0 引　言

船舶、潜艇等在海上航行时，由于螺旋桨、主机和流场扰动等会产生大量振动噪声。振动噪声一方面会对设备及人员的安全和健康产生影响，另一方面会产生辐射噪声，破坏潜艇的隐蔽性，降低作战能力；振动还会对轴系以及其他机械设备产生影响，降低使用寿命，带来安全隐患。

推进轴系是船舶和潜艇等水下航行器的重要组成部分，其产生的低频线谱特征明显，横纵耦合振动是其产生振动的重要一环，因此研究推进轴系横纵耦合振动低频线谱振动规律对于改善潜艇的隐蔽性和保证推进轴系安全平稳的工作很有必要。

许多学者对低频线谱振动的优化设计以及减振隔振进行研究，李海超^[1]对某大型复杂结构低频线谱振动优化设计研究，李彦等^[2]使用窄带多通道Fx-Newton算法对船用200 kW柴发机组进行了主被动混合隔振控制，有效衰减传递到基座的多根线谱振动，宋志强等^[3]对推力轴承动态特性对水轮发电机组轴系统振动特性的影响，分析了轴系统横向和纵向动力特性；胡义等^[4] 针对梁单元推导出了横纵耦合非线性刚度矩阵，并使用有限元法得到梁单元横纵耦合振动；李乐坤等^[5]使用筏架对潜艇轴系进行振动分析，筏架可以有效降低潜艇轴系的低频线谱振动；杨志荣等^[6]在耦合模型的基础上对多弹性支撑和具有集中质量点的船舶轴系进行研究；徐鹏等^[7]对轴系模型用变分原理推导轴系发生弯—纵耦合时的非线性振动方程分析弯—纵耦合效应对轴系非线性振动特性的影响。

Liu等^[8]对梁结构进行在铁路载荷下的时频和Hilbert-Huang变换能谱分析；Zhao等^{[9 - 10]}研究非线性支撑下轴系的纵向振动，利用广义哈密顿原理推导了具有纵向非线性支承的双杆系统的控制方程。邹冬林等^{[11 − 14]}首次建立了超长推进轴系弯纵耦合非线性动力学模型，通过有限元法和多尺度法分析了叶频激励下的主共振与超谐共振特性，揭示了系统响应中的跳跃现象及内共振条件下的能量传递机制。

目前，大部分文献主要研究耦合振动产生的频谱数目以及对振动响应整体的研究，而对横纵耦合振动产生的各个频率下线谱振动幅值研究较少。

本文基于多弹性支撑和有质量点的梁单元模型，对轴系横纵耦合振动产生的低频线谱进行研究，先通过有限元法获得振动时域特性，然后使用FFT变化得到频域特性，分析在有耦合和无耦合情况下、激励频率、激励力、激励相位、轴系跨距和陀螺效应对低频线谱的影响。

1 横纵耦合振动理论 1.1 非线性耦合运动方程

使用梁结构简化推进轴系，假定位移量级0(u)=0(v²)，梁结构受到横向激励f(x，t)和纵向激励p(x，t)，梁结构见图1，不考虑剪切和扭转，梁结构的非线性耦合运动方程如下：

$ {\left\{\begin{aligned} & \rho A\ddot{u}-EA\left(\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial v}{\partial x}\displaystyle\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\right)=p(x,t) ，\\ & \rho A\ddot{v} + EI\frac{\partial^4v}{\partial x^4} - EA\left[\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x} + \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}\displaystyle\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{3}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\displaystyle\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\right] = f(x,t)。\end{aligned}\right.} $

(1)

式中：ρ为密度；A为截面面积；u为水平位移；E为弹性模量；v为垂直位移；I为截面惯性矩；L为单元长度。

1.2 有限元模型建立

轴系在受到低频线谱原理未知，也难以施加隔振手段，其中低频线谱受到横纵方向的振动最为明显，为简化分析，先将轴简化为简支梁，如图2所示。

图2是一个两节点梁单元，每个节点有3个自由度，为水平位移u、垂直位移v、截面转角θ，单元纵向位移u采用线性插值，横向位移v采用3次Hermite插值函数，单元节点位移向量为：

$ d = [{u_i},{v_i},{\theta _i},{u_j},{v_j},{\theta _j}]。$

(2)

