0 引　言

随着船舶大型化趋势的和节能减排需求的提升^{[1 − 2]}，推进系统的轻量化设计已成为提升船舶能效、降低碳排放的关键技术方向^{[3 − 4]}。船舶超长轴系作为推进系统的关键部件，其重量与长度远大于常规轴系，不仅增加船体负荷，还会导致动力消耗攀升。因此，针对超长轴系，在保证强度和刚度的前提下，通过合理优化空心轴的结构与空径比^[5]，实现重量减轻并且提升整体推进性能，具有重要意义^[6]。

当前，轴系轻量化主要通过2条技术路径实现：一是材料优化，通过选用高比强度、低密度的新型材料，可在满足所需力学性能及可靠性的前提下，有效降低轴系重量。尹志垚等^[7]使用碳纤维增强树脂基复合材料设计船舶轴系，相比传统钢质轴系可实现减重达57%；美国海军研制了新型的复合传动轴代替原有的碳素钢轴，减重比达80%^[8]。二是结构优化，通过空心轴代替实心轴，在保证工作条件满足的前提下，可极大降低自重与能耗。MOON等^[9]设计了一款新型的船舶推进电机，在推力轴上采用了空心轴设计，使得电机整体重量明显下降，有效降低了电力的消耗。

同时，轻量化的设计需要保证轴系的静、动态性能必须满足相应工况要求。静态性能方面，强度校核是核心评价指标，其影响因素主要包括轴系设计尺寸、材料选择以及主机工况等。空心轴与实心轴在强度表现上存在较大区别，且材料是重要影响因素之一。Reddy等^[10]研究了复合材料在汽车传动轴上的应用，包括材料的选用和传动轴的设计，在不降低可靠性的情况下，最大程度减少传动轴的重量。SHAH^[11]基于船舶螺旋桨轴使用的常规材料和复合材料展开了讨论研究，结果表明螺旋桨轴的应力集中与扭转振动是造成推进轴系失效的主要原因，且验证了复合金属材料性能的优越性。超长轴系的扭转振动作为其动态特性的指标之一，产生的根本原因是主力矩与反力矩之间不平衡，使得合成扭矩的方向不断变化，造成失衡振动。扭转振动会消耗一定的能量，严重情况下会致使轴承与轴加剧磨损，且共振现象甚至会导致推进设备的直接损坏^[12]。马相龙等^[13]提出一种基于能量法的轴系扭转振动建模及动力学分析方法，并通过有限元计算方法对比分析验证了方法的正确性，为船舶复杂轴系设计提供一定参考。船舶航行时的波浪载荷、碰撞或是其他外部冲击力等冲击载荷会对轴系产生一定的影响，使用空心轴系作为船舶的超长推进轴系，抗冲击性能分析是必不可少的一环。沈荣瀛等^[14]采用了有限元与数值仿真法相结合的方法，建立了推进轴系冲击响应计算的数学模型，以加速度为冲击输入条件，计算了轴系冲击响应。姜克达^[15]分别以冲击波载荷模型和考虑气泡脉动的载荷模型作为输入激励，仿真计算了轴系的冲击动响应，分析了关键节点的冲击响应特性及两种响应模型的区别与关联。船舶上有较多的多目标参数优化方法的应用，如船舶设计优化、航线规划、船舶调度、能源管理和船舶安全规划等。

综上，目前国内外的研究多聚焦于常规轴系或轴段的结构优化与静、动态性能研究，而针对超长轴系的研究较为匮乏。为此，本文从轴系中空优化设计切入，以超长空心轴系为研究对象，通过轴系结构中空优化手段，分析在不同空径比下超长空心轴系的轻量化特性、强度特性、扭转振动特性及抗冲击性能，提出一种基于多目标优化的轴系空径比选取方法，为船舶超长轴系的轻量化设计提供理论参考和优化依据。

