外部扰动的鲁棒性，本文将固定时间控制理论与自适应神经网络（RBFNN）逼近技术相结合，设计了一种固定时间神经网络观测器^[21]。本文机−艇异构系统的集总扰动可以表示为：

$ {\Xi }_{k}=h_{k}^{-1}({\mu }_{k}f({\Theta }_{k})+e({\Theta }_{k}))。$

(16)

式中：$ {h}_{k} $为正定设计参数；$ {\mu }_{k} $为理想权值向量；$ {\Theta }_{k} $为RBF神经网络输入向量；$ e({\Theta }_{k}) $为RBF神经网络逼近误差向量；$ f({\Theta }_{k}) $为径向基函数，其形式为：

$ f({\Theta }_{k})=\exp \left(-\frac{{({{\Theta }_{k}}-c)}^{\mathrm{{T}}}({\Theta }_{k}-c)}{2{\Gamma }^{2}}\right) 。$

(17)

式中：$ \Gamma $和$ c $分别为径基宽度和中心点

定义辅助变量$ {\beta }_{k} $和变量$ {\alpha }_{k} $：

$ \left\{\begin{aligned} & {\beta }_{k}={\chi }_{k}-{\alpha }_{k}，\\ &{\dot{\alpha }}_{k}={H}_{K}+{\Omega }_{k}{\tau }_{k}+{\gamma }_{1}si{g}^{{{w}_{1}}}({\beta }_{k})+{\gamma }_{2}\beta _{k}^{{w}_{2}}+\\& \quad\quad{\gamma }_{3}\frac{{\beta }_{k}}{\sqrt{\beta _{k}^{2}+( {\ell/{{\gamma }_{3}}})}}+h_{k}^{-1}({\hat{\mu }}_{k}f({\Theta }_{k}))。\\ \end{aligned}\right.$

(18)

式中：$ {\gamma }_{1}>0，{\gamma }_{2}>0，{\gamma }_{3} \gt 0 $；$ 0 \lt {w}_{1} \lt 1 $；$ {w}_{2} \gt 1 $。

根据式(18)，可将本文所用观测器设计为：

${ \left\{\begin{aligned} &{\hat{\Xi }}_{k}={\gamma }_{1}si{g}^{{{w}_{1}}}({\beta }_{k}) + {\gamma }_{2}\beta _{k}^{{w}_{2}} + {\gamma }_{3}\frac{{\beta }_{k}}{\sqrt{\beta _{k}^{2} + {(\ell/{{\gamma }_{3}})}^{2}}} + h_{k}^{-1}({\hat{\mu }}_{k}f({\Theta }_{k}))，\\& {\dot {\hat \mu }}_{k}=G\left(h_{k}^{-1}{\beta }_{k}f({\Theta }_{k})-{\xi }_{1}{\hat{\mu }}_{k}-{\xi }_{2}\hat{\mu }_{k}^{{w}_{2}}\right)。\\ \end{aligned} \right.}$

(19)

式中：$ G $为正定参数；$ {\xi }_{1}>0，{\xi }_{2} \gt 0 $。

定义观测误差为$ {\tilde{\Xi }}_{k}={\Xi }_{k}-{\hat{\Xi }}_{k} $，代入式(18)可得：

$ {\dot{\beta }}_{k}={\Xi }_{k}-{\hat{\Xi }}_{k}={\tilde{\Xi }}_{k}。$

(20)

因此，当$ {\dot{\beta }}_{k}\rightarrow 0 $时，可以保证$ {\tilde{\Xi }}_{k}\rightarrow 0 $。

定理1　在假设2和假设3成立的条件下，如果采用本文所设计的固定时间神经网络观测器式(19)，则可确保扰动估计值$ {\hat{\Xi }}_{k} $在固定时间内收敛至实际扰动值$ {\Xi }_{k} $的邻域内。

证明：选择Lyapunov函数

$ {V}_{1}=\frac{1}{2}\beta _{k}^{\mathrm{{T}}}{\beta }_{k}+\frac{1}{2G}\tilde{\mu }_{k}^{{\mathrm{T}}}{\tilde{\mu }}_{k}。$

(21)

式中：$ {\tilde{\mu }}_{k}={\mu }_{k}-{\hat{\mu }}_{k} $。

对式(21)求导，并将式(18)、式(19)代入，则得到：

$ \begin{split}{\dot{V}}_{1}= & \beta _{k}^{\mathrm{{T}}}{\dot{\beta }}_{k}+\dfrac{1}{G}{\tilde{\mu} }_{k}^{\mathrm{{T}}}{\dot{\tilde{\mu}}}_{k} =-{\gamma }_{1}{\left|\left|{\beta }_{k}\right|\right|}^{{{w}_{1}}+1}-{\gamma }_{2}{\left|\left|{\beta }_{k}\right|\right|}^{{{w}_{2}}+1}-\\ &{\gamma }_{3}\dfrac{\beta _{k}^{2}}{\sqrt{\beta _{k}^{2}+(\ell/{{\gamma }_{3}})^{2}}}+{\xi }_{1}{\tilde{\mu }}_{k}^{\mathrm{{T}}}{\hat{\mu}}_{k}+{\xi }_{2}{\tilde{\mu }}_{k}^{\mathrm{{T}}}{\hat{\mu}}^{{{w}_{2}}}_{k}。\end{split} $

(22)

