0 引　言

随着无人驾驶技术的发展，无人船在海洋监测、军事侦察、搜救等领域得到了广泛应用^[1]。无人船通常面临复杂的海洋环境，其运动控制系统需要具备良好的鲁棒性和适应性，以应对诸如环境干扰、船体非线性和系统时滞等挑战^[2]。

传统PID控制器由于其结构简单、实现方便，广泛应用于USV的航向控制^[3]。然而，PID控制器在处理非线性、强耦合以及时滞系统时表现出一定的局限性，难以满足实际应用中的精度和稳定性要求。针对这一问题，近年来，模糊控制与Smith预估器的结合为复杂系统的控制提供了有效解决方案。模糊PID控制器通过将模糊逻辑引入PID控制，能够适应非线性系统的动态变化，而Smith预估器则通过时延补偿提高系统的控制精度^[4]。本文提出的改进的Smith预估模糊PID控制则通过调整预估模型，增强了对系统时滞的补偿能力^{[5 - 6]}。

目前，针对无人船航向控制的研究逐渐向智能化和自适应控制方向发展。本文提出了一种基于天牛须搜索算法^[7]（BAS）-和声算法^[8]（HSA）-遗传算法^[9]（GA）的优化方法，用于精确调节模糊PID控制器的量化因子和比例因子^{[10 - 11]}。该混合算法提供了一种有效的全局与局部搜索的平衡机制，避免了算法早熟收敛问题，提高了结果的鲁棒性，通过优化模糊PID控制器的关键参数，显著提高了系统的抗干扰能力、响应速度和控制精度，同时多种算法的协同作用提高了适应值的优化效率，使得模糊PID控制器能够在快速响应和抑制超调之间取得良好平衡，能够有效优化模糊PID控制器的量化因子与比例因子^[12]。

1 理论背景 1.1 模糊PID控制

在对无人船进行航向控制的研究中，采用传统的PID和模糊控制结合的一种模糊PID控制器设计^[13]，其结构示意图如图1所示。

控制器设计可以通过以下步骤实现：

步骤1　确定模糊子集

首先，选择合适的输入变量和输出变量。本系统的输入变量为偏差$ e $和偏差变化率$ ec $，输出变量为控制器的3个调整量：比例增益$ {K}_{p} $、积分增益$ {K}_{i} $和微分增益$ {K}_{d} $。为了实现有效的模糊控制，输入与输出变量都被模糊化为7个模糊子集，分别为：正大（PB）、正中（PM）、正小（PS）、零（ZO）、负小（NS）、负中（NM）、负大（NB）^[14]。

步骤2　确定模糊子集的论域及隶属函数

为便于分析，设定偏差e和偏差变化率ec的论域均为 [−3, 3]，控制参数K_p、K_i和K_d的论域同样为 [−3, 3]。所有变量的隶属函数采用常见的三角形隶属度函数进行描述。

步骤3　建立模糊控制器的控制规则

根据操作经验，定义控制器的在线调整规则，以下是模糊规则设置，采用49条模糊规则。模糊规则设计如图2所示。

IF$ e $为PB且$ ec $为NB，then $ {K}_{p} $为PB，$ {K}_{i} $为NS，$ {K}_{d} $为ZO。

IF$ e $为ZO且$ ec $为ZO，then $ {K}_{p} $为ZO，$ {K}_{i} $为ZO，$ {K}_{d} $为ZO。

1.2 Smith预估器的原理

Smith预估器是一种专门用于补偿时滞系统的控制策略^[15]。时滞问题在实际控制系统中普遍存在，尤其是在无人船航向控制中，由于传感器数据传输和执行器响应的时延，会导致系统反应滞后，影响控制性能^[16]。

如图3所示，闭环控制系统中存在纯滞后环节$ {e}^{\tau s} $，表示信号会有时间$ t $的延迟。这会导致控制器无法及时响应干扰，从而引发超调、震荡等问题，严重影响系统稳定性。然而，如果滞后环节$ {e}^{\tau s} $位于闭环之外，则不会影响控制性能。

