0 引　言

舰船设备由于安装部位不同，安装基座结构多样，设备与安装基础之间弹性或者刚性连接，设备冲击环境特性变化很大^[1]。设备安装基础的冲击环境并不是没有安装设备时的基础输入，而是设备连接基础形成耦合系统的基础输入，实际上没有安装设备时的基础冲击环境比安装设备后的基础冲击环境更严厉，这是由于设备的结构惯性力的动力反作用相当大程度地改变了安装基础处的冲击谱，尤其是设备的安装频率处的谱值，通常把在谱上的这个变化称作“谱跌”现象。谱跌效应极大地减少了结构刚性基础频率处的冲击输入，通常几乎有一个数量级^{[2 − 4]}。冲击环境谱跌现象是1957年美国实船水下爆炸试验中偶然发现^[5]，加速度传感器测量结果在设备安装频率处异常，分析认为是设备与船体结构相互的结果，之后实船试验还发现当设备质量越大，设备基础处响应谱跌现象越明显，因此美国海军研究实验室在1960年开展试验验证谱跌效应。学者们从理论角度开展了单自由度和多自由度谱跌理论分析研究，贺少华等^[6]从数学上解释了“谱跌”产生的原理，如何得到包含“谱跌”效应的冲击输入谱，以及由“谱跌”带来的冲击响应的变化；谢浩等^[7]通过多自由度系统的理论计算，并结合机械阻抗法介绍了设计谱中的谱跌现象，设备的设计谱速度与质量、安装频率成反相关性。在数值计算方面，姜涛等^[8]通过对二自由度模型基础冲击谱的分析，提出在设备自身固有频率和基础固有频率接近，或设备质量大于0.2倍基础质量时，必须考虑“谱跌”因素的影响；Scavuzzo等^[9]的研究表明安装在甲板上靠近重型系统的轻型系统也会降低冲击谱，这种减少对具有许多涉及小模态质量的高阶模态的多质量系统具有一定的影响；计晨等^[10]对谱跌效应的各个影响因素进行研究，得出了谱跌效应的主要影响因素和变化趋势；于博洋等^[11]分析由于谱跌的存在，设备在双层弹性系统的下层时，其伪速度设计谱值明显比设备单层弹性安装时要低，即谱跌效应可以降低设计冲击谱值；王晓欣等^[12]开展设备支撑形式对反应谱的影响研究，由于连接形式的变化，设备与艇壳间的相互作用发生变化；李聪等^[13]研究发现小质量设备可以采用质量点模拟设备，弹簧单元模拟设备的安装频率，弹簧振子质量模型可以满足工程精度的需要同时可以显著提高建模的效率；张博等^[14]发现谱跌效应只发生在固有频率处，与模态质量大小有关，模态质量越大，谱跌效应越显著；张元亨等^[15]使用皮尔逊相关系数确定最佳小波基与分解尺度，对冲击信号进行小波分解运算较好去除趋势项误差，为舰艇设备高速冲击试验方法与损伤评估方法提供了参考；田聪等^[16]研制出基于弹簧-质量-阻尼系统的新型冲击谱测量装置，经计算、仿真及试验验证其可行且准确，处理低频趋势项误差以修正冲击响应谱提高了中低频段修正准确度；张强豪等^[17]提出基于SMW公式的结构重分析方法与基于频响函数的固有频率修改及固有振型配置方法，并基于模态模型推导固有频率对结构参数的灵敏度公式，为修改方式选择提供依据，相关方法经数值算例验证可行、有效且具优越性。

上述学者针对设备谱跌效应进行了理论、仿真分析以及验证工作，证明了数值计算可用来较好地模拟设备谱跌效应，分别针对设备质量、安装频率、安装基础形式等参数对设备冲击环境的影响规律开展研究，但研究对象多是以甲板结构为基础的双自由度系统，对于高刚度双层底内底上设备、设备质量和安装频率耦合效应的研究相对较少。为此，本文采用商业软件Abaqus对安装于双层底内底上设备的冲击环境进行计算，探讨设备质量及设备安装频率的变化对设备安装基础处冲击环境的影响规律；在分别探究设备质量与设备安装频率影响规律的基础上，还研究了两者耦合作用的影响规律以及冲击环境预报经验公式。