根据引理2和引理3以及杨氏不等式，可得：

$ \left\{\begin{aligned} &\displaystyle\frac{-{\gamma }_{3}\cdot \text{}\beta _{k}^{2}}{\sqrt{\beta _{k}^{2}+(\ell/{{\gamma }_{3}})^{2}}}\leqslant -{\gamma }_{3}\cdot ||{\beta }_{k}||+\ell，\\& {\xi }_{1}{\tilde{\mu }}_{k}^{\mathrm{{T}}}{\hat{\mu }}_{k}\leqslant -\frac{{\xi }_{1}}{2}{\tilde{\mu }}_{k}^{\mathrm{{T}}}{\tilde{\mu }}_{k}+\frac{{\xi }_{1}}{2}{\left|\left|{\mu }_{k}\right|\right|}^{2}，\\& {\xi }_{2}{\tilde{\mu }}_{k}^{\mathrm{{T}}}{\hat{\mu }}_{K}^{{{w}_{2}}}\leqslant \frac{{\xi }_{2}}{1+{w}_{2}}\left(2\mu _{k}^{1+{w}_{2}}-\tilde{\mu }_{k}^{1+{w}_{2}}\right)。\\ \end{aligned} \right.$

(23)

综合上式，将不等式(23)代入到式(22)中，则可以进一步简化$ {\dot{V}}_{1} $：

$ \begin{split}&{\dot{V}}_{1}\leqslant -{\gamma }_{1}{\left|\left|{\beta }_{k}\right|\right|}^{{{w}_{1}}+1}-{\gamma }_{2}{\left|\left|{\beta }_{k}\right|\right|}^{{{w}_{2}}+1}-\frac{{\xi }_{1}}{2}\tilde{\mu }_{k}^{\mathrm{{T}}}{\tilde{\mu }}_{k}+\\ &\frac{{\xi }_{2}}{1+{w}_{2}}{\tilde{\mu }}_{k}{}^{1+{{w}_{2}}}+\frac{{\xi }_{1}}{2}{\left|\left|{\mu }_{k}\right|\right|}^{2}+\frac{2{\xi }_{2}}{1+{w}_{2}}{\mu }_{k}{}^{1+{{w}_{2}}}+\ell 。\end{split} $

(24)

通过增加和减去$ {\xi }_{1}{\left(\displaystyle\frac{\tilde{\mu }_{k}^{2}}{2}\right)}^{\frac{{w}_{1}+1}{2}} $项，并根据引理4，令$ x=\displaystyle\frac{\tilde{\mu }_{k}^{2}}{2}，y=1,{z}_{1}=\displaystyle\frac{{w}_{1}+1}{2}，{z}_{2}=\displaystyle\frac{1-{w}_{1}}{2}，{z}_{3}=\displaystyle\frac{2}{{w}_{1}+1} $，则：

$ {\xi }_{1}{\left(\frac{\tilde{\mu }_{k}^{2}}{2}\right)}^{\frac{{w}_{1}+1}{2}}\leqslant {\xi }_{1}\cdot \left(\frac{\tilde{\mu }_{k}^{2}}{2}\right)+{\xi }_{1}\cdot \frac{1-{w}_{1}}{2}\cdot {\left(\frac{{w}_{1}+1}{2}\right)}^{\frac{{w}_{1}+1}{1-{w}_{1}}}。$

(25)

令$ {m}_{1}=\min \left\{{\gamma }_{1}\cdot {2}^{\frac{{w}_{1}+1}{2}},{\xi }_{1}\cdot {G}^{\frac{{w}_{1}+1}{2}}\right\} $, $ {m}_{2}=\min \left\{{\gamma }_{2}{2}^{\frac{{w}_{2}+1}{2}}, \displaystyle\frac{{\xi }_{2}}{1+{w}_{2}}\cdot {(2G)}^{\frac{{w}_{2}+1}{2}}\right\}\times {3}^{\frac{{w}_{2}-1}{2}} $，并且$ {p}_{1}=\displaystyle\frac{{w}_{1}+1}{2} $，$ {q}_{1}=\displaystyle\frac{{w}_{2}+1}{2} $，则可以得到：

$ {\dot{V}}_{1}\leqslant -{m}_{1}{V}_{1}{}^{{{p}_{1}}}-{m}_{2}{V}_{1}{}^{{{q}_{1}}}+{\vartheta }_{1}。$

(26)

式中：$ {\vartheta }_{1}=\ell+\frac{{\xi }_{1}}{2}{\left|\left|{\mu }_{k}\right|\right|}^{2}+\frac{2{\xi }_{2}}{1+{w}_{2}}\mu _{k}^{1+{w}_{2}}+{\xi }_{1}\cdot \frac{1-{w}_{1}}{2} \cdot $ ${\left(\frac{{w}_{1}+1}{2}\right)}^{\frac{{w}_{1}+1}{1-{w}_{1}}} $。

由于$\displaystyle \frac{1}{2} \lt {p}_{1} \lt 1 $，$ {q}_{1} \gt 1 $，且根据引理1可以知道式(21)满足固定时间稳定，且收敛时间$ {T}_{1} $满足：

$ {T}_{1}\leqslant {T}_{1}{}^{\max }=\frac{1}{{m}_{1}{\zeta }_{1}(1-{p}_{1})}+\frac{1}{{\mathrm{m}}_{2}{\zeta }_{1}({q}_{1}-1)} 。$

(27)