Smith预估器的核心思想是通过引入一个虚拟模型来预测未来的系统输出（见图4），从而补偿时滞带来的不利影响。

其中，$ {G}_{c}\left(s\right) $为控制器的传递函数，$ {G}_{p}\left(s\right) $为被控对象在去除时滞后的传递函数，$ \tau $为控制对象的时滞因子，$ {G}_{m}\left(s\right) $为预估模型去除时滞后的传递函数，$ {\tau }_{m} $为预估模型的时滞因子，$ r\left(s\right) $为系统输入量，$ y\left(s\right) $为系统输出量^[17]。当被控对象和预估模型完全匹配，即$ {G}_{p}\left(s\right)={G}_{m}\left(s\right) $且$ \tau ={\tau }_{m} $时，控制器与Smith预估器组成的闭环传递函数为^[18]：

$ W\left(s\right)=\frac{{G}_{c}\left(s\right)}{1+{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right)} 。$

(1)

补偿后的系统闭环传递函数为：

$ \varphi \left(s\right)=\frac{G\left(s\right)}{1+W\left(s\right)G\left(s\right)}+\frac{{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right)}{1+{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right)}。$

(2)

可以看出，加入 Smith 预估控制算法后，闭环传递函数φ(s)的特征方程为：

$ 1+{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right)=0。$

(3)

2 航向控制系统的设计与优化 2.1 无人船模型

采用经典的二阶Nomoto模型构建无人船模型^[19]：

$ {T}_{0}\ddot{\psi }+\dot{\psi }={K}_{0}\delta 。$

(4)

式中：$ {T}_{0} $、$ {K}_{0} $均为船舶纵向性能指数；$ \delta $为舵角；$ \psi $为船舶方位角。

据此，得到无人船系统模型为：

$ G\left(s\right)={K}_{0}/({T}_{0}{s}^{2}+s)。$

(5)

舵系统的响应通常表现出类似于一阶惯性系统的特性，而是经过一定的延迟和渐进变化。因此，可以用一个一阶惯性环节来描述其动态行为，公式为：

$ \dot{\delta }=({\delta }_{c}-\delta )/T。$

(6)

用拉普拉斯变换得出：

$ \Delta \left(s\right)/{\Delta }_{c}\left({s}\right)=1/(Ts+1)。$

(7)

式中：$ T $为舵机时间常数，$ \delta $为舵角，$ {\delta }_{c} $为目标舵角，$ \Delta \left(s\right) $和$ {\Delta }_{c}\left({s}\right) $分别为$ \delta \left(t\right) $和$ {\delta }_{c}\left(t\right) $的拉普拉斯变换，因此选取用于仿真的舵机时间常数取为3 s。

2.1.1 无人船Nomoto控制模型

设水面无人船的期望航向为$ {\phi }_{r} $，则可得到具有三自由度的水面无人船状态空间数学模型的航向偏差$ \Delta\phi ={\phi }_{r}-{\phi }_{o} $，如下式^[20]：

$ \left[\begin{array}{c}\dot{\upsilon }\\ \dot{\gamma }\\ \dot{\psi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{m}_{11}& {m}_{12}& 0\\ {m}_{21}& {m}_{21}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\upsilon \\ \gamma \\ \mathrm{\Delta }\psi \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{n}_{11}\\ {n}_{21}\\ 0\end{array}\right]\delta。$

(8)

以无人船的航向变化量$ \mathrm{\Delta }\phi $作为输出，可得到输出方程为：

$ {\psi }_{\mathrm{\Delta }}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\upsilon \\ \gamma \\ \mathrm{\Delta }\psi \end{array}\right] 。$

(9)

将2个方程的状态空间模型转化为传递函数模型，得到等速直线航行条件下水面无人艇航向对该变量$ \Delta \phi $的传递函数方程如下：

$ G\left(s\right)_{\delta\psi}=\boldsymbol{C}\left[s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{a}\right]^{-1}\boldsymbol{B}=\frac{K(T_3s+1)}{s(T_2s+1)(T_1s+1)}。$

(10)

