0 引　言

船舶航行过程中，阻力对燃油消耗与排放产生了深远影响，因此船舶减阻技术的探索对于提升航行效率和减少碳排放至关重要^[1]。

全球海洋温度在南北半球存在显著差异。通常来说，南半球的海水温度相对较低，而北半球的温度较高。这一现象源于地理位置、海流以及季节变化的综合影响。船舶在航行过程中常常跨越热带、温带和寒带海域，海水的温度、密度和动力粘度在这些不同的地理区域内具有显著差异。例如，在赤道附近的海域，如马六甲海峡和新加坡附近，海水温度通常较高，而在高纬度地区附近，海水温度则明显降低。这种温度变化为冷热水减阻技术在全球航运中的应用提供了重要契机。利用不同温度的海水注入船体，旨在通过控制局部水温，利用不同水温下海水密度与动力粘度的差异降低船舶与水体间的摩擦阻力，实现节能效果。

目前，大多数方法仅仅构建了不同缩尺比下船舶阻力计算模型，未将缩尺模型与减阻策略结合在一块。马忠鑫等^[2]根据相似准则，以集装箱船为研究对象，将缩尺效应与限制水域相结合，探究了限制水域缩尺船模下船舶流场变化，该缩尺计算只考虑了一种缩尺比。叶代扬等^[3]根据相似准则，对船模在不同缩尺比、不同工况下气泡减阻效能进行模拟，探究尺度效应对船模减阻效应的影响。BHWA等^[4]基于RANS方程利用VOF法对加入螺旋桨前后进行船舶气泡减阻模拟，通过对船体底部覆上一层气层，减少船体与水面接触的面积，从而减少船舶摩擦阻力，此外通过物理试验描述了气层覆盖底部空腔面积。Kumagai等^[5]设计了一种新型空气引入装置，从能量守恒的角度考虑，对船舶能量耗散进行了数学建模，描述了气泡减阻能量耗散关系。Castro等^[6]基于RANS方程，将实船与船模结果相比较，定义离散螺旋桨的旋转，将螺旋桨叶片分为10个部分，建立局部速度场各部分推力与力矩模型，描述螺旋桨敞水运动曲线。Zhang等^[7]利用体积力螺旋桨法与滑移网格法2种方法对船体计算结果进行相互验证，基于雷诺平均方程利用ITTC公式对船舶阻力与波形轮廓进行验证。Seong等^[8]提出RBI（重复气泡喷射方法）方法来降低摩擦阻力，通过改变气泡大小与通气量来研究如何提高减阻效率。

经文献检索和分析发现，船舶在不同缩尺比下的冷热水减阻没有充分开展分析，没有从边界层角度建立评估不同缩尺比下冷热水减阻定量关系的模型与方法，尚未建立模型来准确揭示机制和机理。因此开展缩尺船模冷热水减阻的研究有重要意义。

本文利用CFD软件STAR-CCM+，采用MRF（运动参考系法）方法模拟船桨相互作用，对静水中带桨集装箱船进行了数值预报，通过官方公开数据验证了该方法的准确性。建立了3种不同缩尺模型船舶冷热水减阻模型，通过研究船舶设计航速与通气量的变化，探讨不同缩尺比下船舶冷热水减阻变化规律，利用本征正交分解（POD）法对浆盘面速度场进行分析。

1 数学模型 1.1 船舶阻力成分

船舶航行阻力按照阻力成因分为^[9]：

$ {R}_{T}={R}_{f}+{R}_{w}+{R}_{pv}。$

(1)

式中：$ {R}_{T} $为总阻力；$ {R}_{f} $为摩擦阻力；$ {R}_{w} $为兴波阻力；$ {R}_{pv} $为粘压阻力。

船舶在航行时受到的阻力有摩擦阻力、粘压阻力和兴波阻力，对多数水上航行物而言，摩擦阻力占总阻力的80%以上，因此冷热水减阻减小的是$ {R}_{f} $，在进行冷热水减阻的过程中：

$ {R}_{f}={R}_{f1}+{R}_{f2}+\Delta {R}_{f} 。$

(2)

式中：$ {R}_{f1} $为没有掺混不同温度海水的边界层阻力；$ {R}_{f2} $为掺混了不同温度的海水形成的两相流的边界层阻力，与边界层内海水的体积分数相关。$ \Delta {R}_{f} $为引入孔穴而引起的附体阻力。

$ \left\{\begin{aligned}&{R}_{f1}=\displaystyle\frac{{R}_{t2}}{{R}_{t1}}，\\ &{R}_{f2}=(1-\displaystyle\frac{{R}_{t2}}{{R}_{t1}}){R}_{f}。\end{aligned}\right. $

(3)