1 计算模型介绍 1.1 控制方程

对于任意复杂多自由度机械系统，均可将其拆解为2个或多个子系统进行分析。其中，将待深入分析的核心系统定义为主系统，而将对主系统动力学特性产生作用的其他关联系统称为从系统^[18]。若将主从系统抽象为如图1所示的双弹簧系统模型，其中I代表主系统，可视为设备的安装基础结构；II代表从系统，对应为设备本体及其基座结构。由于冲击谱通常依据设备安装位置的响应数据计算得出，因此通过分析主系统m₁的动态响应特性，能够深入探究冲击谱中谱跌现象的产生原因。

利用达朗贝尔原理，系统的无阻尼运动方程可表示为：

$ \left\{\begin{aligned}&{m}_{1}{\ddot{x}}_{1}+{k}_{1}\left({x}_{1}-{x}_{0}\right)-{k}_{2}\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)=0，\\ &{m}_{2}{\ddot{x}}_{2}+{k}_{2}\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)=0。\\ \end{aligned} \right.$

(1)

式中：x₀(t)为底部基础所受冲击激励；m₁为主系统的质量；k₁为主系统的刚度；m₂为设备的质量；k₂为设备安装的刚度；由m₂和k₂可确定设备的安装频率。

若假设m₁与地基的相对位移y₁、m₂与地基的相对位移y₂分别为：

$ {y}_{1}=\left({x}_{1}-{x}_{0}\right)\text{，}{y}_{2}=\left({x}_{2}-{x}_{0}\right)。$

(2)

将式(2)代入式(1)可得

$ {\left\{\begin{aligned}&{m}_{1}\frac{{{\mathrm{d}}}^{2}\left({y}_{1}+{x}_{0}\right)}{{\mathrm{d}}{t}^{2}}+{k}_{1}{y}_{1}-{k}_{2}\left(\left({y}_{2}+{x}_{0}\right)-\left({y}_{1}+{x}_{0}\right)\right)=0，\\& {m}_{2}\frac{{{\mathrm{d}}}^{2}\left({y}_{2}+{x}_{0}\right)}{{\mathrm{d}}{t}^{2}}+{k}_{2}\left(\left({y}_{2}+{x}_{0}\right)-\left({y}_{1}+{x}_{0}\right)\right)=0。\end{aligned}\right.} $

(3)

进一步简化可得：

$ \left\{\begin{aligned}&{m}_{1}{\ddot{y}}_{1}+{m}_{1}{\ddot{x}}_{0}+{k}_{1}{y}_{1}-{k}_{2}\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)=0，\\ &{m}_{2}{\ddot{y}}_{2}+{m}_{2}{\ddot{x}}_{0}+{k}_{2}\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)=0。\end{aligned}\right. $

(4)

进一步变换为：

$ \left\{\begin{aligned}&{m}_{1}{\ddot{y}}_{1}-{k}_{2}{y}_{2}+\left({k}_{1}+{k}_{2}\right){y}_{1}=-{m}_{1}{\ddot{x}}_{0}，\\ &{m}_{2}{\ddot{y}}_{2}+{k}_{2}{y}_{2}-{k}_{2}{y}_{1}=-{m}_{2}{\ddot{x}}_{0}。\end{aligned}\right. $

(5)

将其表示成矩阵形式为：

$ \left[\begin{matrix}{m}_{1}~~~~~0\\ ~\text{0}~~~~~{m}_{2}\\ \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}{\ddot{y}}_{1}\\ {\ddot{y}}_{2}\\ \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix}{k}_{1}+{k}_{2}~~~-{k}_{2}\\ ~~-{k}_{2}~~~~~~~{k}_{2}\\ \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}{y}_{1}\\ {y}_{2}\\ \end{matrix}\right\}=-{\ddot{x}}_{0}\left\{\begin{matrix}{m}_{1}\\ {m}_{2}\\ \end{matrix}\right\}，$

(6)

将式(6)表示为：

$ M\ddot{y} + Ky = p，$

(7)

设式(7)解的形式为$ y = A e^{i\omega t } $，可得：

$ (-\omega^2 M + K) A = 0，$

(8)

即

$ \left[ \begin{array}{cc} k_1 + k_2 - \omega^2 m_1 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 - \omega^2 m_2 \end{array} \right]\left\{\begin{matrix}{A}_{1}\\ {A}_{2}\\ \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}0\\ 0\\ \end{matrix}\right\} 。$