式中：$ {G\left(s\right)}_{\delta \psi } $为舵角$ \delta $到航向角$ \psi $的传递函数；$ \boldsymbol{a} $为系统状态矩阵；$ \boldsymbol{B} $为输入矩阵；$ \boldsymbol{C} $为输出矩阵；$ \boldsymbol{I} $为单位矩阵；$ k $为系统增益系数；$ {T}_{1}{、T}_{2}{、T}_{3} $均为系统时间常数；$ s $为拉普拉斯变换中的复变量。

该传递函数为三阶系统，日本学者Nomoto将其简化为二阶系统。考虑到实际实验船的大小，可以采用Nomoto模型将原来的三阶模型简化为二阶系统。Nomoto模型由于频率特性相似且控制器实现更简单，在船舶航向控制器设计中得到广泛应用。

$ \left\{\begin{aligned}&G\left(s\right)=\displaystyle\frac{\psi }{\delta }=\displaystyle\frac{ K^{'}}{\left({T}_{0}s+1\right)s}，\\ & K^{'}=\displaystyle\frac{{n}_{11}{m}_{21}-{n}_{21}{m}_{11}}{{m}_{11}{n}_{11}-{m}_{12}{n}_{21}}，\\ &{T}_{0}={T}_{1}+{T}_{2}-{T}_{3}。\end{aligned}\right. $

(11)

式中：$ K $、$ T $为船舶回转指数，分别表示船舶自动舵操作产生的角速度和达到回转角速度所需的时间。

$ {T}_{0}=\frac{{m}_{11}+{m}_{12}}{{m}_{11}{m}_{22}-{m}_{12}{m}_{21}}-\frac{{n}_{21}}{{n}_{11}{m}_{21}-{n}_{21}{m}_{11}}。$

(12)

式中：$ {T}_{0} $为与船舶回转有关的时间常数，描述达到回转角速度所需的时间；$ {m}_{11} $、$ {m}_{12} $、$ {m}_{22}$、$ {m}_{21} $分别为船舶运动方程中的质量（或附加质量）矩阵的元素。$ {n}_{11}、{n}_{21} $均为与船舶运动有关的水动力阻尼系数^[21]。

为测试传统 PID控制、模糊PID控制及改进Smith预估模糊PID控制的性能，在 Matlab平台上使用Simulink进行无人船航向控制的仿真实验。实验中使用的无人船为“蓝信”号^[13]，其数据如表1所示。

计算得到控制模型中使用了参数$ K=0.71 $和$ T= 0.32 $，时滞$ \tau =1.5 \;{\rm{s}} $的Nomoto模型。

仿真时间设置为100 s，取样步长为0.1 s。通过仿真实验，将对结果数据进行对比分析。在实际环境中，干扰因素比较多，如风、浪、流等都会影响无人船的航向和航行状态。因此，在仿真中，使用白噪声和二阶波浪传递函数来模拟这些干扰^[22]：

$ y\left(s\right)=h\left(s\right)\omega \left(s\right)。$

(13)

式中：$ \omega \left(s\right) $为零均值高斯白噪声；h(s)为1个二阶传递函数^[23]：

$ \left\{\begin{aligned}&h\left(s\right)=\displaystyle\frac{{K}_{\omega }s}{{s}^{2}+2\zeta {\omega }_{0}s+{{\omega }_{0}}^{2}}，\\ &{K}_{\omega }=2\zeta {\omega }_{0}{\sigma }_{w}，\\ &{\omega }_{0}=\displaystyle\frac{4.85}{{T}_{w}}，\\ &{\sigma }_{w}={0.018\;5{T}_{w}{h}_{1/3}}。\end{aligned}\right. $

(14)

式中：$ \zeta $为阻尼系数；$ {\omega }_{0} $为主导海浪频率；$ {K}_{\omega } $为波浪增益常数。

在四级风时，$ {T}_{w} $取为5 s，$ {h}_{1/3} $=1.25 m，$ \zeta $=0.2，进而得到海浪模型如下：

$ h\left(s\right)=\frac{0.147\;44s}{{s}^{2}+0.377\;6s+0.940\;9}。$

(15)