式中：$ {\zeta }_{1} \gt 0 $。

根据$ {V}_{1} $的定义可知，当$ t\geqslant {T}_{1} $时，$ {V}_{1}\equiv 0 $，$ {\dot{V}}_{1}\equiv 0 $，$ {\dot{\beta }}_{k}\equiv 0 $，则$ {\tilde{E}}_{k}\equiv 0 $，$ t\geqslant {T}_{1} $。

2.2 有限时间预设性能函数的设计

针对机−艇异构编队协同系统的误差收敛问题，本文设计了有限时间预设性能函数。该函数能够有效约束系统误差，保证其在有限时间内快速收敛至期望范围。性能函数定义如下：

$ \delta (t)=\left\{\begin{aligned} & {\left({\left(\delta (0)-\delta (T)\right)}^{\varepsilon }-\varepsilon t\right)}^{\frac{1}{\varepsilon }}+\delta (T),0\leqslant t \lt T，\\& \delta (T), t\geqslant T。\\ \end{aligned}\right. $

(28)

式中：$ \delta (0) $为预设性能函数的初始值；$ \delta (T) $为预设性能函数的稳态值，且$ \delta (0) $和$ \delta (T) $是正常数；$ T=\delta {(0)}^{\varepsilon }/ \varepsilon $为有限时间预设性能函数的收敛时间，其中$ \varepsilon $是正常数。预设性能函数对比曲线，如图1所示。

注1　在图1中，本文设计的有限时间预设性能函数参数为$ \delta (0)=1，\varepsilon =0.2 $，故而理论预设收敛时间为$ T=\delta {(0)}^{\varepsilon }/\varepsilon =5\;{\mathrm{s}} $。可以看出，本文设计的有限时间预设性能函数具有更快的收敛特性，其实际收敛时间显著早于预设时间。

2.3 机−艇异构编队固定时间控制策略的设计 2.3.1 领航者无人机固定时间控制器设计

首先，定义领航者无人机子系统的轨迹跟踪误差为：

$ \left\{\begin{aligned} & {e}_{{{\chi }_{a}}}={\chi }_{a}-{\chi }_{ad}，\\ &{e}_{{{\Theta }_{a}}}={\Theta }_{a}-{\dot{\chi }}_{ad}。\\ \end{aligned}\right. $

(29)

式中：$ {\chi }_{a} $和$ {\Theta }_{a} $分别为无人机子系统的位置和速度向量；$ {\chi }_{ad} $和$ {\dot{\chi }}_{ad} $分别为无人机子系统的期望位置跟踪轨迹向量和期望速度跟踪向量。

根据式(28)可知，无人机位置误差被约束为$ -{\mathrm{\wp }}_{a}{\delta }_{a}(t)\leqslant {e}_{{{\chi }_{a}}}(t)\leqslant {\mathrm{\wp }}_{a}{\delta }_{a}(t) $，定义归一化的位置误差为：

$ {\eta }_{a}=\displaystyle\frac{{e}_{{{\chi }_{a}}}(t)}{{\mathrm{\wp }}_{a}{\delta }_{a}(t)}=\displaystyle\frac{e_{{\chi }_{a}}^{{\sigma }_{a}}-e_{{\chi }_{a}}^{-{\sigma }_{a}}}{e_{{\chi }_{a}}^{{\sigma }_{a}}+e_{{\chi }_{a}}^{-{\sigma }_{a}}}。$

(30)

式中：$ {\mathrm{\wp }}_{a}\in (0,1] $，$ {\delta }_{a}(t) $为无人机的误差约束函数，且$ -1\leqslant {\eta }_{a}\leqslant 1 $。

将式(30)经误差变换函数映射得到无约束变量$ {\sigma }_{a} $，误差变换函数采用对数形式，具体形式如下：

$ {\sigma }_{a}=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{{\eta }_{a}+1}{1-{\eta }_{a}}\right)。$

(31)

对式(31)关于时间求导，可以得到：

$ {\dot{\sigma }}_{a}=\frac{1}{{Q}_{a}}\cdot \left({e}_{{{\Theta }_{a}}}-{A}_{a}\right)。$

(32)

式中：$ {Q}_{a}=\left(1-\eta _{a}^{2}\right){\mathrm{\wp }}_{a}{\delta }_{a}(t) $，$ {A}_{a}=\displaystyle \frac{{e}_{{{\chi }_{a}}}{\dot{\delta }}_{a}(t)}{{\delta }_{a}(t)} $。

对式(32)关于时间求导，则：

$ {\ddot{\sigma }}_{a}=-\frac{{\dot{Q}}_{a}}{{\left({Q}_{a}\right)}^{2}}\cdot \left({e}_{{{\Theta }_{a}}}-{A}_{a}\right)+\frac{1}{{Q}_{a}}\left({\dot{e}}_{{{\Theta }_{a}}}-{\dot{A}}_{a}\right) 。$

(33)