(9)

式中：A₁和A₂是特征向量$ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}_1 \\ \boldsymbol{A}_2 \end{bmatrix} $的分量，代表系统振型（振动形态）的振幅参数。由于A₁、A₂不全为0，即要求系数矩阵的行列式为0，从而得到特征方程：

$ {\omega }^{4}-\left(\omega _{01}^{2}+\omega _{02}^{2}+a\omega _{02}^{2}\right){\omega }^{2}+\omega _{01}^{2}\omega _{02}^{2}=0。$

(10)

式中：$ {\omega }_{01}=\sqrt{{k}_{1}/{m}_{1}} $，$ {\omega }_{02}=\sqrt{{k}_{2}/{m}_{2}} $，为从系统与主系统的质量比；$ a={m}_{2}/{m}_{1} $为从系统与主系统的质量比。

$ 令\Delta \left(\omega \right)={\omega }^{4}-\left(\omega _{01}^{2}+\omega _{02}^{2}+a\omega _{02}^{2}\right){\omega }^{2}+\omega _{01}^{2}\omega _{02}^{2} 。$

(11)

解得方程的根即特征值为：

$ {\omega _{1,2}^{2}=\frac{\omega _{01}^{2}+\omega _{02}^{2}+a\omega _{02}^{2}}{2}\mp \frac{\sqrt{{\left(\omega _{01}^{2}+\omega _{02}^{2}+a\omega _{02}^{2}\right)}^{2}-4\omega _{01}^{2}\omega _{02}^{2}}}{2}。}$

(12)

式中：$ {\omega }_{1} $、$ {\omega }_{2} $分别为耦合系统的第一阶固有频率和第二阶固有频率。

将$ {\omega }_{1} $和$ {\omega }_{2} $分别代入式(9)中，得到A₁和A₂的关系：

$ -{k}_{2}{A}_{1}+\left({k}_{2}-\omega _{1,2}^{2}{m}_{2}\right){A}_{2}=0，$

(13)

令A₂=1，得到：

$ {A}_{1}=\frac{{k}_{2}-{m}_{2}{\omega }^{2}}{{k}_{2}}=1-\frac{\omega _{1,2}^{2}}{\omega _{02}^{2}} ，$

(14)

即与之对应的特征向量为：

$ {Y}_{1}={\left\{1-{\gamma }_{1}\;1\right\}}^{\mathrm{{T}}} ，{Y}_{2}={\left\{1-{\gamma }_{2}\;1\right\}}^{\mathrm{{T}}}。$

(15)

根据式(15)得到正则阵型φ，坐标变换矩阵为：

$ \boldsymbol{\varphi} = \begin{bmatrix} 1 - \gamma_1 & 1 - \gamma_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}，$

(16)

则坐标变换为：

$ y = \boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{q} ，$

(17)

则可式(7)变换到主坐标系下，可表示为：

$ \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} M \ddot{\boldsymbol{q}} + \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} K \boldsymbol{q} = \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}，$

(18)

即

$ \left[\begin{matrix}{\alpha }_{1}~~~~0\\ \text{0}~~~~~~{\alpha }_{2}\\ \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}{\ddot{q}}_{1}\\ {\ddot{q}}_{2}\\ \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix}{\beta }_{1}~~~~0\\ \text{0}~~~~~~{\beta }_{2}\\ \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}{q}_{1}\\ {q}_{2}\\ \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}{p}_{1}\\ {p}_{2}\\ \end{matrix}\right\}。$

(19)

