0 引　言

开孔板结构在海洋工程和海上新能源领域应用广泛。开孔板作为垂荡板可以减小浮式平台的大幅度运动响应^[1]，垂荡板结构减小了漂浮式风电机组纵摇响应的峰值^[2]。水下装备在安装过程通常由起重船吊机对其进行下放来实现，起重船由于波浪作用会产生六自由度运动对吊装过程产生安全隐患，在水下结构物水动力影响下，起重船与水下结构物垂荡运动的相位差容易引发吊绳张紧和松弛，导致吊绳断裂，因此有必要对开孔板的垂荡水动力性能进行研究。

开孔板结构往往尺寸巨大且形态各异，影响开孔板垂荡水动力性能的主要参数^[3]有板尺寸、板厚t、开孔率τ、开孔直径D、浸没深度d、运动周期T和幅值a，主要可分为板的几何参数和运动参数。模型实验方法可以准确直接地得到模型的水动力系数。Chua等^[4]进行了不同开口尺寸的垂荡板垂荡实验，将数据用3种方法处理，研究了开口大小对垂荡水动力系数的影响。Bezunartea-Barrio等^[5]制作不同尺度的浮式风机垂荡板，进行了在一定频率范围内不同幅度的强迫振荡实验，研究了板结构垂荡的尺度效应。Rao等^[6]利用缩尺比模型在静水中进行了不同振幅和周期组合的强迫垂荡实验，使用线性阻尼模型确定了附加质量和阻尼。George等^[7]针对开孔圆盘在不同开孔率和KC数下进行了实验，并与数值结果进行对比，结果表明随着开孔率的增加，通过开孔的流量逐渐增加并抑制了开孔周围漩涡的形成。

虽然模型实验可直观地得到数据，但成本花费巨大且难以对所有尺寸和形状的结构物进行实验，解析方法和数值方法也常常被应用于水动力研究中。Mentzoni等^[8-9]对多孔板在振荡流中的水动力提出了一种解析解并使用NS求解器进行了数值研究，二者吻合较好。Molin等^[10]提出了一种适用于任何形状且带有开孔结构物的水动力模型，提出附加质量和阻尼与振幅有关，并且压力差和速度之间存在二次非线性的关系。Rajagopalan等^[11]建立了数值水池求解NS方程，得到了板垂荡的水动力系数。Zhang等^[12]采用流体体积法进行了大涡模拟，对带有多个八角形垂荡板的强迫振荡模型进行了水动力预测，探讨了板间距、孔直径和长宽比的影响，结果与实验吻合较好。Rao等^[13]进行了开孔板垂荡自由衰减的模拟，给出了流场并讨论对阻尼的影响。Li等^[14]讨论了板两侧的压差与板上的法向流体速度之间关系，总结了基于势流方法的多孔板的压力损失问题研究进展。Wang等^[15]通过预测通过多孔表面的动量通量，提出了求解多孔挡板上流体力的宏观计算流体力学（CFD）方法。阳晨等^[16]模拟了垂荡板强迫振荡，研究了不同开孔率及开孔数对低频附加质量系数及线性阻尼系数的影响。杜小振等^[17]基于有限元方法研究了阻尼板和振荡水柱浮标的相对运动，掌握了提高浮标波浪能效率的方法。

本文利用均匀开孔的开孔板，分别改变其板厚、开孔率和开孔直径，采用CFD方法模拟不同振幅和周期下的强迫振荡过程，使用线性阻力模型最小二乘拟合水动力系数，研究几何参数和运动参数对附加质量系数和阻尼系数的影响，探究参数对水动力影响的变化规律，为类似开孔板的设计和安装使用提供理论支撑。