1 理论方法 1.1 空心轴设计理论

船舶推进轴系横截面上的应力分布呈现出径向逐渐增大的特点，如图1所示。轴心处的切向应力为零，而外径处的应力值达到最大，承受较大应力。

空心轴通过轴心空心化设计减轻重量，降低转动惯量，从而减少轴系启停和运行的能耗。由于质量集中分布在远离旋转中心的外缘，相同外径时空心轴比实心轴具有更低的转动惯量和更优的轻量化效果。

实心轴与空心轴的转动惯量计算公式：

$ {J}_{实}=\frac{1}{8}{m}_{0}{D}^{2}=\frac{\text π }{32}\rho L{D}^{4}，$

(1)

$ {J}_{空}=\frac{1}{8}{m}_{a}({D}^{2}-{d}^{2})=\frac{\text π }{32}\rho L{({{D}^{2}}-{{d}^{2}})}^{2}。$

(2)

式中：$ D $为轴直径；$ d $为轴孔径；$ L $为轴长度；$ \rho $为轴材料密度；$ {m}_{0} $为实心轴轴质量；$ {m}_{a} $为空心轴质量。

实心轴轴系质量计算公式：

$ {m}_{0}=\rho V=\frac{\rho \text π {D}^{2}L}{4}。$

(3)

式中：$ V $为轴体积。

空心轴的轴截面面积与空径比关联公式：

$ {S}_{a}=\frac{\text π ({D}^{2}-{d}^{2})}{4}=\frac{\text π {D}^{2}(1-{a}^{2})}{4}。$

(4)

式中：$ a $为空径比，即$ a=d/D $。建立$ a $与空心轴质量$ {m}_{a} $的关系式：

$ {m}_{a}=\frac{\rho \text π {D}^{2}L(1-{a}^{2})}{4}。$

(5)

则轴系减轻的重量$ \Delta {m}_{a} $为：

$ \Delta {m}_{a}=\frac{\rho \text π L{D}^{2}{a}^{2}}{4}。$

(6)

可知轴系减轻的重量与空径比呈二次函数关系。

根据CCS《钢制海船入级规范2025》要求，当轴系空径比$ a $>0.4时，需通过增大外径进行强度补偿。修正后的外径$ {D}_{a} $需满足特定计算公式，以确保空心轴系在轻量化同时保持足够的结构强度。具体为：

$ {D}_{a}{}^{4}-{d}^{4}-{D}^{3}{D}_{a}\geqslant 0。$

(7)

1.2 轴系理论应力计算

1）船舶轴系所承受的轴向应力主要来源于螺旋桨。螺旋桨推力计算式为：

$ {F}_{p}=1943.2\frac{{P}_{e}\cdot {\eta }_{p}}{{v}_{\max }(1-b)} 。$

(8)

式中：$ {P}_{e} $为轴额定功率；$ {\eta }_{p} $为螺旋桨效率；$ {v}_{\max } $为最大航速；$ b $为推力减额系数。

超长轴系一般用于大型船舶，其螺旋桨效率在0.60～0.78之间，推力减额系数在0.08～0.20之间，此处螺旋桨效率取0.75，推力减额系数取0.10。根据船舶的相关参数，其推力为307.67 kN。

2）螺旋桨旋转时有相应的扭矩，轴系会产生相应的切向应力，扭矩计算公式为：

$ T=9\;549\frac{P}{n} 。$

(9)

式中：$ P $为主机额定功率；$ n $为轴系转速。经计算，其扭矩为719964 N·m。

3）船舶轴系轴向应力（压应力）计算式为：

$ \sigma =\frac{{T}_{p}}{{S}_{a}}=\frac{4{T}_{p}}{\text π {D}^{2}(1-{a}^{2})}。$

(10)

式中：$ {T}_{p} $为螺旋桨推力，计算可得不同空径比轴系的轴向应力$ \sigma $。

4）轴的剪切应力计算式为：

$ \tau =\frac{T}{{W}_{t}}=\frac{16T}{\text π {D}^{3}(1-{a}^{4})}。$

(11)

式中：$ T $为轴截面所受转动力矩，$ {W}_{{t}} $为扭转截面模量。

空心轴的截面扭转截面模量计算式为：

$ {W}_{t}=\frac{\text π {D}^{3}(1-{a}^{4})}{16}。$

(12)