其中，

$ \begin{split}&{\alpha }_{1}={m}_{1}{\left(1-{\gamma }_{1}\right)}^{2}+{m}_{2}，\\ &{\alpha }_{2}={m}_{1}{\left(1-{\gamma }_{2}\right)}^{2}+{m}_{2}，\\& {\beta }_{1}=\left({k}_{1} + {k}_{2}\right){\left(1 - {\gamma }_{1}\right)}^{2} - 2{k}_{2}\left(1 - {\gamma }_{1}\right) + {k}_{2} = {k}_{1}{\left(1 - {\gamma }_{1}\right)}^{2} + {k}_{2}\gamma _{1}^{2}，\\& {\beta }_{1}=\left({k}_{1} + {k}_{2}\right){\left(1 - {\gamma }_{2}\right)}^{2} - 2{k}_{2}\left(1 - {\gamma }_{2}\right) + {k}_{2} = {k}_{1}{\left(1 - {\gamma }_{2}\right)}^{2} + {k}_{2}\gamma _{2}^{2}，\\ &{p}_{1}=-{\ddot{x}}_{0}\left[{m}_{1}\left(1-{\gamma }_{1}\right)+{m}_{2}\right]，\\& {p}_{2}=-{\ddot{x}}_{0}\left[{m}_{1}\left(1-{\gamma }_{2}\right)+{m}_{2}\right]。\\ \end{split} $

式中：α、β和p分别对应广义质量、广义刚度和广义激振力。这样通过主坐标转换，实现了式(6)的解耦，得到主坐标形式下的式(19)，从而使式(19)中第一式和第二式互不耦合、彼此独立。由此根据无阻尼单自由度系统在任意激振力作用下的强迫振动响应，由Duhamel积分得到式(21)的系统响应为：

$ \begin{split}{q}_{1}\left(t\right)=&\;{q}_{10}\cos \left({\theta }_{1}t\right)+\left({\dot{q}}_{10}/{\theta }_{1}\right)\sin \left({\theta }_{1}t\right)+\\ &\frac{1}{{\alpha }_{1}{\theta }_{1}}\int _{0}^{t}{p}_{1}\left(\tau \right)\sin {\theta }_{1}\left(t-\tau \right){\mathrm{d}}\tau，\end{split} $

(20)

$ \begin{split}{q}_{2}\left(t\right)=&\;{q}_{20}\cos \left({\theta }_{2}t\right)+\left({\dot{q}}_{20}/{\theta }_{2}\right)\sin \left({\theta }_{2}t\right)+\\ &\frac{1}{{\alpha }_{2}{\theta }_{2}}\int _{0}^{t}{p}_{2}\left(\tau \right)\sin {\theta }_{2}\left(t-\tau \right){\mathrm{d}}\tau。\end{split}$

(21)

式中：$ {\theta }_{1}=\sqrt{{\beta }_{1}/{\alpha }_{1}} $，$ {\theta }_{2}=\sqrt{{\beta }_{2}/{\alpha }_{2}} $，分别对应二自由度耦合系统的第一和第二阶固有频率，根据式(12)，也即$ {\theta }_{1}={\omega }_{1} $，$ {\theta }_{2}={\omega }_{2} $。假设冲击条件下，基础的初始速度和位移都为0，则可以得到：

$ {q}_{1}\left(t\right)=\frac{1}{{\alpha }_{1}{\omega }_{1}}\int _{0}^{t}{p}_{1}\left(\tau \right)\sin {\omega }_{1}\left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau，$

(22)

$ {q}_{2}\left(t\right)=\frac{1}{{\alpha }_{2}{\omega }_{2}}\int _{0}^{t}{p}_{2}\left(\tau \right)\sin {\omega }_{2}\left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau。$

(23)

通过坐标变换式(17)得到$ {\ddot{x}}_{3}\left(t\right) $作用系统的响应为：

$ {y}_{1}\left(t\right)=\left(1-{\gamma }_{1}\right){q}_{1}\left(t\right)+\left(1-{\gamma }_{2}\right){q}_{2}\left(t\right)，$

(24)

$ {y}_{2}\left(t\right)={q}_{1}\left(t\right)+{q}_{2}\left(t\right)。$

(25)

1.2 数值计算模型

1）计算模型

以典型双层底及其安装设备为研究对象，双层底尺寸为15 m×15 m×1 m，内底厚度30 mm，外板厚度30 mm，内部横、纵隔板厚度30 mm，隔板间距1 m，结构材质选用Q235B钢。本文主要分析垂向冲击载荷作用下的响应，约束双层底各边的转动；为模拟设备真实的安装状态，采用Bushing单元模拟设备与双层底的弹性安装；有限元模型如图2所示。