式中：$ {R}_{t1} $为未通高温水模型总阻力；$ {R}_{t2} $为通入高温水模型总阻力。

1957年国际船模试验池实船-船模换算公式，简称1957 ITTC公式：

$ {C}_{f}=\frac{0.075}{{({\mathrm{lg}}Re-2)}^{2}} 。$

(4)

式中：$ Re $为雷诺数。

船桨之间产生作用力时，船舶阻力计算式为^[10]：

$ R=T(1-t) 。$

(5)

式中：$ T $为船在自航过程中螺旋桨产生的推力；$ R $为船舶在航行时所受的阻力；$ t $为推力减额分数，用来描述螺旋桨对船体的影响。

定义船舶总阻力减阻率公式：

$ \gamma =\frac{{R}_{t1}-{R}_{t2}}{{R}_{t1}}\times 100\mathrm{\%}。$

(6)

式中：$ {R}_{t1} $为未通气时船模总阻力。

1.2 不同水域下温差模型建立

水温影响水的黏度，从而影响船舶在水中的阻力。较冷的水具有较高的黏度，导致更高的摩擦阻力。反之，热水黏度较低，摩擦阻力减小。设定温度对黏度的影响为$ \mu \left(T\right) $，温度$ T $影响摩擦阻力的公式为：

$ {R}_{f}\left(T\right)=\frac{1}{2}\rho {V}^{2}{C}_{f}\left(T\right)A 。$

(7)

式中：$ {R}_{f}\left(T\right) $为摩擦阻力，依赖于温度；$ \rho $为水的密度；$ V $为航速，$ {C}_{f}\left(T\right) $为摩擦阻力系数；依赖于温度$ T $与船体表面特性；$ A $为船体湿表面积。

假设船舶在航行中，热水和冷水减阻的比例随航行时间和航程发生变化。设航速为$ V $，航行时间为$ t $，则船舶周围水温变化可以与时间$ t $与位置关联。

设$ T\left(t\right) $为船体周围水温随时间变化的函数，根据不同水域分布（热带和寒带），水温随航程变化可表示为：

$ T\left(t\right)=\left\{\begin{aligned}&{T}_{\rm{hot}},t\in \left[0,{t}_{1}\right)，\\ &{T}_{\rm{cold}},t\in \left[{t}_{1},{t}_{2}\right)。\end{aligned}\right. $

(8)

式中：$ {t}_{1} $为船舶从热带航行至寒带的时间。

1.3 POD分解数学模型

船舶尾流可以通过POD法来研究，以提取流场中的主要特征结构和能量分布。POD方法是一种数据驱动的降维技术，可以将复杂的流场数据分解为一组正交模态，每个模态对应特定的能量含量，从而揭示尾流中主导的流动结构。

对于随时间变化的一维信号，由于添加了时间堆，所以可以用一个二维矩阵$ {U}_{tx} $来记录。信号的空间长度为$ N $个离散点。二维矩阵具有$ N $行$ m $列，每一行都代表信号在某一时间点上的形状。

$ {U}_{tx}=\left[\begin{array}{cccc}u({t}_{1},{x}_{1})& u({t}_{1},{x}_{2})& \cdots & u({t}_{1},{x}_{m})\\ u({t}_{2},{x}_{1})& u({t}_{2},{x}_{2})& \cdots & u({t}_{2},{x}_{m})\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\ u({t}_{N},{x}_{1})& u({t}_{N},{x}_{2})& \cdots& u({t}_{N},{x}_{m})\end{array}\right]。$

(9)

POD分解步骤如下：

首先，建立协方差矩阵$ R $。

$ R=\frac{1}{N}\cdot ({U'}_{tx}\cdot{U}_{tx}) 。$

(10)

式中：$ N $为离散点个数。

接下来进行特征值与特征向量的分解，$ {\boldsymbol{V}} $为特征向量，$ D $为特征值。

$ R\cdot {\boldsymbol{V}}=D\cdot {\boldsymbol{V}}。$

(11)

式中：$ {\boldsymbol{V}} $为POD模态；$ D $对应的是每个模态的能量值，其中最大的特征根对应的模态称为第一模态。

特征向量$ {\boldsymbol{V}} $可以表示为：

$ {\boldsymbol{V}}=[\mathrm{\varnothing}1,\mathrm{\varnothing}2\cdots\mathrm{\varnothing}m]。$

(12)

模态的幅值与大小可以用A表示：

$ {A}=U\cdot {\boldsymbol{V}} 。$

(13)

每一个模态对应的时间变化为：

$ {A}_{i}=U\cdot {\mathrm{\varnothing }}_{i}。$

(14)

通过式(14)可以将一个时间与空间的信号拆分为独立的时间信号与空间信号的乘积，每一个$ i $代表一个模态。

$ U\left(t,x\right)=\sum _{i=1}^{m}{A}_{i}\left(t\right)\cdot {\mathrm{\varnothing }}_{i}\left(x\right)。$