梁单元的刚度矩阵为：

$ K = {K_1} + {K_2} + {K_3}。$

(3)

式中，

$ {{K_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{EA}}{L}}&0&0&{ - \displaystyle\frac{{EA}}{L}}&0&0 \\ 0&{\displaystyle\frac{{12EI}}{{{L^3}}}}&{\displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}}&0&{ - \displaystyle\frac{{12EI}}{{{L^3}}}}&{\displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}} \\ 0&{\displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}}&{\displaystyle\frac{{4EI}}{L}}&0&{ - \displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}}&{\displaystyle\frac{{2EI}}{L}} \\ { - \displaystyle\frac{{EA}}{L}}&0&0&{\displaystyle\frac{{EA}}{L}}&0&0 \\ 0&{ - \displaystyle\frac{{12EI}}{{{L^3}}}}&{ - \displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}}&0&{\displaystyle\frac{{12EI}}{{{L^3}}}}&{ - \displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}} \\ 0&{\displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}}&{\displaystyle\frac{{2EI}}{L}}&0&{ - \displaystyle\frac{{6EI}}{{{L^2}}}}&{\displaystyle\frac{{4EI}}{L}} \end{array}} \right]，}$

${K_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&a&{ - b}&0&{ - a}&c \\ a&0&0&{ - a}&0&0 \\ { - b}&0&0&b&0&0 \\ 0&{ - a}&b&0&a&{ - c} \\ { - a}&0&0&a&0&0 \\ c&0&0&{ - c}&0&0 \end{array}} \right]，$

${K_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&0&0 \\ 0&{\bar a}&{ - \bar b}&0&{ - \bar a}&{\bar c} \\ 0&{ - \bar b}&{\bar d}&0&{\bar b}&{ - \bar e} \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&{ - \bar a}&{\bar b}&0&{\bar a}&{ - \bar c} \\ 0&{\bar c}&{ - \bar e}&0&{ - \bar c}&{\bar f} \end{array}} \right]，$

$ a = \frac{{6({v_j} - {v_i})}}{{5L}} - \frac{{{\theta _i} + {\theta _j}}}{{10}}，$

$ b = \frac{{{v_j} - {v_i}}}{{10}} + \frac{{L{\theta _i}}}{{15}} - \frac{{L{\theta _j}}}{{30}}，$

$ c = \frac{{{v_j} - {v_i}}}{{10}} - \frac{{2L{\theta _j}}}{{15}} + \frac{{L{\theta _i}}}{{30}}，$

$ \bar a = \frac{{72{{({v_j} - {v_i})}^2}}}{{35{L^2}}} + \frac{{3(\theta _i^2 + \theta _j^2)}}{{35}} - \frac{{18({v_j} - {v_i})({\theta _i} + {\theta _j})}}{{35L}} ，$

$ \bar b = - \frac{{9{{({v_j} - {v_i})}^2}}}{{35L}} + \frac{{6{\theta _i}({v_j} - {v_i})}}{{35}} - \frac{{L(\theta _j^2 - \theta _i^2)}}{{140}} - \frac{{L{\theta _i}{\theta _j}}}{{70}}，$

$ \bar c = \frac{{9{{({v_j} - {v_i})}^2}}}{{35L}} + \frac{{6{\theta _j}({v_i} - {v_j})}}{{35}} - \frac{{L(\theta _j^2 - \theta _i^2)}}{{140}} + \frac{{L{\theta _i}{\theta _j}}}{{70}}，$

$ \bar d = \frac{{3{{({v_j} - {v_i})}^2}}}{{35}} + \frac{{{L^2}(12\theta _i^2 + \theta _j^2)}}{{210}} - \frac{{L({v_j} - {v_i})({\theta _j} - {\theta _i})}}{{70}} - \frac{{{L^2}{\theta _i}{\theta _j}}}{{70}}，$

$ \bar e = \frac{{L({v_j} - {v_i})({\theta _i} + {\theta _j})}}{{70}} - \frac{{{L^2}{\theta _i}{\theta _j}}}{{105}} + \frac{{{L^2}(\theta _i^2 + \theta _j^2)}}{{140}}，$