2）冲击载荷

本文根据GJB1060.1标准^[19]，水面舰艇的区域Ⅰ载荷，取设计谱加速度A₀=3136 m/s²，设计谱速度V₀=7 m/s，设计谱位移D₀=0.043 m。设备双波时域冲击计算是目前常用方法^[20]，本文根据德国BV043/85^[21]和HJB715^[22]，设计谱转化为三角波时域冲击载荷，具体计算公式为：

$ {a}_{2}=0.6{A}_{0}，$

(26)

$ {t}_{2}=0.6{V}_{0}/{a}_{2}，$

(27)

$ {t}_{3}=1.5{V}_{0}/{a}_{2}，$

(28)

$ {t}_{5}=(6.3{D}_{0}-1.6{a}_{2}t_{3}^{2})/1.6{a}_{2}{t}_{3}+{t}_{3}，$

(29)

$ {a}_{4}=-{a}_{2}{t}_{3}/({t}_{5}-{t}_{3})，$

(30)

$ {t}_{4}={t}_{3}+0.6({t}_{5}-{t}_{3})。$

(31)

式中：$ {a}_{2} $为正三角波历程加速度峰值，m/s²，$ {A}_{0} $为设计谱加速度值，m/s²；$ {V}_{0} $为设计谱速度值，m/s；$ {t}_{2} $为正三角波加速度峰值时间，s；$ {t}_{2}= 0.4{t}_{3} $；$ {t}_{3} $为正三角波历程结束时间，s；$ {t}_{4} $为负三角波加速度峰值时间，s；$ {t}_{5} $为负三角波历程结束时间，s；$ {D}_{0} $为设计谱位移值，m；$ {a}_{4} $为负三角波历程加速度峰值，m/s²。

根据式(26)～式(31)计算得到加速度时域载荷计算输入，如图3所示。

3）数值计算模型

本文采用商业软件Abaqus开展结构及设备冲击计算，冲击载荷作用于双层底结构外板（见图2）。结构网格属性为六面体单元，隔振器采用Interaction模块衬套赋予连接截面弹性、阻尼属性。在爆炸非线性强载荷作用下，结构金属内部处于高温、高压、高应变率状态下，表现出的力学性能与静态下有明显不同，特别是动态屈服应力与静态屈服应力有很大不同，金属材料的动态本构关系与应变率强关联。本文数值计算模型中，钢材采用Johnson-Cook模型，具体形式为：

$ \sigma =\left[A+B{\left({\varepsilon }^{p}\right)}^{n}\right]\left(1+C\ln \frac{\dot{\varepsilon }}{{\dot{\varepsilon }}_{0}}\right)\left[1-{\left(\frac{T}{{T}_{m}}\right)}^{m}\right]。$

(32)

式中：$ \sigma $为流动应力；$ A $为参考温度下的初始屈服应力；$ B $、$ n $分别为材料应变硬化参数；$ C $为材料缺陷密度特征参数；$ {\dot{\varepsilon }}_{0} $为材料应变率强化参数；m为材料热软化参数；$ {T}_{m} $为熔化温度。

本文Q235B钢Johnson-Cook本构模型参数见表1。

4）网格收敛性计算

数值计算中网格尺寸过大会存在离散化误差、数值稳定性差和含入误差等问题，而网格尺寸过小将存在计算效率过低等问题，为了获得可靠的结果，需要开展网格收敛性分析。以本文实尺度模型为计算对象，计算模型网格尺寸分别设定为20、40、60、80 mm，其他参数不变，提取不同工况基座相同测点处的结果开展对比分析，以20 mm结果为基准，其他尺寸与其比值如图4所示，基座加速度、速度和位移响应峰值随着网格尺寸减小同步变大，但是趋势逐渐变缓，最大相差约6%，可见4种网格尺寸都能反应冲击载荷下结构的响应特性，考虑模型计算规模和效率最终选择40 mm作为结构模型网格尺寸。

2 设备质量影响规律分析

典型冲击响应系统中，主要包括设备的质量、安装频率等参数，为了探究不同参数对冲击谱谱跌的影响，采用控制变量法具体探究多种控制参数对冲击谱谱跌的影响，将设备安装在内底板，分析设备重量、设备安装频率等参数变化对冲击谱谱跌的影响。本节针对设备的弹性安装开展设备质量对谱跌效应的影响规律。对于设备重量不同对谱跌的影响，通过改变设备的密度设置设备的重量。由于常见设备的安装频率一般在10 Hz左右，不超过25 Hz^[23]，但是双层底结构的刚度相对较大，所以双层底的设备安装频率相对较大，故本文取弹性安装的固有频率15 Hz保持不变，安装位置以及其他参数不变。由于舰船上的设备重量一般在0.2～400 t范围内，设备质量间隔为50 t，根据公式$ \omega =\sqrt{k/m}/2\text{π} $，在安装频率与设备重量以及确定的情况，可以求得对应的设备安装处的弹簧刚度，具体设置如表2所示。