(15)

2 数值计算模型 2.1 计算模型

本文选用韩国船舶研究所的集装箱船KCS船和KP505螺旋桨作为研究对象，缩尺比为31.6的KCS船模与桨模相对位置如图1所示。考虑到圆形孔的流体动力学效率较高，圆形截面可以产生较为均匀和稳定的气泡流，更有助于减少船舶底部扰动。因此在船首位置处设置圆形通气孔，考虑到船首是最先接触水的部分。为了让高温水可以均匀的覆盖在船首周围水域，故将排水孔呈现扇形排布在船首位置，通过该种排水孔排出的高温水，可以使温度梯度分布更加均匀，确保冷热水温差作用分布广泛，最大限度地利用热水实现减阻效果。

结合文献[2 − 3]选择的缩尺比，考虑到覆盖不同流动状态的需求，为了探究船模不同缩尺比下的减阻机制，在相似准则（几何相似、动力相似）基础上，本文选用表1所示的缩尺比为$ {\lambda }_{0}=28，{\lambda }_{1}=31.6，{\lambda }_{2}=40，{\lambda }_{3}=57.5，{\lambda }_{4}=60，{\lambda }_{5}=70 $。上述缩尺比分别对应大、中、小船舶的尺寸，缩尺模型依次命名为$ \mathrm{A}_0、\mathrm{A}_1、\mathrm{A}_2、\mathrm{A}_3、\mathrm{A}_4、\mathrm{A}_5 $，控制不同缩尺比下船模傅汝德数均为$ {F}_{n}=0.261 $，利用计算傅汝得数公式$ {F}_{r}={u}/{\sqrt{gL}} $计算出得不同缩尺比下船舶设计航速为2.343、2.196、1.960、1.635、1.600、1.483 m/s。缩尺船模对真实船舶的性能预测至关重要，不同缩尺比可以帮助更准确地预测全尺寸船舶的行为，缩尺船模$ {A}_{1} $通气孔直径设置为0.02 m，不同缩尺比的船舶通气孔大小等比例变化。

本文在求解自航模船舶阻力问题时，时间步长设置为0.021 s（桨叶数5与转速9.5 r/s乘积的倒数）。本计算保持船体固定，如表2所示将计算结果转化为$ {F}_{r}=0.261 $的文献[11 - 12]无量纲阻力系数进行对比，由表可见结果吻合度良好。

图2为本文计算模拟所用的不同温度海域情况下密度与动力粘度变化曲线，展示了冷热水减阻计算的温度-密度-粘度关系曲线。可见，随着海水温度的升高会导致密度与粘度的下降。

2.2 网格划分与边界条件的设置

本文运用成熟的模拟方法运动参考系（MRF）法^{[12 − 14]}模拟船舶冷热水减阻运动。图3所示为船体模型对应的计算域的大小、网格划分和边界条件划分（其中船体两侧正对的边界为对称平面），其中。船首和船尾网格划分较为密集，船中网格划分稀疏，全船采用棱柱层网格，因为这种类型的网格对几何适应性比较好。图4所示为螺旋桨区域网格划分，通过对螺旋桨桨叶边缘进行线加密，对螺旋桨桨面和桨毂进行面加密实现整个螺旋桨细化。6种缩尺船模整个计算域网格总数分别为607万、481万、330万、325万、169万与154万，算例时间步长设置为0.021 s（桨叶数5与转速9.5 r/s乘积的倒数）。

3 自航模冷热水减阻机制

图5所示为缩尺比为31.6的KCS船以10 kn航速航行于10 ℃与20 ℃海域的阻力差异对比图，结合图2所示的不同海域的密度与粘度的差异可以看出10 ℃海水船体阻力小于20 ℃海水阻力值，以此可以说明航行于不同温度海域下的船舶其阻力不同，温差减阻技术切实可行。

本文以图6所示的航线为例进行论述，船舶航行经新加坡、印度洋、好望角，穿过南大洋，到达南极洲的实际航线进行研究，在当前的航行环境下，新加坡海水温度约为30℃，帝国码头海水温度约为11℃，好望角为5℃左右。当船舶航行于马六甲海峡时，利用高压水泵抽取高温水至压载水舱，当船舶从高温海域进入低温海域时，将压载水舱内的高温水注入船体周围，可以有效地改变边界层特性，进而减少阻力，该航线的温度差异为研究冷热水减阻技术提供了理想的条件。压载水的置换需要遵循IMO公约的要求，主要通过将船舱内的压载水排空再重新抽取注入（压载水置换）的方式，并需满足特定的排放标准。在排放前对压载水中的生物进行灭杀处理，使其微生物数量限定在一定标准内，以避免对排放港口的水域造成不利影响。