式中：$ {\dot{Q}}_{a}={\mathrm{\wp }}_{a}\left(-2{\eta }_{a}\cdot {\dot{\eta }}_{a}{\delta }_{a}(t)+\left(1-\eta _{a}^{2}\right){\dot{\delta }}_{a}(t)\right) $；$ {\dot{A}}_{a}= {\left({e}_{{{\Theta }_{a}}}{\dot{\delta }}_{a}(t){\delta }_{a}(t)+{e}_{{{\chi }_{a}}}{\ddot{\delta }}_{a}(t){\delta }_{a}(t)-{e}_{{{\chi }_{a}}}{\left({\dot{\delta }}_{a}(t)\right)}^{2}\right)/\left({\delta }_{a}(t)\right)}^{2} $；$ {\dot{\eta }}_{a}= {\left({e}_{{{\Theta }_{a}}}{\mathrm{\wp }}_{a}{\delta }_{a}(t)-{e}_{{{\chi }_{a}}}{\mathrm{\wp }}_{a}{\dot{\delta }}_{a}(t)\right)/\left({\mathrm{\wp }}_{a}{\delta }_{a}(t)\right)}^{2} $；$ {\dot{e}}_{{{\Theta }_{a}}}={\dot{\Theta }}_{a}-{\ddot{\chi }}_{ad} $。

本文为领航者无人机设计的固定时间终端滑模面，如下所示：

$ {s}_{a}={\dot{\sigma }}_{a}+{\lambda }_{a1}si{g}^{{{r}_{a1}}}({\sigma }_{a})+{\lambda }_{a2}\sigma _{a}^{{r}_{a2}}。$

(34)

式中：$ {\lambda }_{a1}> 0，{\lambda }_{a2} \gt 0；\;0 \lt {r}_{a1} \lt 1；\;{r}_{a2} \gt 1 $。

因此，领航者无人机的控制输入为：

$ {{\tau }_{a}=\Omega _{a}^{-1}\left({\ddot{\chi }}_{ad}-{\mathrm{H }}_{a}({\Theta }_{a}) + {\dot{A}}_{a}-{Q}_{a}\cdot \left(\begin{aligned}&-\frac{{\dot{Q}}_{a}}{{\left({Q}_{a}\right)}^{2}} \cdot \left({e}_{{{\Theta }_{a}}}-{A}_{a}\right)+\\& {\lambda }_{a1}{r}_{a1} \cdot diag\left(|{\sigma }_{a}{|}^{{{r}_{a1}} - 1}\right)\\&{\dot{\sigma }}_{a} + {\lambda }_{a2}{r}_{a2}\cdot\\& \sigma _{a}^{{r}_{a2}-1}\cdot {\dot{\sigma }}_{a}+{\kappa }_{a1}si{g}^{{{n}_{a1}}}({s}_{a})\\& + {\kappa }_{a2}s_{a}^{{n}_{a2}}\\ \end{aligned}\right)- {\hat{\Xi }}_{a}\right)。} $

(35)

式中：$ {\kappa }_{a1}> 0，{\kappa }_{a2} \gt 0 $；$ {n}_{a1}和{n}_{a2} $为正奇数，且满足$ 0 \lt {n}_{a1} \lt 1 $，$ {n}_{a2} \gt 1 $。

定理2　在假设1和假设2成立的条件下，如果采用本文所设计的固定时间神经网络观测器式(19)和领航者无人机控制器式(35)，则领航者无人机轨迹跟踪误差$ {e}_{{{\chi }_{a}}} $和$ {e}_{{{\Theta }_{a}}} $将在固定时间内收敛到零的邻域内。

证明　构造如下Lyapunov函数

$ {V}_{a1}=\frac{1}{2}s_{a}^{\mathrm{{T}}}{s}_{a}。$

(36)

对式(36)关于时间求导，则：

$ \begin{split}{\dot{V}}_{a1}=s_{a}^{\mathrm{{T}}}\left({\ddot{\sigma }}_{a}+{\lambda }_{a1}{r}_{a}\cdot diag\left(|{\sigma }_{a}{|}^{{{r}_{a}}-1}\right){\dot{\sigma }}_{a}+{\lambda }_{a2}{\dot{\sigma }}_{a}\right)=\\ \begin{matrix}& -{\kappa }_{a1}||{s}_{a}|{|}^{{{n}_{a1}}+1}-{\kappa }_{a2}||{s}_{a}|{|}^{{{n}_{a2}}+1}+\displaystyle\frac{s_{a}^{\mathrm{{T}}}}{{Q}_{a}}\left({\Xi }_{a}-{\hat{\Xi }}_{a}\right)。\\ \end{matrix}\\ \end{split}$

(37)

根据定理1，可以知道观测误差$ {\tilde{\Xi }}_{a} $将在固定时间内收敛至零，并且由引理5，故$ {\dot{V}}_{a1} $可以进一步简化为：

${\dot{V}}_{a1}\leqslant -{m}_{a1}V_{a1}^{{p}_{a1}}-{m}_{a2}V_{a1}^{{q}_{a1}}。$

(38)

式中：$ {m}_{a1}={\kappa }_{a1} \cdot {2}^{\frac{{n}_{a1}+1}{2}} $；$ {m}_{a2}={\kappa }_{a2} \cdot {2}^{\frac{{n}_{a2}+1}{2}} $；$ {p}_{a1}=\displaystyle \frac{{n}_{a1}+1}{2} $；$ {q}_{a1}= \displaystyle \frac{{n}_{a2}+1}{2} $。

由于$ {m}_{a1}> 0，{m}_{a2} \gt 0 $且$ 0 \lt {p}_{a1} \lt 1,{q}_{a1} \gt 1 $，则根据引理1，式(36)是固定时间收敛的，且收敛时间满足：

$ {T}_{a1}\leqslant T_{\mathrm{a}1}^{\max }=\frac{1}{{m}_{a1}(1-{p}_{a1})}+\frac{1}{{m}_{a2}({q}_{a1}-1)}。$