2.2 改进Smith预估的模糊PID航向控制设计

本文采用C.C. Hang 提出的改进型Smith预估器这一方法，并结合模糊控制PID算法的性能优势，提出了一种基于改进型Smith预估器的模糊PID航向控制器。图5为C.C.Hang等^{[24 - 25]}提出的改进型 Smith 预估器模型。

其中，$ {G}_{co}\left(S\right) $和$ {G}_{s}\left(S\right) $分别为主调节器和辅调节器的传递函数。改进后的反馈回路采用了$ {G}_{f}\left(S\right) $算法结构，表达式为^[26]:

$ {G}_{f}\left(s\right)=\frac{{G}_{c}\left(s\right){G}_{m}\left(s\right)}{1+{G}_{c}\left(s\right){G}_{m}\left(s\right)} 。$

(16)

当$ {G}_{s}\left(S\right) $作为调节器, $ {G}_{m}\left(s\right) $为一阶惯性增益时，根据控制原理可得，此时调节器的积分时间相当于模型的时间，因此$ {G}_{f}\left(S\right) $简化为：

$ {G}_{f}\left(S\right)=\frac{1}{\displaystyle\frac{{t}_{m}}{{k}_{c}{k}_{m}}s+1}=\frac{1}{{t}_{f}s+1}，$

(17)

$ {t}_{f}s=\frac{{t}_{m}}{{k}_{c}{k}_{m}} 。$

(18)

式中：$ {t}_{f} $为系统的激励时间常数；$ {t}_{m} $为Smith预估器的时间常数；$ {k}_{c} $为$ {G}_{s}\left(S\right) $的增益；$ {k}_{m} $为Smith预估器的增益^[27]。图6为改进型的Smith预估器的简化图。

利用现代控制理论求解控制系统闭环函数的方法，可以得到该简化模型的闭环传递函数为：

$ {\dfrac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}= \dfrac{{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right){e}^{-\tau s}}{1+{G}_{c}\left(s\right){G}_{m}\left(s\right)+{G}_{c}\left(s\right){(G}_{p}\left(s\right){e}^{-\tau s}-{G}_{m}\left(s\right){e}^{-{\tau }_{m}s})\displaystyle\frac{1}{{t}_{f}s+1}}。} $

(19)

可知，当模型完全匹配时，即

$ {G}_{m}\left(s\right)={G}_{p}\left(s\right)，$

(20)

$ \tau ={\tau }_{m}。$

(21)

此时，传递函数可以变化为：

$ \frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right){e}^{-\tau s}}{1+{G}_{c}\left(s\right){G}_{p}\left(s\right)}。$

(22)

可以看出，闭环传递函数中的滞后项$ {e}^{-\tau s} $已被移出系统外，因此闭环系统具有更优的控制性能。

将控制律集成，最终控制信号$ u\left(t\right) $由模糊PID输出与Smith预估器补偿信号叠加：

$ u\left(t\right)={K}_{p}e\left(t\right)+{K}_{i}\int e\left(t\right)\mathrm{d}t +{K}_{d}\frac{{\rm{d}}e\left(t\right)}{{\rm{d}}t}+{u}_{{\rm{smith}}}\left(t\right)。$

(23)

其中，$ u_{\mathrm{smith}}\left(t\right) $为预估器输出的前馈补偿量，表达式为：

$ {u}_{\mathrm{smith}}\left(t\right)={G}_{f}\left(s\right)(y\left(t\right)-{y}_{m}\left(t\right))。$

(24)

式中：$ y\left(t\right) $为实际输出；$ {y}_{m}\left(t\right) $为预估器输出；$ {G}_{f}\left(s\right) $为反馈补偿传递函数。

2.3 基于BAS-HSA-GA混合优化算法的参数优化设计

为了进一步优化模糊PID控制器的参数，本文设计了基于天牛须算法（BAS）、和声算法（HSA）和遗传算法（GA）相结合的混合算法。该混合算法通过三者的优势互补，实现了全局与局部的均衡优化。该算法通过引入动态搜索范围、动态调整步长，进一步提升了搜索性能和优化效率。算法的步骤分为：