$ \bar f = \frac{{3{{({v_j} - {v_i})}^2}}}{{35}} + \frac{{{L^2}(12\theta _j^2 + \theta _i^2)}}{{210}} + \frac{{L({v_j} - {v_i})({\theta _j} - {\theta _i})}}{{70}} - \frac{{{L^2}{\theta _i}{\theta _j}}}{{70}}。$

式中：E为弹性模量；A为截面面积；L为单元长度。

质量单元矩阵为：

${ {m^e} = \dfrac{{\rho AL}}{{420}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {140}&0&0&{70}&0&0 \\ 0&{156}&{22L}&0&{54}&{ - 13L} \\ 0&{22L}&{4{L^2}}&0&{13L}&{ - 3{L^2}} \\ {70}&0&0&{140}&0&0 \\ 0&{54}&{13L}&0&{156}&{ - 22L} \\ 0&{ - 13L}&{ - 3{L^2}}&0&{ - 22L}&{4{L^2}} \end{array}} \right]。} $

(4)

式中：ρ为密度；A为截面面积；L为单元长度。

使用阻尼系数ξ，得到阻尼矩阵C，将单元矩阵组合整体矩阵，得到横纵耦合运动方程：

$ \boldsymbol{M}\ddot{u}+\boldsymbol{K}\dot{u}+\boldsymbol{C}u=\boldsymbol{R}。$

(5)

式中：M为整体质量矩阵；K为整体刚度矩阵；C为整体阻尼矩阵；R为外来激励。

1.3 Newmark法

针对式(5)这个二阶微分方程，使用直接积分法中的Newmark法进行求解，假设在时间t～t+Δt内：

$ {\left\{ {\dot u} \right\}_{t + \Delta t}} = {\left\{ {\dot u} \right\}_t} + [\left( {1 - \beta } \right){\left\{ {\ddot u} \right\}_t} + \beta {\left\{ {\ddot u} \right\}_{(t + \Delta t)}}]\Delta {t^2} ，$

(6)

$ {\left\{ u \right\}_{t + \Delta t}} = {\left\{ u \right\}_t} + {\left\{ {\dot u} \right\}_t}\Delta t + \;\left[ {\left( {\frac{1}{2} - \gamma } \right){{\left\{ {\ddot u} \right\}}_t} + \gamma {{\left\{ {\ddot u} \right\}}_{(t + \Delta t)}}} \right]\Delta {t^2}。$

(7)

式中：β和γ为按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数，$ {u}_{t+\Delta t}{\dot{u}}_{t+\Delta t} $、$ {\ddot{u}}_{t+\Delta t} $为t+Δt时的位移、速度和加速度。

研究表明，当β≥0.5、γ≥0.25(0.5+β)²时，Newmark-beta法是一种无条件稳定的格式。当$ \beta $=0.5、$ \gamma $=0.25时，Newmark法为常平均加速度法，即假定从t～t+Δt时刻的速度不变，取为常数$ 1/2({\left\{\ddot{u}\right\}}_{t}+{\left\{\ddot{u}\right\}}_{t+\Delta t}) $。

由Newmark-beta法假设的2个式子，可以得到用$ {u}_{t+\Delta t} $表示$ {\dot{u}}_{t+\Delta t} $、$ {\ddot{u}}_{t+\Delta t} $的表达式：

$ {\{ \ddot u\} _{t + \Delta t}} = \frac{1}{{\gamma \Delta {t^2}}}({\{ u\} _{t + \Delta t}} - {\{ u\} _t}) - \frac{1}{{\gamma \Delta t}}{\{ \dot u\} _t} - \left(\frac{1}{{2\gamma }} - 1\right){\{ \ddot u\} _t}，$

(8)

$ {{\{ \dot u\} _{t + \Delta t}} = \dfrac{\beta }{{\gamma \Delta t}}({\{ u\} _{t + \Delta t}} - {\{ u\} _t}) + \;\left(1 - \dfrac{\beta }{\gamma }\right){\{ \dot u\} _t} + \left(1 - \dfrac{\beta }{{2\gamma }}\right)\Delta t{\{ \ddot u\} _t}。} $

(9)