(39)

当$ {s}_{a}=0 $，可以得到$ {\dot{\sigma }}_{a}=-{\lambda }_{a1}si{g}^{{{r}_{a1}}}({\sigma }_{a})-{\lambda }_{a2}\sigma _{a}^{{r}_{a2}} $。定义如下Lyapunov函数为：

$ {V}_{a2}=\frac{1}{2}\sigma _{a}^{\mathrm{{T}}}{\sigma }_{a} 。$

(40)

对式(40)求导，可以得到如下不等式：

$ {\dot{V}}_{a2}\leqslant -{m}_{a3}V_{a2}^{{p}_{a2}}-{m}_{a4}V_{a2}^{{q}_{a2}}。$

(41)

式中：$ {m}_{a3}={\lambda }_{a1}\cdot {2}^{{{p}_{a2}}} $；$ {m}_{a4}={\lambda }_{a2}\cdot {2}^{{{q}_{a2}}} $；$ {p}_{a2}=\displaystyle\frac{{r}_{a1}+1}{2} $；$ {q}_{a2}=\displaystyle\frac{{r}_{a2}+1}{2} $。

根据不等式(41)和引理1，可以知道$ {m}_{a3}> 0，{m}_{a4} >0 $，$ 0 \lt {p}_{a2} \lt 1 $，$ {q}_{a2} \gt 1 $，当滑模面$ {s}_{a}=0 $时，无人机轨迹跟踪误差将在固定时间内收敛为0，且收敛时间满足：

$ {T}_{a2}\leqslant T_{a2}^{\max }=\frac{1}{{m}_{a3}(1-{p}_{a2})}+\frac{1}{{m}_{a4}({q}_{a2}-1)}。$

(42)

证明完毕。

2.3.2 跟随者无人艇固定时间控制器设计

同样地，定义跟随者无人艇子系统的分布式编队误差为：

$ {e}_{{{\chi }_{i}}}=\left(\left(L+B\right)\otimes {I}_{3}\right)\left({\chi }_{i}(t)-{\chi }_{a}(t)-{\rho }_{i}\right)。$

(43)

式中：$ {e}_{{{\chi }_{i}}} $为编队位置误差向量；$ {\rho }_{i} $为领航者无人机与每艘无人艇之间的期望距离。

根据式(4)、式(6)和式(43)，跟随者无人艇子系统的全局编队误差可以被定义如下：

$ \left\{\begin{aligned} &{\dot{e}}_{{{\chi }_{i}}}={e}_{{{\Theta }_{i}}}，\\ &{\dot{e}}_{{{\Theta }_{i}}}=\left(\left(L+B\right)\otimes {I}_{3}\right)\left({\dot{\Theta }}_{i}-{\dot{\Theta }}_{a}-{\ddot{\rho }}_{i}\right)。\\ \end{aligned}\right. $

(44)

式中：$ {e}_{{{\Theta }_{i}}} $为第$ i $艘无人艇的速度误差向量。

同样，根据式(28)可以知道，每艘无人艇的位置误差被约束为$ -{\mathrm{\wp }}_{i}{\delta }_{i}(t)\leqslant {e}_{{{\eta }_{i}}}(t)\leqslant {\mathrm{\wp }}_{i}{\delta }_{i}(t) $，定义归一化的位置误差为：

$ {\eta }_{i}=\displaystyle\frac{{e}_{{{\chi }_{i}}}(t)}{{\mathrm{\wp }}_{i}{\delta }_{i}(t)}=\displaystyle\frac{e_{{\chi }_{i}}^{{\sigma }_{i}}-e_{{\chi }_{i}}^{-{\sigma }_{i}}}{e_{{\chi }_{i}}^{{\sigma }_{i}}+e_{{\chi }_{i}}^{-{\sigma }_{i}}}。$

(45)

式中：$ {\mathrm{\wp }}_{i}\in (0,1] $，$ {\delta }_{i}(t) $为跟随者无人艇的误差约束函数，且$ -1\leqslant {\eta }_{i}\leqslant 1 $。

将式(45)经误差变换函数映射得到无约束变量$ {\sigma }_{i} $，误差变换函数采用对数形式，具体形式如下：

$ {\sigma }_{i}=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{{\eta }_{i}+1}{1-{\eta }_{i}}\right) 。$

(46)

对式(46)关于时间求导，可以得到：

$ {\dot{\sigma }}_{i}=\frac{1}{{Q}_{i}}\cdot \left({e}_{{{\Theta }_{i}}}-{A}_{i}\right)。$

(47)

式中：$ {Q}_{i}=\left(1-\eta _{i}^{2}\right){\mathrm{\wp }}_{i}{\delta }_{i}(t) $；$ {A}_{i}=\displaystyle\frac{{e}_{{{\chi }_{i}}}{\dot{\delta }}_{i}(t)}{{\delta }_{i}(t)} $。

对式(47)关于时间求导，则：

$ {\ddot{\sigma }}_{i}=-\frac{{\dot{Q}}_{i}}{{\left({Q}_{i}\right)}^{2}}\cdot \left({e}_{{{\Theta }_{i}}}-{A}_{i}\right)+\frac{1}{{Q}_{i}}\left({\dot{e}}_{{{\Theta }_{i}}}-{\dot{A}}_{i}\right) 。$

(48)