步骤1　初始化阶段

确定优化目标和问题维度：设优化问题为最小化函数$ f\left(x\right) $，$ x=({x}_{1},{x}_{2},{\dots ,x}_{D}) $是一个$ D $维向量，代表问题的解。$ f\left(x\right) $优化问题定义的目标函数。设置参数的维度$ D=5 $（对应$ {K}_{P}，{K}_{i}，{K}_{d}，{K}_{e}，{K}_{ec} $）。

种群规模及子种群划分：确定整个种群的规模N，BAS、HSA和GA算法子种群，$ N={N}_{BAS}+{N}_{HSA}+ {N}_{GA}=10 $。

算法参数设置：天牛须长度$ {d}_{0}=1 $；感知距离系数$ k $=0.5；参数上下界$ Ub=\left[\mathrm{100,100,10,10,10}\right] $，$ Lb= [0,0,0,0,0] $；和声记忆库大小HMS，决定了和声记忆库中能够存储的较优解的数量，$ HMS\leqslant {N}_{HSA} $，设HMS=10^[28]；和声记忆库考虑率$ HMCR=0.9 $；音高调整率$ PAR=0.3 $。

种群初始化：初始化个体的位置$ {x}_{ij}^{0}(i=\mathrm{1,2},\dots ,N; j=\mathrm{1,2},\dots ,D) $，$ {x}_{ij}^{0}\in [{a}_{j},{b}_{j}] $，$ [{a}_{j},{b}_{j}] $为第j维的搜索空间；计算每个个体的初始适应度值$ f\left({x}_{i}^{0}\right) $，并通过式(25)将其转化为适应度值。

$ f\left({x}_{i}^{0}\right)=1/(1+f({x}_{i}^{0}\left)\right)。$

(25)

步骤2　算法迭代

1）BAS算法的迭代过程

方向向量生成：对于BAS子种群中的个体$ {x}_{i}^{t}(i= \mathrm{1,2},\dots ,{n}_{1}) $，随机生成单位方向向量：

$ \overrightarrow{d}=({d}_{1},{d}_{2},\dots ,{d}_{D}) \text{。} $

(26)

式中：每个元素$ {d}_{j}\in [-\mathrm{1,1}] $，且满足$ \displaystyle{\sum\nolimits_{j - 1}^D {d_j^2 = 1} } $。

天牛须位置计算：基于当前个体位置$ {x}_{i}^{t} $、天牛须长度$ {d}_{0} $以及方向向量$ \overrightarrow{d} $，计算左须位置$ {x}_{iL}^{t} $和右须位置$ {x}_{iR}^{t} $，

$ {x}_{iL}^{t}={x}_{i}^{t}-\frac{{d}_{0}}{2}\overrightarrow{d} \text{，} $

(27)

$ {x}_{iR}^{t}={x}_{i}^{t}+\frac{{d}_{0}}{2}\overrightarrow{d} \text{。} $

(28)

适应度评估与更新：计算左右须位置$ {x}_{iL}^{t} $和$ {x}_{iR}^{t} $，适应度值$ f\left({x}_{iL}^{t}\right) $和$ f\left({x}_{iR}^{t}\right) $，使用预先定义的目标函数$ f\left(x\right) $进行计算。若$ f\left({x}_{iL}^{t}\right) \gt f\left({x}_{iR}^{t}\right) $，则$ {x}_{i}^{t+1}={x}_{iL}^{t} $。否则，更新为$ {x}_{i}^{t+1}={x}_{iR}^{t} $。

步长更新：更新天牛须长度，公式为：

$ {d}_{0}^{t+1}={d}_{0}^{t}\times 0.95 。$

(29)

式中：$ \alpha $为收缩系数，通常$ \alpha \in \left(\mathrm{0,1}\right) $来逐步减小步长。

2）HAS算法操作过程

初始化和声记忆库：选择HMS个个体组成和声记忆库HM，记录每个个体对应的适应度值^[29]：

$ {\left\{f\right({x}_{h}^{0}\left)\right\}}_{h=1}^{HMS}。$

(30)

