0 引　言

随着全球能源需求的持续增长，作为输送油气资源的关键基础设施，海底管道设备在全球能源供应链中扮演着越来越重要的角色^[1]。但其工作环境不仅需要跨越复杂的海洋环境，还经受着极端气候、海流冲刷和地质活动等外部影响^[2]。故为确保其结构完整性和使用安全性，定期对海底管道巡检变得尤为重要。

海底管道巡检系统通常由拖船、拖缆以及装载各种巡检设备的拖体组成^[3]。尽管该系统在实际应用中展现了巨大的潜力，但由于此系统的动力学行为受多种因素影响，包括拖缆长度及形态分布和拖体的动力特性、海流和风浪条件、拖缆与拖船布放位置策略等^[4]。因此，建立精确的系统动力学模型，对整体性能进行深入分析，提高巡检效率、延长拖缆使用寿命、确保数据质量具有重要意义^[5]。

针对上述问题，郭峰等^[6]进行的自航模试验发现，单船拖带2个拖体时，回转性能显著下降，无拖带状态下的回转直径几乎增加了一倍。此外，王冲霄等^[7]基于海洋中的风浪环境，实现了不同频率的组成波对拖缆张力的变化分析以及拖缆的波动规律研究。郭力等^[8]针对水下石油勘探过程中拖缆形态的内在机理进行分析，揭示了拖缆张力和单位长度拖缆质量的关系。杜厚余等^[9]针对海洋拖缆采集过程中产生的非常规噪声进行抑制，实现有缆水下工作设备的平稳工作。戈亮等^[10]则考虑到不同拖缆数目对船舶拖航的影响情况，减少干扰力影响。

本文建立以ROV作为拖体的海底管道巡检系统的动力学模型，采用有效的分析方法，实现受拖缆在不同状态下的ROV在管道巡航时的最优性能表现，为整个巡检系统的设计和优化以及未来实操提供数值验证和理论参考。

1 巡检系统建模与运动方程 1.1 坐标系建立

海底管道巡检系统工作状态如图1(a)所示，针对其整体的耦合运动状态分别进行每个子系统坐标系的构建，如图1(b)所示。

当拖船在水面静止时, 建立以拖船为固定的坐标系$ A - {x_0}{y_0}{z_0} $，选取$ A $点作为水面拖船绞盘所处的原点位置，$ {x_0} $轴指向船体首向，$ {y_0} $轴指向船体右舷，$ {z_0} $轴垂直于水线面且在初始时刻垂直向下。拖缆局部坐标系$ B - nk\tau $，$ \tau $指向拖缆节点切向方向，$ n $垂直于$ \tau $。进行巡航工作的ROV坐标系为$ C-\mathit{xyz} $，其主要沿着浪向方向进行水下管道检测航行，此坐标系固定在ROV上且伴随ROV一起进行相关姿态运动。

1.2 拖缆运动控制方程

目前，拖缆形状多以细长的圆柱体为主，且不考虑弯矩和扭矩的影响, 在ROV巡航过程中拖缆会受到重力、浮力、流体阻力、拖缆张力等作用力的影响^[11]。基于牛顿运动第二定律，对拖缆微元$ \mathrm{d}s $在水下受力时基本的运动平衡方程为：

$ \boldsymbol{M}\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s}+B+G+D。$

(1)

式中：$ T $为张力；$ B $为浮力；$ G $为重力；$ D $为流体阻力；M为质量矩阵；$ \ddot x $为拖缆微元产生的加速度。其附加质量可表示为：

$ \boldsymbol{M}=\rho k_p\partial\left[\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]。$

(2)

式中：$ \rho $为海水密度；$ {k_p} $为附加质量系数，考虑到拖缆圆形结构其截面则用$ \partial $表示拖缆的横截面积。在系统坐标系下，附加质量矩阵依赖于姿态角，可以通过坐标转换来实现。这种方法确保了在不同坐标系下分析的一致性和准确性，具体表达式为：

$ F=M_a[\boldsymbol{A}]\ddot{x}_{nk\tau}=[\boldsymbol{A}]\rho k_p\partial\left[\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\ddot{x}_{nk\tau}。$

(3)

式中：$ {\ddot x_{nk\tau }} $为拖缆在$ B - nk\tau $坐标系下所产生的加速度；$ [\boldsymbol{A}] $为各自坐标系下的变换矩阵。

1.3 集中质量法数学方程

在海洋工程中，通常通过将拖缆分为多个段和节点来进行建模^[12]。这一过程涉及到将整个拖缆长度$ L $划分为$ N $段，即存在$ N + 1 $个节点，令首端$ s = 0 $为节点$ i = 0 $，对于与拖船绞盘相连接的拖缆末端点处设为节点$ i = N $，且各个节点之间满足以下关系：