式中：$ {\dot{\eta }}_{i}={\left({e}_{{{\Theta }_{i}}}{\mathrm{\wp }}_{i}{\delta }_{i}(t)-{e}_{{{\chi }_{i}}}{\mathrm{\wp }}_{i}{\dot{\delta }}_{i}(t)\right)\left/\left({\mathrm{\wp }}_{i}{\delta }_{i}(t)\right.\right)}^{2} $；$ {\dot{A}}_{i}= {\left({e}_{{{\Theta }_{i}}}{\dot{\delta }}_{i}(t) {\delta }_{i}(t)+{e}_{{{\chi }_{i}}}{\ddot{\delta }}_{i}(t){\delta }_{i}(t)-{e}_{{{\chi }_{i}}}{\left({\dot{\delta }}_{i}(t)\right)}^{2}\right)\left/\left({\delta }_{i}(t)\right.\right)}^{2} $；$ {\dot{Q}}_{i}= {\mathrm{\wp }}_{i} \left(-2{\eta }_{i}\cdot {\dot{\eta }}_{i}{\delta }_{i}(t)+ \left(1-\eta _{i}^{2}\right){\dot{\delta }}_{i}(t)\right) $。

本文为跟随者无人艇子系统设计的固定时间终端滑模面，如下所示：

$ {s}_{i}={\dot{\sigma }}_{i}+{\lambda }_{1}si{g}^{{{r}_{1}}}({\sigma }_{i})+{\lambda }_{2}\sigma _{i}^{{r}_{2}} 。$

(49)

式中：$ {\lambda }_{1}> 0，{\lambda }_{2} \gt 0 $；$ 0 \lt {r}_{1} \lt 1 $；$ {r}_{2} \gt 1 $。

根据式(49)及式(6)，可以得到跟随者无人艇子系统的控制输入为：

$ {{\tau }_{i}=\Omega _{i}^{-1}\left(\begin{aligned}&-{H}_{i}+{\dot{\Theta }}_{a}+{\ddot{\rho }}_{i}+\\& \left({\left(L+B\right)}^{-1}\otimes {I}_{3}\right)\cdot \end{aligned}\left({\dot{A}}_{i}-{Q}_{i}\cdot \left(\begin{aligned} &-\frac{{\dot{Q}}_{i}}{{\left({Q}_{i}\right)}^{2}}\cdot\left({e}_{{{\Theta }_{i}}}-{A}_{i}\right)+\\& {\lambda }_{1}{r}_{1}\cdot diag\left(|{\sigma }_{i}{|}^{{{r}_{1}}-1}\right)\\&{\dot{\sigma }}_{i}+ {\lambda }_{2}{r}_{2}\cdot \sigma _{i}^{{r}_{2}-1}\cdot {\dot{\sigma }}_{i}+\\&{\kappa }_{1}si{g}^{{{n}_{1}}}({s}_{i})+{\kappa }_{2}s_{i}^{{n}_{2}}\\ \end{aligned}\right)\right)-{\hat{\Xi }}_{i}\right)。} $

(50)

式中：$ {\kappa }_{1}> 0，{\kappa }_{2} \gt 0 $；$ {n}_{1}和{n}_{2} $均为正奇数，且满足$ 0 \lt {n}_{1} \lt 1 $，$ {n}_{2} \gt 1 $。

定理3　在假设3成立的条件下，如果采用本文所设计的固定时间神经网络观测器式(19)和跟随者无人艇控制器式(50)，则跟随者无人艇子系统的编队误差$ {e}_{{{\chi }_{i}}} $和$ {e}_{{{\Theta }_{i}}} $将在固定时间内收敛到零的邻域内。

证明　设计如下Lyapunov函数：

$ {V}_{s1}=\frac{1}{2}s_{i}^{\mathrm{{T}}}{s}_{i}。$

(51)

对上式求导，并结合式(49)、式(50)以及式(6)，可以得到：

$ \begin{split} &{{{\dot V}_{s1}} = s_i^{\mathrm{T}}{{\dot s}_i}}= \\ & { s_i^{\mathrm{T}}\left( { - {\kappa _1}si{g^{{n_1}}}({s_i}) - {\kappa _2}s_i^{{n_2}} + \frac{1}{{{Q_i}}}\left( {\left( {L + B} \right) \otimes {I_3}} \right){{\tilde \Xi }_i}} \right)} 。\end{split} $

(52)

根据定理1，可以知道观测误差$ {\tilde{\Xi }}_{i} $将在固定时间收敛至0，并且由引理5，故$ {\dot{V}}_{s1} $可以进一步简化为：

$ {\dot{V}}_{s1}\leqslant -{m}_{s1}V_{s1}^{{p}_{s1}}-{m}_{s2}V_{s1}^{{q}_{s1}}。$

(53)

式中：$ {m}_{s1}={\kappa }_{1}\cdot {2}^{\frac{{n}_{1}+1}{2}} $；$ {m}_{s2}={\kappa }_{2}\cdot {2}^{\frac{{n}_{2}+1}{2}} $；$ {p}_{s1}=\displaystyle\frac{{n}_{1}+1}{2} $；$ {q}_{s1}=\displaystyle\frac{{n}_{2}+1}{2} $。

由于$ {m}_{s1}> 0，{m}_{s2} \gt 0 $且$ 0 \lt {p}_{s1} \lt 1 $，$ {q}_{s1} \gt 1 $，则根据引理1，式(51)是固定时间收敛的，且收敛时间满足：