新解生成：对于每次迭代$ t $，生成新解：

$ {x}_{{\text{new}}}^{t}=({x}_{{\text{new}}1}^{t},{x}_{{\text{new}}2}^{t},\dots ,{x}_{{\text{new}}D}^{t}) 。$

(31)

生成规则如下：对于每一维$ j = \mathrm{1,2},\dots ,D $，概率：

$ HMCR:{x}_{{\text{new}}j}^{t}={x}_{hj}^{t} 。$

(32)

式中：$ h $为从1到$ HMS $中随机选择的一个索引。以概率$ \left(1-HMCR\right):{x}_{{\text{new}}j}^{t}\in [{a}_{j},{b}_{j}] $随机生成。

使用Levy飞行机制融入音高调整：生成Levy飞行的步长向量$ L=({L}_{1},{L}_{2},\dots ,p) $，其元素$ {L}_{j} $服从Levy分布。利用生成的 Levy 飞行步长对新解进行调整，新解调整式(33)为^[30]：

$ {x}_{{\text{new}}j}^{t}={x}_{{\text{new}}j}^{t}+{L}_{j}\times b{w}_{j}\times r，j=\mathrm{1,2},\dots ,D \text{。} $

(33)

式中：$ b{w}_{j} $为带宽（可根据迭代次数等因素自适应调整），用于控制 Levy 飞行调整的幅度；$ r\in \left[\mathrm{0,1}\right] $为随机数。

适应度评估与更新：计算新解$ {x}_{{\text{new}}j}^{t} $的适应度为$ f\left({x}_{{\text{new}}j}^{t}\right) $，与之前的目标函数$ f\left(x\right) $计算，找到和声记忆库最差的个体设置索引$ {h}_{\min} $。

若$ f\left({x}_{{\text{new}}j}^{t}\right) \gt f\left({x}_{{h}_{\min}}^{t}\right) $，则用新解代替最差解，即：

$ {x}_{{h}_{\min}}^{t}={x}_{{\text{new}}j}^{t} ，$

(34)

$ f\left({x}_{{\text{new}}j}^{t}\right)=f\left({x}_{{h}_{\min}}^{t}\right) 。$

(35)

3）GA子种群操作过程

选择操作：对$ i=\mathrm{1,2},\dots ,{n}_{3} $，计算选择概率，有

$ {p}_{i}^{t}=\frac{f\left({x}_{i}^{t}\right)}{{\displaystyle\sum }_{k=1}^{{n}_{3}}f\left({x}_{k}^{t}\right)}。$

(36)

使用轮盘赌法选择父代个体。适应度较高的个体被选中的概率更大。

交叉操作是通过组合2个父代个体的基因，生成新的子代个体。在本次算法中，交叉操作通过以下步骤实现，从选择操作中选出的父代个体中随机选择2个个体$ {x}_{p1} $和$ {x}_{p2} $。通过交叉操作生成2个代个体。

变异操作：对种群中的每个个体，以概率$ {P}_{m} $进行变异操作。对选中的个体，随机选择一个维度$ j $，并对其进行小范围扰动，确保变异后的个体仍然在参数上下界范围内。

以概率$ {P}_{m} $对个体$ {x}_{ij}^{t}(i=\mathrm{1,2},..,{n}_{3};j=\mathrm{1,2},\dots ,D) $变异，公式如下：

$ {x}_{ij}^{t+1}={x}_{ij}^{t}+\Delta {x}_{ij}。$

(37)

式中：$ \Delta {x}_{ij}=\sigma \times r $（$ \sigma $为变异步长，$ r\in \left[\mathrm{0,1}\right] $随机数）。

步骤3　终止条件判断

当$ t={T}_{\max} $时或适应度值小于阈值时，终止算法，在整个种群中选适应度最高的个体作为最终解。

使用协同机制，每10代进行一次子群间最优解迁移，避免早熟收敛。更新全局最优解：

$ {x}_{{\rm{best}}}=arg{\min}_{x}f\left(x\right)。$

(38)