考虑t+Δt时刻的振动微分方程为：

$ {[\boldsymbol{M}}{\text{]\{}}\ddot u{{\text{\}}}_{t + \Delta t}} + {[\boldsymbol{C}}{\text{]\{ }}\dot u{{\text{\} }}_{t + \Delta t}} + {[\boldsymbol{K}}{\text{]\{}}u{{\text{\} }}_{t + \Delta t}} = {{\{}\boldsymbol{R}{\text{\} }}_{t + \Delta t}}。$

(10)

将式(8)、式(9) 代入式(10)，得到关于u_t+Δt的方程：

$ {\text{[}}{\bar {\boldsymbol{K}}}{\text{]\{}}u{{\text{\} }}_{t + \Delta t}} = {{\text{\{}}{\bar {\boldsymbol{R}}}{\text{\} }}_{t + \Delta t}}，$

(11)

$ [{\bar {\boldsymbol{K}}}] = [{\boldsymbol{K}}] + \frac{1}{{\gamma \Delta {t^2}}}[{\boldsymbol{M}}] + \frac{\beta }{{\gamma \Delta t}}[{\boldsymbol{C}}] ，$

(12)

$ \begin{split} \{ {\bar {\boldsymbol{R}}}\} = &{\{ {\boldsymbol{R}}\} _{t + \Delta t}} + [\boldsymbol M]\left(\frac{1}{{\gamma \Delta {t^2}}}{\{ u\} _t} + \frac{1}{{\gamma \Delta t}}{\{ \dot u\} _t} + (\frac{1}{{2\gamma }} - 1){\{ \ddot u\} _t}\right) + \\ &[{\boldsymbol{C}}]\left(\frac{\beta }{{\gamma \Delta t}}{\{ u\} _t} + \left(\frac{\beta }{\gamma } - 1\right){\{ \dot u\} _t} + \left(\frac{\beta }{{2\gamma }} - 1\right)\Delta t{\{ \ddot u\} _t}\right)。\\[-5pt]\end{split} $

(13)

求解式(11)～式(13)得到u_t，将其通过FFT变化转换为频域图。

2 低频线谱计算

轴系结构示意图如图3所示。

轴系总长度为0.96 m，直径为10 mm，配重盘质量为0.66 kg，轴系的弹性模量为210 GPa，密度为7850 kg/m³，有3个径向轴承，径向刚度均为5×10⁸ N/m，推力轴承刚度为5×10⁹ N/m，初始状态下不受力，配重盘部位施加纵向力，纵向激励频率为f_L=20 Hz，幅值为300 N，在轴段中间施加横向激励，激励频率为f_T =15 Hz，幅值为200 N，阻尼比$ \xi =0.01 $，使用Newmark-beta法计算轴段中点振动。

由图4和图5可知，在横纵耦合振动系统中，纵向振动响应呈现出3个显著的频率成分，分别为10 Hz（2倍横向激励频率和纵向激励频率之差）、20 Hz（纵向激励频率）和30 Hz（2倍横向激励频率），对应的振幅依次为7.96×10⁻⁵、9.06×10⁻³、1.52×10⁻³ mm。与线性纵向振动对比，该系统额外出现了2个频率成分，特别是30 Hz的频率成分，其作为耦合效应的关键部分，对纵向振动的影响尤为突出。此外，由图3可知，在考虑非线性耦合振动的情况下，最大纵向振动位移达到了0.0118 mm；而当忽略横纵耦合效应时，最大纵向振动位移仅为0.0089 mm。这表明，耦合振动显著增强了系统的纵向振动幅度。

横向振动主要表现为3个不同的频率成分，分别为5 Hz（横纵激励频率差和）、15 Hz （横向激励频率）和35 Hz（横纵激励频率之和），对应的振幅分别为2.02×10⁻²、7.55×10^{− 1}、7.16×10⁻³ mm。与线性横向振动相比，该系统额外出现了2个频率成分，其中，5 Hz 是耦合效应的主要体现。然而，这2个额外频率的响应对横向振动的影响相对较小。根据数据显示，在考虑非线性耦合振动的情况下，最大横向振动位移达到了0.778 mm；而当不考虑横纵耦合效应时，最大横向振动位移为0.755 mm。