5）轴的弯曲应力计算式为：

$ {\sigma }^{\prime}=\frac{M}{{W}_{z}}=\frac{32M}{\text π {D}^{3}(1-{a}^{4})}。$

(13)

式中：$ M $为轴截面所受弯矩，$ {W}_{\text{z}} $为弯曲截面模量。

空心轴的弯曲截面模量计算式为：

$ {W}_{\text{z}}=\frac{\text π {D}^{3}(1-{a}^{4})}{32}。$

(14)

弯矩计算式为：

$ M={G}_{桨}{L}_{艉轴}+\frac{1}{2}{G}_{轴}{L}_{艉轴}。$

(15)

G_桨为螺旋桨自身重量，重量为25.40 t，G_轴为轴自身重量，重量为8.03 t，L_艉轴为螺旋桨到后艉轴承总长度，长度为5.56 m。计算可得弯矩$ M $大小为163547.40 N·m。安装误差引起的额外弯曲应力$ \sigma _{1}^{\prime} $取值一般在15～30 MPa，此处省略。

6）多载荷作用下轴的等效应力计算式为：

$ {\sigma }_{{\mathrm{stress}}}=\sqrt{{(\sigma +{{\sigma }^{\prime}}+{\sigma _{1}^{\prime}})}^{2}+3{\tau }^{2}}。$

(16)

1.3 轴系扭转振动理论

船舶在主机、螺旋桨等的周期性力矩激励下，产生出现环绕其轴向扭曲或变形的现象，即扭转振动。而轴系振动校核可提前发现潜在的振动问题，并采取有效的措施进行优化，降低故障发生的风险，确保船舶安全运行。

动力学分析中，船舶轴系的运动方程为：

$ \left[M\right]\left\{\ddot{u}\right\}+\left[C\right]\left\{\dot{u}\right\}+\left[K\right]\left\{u\right\}=\left\{F\left(t\right)\right\}。$

(17)

式中：$ \left[M\right] $为质量矩阵；$ \left[C\right] $为阻尼矩阵；$ \left[K\right] $为刚度矩阵；$ \left\{F\left(t\right)\right\} $为激励力；$ \left\{u\right\} $为位移矢量；$ \left\{\dot{u}\right\} $为速度矢量；$ \left\{\ddot{u}\right\} $为加速度矢量。

不考虑外界激励时，$ F\left(t\right) $为0。当忽略轴系的阻尼$ \left[C\right] $时，上式简化如下：

$ \left[M\right]\left\{\ddot{u}\left(t\right)\right\}+\left[K\right]\left\{u\left(t\right)\right\}=0。$

(18)

螺旋桨激振力表示为：

$ {F}_{v}={\xi }_{p}{F}_{p}{\left(\frac{{n}_{p}}{{n}_{e}}\right)}^{2}\sin (k{Z}_{p}\omega t+{\varphi }_{p})。$

(19)

式中：$ {\xi }_{p} $为螺旋桨推力变化系数；$ {F}_{p} $为额定转速下的平均推力。

螺旋桨激振力矩表示为：

$ {M}_{x}={M}_{x0}+\sum \limits_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\beta {M}_{x0}\sin (k{Z}_{p}\omega t+{\varphi }_{p})。$

(20)

式中：$ {M}_{x0} $为螺旋桨平均扭矩，见式(22)；$ \beta $为无量纲系数，奇数桨叶取0.03～0.07。

$ {M}_{x0}=9459.3\frac{{P}_{e}}{{n}_{e}}{\left(\frac{{n}_{p}}{{n}_{e}}\right)}^{2} 。$

(21)

谐波响应的特征方程表示为：

$ \left(-{\omega }^{2}\left[M\right]+i\omega \left[C\right]+\left[K\right]\right)\left\{u\right\}=\left\{F\right\}。$

(22)