优化目标函数，最小化ITSE指标：

$ ITSE={\int }_{0}^{T}t\cdot {e}^{2}\left(x\right){\rm{d}}t。$

(39)

步骤4　输出最优参数，$ g{\rm{Best}}=[{K}_{P},{K}_{i},{K}_{d},{K}_{e},{K}_{ec}] $。

以上过程如图7所示。

根据算法优化航向控制器可以得到5个参数的变化曲线（见图8），K₁=65.714773，K₂=35.818228，K₃=0.055，Ke=0.000001，Kec=0.000005。

为了测试本文提出的BAS-HSA-GA算法的性能，将BAS-HSA-GA算法与ACO、BA、GRO和Se-PSO算法进行实验对比，本文选用3个著名的测试函数，并将其按照计算难度进行分类，以此来验证算法性能。3个测试函数结果如表2～表4所示。

3种函数在500次迭代的情况下，分别与其他几种算法进行对比仿真测试，结果如图9所示。

可知，BAS-HSA-GA在所有测试函数中均能找到接近最优的解，显示出其较强的全局搜索能力。同时在相同迭代次数下，BAS-HSA-GA的收敛结果比对比算法更优，表明其能够快速找到高质量解。BAS-HSA-GA在每个函数上的标准差普遍较小，表明其对初始条件的依赖较低，解的稳定性更强。

3 无人船航向控制仿真分析 3.1 系统在不同时滞条件下的响应

为了进一步验证控制系统对时滞的鲁棒性，本文模拟了不同传感器延迟条件下的系统响应。以为传统PID、Smith预估模糊PID（S-fuzzy PID）和改进型的Smith预估模糊PID（V-fuzzy PID）的仿真对比，图10所示为不同延迟条件下的航向控制结果。

在不同传感器延迟条件下的仿真结果如表5、表6所示，V-fuzzy PID控制器在应对时滞时表现出优越的控制性能。对于1 s延迟，系统能够在较短时间内恢复并跟踪目标航向；对于2 s延迟，系统响应恢复延迟，但由于Smith控制器的补偿效果，航向托盘得到了有效控制，响应时间只增加了约10%。得益于Smith预估器的有效补偿，V-fuzzy PID控制器在面对较大时滞时能够有效控制航向误差，展现了良好的鲁棒性和适应性，使其在无人船航向控制中能够有效处理系统延迟问题。

3.2 稳定性分析

无人船的航向控制系统，动力学模型为：

$ \dot{\psi }\left(t\right)=f\left(\psi \left(t\right),\delta \left(t\right)\right)+d\left(t\right)。$

(40)

式中：$ \psi \left(t\right) $为船舶航向角；$ \delta \left(t\right) $为舵角控制输入；$ f\left(\cdot \right) $为系统的非线性动力学函数；$ d\left(t\right) $为外部干扰。由于之前的控制律设计，可以代入系统模型，闭环系统方程为：$ \dot{\psi }\left(t\right)=f\left(\psi \left(t\right),u\left(t\right)\right)+d\left(t\right) $。

本节详细描述Lyapunov稳定性理论的应用。采用Lyapunov稳定性理论，定义Lyapunov函数：

$ V\left(e\right)=\frac{1}{2}{e}^{2}+\frac{1}{2r}{\tilde{\theta }}^{{\rm{T}}}\tilde{\theta }。$

(41)

式中：$ e={\psi }_{d}-\psi $表示航向误差；$ \tilde{\theta }=\theta -{\theta }^{*} $表示参数误差向量；$ r \gt 0 $为学习率。

对$ V\left(e\right) $求导：

$ \dot{V}\left(e\right)=e\dot{e}+\frac{1}{r}{\tilde{\theta }}^{{\rm{T}}}\dot{\tilde{\theta }}。$

(42)

同时根据控制律$ u\left(t\right) $可得：

$ \dot{e}=-\lambda e+\tilde{\theta}^{\rm{T}}\phi\left(x\right)。$

(43)