$ {T}_{s1}\leqslant T_{s1}^{\max }=\frac{1}{{m}_{s1}(1-{p}_{s1})}+\frac{1}{{m}_{s2}({q}_{s1}-1)}。$

(54)

当$ {s}_{i}=0 $，可以得到$ {\dot{\sigma }}_{i}=-{\lambda }_{1}si{g}^{{{r}_{1}}}({\sigma }_{i})-{\lambda }_{2}\sigma _{i}^{{r}_{2}} $。定义如下Lyapunov函数为：

$ {V}_{s2}=\frac{1}{2}\sigma _{i}^{\mathrm{{T}}}{\sigma }_{i}。$

(55)

对式(55)求导，可以得到如下不等式：

$ {\begin{split}&{\dot{V}}_{s2}=\;\sigma _{i}^{\mathrm{{T}}}\left(-{\lambda }_{1}si{g}^{{{r}_{1}}}({\sigma }_{i})-{\lambda }_{2}\sigma _{i}^{{r}_{2}}\right)\leqslant -{m}_{s3}V_{s2}^{{p}_{s2}}-{m}_{s4}V_{s2}^{{q}_{s2}}。\end{split} }$

(56)

式中：$ {m}_{s3}={\lambda }_{1}\cdot {2}^{{{p}_{s2}}} $；$ {m}_{s4}={\lambda }_{2}\cdot {2}^{{{q}_{s2}}} $；$ {p}_{s2}=\displaystyle\frac{{r}_{1}+1}{2} $；$ {q}_{s2}= \displaystyle\frac{{r}_{2}+1}{2} $。

根据不等式(56)和引理1，可以知道$ {m}_{s3}> 0，{m}_{s4} \gt 0 $，$ 0 \lt {p}_{s2} \lt 1 $，$ {q}_{s2} \gt 1 $，当滑模面$ {s}_{i}=0 $时，跟随者无人艇编队误差将在固定时间内收敛为0，且收敛时间满足：

$ {T}_{s2}\leqslant T_{s2}^{\max }=\frac{1}{{m}_{s3}(1-{p}_{s2})}+\frac{1}{{m}_{s4}({q}_{s2}-1)}。$

(57)

证明完毕。

注2　根据领航者无人机子系统可以知道，领航者无人机轨迹跟踪误差将在固定时间内收敛，且收敛时间满足$ {T}_{L}={T}_{1}{}^{\max }+T_{a1}^{\max }+T_{a2}^{\max } $。同理可以知道，跟随者无人艇子系统的编队误差收敛时间满足$ {T}_{F}={T}_{1}{}^{\max }+T_{s1}^{\max }+T_{s2}^{\max } $。因此，本文机−艇异构协同系统的误差将在固定时间内收敛，且收敛时间满足$ {T}_{L}+{T}_{F} $。

3 仿真实验 3.1 仿真参数设置

为验证本文所提出控制策略的有效性，在本节中将进行机−艇异构编队协同固定时间控制策略的仿真实验。领航者无人机动力学模型参数见文献[2]。本文跟随者无人艇系统采用挪威科技大学海洋控制实验室CyberShip Ⅱ船舶模型^[18]。

在仿真实验中，异构编队控制系统的初始状态$ {\chi }_{a}={[2,\,2,\,0.1]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\Theta }_{a}={[0,\,0,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\chi }_{1}={[4,\,0,\,-\text{π} /3]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\Theta }_{1}= {[0,\,0,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\chi }_{2}={[-3,\,5,-\text{π} /3]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\Theta }_{2}={[0,\,0,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\chi }_{3}= {[-3,\,-3,\,-\text{π} /4]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\Theta }_{3}={[0,\,0,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $。机−艇异构协同系统的期望编队距离向量为$ {\rho }_{1}={[5,\,0,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\rho }_{2}= {[-2.5,\,}$ $ {4.33,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $，$ {\rho }_{3}={[-2.5,\,-4.33,\,0]}^{\mathrm{{T}}} $，本文机−艇异构编队系统的参考轨迹被定义为$ {\chi }_{ad}={[15\sin (0.012\text{π} t)} $，$ {60\sin (0.006\text{π} t),0.1t]}^{\mathrm{{T} }}$。控制器参数如表1所示。

机−艇异构编队系统模型不确定参数设定为$o_{\alpha}=0.2，\Delta =0.2，$；集总扰动函数分别被定义为：

${ {d}_{a}= \left[\begin{array}{ll} 0.55+0.6 \sin (0.02t-{\text{π}} /4)+0.32\cos (0.2t+{\text{π}} /3)\\ 0.7+0.55 \cos (0.2t+{\text{π}} /6)+0.65\sin (0.08t+{\text{π}} /3)\\ 0.45 \cos (0.02t+{\text{π}} /2)+0.28 \cos (0.1t+ {\text{π}} /4) \end{array}\right]，}$

(58)

$ {d}_{i}=\left[\begin{aligned} & 1.5\cos (0.4t)\sin (0.5t+\text{π} /4)\\ &1.7\sin (0.3t)\cos (0.6t+\text{π} /3)\\ &2.1\cos (0.2t)\sin (0.7t+\text{π} /6)\end{aligned}\right]。$

(59)