式中：$ \omega $为激励载荷的圆频率，rad/s。

1.4 美国海军研究实验室求和方法

冲击加速度设计值公式为：

$ {A}_{0}=196.2\frac{(17.01+{m}_{0})(5.44+{m}_{0})}{{(2.72+{{m}_{0}})}^{2}} ，$

(23)

$ {V}_{0}=1.52\frac{5.44+{m}_{0}}{2.72+{m}_{0}}。$

(24)

式中：$ {A}_{0} $为加速度；$ {V}_{0} $为表加速度；$ {m}_{0} $为有效模态质量。

1.5 Pareto最优解

基于NSGA-Ⅱ多目标遗传算法求取空径比的Pareto最优解，其定义为：

$ \min y=f(x)=[{y}_{1},{y}_{2}\cdot \cdot \cdot \text{，}{y}_{n}] 。$

(25)

式中：$ y $为目标向量，其目标空间为Y；$ x $为决策向量，其决策空间为$ X $。

其中，全部Pareto最优解组成的集合为Pareto解集，即PS；全部Pareto解集在目标空间的投影为Pareto前沿，即PF。

$ \boldsymbol{PF}=\{\boldsymbol{F(x)}\left| x\in \boldsymbol{PS}\}\right.。$

(26)

2 物理模型

以某船超长轴系为对象，采用45#钢作为轴系材料，其密度为7850 kg/m³，杨氏模量为2.1×10¹¹ Pa，泊松比为0.31，屈服强度为355 MPa。各轴段的尺寸如表1所示，据此建立实心轴模型如图2所示。

3 结果与讨论 3.1 空径比对轴系静态特性影响分析

轴系的轻量化设计需平衡空心轴的有效承载面积与轻量化需求，从而保障船舶安全性和稳定性。校核空径比大于0.4时对轴向、剪切、弯曲及等效应力的影响，通过修正外径增强强度，确保承载能力与结构可靠性。经计算，修正扩大后的轴系参数如表2所示。

根据1.2节中提到的轴系强度计算方法，采用理论方法对轴系进行强度校核。以修正后空径比为0.8的船舶超长轴系为例，修正后空径比实际大小为0.72，推力为307670 N，扭矩为719964 N·m，弯矩为1635474 N·m，计算各个强度应力如表3所示。

采用静态结构与瞬态结构板块进行仿真强度应力校核分析，以修正后空径比0.8的轴系为例。静态、动态载荷下等效应力云图，轴系最大与最小轴截面应力云图如图3所示。

可知，仿真计算结果略小于理论计算结果，根据某船轴系一比一还原模型，结构相对较复杂。主要原因是后螺旋桨轴端面直径尺寸大于462 mm，导致弯曲应力与剪切应力减小，相应的等效应力也随之减小。

基于理论强度校核与仿真强度校核，依次计算其余不同空径比轴系的轴向应力、剪切应力、弯曲应力、等效应力，结果如图4所示。

可知，随着空径比的增大，轴系的各项应力增大，强度减弱；由各项应力合成的等效应力，整体增加趋势呈二次函数形式。在相同的载荷边界条件下，随着空径比的增大，对应的等效应力、轴向应力、剪切应力都呈增加趋势。空径比小于0.4时，应力增加速率较平稳；在空径比大于0.4时，应力增加速率较快即空径比对轴系强度的影响显著。轴系修正后，其各项应力趋于平稳，即扩大轴系外径能够有效改善轴系的强度性能，降低应力大小。修正后轴系的各项应力变化较小，等效应力大小几乎一致，与修正前相比，修正后轴系的强度性能得到显著改善。而相比于实心轴，空心轴所受应力较大，但空心轴系在合适的空径比范围内的强度性能未超出材料的屈服极限，能够满足推进系统运行的可靠性与安全性，避免了轴系材料的浪费，并起到相应的轴系减重改良效果。

3.2 空径比对轴系动态特性影响分析

船舶轴系中空设计通过降低质量实现轻量化，但会改变质量分布、降低刚度，加剧振动并削弱抗冲击能力。空径比的增大会降低固有频率和截面惯性矩，影响共振特性和冲击耐受性。设计时需优化空径比以平衡轻量化与动态性能，避免应力集中和结构失效风险。