1 强迫振荡数值模型 1.1 开孔板模型

本文的主要研究对象是一块横纵均匀排列开孔的矩形板。初始开孔板的主尺度为L × B × t = 520 mm × 365 mm × 5 mm，开孔直径D = 10 mm，开孔数n = 379个，开孔率为15.68%，开孔率为孔的面积和与板的面积之比$ \tau =n{\text{π}} {D}^{2}/(4LB) $^[18]。在初始开孔板的基础上设计了不同板厚、孔直径不变而开孔率为$ \tau =7.74\text{%} $、开孔率不变而孔直径D = 20 mm的板，具体形式如图1所示。

1.2 控制方程和无因次系数

本文的数值工作基于雷诺平均湍流（Reynolds-Averaged Navier-Stokes，RANS）方程展开，将求方程解的平均值视为稳态情况的时间平均解，流体的平均质量、动量方程可以表示为：

$ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \left(\rho \overline{v}\right)=0 ，$

(1)

$ \frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \overline{v}\right)+\nabla \cdot \left(\rho \overline{v}\times \overline{v}\right)=-\nabla \cdot \overline{p}I+\nabla \cdot \left(\overline{T}+{T}_{RANS}\right)+{f}_{b}。$

(2)

式中：ρ为流体密度；$ \overline{v} $为平均速度；$ \overline{v}\times \overline{v} $为速度的张量积；$ \overline{p} $为平均压力；I为单位张量；$ \overline{T} $为平均粘性应力；T_RANS为单位张量表示的应力张量；f_b为体积力合力。

采用Star-CCM+求解数值模型，基于有限体积法进行空间离散化，采用SIMPLE算法解耦速度场和压力场，通过代数多重网格方案提高求解效率，采用K-epsilon双层模型实现湍流闭合，以提高精度捕捉近壁效应。采用两相不可压缩和不混溶的欧拉模型求解每相的质量、动量和能量方程。使用具有相分数表示的流体体积函数（VOF）方法跟踪空气和水之间的界面。将式(2)中左侧两项对流加速度和局部加速度相除可以得到垂向振荡物体的KC数：

$ KC=VT/L=2{\text{π}} a/B。$

(3)

式中：KC数可用来描述物体在静止流体中振荡时所受到的阻力和惯性力之间的关系，KC数小时表示惯性力的影响较大，KC数大时表示阻力的影响较大。对于完全浸没的开孔板做小振幅简谐运动时，其垂向速度为$ \dot{X}\left(t\right)=a\omega \cos\left(\omega t\right) $，所受水动力可以表示为：

$ {F}_{hyd}\left(t\right)=-\rho {V}_{R}{C}_{a}\ddot{X}\left(t\right)-0.5\rho {S}_{R}\left(1-\tau \right){C}_{d}\dot{X}\left(t\right)。$

(4)

式中：右侧两项分别表示附加惯性力、阻尼力。

使用Morison方程进行垂荡板的力学建模时，阻力项中含有速度的平方项即为二次阻力模型$ \dot{X}\left(t\right)\left| \dot{X}\left(t\right)\right| = a\omega \cos\left(\omega t\right)\left| a\omega \cos\left(\omega t\right)\right| $。二次阻力模型傅里叶级数展开到一阶可得$ \cos\left(\omega t\right)\left| \cos\left(\omega t\right)\right| \approx 8\cos\left(\omega t\right)/ \left(3{\text{π}} \right) $，此时阻力项与速度的一次项相关，即为式(4)使用的一次阻力模型。根据挪威船级社规范^[19]推荐的矩形板体积和面积参考标准：参考体积$ {V}_{R}={\text{π}} L{B}^{2}/4 $，参考面积$ {S}_{R}=LB $。利用最小二乘法将垂向力时历拟合成式(4)的函数，从而可以得到附加质量系数和阻尼系数。

1.3 计算域边界和网格划分

由于研究的开孔板为对称形状，为减少计算成本，仅截取开孔板的一半作为计算对象。如图2 (a)所示，计算域为6 m×1.5 m×3 m的长方体形状，开孔板距离每个方向的边界至少为$ 4B $，开孔板处于自由液面以下70 cm处。计算域的前面为速度进口，后面为压力出口，其余面均设置为对称平面。采用重叠网格离散计算域，对板垂直运动区域的网格进行了加密，以便开孔板附近重叠网格进行数据交换，提高计算精度。图2 (b)为板表面具体网格。