计算得到系列不同设备质量、安装频率15 Hz下的冲击谱速度曲线如图5所示，可知当设备的安装频率保持不变时，设计谱速度与设备质量反相关。由前面的理论推导可知，无论是低频段还是高频段，设备与基础之间的动态力与质量成正比，质量越大，动态力越大，意味着设备基础处的伪速度越小，结论与理论一致，说明设备质量对于谱速度有着显著的影响。

3 设备安装频率影响规律分析

考虑一个单自由度系统，基础受到$ \ddot{y}\left(t\right) $作用，则质量与基础的相互作用力为：

$ F\left(t\right)=kz=-\frac{k}{\omega }\int _{0}^{t}\ddot{y}\left(\tau \right)\sin \omega \left(t-\tau \right){\mathrm{d}}\tau。$

(33)

式中：z为单自由度系统的位移；k为单自由度系统的刚度；ω为单自由度系统的圆频率；t为时间；τ为积分变量。

已有文献[24]证明在低频段z(t) → -y₀(t)，即

$ F\left(t\right)=m{\omega }^{2}{y}_{0}\left(t\right)。$

(34)

从式(34)可知，外部激励不变的情况下，在低频段时，设备所受到的最大动态力与设备安装频率的平方成正比例关系；与质量成反比例关系。同理在高频段时，$ {\omega }^{2}z\left(t\right)\rightarrow -{\ddot{y}}_{0}\left(t\right) $，因此：

$ F\left(t\right)=m{\ddot{y}}_{0}\left(t\right)。$

(35)

在高频段，设备所受的动态力与安装频率无关，与质量成正比例。上面的假设建立在基础所受载荷不变的前提下，实际情况下由于设备与基础之间的相互作用会使得基础的冲击输入改变，为此本文将简化设备安装于实际船舶来验证理论结果的正确性。

将简化设备通过隔振器安装于船舶的双层底上，由于常见设备的安装频率在10 Hz左右，一般不超过25 Hz^[25]，故本文中选取设备安装频率为10～22 Hz，频率间隔为2 Hz。当设备质量小于20 t时，设备基础处的冲击谱曲线无明显的谱跌现象，当设备质量达到20 t时，设备基础处的冲击谱曲线在设备安装频率处开始发生明显的谱跌现象，与理论计算结果现象一致；所有设备基础处的冲击谱曲线在低频段基本重合；在中高频段，设备基础处的冲击谱曲线具有明显的波谷，极小值与安装频率反相关。通过有限元仿真分析不同质量设备在不同安装频率序列下基础结构的冲击谱特性，为便于建立统一标准，工程领域通常采用以伪速度表征的设计谱曲线来量化冲击载荷特性。依据相关规范对冲击谱曲线进行圆整处理，从而获得不同工况测点对应的设计谱值。

不同设备质量下的伪谱速度随安装频率的变化曲线如图6所示，舰载设备的谱速度与安装频率成反相关。当设备质量小于20 t时，该反相关规律尚不明显，但是设备质量超过20 t时，随着舰载设备的安装频率增大，谱速度显著减小。由前面的理论推导可知，低频段时设备与基础之间的动态力与安装频率成正比例关系，安装频率越大，动态力越大，意味着设备基础处的伪速度越小，与理论计算结果一致。说明安装频率对于设计谱有着重要的影响，必须予以考虑。

4 基于设备质量和安装频率的修正研究 4.1 修正考虑因素

通过上述结果分析可见，当设备质量与安装频率各异时安装于船体内底板，其对冲击谱谱跌的影响程度存在差异。本节主要基于设备质量与安装频率变化工况下的设计谱结果展开探讨。研究结论表明，对于同一船型结构，设备安装于内底板位置时，其冲击谱特性随质量与安装频率的不同而变化：随着质量和安装频率的增加，冲击谱的谱跌现象逐渐显著，且二者对冲击谱的影响存在耦合效应。从设备与结构耦合视角分析，内底板因自身刚度较高，其响应以船体整体振动为主，自身局部振动特征并不显著。后续将针对各设计谱参数随设备质量m及安装频率f变化对谱跌的影响机制展开深入讨论。