通过模态分析得到每一空径比对应轴系的一阶固有频率，如表4所示。

可知，轴系的一阶固有频率变化趋势为先增后减，后小幅下降空径比为0.1时，固有频率值最大，其频率为9.886 Hz。空径比为0.5～0.7时，外径修正前后轴系固有频率变化较小；空径比为0.8时，外径修正前后轴系的一阶固有频率变化增大。

利用有限元软件中的谐波响应计算其余不同空径比模型各关键部位最大扭转角大小，结果如表5所示。

为方便观察，不考虑反方向扭转角，只取绝对值大小，如图5 所示。

据上述可知，随着空径比的增大，轴系的最大扭转角先逐渐减小，在空径比0.6时达到最小，扭转角为1.002×10⁻²(°)，后逐渐增大。在空径比为0.0～0.4时，最大扭转角出现在中间轴，当空径比大于0.4后出现在艉轴。修正前后轴系的最大扭转角大小基本一致，即外径修正与否对扭转角影响较小。

为确保分析结果的准确性和可靠性，采用模态分析板块求取实心轴（空径比为0.0）的前100阶模态，并基于前100阶模态质量求解基础，仿真计算有效模态质量为系统总质量的83.75%，高占比的有效模态质量模态分析能够更准确地预测结构的动态响应，满足响应谱分析的可靠性和准确性，可适用于轴系冲击谱设计。

船舶轴系冲击谱的加速度通过模态分析得到的有效模态质量求取，在100阶模态中选取大于1%的有效模态质量，有效模态质量的模态合成采用美国海军研究实验室求和方法标准的$ {A}_{a} $和$ {V}_{a} $船用设计值分别可通过$ {A}_{0} $和$ {V}_{0} $求出，具体如表6所示。

将前100阶模态中大于1%的有效模态质量进行计算通过表5中各个方向上的不同冲击系数大小计算$ {A}_{a} $、$ {V}_{a} $，并在$ {V}_{a} $$ {\omega }_{a} $和$ {A}_{a} $中选择数值较小项作为加速度，其中$ {\omega }_{a} $为圆频率，即$ 2\text π f $，$ f $为每阶频率。

以空径比为0.0的轴系为例，求解各个方向的加速度与各阶模态对应的频率，设计X向、Y向和Z向的Rs加速度冲击谱，各方向冲击加速度如图6所示。

利用有限元软件中的响应谱分析模块，以图6中各方向的冲击加速度作为输入条件，求解得到等效应力如图7所示。

可知，实心轴最大与最小冲击等效应力位于螺旋桨，应力为339.04 MPa，未超出材料的屈服强度355 MPa，证明该轴的抗冲击性能较好。依次求解其他空径比下的轴系，结果如表7、图8所示。

由图8可知，在相同的冲击条件下，轴系最大冲击应力集中在中间轴和螺旋桨处，艉轴与推力轴所受最大冲击应力相对较小。空径比为0.7时，轴系最大冲击应力出现在中间轴，应力值为376.78 MPa，其与修正后空径比为0.7的轴系所受冲击应力相差30.36 MPa，且超出了轴系的屈服极限；空径比为0.5时，轴系所受最大冲击应力最小，应力为317.53 MPa，未超出轴系的屈服极限。与实心轴所受冲击应力相比，空径比为0.4～0.6的空心轴最大冲击应力小于实心轴的相应应力，修正后的轴系在部分空径比范围内应力小于实心轴的相应应力，说明空心轴的抗冲击性能在特定范围内优于实心轴。

3.3 超长轴系多目标参数最优空径比

船舶超长轴系中空设计的核心在于优化空径比，需综合权衡静态强度与动态性能的耦合影响。随着空径比增大，轴系质量与强度呈线性下降，而动态特性呈现非线性变化，需通过多目标优化平衡减重需求与性能最优解。