由功率谱图可知，只有横向振动时，有45 Hz的频谱出现，为3倍频激励频率，只有纵向振动时，无其他线谱；除了出现前文提到的几个频率外，在40 Hz（2倍纵向激励频率）、25 Hz（2倍纵向激励频率减横向激励频率）和45 Hz（3倍横向激励频率）也有线谱，但是相比而言量级非常小，因此不详细分析这几个频率下的线谱幅值变化。

综上所述，相比纵向振动，耦合效应对横向振动的影响较小。

在耦合振动条件下，纵向振动位移的时域响应显著大于线性振动条件下的位移响应，非线性横向振动相比线性横向振动相对不明显。此外，与单纯的横向或纵向振动相比，耦合振动不仅会在激励频率处产生响应，还会激发额外的频率成分。因此，在设计轴系时，除了避免激励频率外，还须考虑因耦合效应而产生的其他频率，以防止系统发生不必要的共振现象。

3 结果分析 3.1 激励频率对低频线谱的影响

横向激励会对纵向响应产生影响，纵向激励也会对横向振动产生影响，为探究激励频率对振动低频线谱的影响具体规律，不改变激励力，横向激振力为200 N、纵向激振力为300 N，改变横向和纵向激励频率，设置5组工况分析规律，工况如表1所示。计算得到频谱响应如图6和图7所示。

可知，当横向激励频率和纵向激励频率改变时，横向振动响应和纵向振动响应也随之改变，产生的响应频谱的频率为纵向激励频率和横纵激励频率的组合，其中纵向振动响应频谱有2f_T−f_L 、f_L和 2f_T，横向振动响应频谱有f_L−f_T、f_T和f_L+f_T。

当横向激励频率增加时，纵向振动响应中f_L频率下的振幅没有明显变化，2f_T−f_L 和 2f_T频率下的振幅均有所下降。其中，2f_T 频率下的振幅显著高于 2f_T−f_L 频率下的振幅。横向振动响应中f_T和f_L+f_T频率下的振幅随横向激励频率增加而减小，而f_L−f_T频率下的振动振幅没有明显变化。

当纵向激励频率的增大，纵向振动响应中f_L和2f_T频率下的振幅没有明显变化，2f_T−f_L频率下的振幅随纵向激励频率的增大而变大。横向振动响应中f_L−f_T和f_L+f_T频率下的横向振动响应幅值随之减小，其中f_L−f_T下降的更明显，而频率f_L下的振动响应没有明显变化。

当激励频率发生变化，横向激励响应中f_L−f_T和 f_L+f_T频率下的线谱幅值也改变，其中f_L−f_T下的线谱幅值受纵向激励频率变化更大，而f_L+f_T下的线谱幅值受横向激励频率变化更大。

当横向激励频率增加时，更多的能量会被分配到其他频率成分上，尤其是那些由耦合效应产生的额外频率成分。这导致原本集中在纵向激励频率上的能量有所减少，从而引起响应振幅的轻微下降。

综上所述，纵向激励频率对横向振动的影响比横向激励频率对纵向振动响应更小，相同振动方向下不同频率的振动响应受激励频率变化的影响不同。

3.2 激励力对低频线谱的影响

当激励力发生改变时，振动响应也会随着改变，本文设置5组工况分析其规律，工况如表2所示。计算得到的频谱图如图8和图9所示。

激励力的增大会增大对应激励方向的振动响应幅值，由于耦合作用还会影响其他方向的振动响应，使得其他方向的各频率振动响应随之改变。

由图8可知，对比工况1～工况3，在纵向激励力不变，随着横向激励力的增大，各振动响应都在逐渐增大，3个频率下的横向振动响应增长倍数为5倍左右，和横向激励幅值增长倍数相同，符合传统规律，由于耦合作用，纵向振动振幅也有所增长，其中频率为f_L增长倍数相比其他二阶振动响应较小，而频率为2f_T−f_L和2f_T纵向振动响应增长倍数就比较大，并且在工况2时，纵向振动中频率为 2f_T时的振幅比纵向激励频率f_L下的振幅更大。

由图9可知，对比工况3～工况5，在横向激励力不变时，随着纵向激励力的增大，各频率下的振动响应也在增大，其中f_T频率下的纵向振动响应没有明显变化，而2f_T−f_L和f_L频率下的纵向振动增长倍数都和纵向激励幅值增长倍数接近，横向振动响应中的3个频率为f_L−f_T、f_T和f_L+f_T，随着纵向激励的幅值的增大，其中横向激励频率f_T下的振动响应增长不大，由于横纵耦合效应产生的另外2个频率下的振动响应f_L−f_T和f_L+f_T增大5倍左右，和横向激振力增长倍数相同。