从前2节分析可知设备质量与安装频率对设计谱值均会产生影响，并且两者之间的影响是耦合在一起的，因此本节将同时考虑设备质量与安装频率作为对设计谱值的影响因素，对设备安装处的设计谱值进行修正。以内底设备基础处设计谱值为例，随设备质量、安装频率的各设计谱曲面如图7所示。

根据质量、安装频率及各设计谱值，以质量、安装频率为自变量，拟合得到各设计谱参数的公式。

谱位移：

${\begin{split} D\left(m,f\right)=&\;38.59-0.0029m+0.018f+0.0000045{m}^{2}-\\ &0.00032{f}^{2}-0.00176mf，\end{split}} $

(36)

谱速度：

$ {\begin{split}V\left(m,f\right)=&\;7.537+0.000675m+0.019f+0.00000274{m}^{2}-\\ &0.00109{f}^{2}-0.000476mf ，\end{split}}$

(37)

谱加速度：

$ {\begin{split}A\left(m,f\right)=&\;482.97+0.04m+1.26f+0.000176{m}^{2}-\\ &0.070{f}^{2}-0.03mf。\end{split}} $

(38)

设备安装在内底等船体部位，在确定设备质量以及设备的安装频率后，则可按照上述3个公式，分别求出谱位移、谱速度和谱加速度的值，并将其与未安装设备时的设计谱值进行比较，分析设备安装对冲击环境的影响，并通过改变设备的质量以及安装频率，确定能够实现谱跌效应的临界值。

分析可得，即便设备均安装于双层底部位，其谱跌程度仍存在显著差异。当设备质量较小情况下，设备安装未引发明显的冲击谱谱跌现象，且调整安装频率对设计谱值的影响亦相对有限；而当质量超过某一临界值时，设备安装将对冲击谱产生影响并出现显著谱跌现象，此时安装频率的改变亦会对冲击谱产生明显作用。因此，在计算安装设备的冲击环境时，可依据设备质量与安装频率拟合设计谱曲面，进而通过拟合公式计算相应的冲击谱值。

4.2 修正方法验证

为验证4.1节中的修正公式，取设备质量分别为30、70、150 t，安装频率分别为15、17、19 Hz工况开展研究，分别将上述质量代入式(36)～式(38)中，求得相应的谱位移D、谱速度V以及谱加速度A如表3所示。此外开展上述质量工况的有限元计算，除质量不同外，其余设置与前文中的工况一致。对比分别通过修正公式与有限元计算求得的设计谱值。

通过有限元计算求得的系列设备质量及安装频率工况下的冲击谱，经过处理后求得的谱位移D₀、谱速度V₀以及谱加速度A₀如表4所示。

对比修正公式以及有限元计算求得的设计谱值如表5所示。

可以看出，通过修正方法求出的谱位移D_m、谱速度V_m以及谱加速度A_m与有限元计算求出的结果相比误差最大为7.4%。表明该修正方法经过上述设备质量工况验证，预报精度较好。

5 结　语

1）根据理论推导和数值计算分析，设备的谱速度与设备质量、安装频率成反相关，当设备质量小于20 t时，该反相关规律尚不明显，但是设备质量超过20 t时，随着舰载设备的安装频率增大，谱速度显著减小。结合理论推导可知，低频段时设备与基础之间的动态力与安装频率成正比例关系，安装频率越大，动态力越大，意味着设备基础处的伪速度越小，与理论计算结果一致。

2）设备质量与安装频率对设备冲击环境的影响相对较大通过拟合设备质量、安装频率的设计谱曲面，以设备质量、安装频率为自变量，拟合得到考虑谱跌效应的设计谱参数的修正公式。通过修正公式得到的谱位移D_m、谱速度V_m以及谱加速度A_m与有限元计算求出的结果相比误差均小于10%，表明该修正公式经过上述设备质量、频率工况验证，预报精度较好。