$ 0 = {s_0} \lt {s_1} \lt ... \lt {s_i}... \lt {s_N} = L。$

(4)

拖缆由多个节点连接组成，且各节点间均匀分布。应用牛顿第二定律来描述每个节点的动力学行为，有助于理解拖缆在复杂海洋环境中的动态响应，则对于拖缆的第$ i $个节点运动控制方程可表示为：

$ F_i=\boldsymbol{M}_i\ddot{X}_i。$

(5)

式中：$ \boldsymbol{M}_i=m_iI+M_{ai} $为质量矩阵，其主要涵盖了各节点的惯性质量$ {m_i} = ({l_{i - 1/2}}{u_{i - 1/2}} + {l_{i + 1/2}}{u_{i + 1/2}})/2 $以及各节点在水中所产生的附加质量可通过$ {M_{ai}} = ({M_{a(i - 1/2)}} + {M_{a(i + 1/2)}})/2 $表示，方程中$ u $为拖缆的线密度，$ {l_{i + 1/2}} $即节点$ i $与$ i + 1 $之间的拖缆长度，$ F $为作用在节点$ i + 1 $上的力，具体表达式为：

$ {F_i} = \Delta {T_i} + {B_i} + {G_i} + {D_i}。$

(6)

1）拖缆张力。根据常见的拖缆应变情况其受力应变状态远小于1，对此进行相关应力-应变关系的线性化处理，通过Hooke定律可得应变情况如下：

$ \left\{ \begin{gathered} \Delta {T_i} = {T_{i + 1/2}} - {T_{i - 1/2}}，\\ {T_{i + 1/2}} = E\partial {\varepsilon _{i + 1/2}}。\\ \end{gathered} \right. $

(7)

式中：$ E $为弹性模量，针对常见拖缆密度分布的可能存在均匀性较差的问题，故取平均弹性模量。

2）重力和浮力。节点$ i $的浮力和重力可以表示为：

$ {B_i} + {G_i} = - \frac{1}{2}\rho ({l_{i - 1/2}}{\partial _{i - 1/2}} + {l_{i + 1/2}}{\partial _{i + 1/2}})g + {m_i}g。$

(8)

式中：$ g $为重力加速度。

3）流体阻力。针对拖缆微元段所受到的切向和法向流体阻力而言，考虑到在拖缆$ B - nk\tau $坐标系下，其在水中所受力可进行正交分解得到切向和法向，分别表示为：

$ \left\{ \begin{gathered} {D_{ni}} = - \frac{1}{2}\rho {C_n}({l_{i - 1/2}}{d_{i - 1/2}} + {l_{i + 1/2}}{d_{i + 1/2}}){v_{ni}}^2，\\ {D_{ti}} = - \frac{1}{2}\rho {\text{π}} {C_t}({l_{i - 1/2}}{d_{i - 1/2}} + {l_{i + 1/2}}{d_{i + 1/2}}){v_{ti}}^2。\\ \end{gathered} \right. $

(9)

式中：$ d $为拖缆的直径；$ {C_n} $和$ {C_t} $分别为在拖缆法向及切向的阻力系数；$ {v_{ni}} $和$ {v_{ti}} $分别为在节点$ i $处拖缆相对水流所产生的法向速度以及切向速度。

1.4 ROV运动控制方程

ROV作为水下巡检设备在海洋中的运动包括6种自由度，为更准确地掌握ROV在复杂海洋环境中的行为和性能，基于对ROV水中所受到的力进行求解与分析^[13]，可以建立其六自由度空间的运动方程：

$ \boldsymbol{M}_{\mathrm{ROV}}\cdot[\dot{u},\dot{v},\dot{w},\dot{p},\dot{q},\dot{r}]^{\mathrm{T}}=[\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y},\boldsymbol{Z},\boldsymbol{K},\boldsymbol{M},\boldsymbol{N}]^{\mathrm{T}}。$

(10)

式中：$ \boldsymbol{M}\mathrm{_{ROV}} $为ROV的质量矩阵，包括附加质量和ROV刚体质量，$ [\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y},\boldsymbol{Z},\boldsymbol{K},\boldsymbol{M},\boldsymbol{N}] $为作用于ROV的力与力矩，主要表现为ROV在水中的重力、浮力、水动力、推进器产生的推力和拖缆对其的拉力。

将上述力的作用点设在ROV的重心，即与其运动坐标系的原点重合，根据文献[13]中建立的ROV模型，并保证其重力总是垂直于固定坐标系的水平面向下，浮力垂直向上，且ROV重浮心直接的垂向距离为0.03 m。此外，由于拖缆首端与ROV相连接，将其首端的附加质量与ROV的惯性水动力系数进行叠加，确保拖缆与ROV在连接点处的空间位置和速度匹配一致。