1.4 数值模型验证

针对海洋工程作业的CFD计算问题，对网格尺寸的不确定性评估很有必要，本文针对原始开孔板在振幅a = 8 mm、周期T = 2 s时的振荡工况设置了粗、中、细3种基本尺寸的网格，每一级均较前一级细一倍，以垂向力的稳态最大值为验证指标，使用理查森外推法对结果进行评估，每种尺寸网格下垂向力的稳态最大值被分别记录为S₁（粗）、S₂（中）、S₃（细），结果经过了截止频率为5 Hz的低通滤波处理。图3和表1所示为检验的设置和计算结果，可以看出时历吻合结果较好。

结果比率$ R $定义为：

$ R=\left({S}_{2}-{S}_{1}\right)/\left({S}_{3}-{S}_{2}\right)。$

(5)

收敛阶p计算式为：

$ p=\ln {R}/\ln {r}。$

(6)

网格收敛性指标可以被表示为：

$ GCI= {F}_{s}\left| \varepsilon \right| /\left({r}^{p}-1\right)。$

(7)

式中：r为网格细化比，本文取1.89；p为收敛阶数；F_s为安全系数，对于2种网格比对的推荐值为3，对于3种及以上的推荐值为1.25；$ \varepsilon $为相对误差。

通过式(1)计算可得粗中网格对比的GCI₁₂ = 2.23%，中细网格对比的GCI₂₃ = 0.80%。GCI的结果可表示当前网格下的计算结果与真实渐进值结果的相对误差，可以量化误差的大小。可以看出，中等网格尺寸下已经有不错的收敛精度，考虑时间成本和计算精度，统一使用中等网格尺寸进行CFD计算。

为验证数值模型的准确性，同样设置下与文献[18]模型实验的典型工况结果进行了比对，开孔板对象为图1(a)所示模型，以垂向位移$ X=a\text{sin}\left({\text{π}} t\right) $作强迫简谐运动，a分别取0.02、0.04、0.06、0.08、0.1 m，时间步长设置为0.01 s。a = 0.08 m的垂向力时历以及5种振幅下的附加质量系数C_a、阻尼系数C_d对照结果如图4所示。从图4(a)可以看出，垂向水动力的时历对比结果吻合很好；图4(b)附加质量系数基本吻合，阻尼系数有一定误差，最大相对误差为2.15%。垂向力和水动力系数的变化规律和大致取值均与文献结果基本吻合，因此可以认为本文所采用的数值方法可以准确模拟开孔板在静水中强迫垂荡运动结果。

2 水下强迫振荡模拟结果与讨论 2.1 板厚对水动力系数的影响

本节中设计了4种不同厚度的开孔板，初始模型板厚$ t=5\; \text{mm} $，作为对照组分析板厚对水动力系数的影响。设计同种浸没深度下不同振荡幅值和周期的组合工况来研究板厚、开孔率、孔直径对垂荡水动力性能的影响，具体工况如表2所示。不同板厚下水动力系数结果如图5所示。

附加质量系数和阻尼系数随着KC数的增加而增加。这是由于随着振荡幅值的增加，穿过开孔的流场逐渐由对流转变为向四周扩散，而扩散的速率取决于振荡速度的散度，速度与幅值正相关，高KC数下扩散的流场提供了更多的阻力，所以阻尼系数较低KC数下更大。当振荡周期从1 s增加到2 s时，可以看到附加质量系数均有小幅度的增长，最大增长幅度为4.15%，阻尼系数则变化较大，4种板厚下周期为2 s时的阻尼系数相比于周期为1 s时分别减小了48.21%、48.23%、47.28%、47.3%。由此可得结论，振荡幅值$ a $对附加质量系数和阻尼系数均呈正相关，增大振荡周期可显著减小阻尼系数。