综上可得，横向激励力的增长对纵向振动响应的影响比纵向激励力对横向振动的影响更大，甚至会出现纵向振动中横纵激励组合频率下的振幅比纵向激励频率下的振幅更大或者相同量级，耦合作用主要作用在激励频率组合下的振动响应，对横向激励频率和纵向激励频率下的振动响应几乎无影响，其中频率为2f_T下的纵向振动响应主要受横向激励影响。

3.3 激励相位对低频线谱的影响

相位可能会对振动产生影响，为探究其规律，设置5组工况分析相位的影响，工况如表3所示。计算得到的频谱如图10所示。

可知，当改变激励初始相位时，横向和纵向低频线谱振动响应没有明显变化，激励相位对低频线谱影响很小。

3.4 跨距对低频线谱影响

当轴系跨距（尾端到尾轴承距离）发生改变时，振动响应也会随着改变，为探究跨距对低频线谱影响的规律，设置3组工况计算频谱，工况如表4所示。

由图11可知，随着跨距的改变，纵向振动2f_T−f_L 、f_L和2f_T三个频率下的响应中f_L没有明显变化，2f_T−f_L和2f_T产生明显变化，随着跨距的增大而增大；而横向振动响应中随着跨距的增大，产生的f_L−f_T、f_T和f_L+f_T三个频率响应都随之增大。

跨距对纵向激励频率下的振动影响很小，但是横向振动响应以及由耦合作用产生纵向振动响应随跨距的增大而增大。

3.5 陀螺效应对低频线谱的影响

陀螺效应（Gyroscopic Effect）源于旋转体角动量守恒引起的惯性耦合现象。在推进轴系中，高速旋转的螺旋桨、电机转子等部件会引入显著的陀螺力矩，其数学本质表现为动力学方程中的非对称刚度项，当轴系发生横向偏转（如弯曲振动）时，旋转体的角动量方向改变会诱发垂直于振动方向的修正力矩。

使用瑞利梁模型，考虑转动惯量忽略剪切变形，此时横纵耦合运动方程为：

$ \boldsymbol{M}\ddot{u}+\overline{\boldsymbol{C}}\dot{u}+\boldsymbol{K}u=\boldsymbol{R}。$

(14)

式中：$ \overline{\boldsymbol{C}}=\boldsymbol{C}+\varOmega\boldsymbol{G} $，C为阻尼矩阵，G为陀螺矩阵，Ω为转速；R为载荷向量。

为探究考虑陀螺效应对低频线谱的影响，横向激振力为200 N，激励频率为15 Hz，纵向激振力为300 N，激励频率为20 Hz，假设转速为120 r/min，将其和不考虑陀螺效应进行对比，得到响应图如图12所示。

可知，再考虑陀螺效应之后，纵向振动响应没有明显变化，横向振动响应中f_L−f_T和f_T有轻微下降，陀螺效应会产生修正力矩抑制横向振动。

4 结　语

针对轴系建立横纵耦合振动模型，分析各因素对低频线谱振动的影响，结论如下：

1）在横向激励和纵向激励的共同作用下，轴系模会产生多种低频线谱振动响应，其中纵向振动响应频率主要有2f_T−f_L 、f_L和2f_T三个频率，横向振动响应频率主要有f_L−f_T、f_T和f_L+f_T，除此之外，在2f_L、2f_L−f_T、3f_T也有线谱振动响应。

2）横向激励对纵向振动响应的影响比纵向振动响应对横向振动响应的影响更大。

3）耦合作用主要作用在激励频率组合下的振动响应，对横向激励频率和纵向激励频率下的振动响应几乎无影响，其中频率为2f_T下的纵向振动响应主要受横向激励影响。

4）激励的相位对低频线谱影响很小，跨距越大，横向振动越大，对纵向振动影响影响很小，但是由耦合作用产生的其他频率下的振动随跨距的增大而增大。

5）陀螺效应会抑制横向振动响应，对纵向振动响应几乎无影响。