$ {x_0} = \left[ \begin{gathered} {\xi _0} \\ {\eta _0} \\ {\zeta _0} \\ \end{gathered} \right] + [B]{R_B}，{\dot x_0} = [B]\left[ \begin{gathered} u \\ v \\ w \\ \end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered} p \\ q \\ r \\ \end{gathered} \right] \times {R_B} 。$

(11)

式中：$ R_B=(\xi,\eta,\zeta)^{\mathrm{T}} $为拖缆连接点相对于ROV运动坐标系的位置，用于计算拖缆末端的张力、姿态角和流体阻力等。

综上所述，将ROV运动方程和拖缆运动方程进行联立，求解拖缆与ROV耦合运动方程为常微分方程组，但由于方程个数与未知数个数不匹配，故需添加边界辅助方程保证系统可以实现封闭求解。

2 边界条件及数值方法 2.1 首端边界条件

令拖缆首端与ROV相连，因此在拖点处的位置和速度需要与ROV一致，即：

$ \mathit{x}_{\rm{start}}=\left[\begin{gathered}x_{0c} \\ y_{0c} \\ z_{0c} \\ \end{gathered}\right]\text{，}\dot{x}_{\rm{start}}=\left[\begin{gathered}\dot{x}_{0c} \\ \dot{y}_{0c} \\ \dot{z}_{0c} \\ \end{gathered}\right]。$

(12)

式中：$ {x_{0c}} $、$ {y_{0c}} $、$ {z_{0c}} $分别为连接点在ROV上的坐标，这些坐标随时间变化。

2.2 末端边界条件

拖缆末端连接到水面拖船的绞盘上，以绞盘为中心，接触绞盘的拖缆的第$ N + 1 $节点速度可以表示为$ {v_{N + 1}} = \omega R $。其中，$ \omega $为绞盘角速度；$ R $为其半径。考虑到拖缆末端与绞盘相连接具有一定的速度存在，故$ {l_{N + 1/2}} $并不是常值满足$ {\dot l_{N + 1/2}} = {v_{N + 1}} $。

此外，当ROV在水下执行任务时，可能需要拖缆长度的动态调整，通过增加节点来适应变化。当拖缆的$ N + 1/2 $节点长度超过一定阈值时，需要在节点$ N $和节点$ N + 1 $之间增加一个新的节点，这个新节点被标记为$ N + 1 $，其位置和速度设为：

$ \left\{\begin{gathered}x_{\mathrm{knot}}=(x_{N+1}-x_N)\mathrm{d}s/l_{N+1/2}，\\ \dot{x}_{\mathrm{knot}}=\dot{x}_N。\\ \end{gathered}\right. $

(13)

由于新增节点与节点$ N $距离仅一步空间长度，可以用节点$ N $的速度来近似新节点的速度，从而获取新节点的位置和速度信息。新增节点后，节点总数增加则新节点被标记为$ N + 1 $，而末端连接点标记为$ N + 2 $。最后联立ROV方程、拖缆方程、边界方程即可实现封闭求解。

2.3 数值求解方法

鉴于水面拖船、拖缆以及ROV整体的运动频率较低，在求解其运动控制方程过程中，采用基于四阶Runge-Kutta法进行数值积分求解^[14]，由时间$ {t_n} $积分到$ {t_{n + 1}} = {t_n} + \Delta t $的具体计算公式为：

$ \left\{ \begin{gathered} {y_{n + 1}} = {y_n} + ({k_1} + {k_2} + {k_3} + {k_4})，\\ {k_1} = \Delta tf({t_n},{y_n})，\\ {k_2} = \Delta tf({t_n} + \Delta t/2,{y_n} + {k_1})，\\ {k_3} = \Delta tf({t_n} + \Delta t/2,{y_n} + {k_2}/2)，\\ {k_4} = \Delta tf({t_n} + \Delta t,{y_n} + {k_3})。\\ \end{gathered} \right. $

(14)

考虑到拖缆控制方程非线性耦合特性，在进行大范围水下运动时，其稳定性可能会受到挑战，故根据ROV实际运动情况适时调整时间步长$ \Delta t $使其满足巡检需求。

3 结果与分析

为验证系统模型及拖缆动态影响的有效性，首先选取ROV巡检系统的初始坐标为(0, 0, −20)，对于拖船上绞盘的位置设为原点(0, 0, 0)，拖缆首端与ROV相连接且忽略打节处影响，仿真中ROV质量为265 kg，长宽高为1.58 m× 0.94 m×0.71 m。基于此来获得ROV巡检系统的运动姿态和所受拖缆拉力等信息，拖缆相关参数如表1所示。