以各个轴系的强度应力、扭转角、冲击应力为优化目标，以空径比（轴系质量）为变量，综合性能参数求取最优空径比。

1）利用Matlab软件进行多项式函数拟合，轴系修正前后的扭转角无明显差异，只需拟合一种扭转角多项式函数，具体如下：

扭转角多项式拟合函数：y₁=1.748x³−1.758x²+0.073x+1.215；

修正前等效应力多项式拟合函数：y₂=392.581x³−263.092x²+38.667x+91.533；

修正后等效应力多项式拟合函数：y₃=30.988x³−41.877x²+13.992x+91.526；

修正前冲击应力多项式拟合函数：y₄=−213.851x³+278.073x²−85.363x+340.692；

修正后冲击应力多项式拟合函数：y₅=11.743x³−88.793x²+47.882x+334.283。

求取Pareto最优解，种群数量设置为100，迭代次数设置为500，扭转角与等效应力参数权重分别占比25%，冲击应力参数权重占比50%得到修正前后轴系的空径比Pareto前沿，具体如图9与图10所示。

2）通过Pareto前沿提取的最优决策变量，即最优空径比为0.268与0.799，对应目标函数值y₁即扭转角分别为1.142×10⁻²(°)和1.043×10⁻²(°)，修正前后冲击应力y₄与y₅分别为333.67 MPa和321.77 MPa，与实心轴相比，修正前后最优空径比对应的空心轴分别减重约5.02 t、30.76 t，减重百分比为3.98%与24.41%。

分别组合船舶超长轴系多项性能参数，求解不同最优解空径比，包括最优空径比对应等效应力、扭转角、冲击应力以及轴系重量降低大小，具体结果参数如表8与表9所示。

结果表明，所求轴系修正前后最优空径比大小不同，各对应最优目标参数不同。

1）修正前方案受等效应力制约，最优空径比为0.268时可实现5.02 t减重，但轻量化效果有限；2）经外径修正后，最优空径比提升至0.799，在等效应力91.784 MPa、扭转角1.043×10⁻²(°)和冲击应力321.777 MPa时实现30.76 t显著减重；3）对比分析显示修正后方案在保持相近静强度，等效应力差值1.234 MPa和扭转角降低0.099×10⁻²(°)的同时，冲击应力降低11.900 MPa，综合性能有所提升；4）优化过程通过调整权重分配强化冲击应力约束，确保各项参数均在许用范围内，等效应力与扭转角权重占比较小，增大冲击应力权重占比，以满足优化求解过程中避免出现冲击应力过大，以充分保证其安全性能，并求取最优空径比。

4 结　语

本文主要提出一种选取船舶超长轴系空径比的优化方法，达到了轴系轻量化的目的。空径比的选取受轴系的强度、振动、抗冲击性能因素等约束，本文分析了不同空径比下船舶超长轴系静态、动态特性的影响变化，结合轴系强度应力、扭转振动、抗冲击性能参数，利用多目标优化的方法求解了轴系最优空径比，得到结论如下：

1）超长轴系的轻量化设计主要通过材料优选和结构优化实现，合理设计空径比可在保证强度和刚度的前提下减轻轴系质量，空径比的增大导致应力升高，通过外径修正可有效降低应力，在特定条件下优于实心轴性能。

2）在振动校核中，空径比对轴系固有频率产生影响,修正后的轴系扭振应力低于修正前，且最大扭转角始终小于实心轴，在空径比0.6时达到最小值。抗冲击校核表明，空径比0.4～0.6时冲击应力低于实心轴，0.5时最小；空径比0.7时，修正前冲击应力超出屈服极限，而修正后满足强度要求。外径修正使冲击应力变化变平缓，改善了轴系的抗冲击性能。

3）基于强度、振动及抗冲击校核结果，建立以轻量化和性能最优为目标的多目标优化模型，采用NSGA-Ⅱ算法求解得到最优空径比。修正前空径比0.268时轴系减重3.98%，修正后空径比0.799时减重24.41%，均满足综合性能要求。该方法可为船舶超长轴系的轻量化设计提供参考。