式中：$ \lambda \gt 0 $为控制增益；$ \phi\left(x\right) $为模糊规则基函数向量。代入$ \dot{V}\left(e\right) $中得到：

$ \dot{V}\left(e\right)=e\left(-\lambda e+\tilde{\theta}^{\mathrm{T}}\phi\left(x\right)\right)+\frac{1}{r}\tilde{\theta}^{\mathrm{T}}\tilde{\theta}。$

(44)

根据参数自适应律$ \dot{\theta}=-re\phi\left(x\right) $可得到：

$ \dot{V}\left(e\right)=-\lambda {e}^{2}\leqslant 0。$

(45)

而且由于$ \dot{V}\left(e\right)\leqslant 0 $，系统误差$ e\left(t\right) $指数收敛，闭环系统稳定性得证。

3.3 控制器的优化效果

为突出优化算法的优越性，还引入了其他几种算法，基于Smith预估器和改进的优化算法的模糊PID航向控制进行对比分析。这种对比不仅展示了优化算法在不同干扰条件下的抗干扰能力，还能够全面评估系统的响应速度、稳定性和控制精度，从而证明优化算法在复杂环境下的有效性。以目标航向为30°，仿真时间为100 s，并且在舵机模块设置限位幅，观察仿真结果。

表7和图11所示为本文提出的混合优化算法与其他常用优化算法（如GRO、Se-PSO）的比较。

在对目标航向角度为30°的航向控制中加入外接个状态，重新观察仿真结果，结果对比如图12和表8所示。

分析可知，对比4种算法，改进后的BAS-HAS-GA算法在结合改进的Smith预估器应用于模糊PID航向控制时表现出了明显的优势。可知，H-BAS-PID和Se-PSO-PID控制策略在有干扰情况下表现最为优越，特别是在超调和误差控制方面。BAS-HSA-GA算法在舵性能指标中表现突出，具有较好的稳定性和精确度，而传统的PID控制虽然响应速度较快，但在超调量和系统稳定性上有所欠缺。因此，BAS-HSA-GA作为优化的控制策略，展现了较为平衡的性能，适用于实际应用中的高精度要求。

为了进一步验证算法的性能，目标航向被调整为60°，并在风、浪、流等干扰条件下进行仿真分析如图13和表9所示。重点考察了航向变化、误差变化以及舵角变化的过程。

分析可知，尽管目标航向发生了变化，混合甲壳虫须优化算法依旧表现出最优的控制效果。相比其他方法，该算法的超调量最小、响应速度最快，且舵角变化最为平稳，充分证明了系统在干扰条件下的强抗干扰能力和更高的鲁棒性。

进行S型轨迹跟踪实验时，对比了BAS-HSA-GA算法、深度学习算法（DRL）和自适应模糊神经网络算法（ANFC）。所有实验均设定初始航向角为0°，相应结果如图14、图15和表10所示。通过这些对比，旨在评估不同控制方法在轨迹跟踪任务中的性能。

在S型轨迹跟踪实验中，BAS-PSO-SA算法的跟踪精度和稳定性最高，DRL算法其次，而ANFC算法在IEA和ITEA航向性能指标中性能相对较差。

4 结　语

本文提出了一种基于改进的Smith预估器与模糊PID控制相结合的航向控制系统，并通过混合算法BAS-HAS-GA对控制器参数进行优化。阐述了Smith预估器在存在时滞系统中的应用，结合航向控制的实际情况，针对船舶系统固有的时滞问题进行了补偿。通过预测系统无时滞情况下的响应，预估器减少了时滞影响，提高系统的控制精度和稳定性。在实验和仿真中通过多组仿真实验对比，验证了本文设计的控制系统在不同工况下的优越性。与传统的无补偿控制器相比，带有Smith预估器的系统能够更快速、稳定地达到控制目标。同时改进算法成功实现对控制器参数的全局优化，并且进行动态调整参数范围和数值，在仿真测试中，优化后的控制器展现了优异的性能，在航向保持和调整过程中有效提升了响应速度和稳态精度。