3.2 仿真结果 3.2.1 实验1：八字形轨迹仿真

在实验1中，主要验证本文所提控制方法的有效性。图2表示机−艇异构编队八字形曲线；图3和图4表示领航者无人机与跟随者无人艇的控制输入曲线；图5表示机−艇异构编队协同系统的位置误差曲线；图6表示异构编队系统的扰动观测误差曲线。

3.2.2 实验2：对比实验

在实验2中，主要进行本文算法与传统滑模控制（PPC+SMC）方法的对比实验，传统滑模控制方法为：

$ {\left\{\begin{aligned} &{\delta }_{a}(t) = \left({\delta }_{a}(0) - {\delta }_{a}(T)\right){e}^{ - {{\varepsilon }_{a}}t} + {\delta }_{a}(T)，\\ &{s}_{a} = {\dot{\sigma }}_{a} + {P}_{a}{\sigma }_{a}，\\ &{\tau }_{a} = \Omega _{a}^{ - 1}\left({\ddot{\chi }}_{ad} - {\mathrm{H }}_{a}({\Theta }_{a}) + {\dot{A}}_{a}-{Q}_{a} \cdot \left( \begin{matrix} - \displaystyle\frac{{\dot{Q}}_{a}}{{\left({Q}_{a}\right)}^{2}} \cdot \left({e}_{{{\Theta }_{a}}} - {A}_{a}\right) + \\ {P}_{a}{\dot{\sigma }}_{a} + sig({s}_{a}) + {s}_{a}，\\ \end{matrix}\right) - {\hat{\Xi }}_{a}\right)，\\& {\delta }_{i}(t) = \left({\delta }_{i}(0) - {\delta }_{i}(T)\right){e}^{ - {{\varepsilon }_{i}}t} + {\delta }_{i}(T)，\\& {s}_{i} = {\dot{\sigma }}_{i} + {P}_{s}{\sigma }_{i}，\\ &{\tau }_{s,i} = \Omega _{i}^{ - 1}\left(\begin{matrix} - {H}_{i} + {\dot{\Theta }}_{a} + {\ddot{\rho }}_{i} + \\ \left({\left(L + B\right)}^{ - 1}\otimes {I}_{3}\right) \cdot \left({\dot{A}}_{i} - {Q}_{i}\cdot \left( \begin{matrix} - \displaystyle\frac{{\dot{Q}}_{i}}{{\left({Q}_{i}\right)}^{2}} \cdot \left({e}_{{{\Theta }_{i}}} - {A}_{i}\right) + \\ {P}_{s}{\dot{\sigma }}_{i} + sig({s}_{i}) + {s}_{i}\\ \end{matrix} \right) \right) - {\hat{\Xi }}_{i}\\ \end{matrix} \right)。\\ \end{aligned}\right.} $

(60)

式中：$ {\varepsilon }_{a}={\varepsilon }_{i}=0.5 $；$ {P}_{a}={P}_{s}=1 $。

在对比实验中，图7表示领航者无人机的位置误差对比曲线；图8～图10表示跟随者无人艇的位置误差对比曲线。可以发现，与传统滑模控制方法（PPC+SMC）相比，本文所提出的控制算法具有较快的收敛速度和较强的鲁棒性。原因在于有限时间预设性能函数能够加速异构编队系统暂态误差在$ T={4}^{0.4}/0.4=\text{4}\text{.35}\;{\mathrm{s}} $内快速收敛，并且实际的收敛时间会早于理论收敛时间$ T=\text{4}\text{.35}\;{\mathrm{s}} $，而PPC+SMC方法是渐进收敛的，即系统的暂态误差收敛时间不会在有限时间内精确达到零误差。与此同时，固定时间终端滑模控制策略以及扰动观测器保障了系统的固定时间全局收敛性能，使得系统稳态误差曲线平稳。在实验2中，2种控制方法均基于本文所设计的固定时间神经网络观测器，从图中可以发现，即便存在时变的集总扰动环境，2种控制方法的系统误差曲线光滑且无超调现象，提高了异构系统的抗干扰能力。侧面反映出本文所设计的扰动观测器具有较强的扰动补偿能力。

为了更加直观地体现本文所提控制算法的综合性能，通过选取绝对误差积分（Integral of Absolute Error，IAE）作为核心评估指标，从系统暂态和稳态的跟踪精度方面对算法性能进行量化对比。具体指标对比结果，见表2。可以发现，即使机−艇异构编队系统存在集总扰动，本文所提出的控制策略位置误差精度均明显小于传统滑模控制方法（PPC+SMC）这一结果表明本文所提控制方法暂态误差收敛速度更快，稳态误差更小。

由图5可以发现，机−艇异构编队位置误差在有限时间预设性能函数的约束下实现了快速收敛，并且异构系统误差的实际收敛时间早于有限时间预设性能函数的理论收敛时间$ T={4}^{0.4}/0.4=\text{4}\text{.35}\;{\mathrm{s}} $。由图6可以发现，本文所设计的固定时间神经网络扰动观测器能够快速估计和补偿机−艇异构系统的集总扰动，从而提高编队系统的抗干扰能力。

4 结　语

本文针对无人机-无人艇异构编队中的集总扰动抑制与协同控制问题，提出了一种基于固定时间神经网络观测器的快速终端滑模控制策略。所提出的控制策略能够确保了异构编队系统误差全局一致有界，提升了异构编队系统的鲁棒性与协同精度。仿真验证了方法的有效性，未来将考虑执行器故障与避障等问题，进一步提高复杂环境下的安全性。