为了研究板厚对水动力系数的影响，以初始板厚$ t=5\; \text{mm} $的水动力系数值作为参考，其他板厚分别除以参考值，得到水动力系数随板厚变化的直方图如图6所示。附加质量系数总体上随着板厚的增加而小幅度减小，增加一倍板厚时的最大减小幅度为13.28%，此时KC=1.721。板厚对附加质量系数的影响较小，在低KC数下附加质量系数几乎不随板厚而发生变化。阻尼系数随着板厚的增加而显著减小，低KC数时阻尼系数受板厚影响更大。由此可以得出结论，板的厚度应尽可能小振荡幅值尽可能大以便产生更大的阻尼。这一结论与Li等^[20]的研究结果相似。

2.2 开孔率对水动力系数的影响

本节中设计了平板（即$ \tau =0\text{%} $）、开孔率$ \tau =7.74\text{%} $和初始开孔板$ \tau =15.68\text{%} $的3种不同开孔率的板，以初始开孔板为对照组，工况设计见表3，不同开孔率下水动力系数如图7所示。不同开孔率下，附加质量系数和阻尼系数随着KC数的增加呈逐渐增大的趋势。

以$ \tau =15.68\text{%} $的水动力系数结果为参考值，其他开孔率分别除以参考值，得到开孔率对水动力系数的影响如图8所示。附加质量随着开孔率的增大而减小，$ \tau =0\text{%} $和$ \tau =7.74\text{%} $的板相对$ \tau =15.68\text{%} $的板几乎分别多提供了一倍和一半的附加质量，可以认为附加质量在$ \tau \lt 15.68\text{%} $的范围内随着开孔率的增加而呈线性减小。阻尼系数随着开孔率的增大而逐渐增大，在KC$ \leqslant $1.033时，中开孔率τ=7.74%与高开孔率τ=15.68%的结果几乎保持一致，增大开孔率无法获得额外的阻尼，而在较大KC数下，中开孔率反而有更高的阻尼值，这一结论与Tian等^[21]的研究结果保持一致。

2.3 开孔直径对水动力系数的影响

本节中将孔直径扩大一倍，开孔数由387个减小到96个，两者开孔率基本相同。工况设计见表4，不同开孔直径下水动力系数如图9所示。

以D = 10 mm的结果为参考值，将开孔直径20 mm的结果除以参考值，得到开孔直径对水动力系数的影响如图10所示。可以看出，在KC数特别小时，增大孔直径可略微增大附加质量系数，随着KC数的增大，这种影响逐渐减小。阻尼系数随孔直径的增大而均有一定程度的减小，最大可减小20%，可能的解释是孔的边缘发生了流动分离，导致了阻力的损失，孔径的增大加剧了影响。

3 结　语

本文基于RANS研究了不同几何参数和运动参数的开孔板强迫垂荡的垂向水动力特性，并利用最小二乘法拟合求解附加质量系数和阻尼系数，分析水动力参数在不同KC数下的变化趋势，为开孔板的设计和安装提供数值参考。主要结论如下：

1）振荡幅值对附加质量系数和阻尼系数均呈正相关，振荡周期对附加质量系数影响较小，而可显著减小阻尼系数，从1 s增大到2 s时最大可减小49.3%。

2）板厚对附加质量系数影响较小，阻尼系数随着板厚的增加而逐渐减小，在低KC数下的减小幅度更大，对于浮式结构物中的开孔垂荡板，可减小板厚以获取更大的阻尼性能。

3）当开孔率小于15.68%时，附加质量随着开孔率的增大而减小，阻尼系数随着开孔率增大而增大。

4）开孔直径对附加质量影响较小，阻尼系数随开孔直径的增大有一定程度的减小。对于浮式结构物中开孔率相同的开孔垂荡板，为增加阻尼，开孔直径可以适当减小且开孔保持均匀分布。

对于更大振幅的运动，若KC数处于本研究范围内，研究掌握的水动力系数规律可提供参考。更高频率和更大KC数的运动下，开孔板的水动力特性需要进一步研究。