在ROV进行水下巡航过程中，随着拖缆入水长度增加，拖缆拉力对ROV产生的阻力也逐渐增加，并将拖缆进行等分为20段。由于初始时ROV并未工作，处于动态平衡，拖缆末端与拖船绞盘A点相连，若此时海流的流速为1 m/s，方向与$ A{x_0} $重合，绞盘的放缆速度为0.5 m/s。

针对海浪型规则波的情况进行分析，其中阻力部分以海流形式并入流体阻力中一并计算^[15]，则因流场加速度对拖缆产生的作用使得拖缆首端和尾端仍存在一定的运动时历，导致ROV巡检系统两端点的位置变化如图2所示。

可知，拖缆在对应系统坐标系中的A点（拖缆末端）以及C点（拖缆首端）具有一定运动变化，其主要由于ROV处于水下所受波浪力小于水面，相比于拖缆的拖点处其首端的幅值明显较小。此外，拖船姿态的震荡导致拖缆首端位置也存在一定幅度的波动，间接验证了系统的有效性。

3.1 变缆长情况下的拖缆影响分析

在复杂水下环境中，合理控制拖缆长度和ROV运动轨迹，有助于提高ROV的操作效率和安全性。常规情况下，随着ROV逐渐前进，拖缆的长度也在不断增加。分别以ROV沿着水平（X正方向）以及垂向（Z负方向）进行巡检。

由图3可知，圆点标记为ROV，在其沿各自正方向巡检过程中，随着拖缆长度逐渐增加，其呈现出向下的弯曲形态，这种形态的变化主要受拖缆自身重力和水动力的影响。基于此，考虑有无海流影响下，拖缆对ROV所产生的拉力和速度约束，如图4所示。

由图4可知，随着拖缆长度的增加，海流影响导致拉力显著增大，表现为实线的曲线高于虚线。当拖缆长度达到一定值后，拉力趋于缓慢变化，表明此时拖缆的长度和ROV的移动速度达到了一种平衡状态，水动力和浮力的共同作用使得拖缆不再显著增加对ROV的拉力。在变长拖缆的情况下，海流影响使得ROV速度波动更为剧烈，动态影响更加复杂。特别地，ROV在进行海底管道巡检时，拖缆的长度对其能耗有重要影响。拖缆越长，ROV需要克服的拖曳阻力和拖缆的张力就越大。

由图5可知，拖缆长度为30 m时，ROV的功耗达到了最优，相比于50 m拖缆优化了大约52.41%，这为ROV在海底管道巡检过程中优化拖缆长度提供了有效的参考依据。

3.2 定缆长情况下的拖缆影响分析

由于工程中存在拖缆长度受限的情况，考虑当拖缆长度一定时，ROV在既定的拖缆长度下逐渐沿X正方向和Z正方向前进，如图6所示。

图7为当ROV在不同方向进行巡检时，基于上述拖缆长度固定的情况下其所对ROV产生拉力和速度影响变化。

相较于变缆长而言，当拖缆长度固定时，在ROV前进的后期，所受拉力迅速增大，随后逐渐趋于平稳。反映了ROV需要克服此阶段的水动力和拖缆惯性力，尤其是在拖缆开始伸展和承受重力的过程中。随着ROV的X方向位移增加，拖缆的入水长度增加，导致拉力增大。且此时ROV的运动速度的峰值主要受海流作用力与拖缆阻力的动态平衡影响。

基于此，通过分析拖缆在不同位置和长度下的拉力变化来定义巡航优化指标。可以将优化目标设定为在不同的X和Z位置下，ROV所受的拉力最小，即功耗最低的区域为最优巡航范围，如图8所示。

为保证巡航范围容错性更小，相对于拖船ROV在水平方向25.7～30 m、垂直方向−20～−35.6 m处达到最优巡航。相比于其他区域的功耗，优化了大约 43.85%。这意味着在最优位置下，ROV的巡航功耗要比平均功耗降低接近一半，巡航效果显著优化。

4 结　语

1）拖缆长度显著影响ROV性能。拖缆长度变化引起ROV拉力和速度的明显波动，海流作用使拉力初期迅速增加后趋于稳定。

2）ROV速度主要由海流作用力与拖缆阻力的动态平衡决定。在特定阶段需要克服拖缆惯性力和水动力的共同作用，这种情况对ROV巡检速度、工作时间等具有一定影响。

3）优化拖缆长度有效降低能耗。拖缆长30 m时，能耗较其他长度减少31%～53%，且固定拖缆长度下ROV的最优巡航范围覆盖了水平位移25.7～30 m，垂直深度为−20～35.6 m，并实现约43%的能耗优化。