3.1 冷热水减阻机制研究

为研究缩尺船模在不同航速下冷热水减阻机制，本文选择的通入高温水量为0.001256、0.001884、0.00628、0.01256、0.01884 kg/s。利用公式将通入高温水量换算成$ \mathrm{A}_1 $的通入高温水速度为$ 1.0、1.5、3.0、5.0、10.0\;{\rm{m/s}} $，其他不同缩尺比下的船模采用与$ \mathrm{A}_1 $相同的通气速度，上述不同比例模型螺旋桨转速均为9.5 r/s。

图7所示为不同缩尺比集装箱船舶航行于新加坡港、印度洋至好望角的实际航线。于新加坡港抽取30 ℃的高温海水至压载水舱，当船舶航行于印度洋至好望角这条航线上时，将压载水舱内的高温水从设计的通水孔内排出，此时通气孔内温度恒定为30 ℃，排出高温水的速度为1 m/s，随着航线变化，远场环境温度变化，船舶总阻力变化，图7中各点结果见表3。随着远场温度从0 ℃增加到25 ℃，由于不同温度下海水的密度与粘度间存在差异，温差越大，上述差异也越大，由表3可见当通水孔内温度为30 ℃时，远场温度越小，即远场温度与孔内温度温差越大，阻力越小，减阻效果越好。

当船舶航行至好望角附近时，此时海水水温约为5 ℃，可以打开高压水泵将压载水舱内的高温水通过通气孔排放至海水中，利用冷热水密度与粘度的差异实现减阻。图8所示为远场温度为5 ℃，通气孔内温度为30 ℃的高温水在不同缩尺比下冷热水减阻曲线，由曲线可以看出，随着通入高温水速度的增加，在显著减阻段，船舶总阻力显著下降，到达减阻稳定段后，阻力趋于稳定，在更高的通入高温水速度下，其阻力开始回升。大缩尺比下船模阻力明显低于小缩尺比下船模阻力，大缩尺比下在通入冷热水阻力稳定段与阻力回升段均较为平坦。上述现象说明在小的缩尺比下通入高温水减阻效果更为显著，较大的缩尺船模在阻力稳定段与阻力回升段对通入高温水速度变化不敏感。

图9所示为不同通入冷热水速度下，缩尺$ \lambda $比对减阻率的影响，由图可见随着缩尺比的增加，减阻率呈现出明显的非线性变化。在所有通入速度条件下，减阻率曲线表现出相同的波动趋势，减阻率$ \lambda $在30～35与65～70之间达到局部峰值，随着船模缩尺比的增加，其减阻率整体呈现递增趋势，这表明大缩尺比下，高速方式通入高温水下可以获得更显著的减阻效果，大缩尺船模对水温温度变化更敏感。而在小缩尺比下，随着高温水的通气速度的增加其减阻率呈现下降趋势。

图10所示为通入高温水前后船体边界层厚度变化。图10(a)为未通气下船体边界层厚度变化，3种缩尺比下船模边界层厚度均随船体位置$ X/{{L}}_{{p}{p}} $增加而逐渐减小，尤其是船尾部边界层厚度最大，这表明该区域受到的阻力最大。图10(b)所示为通入高温水后船体边界层厚度变化，所有船模在船尾部边界层厚度显著减少，表明高温水的通入有效降低了该区域的粘度与摩擦阻力，导致边界层变薄。

3.2 POD分解法分析浆盘面伴流场

POD分解可以有效分析对船底通入冷热水后对桨盘面速度场的影响，POD方法可以利用颜色与等值线有效的捕捉不同模态下浆盘面形成的涡量，等值线密集的地方为涡量聚集处。图11所示为不同缩尺比下浆盘面x向速度分量伴流场前4个模态的云图，图11(a)所示为在缩尺比28的船模螺旋桨伴流场云图，模态能量主要集中在低阶（一阶与二阶）模态上，高阶模态能量较低，对整体流动贡献较少。图11(b)至图11(f)缩尺比所示显示了更为集中的涡结构，说明在该缩尺比下，局部旋涡对流动影响较大。随着缩尺比的增加，速度场低阶模态包含的能量显著增加，低阶模态流场结构更为复杂和多样化，高阶模态贡献在小缩尺比下相对较少，但在大的缩尺比下，随着流动复杂性增加，高阶模态中包含更多的小尺度特征，反映出更加复杂的涡旋与不稳定性。

图12为不同缩尺比下浆盘面y向速度分量伴流场前4个模态的云图，图中等值线聚集的地方为旋涡聚集处，图12(a)所示为在缩尺比28的船模浆盘面伴流场云图，在该缩尺比下，模态1与模态2的速度分布为均匀的流动结构，流动结构整体平稳，主要能量集中在大尺度结构中，随着模态阶数的提高，涡旋和局部小尺度特征逐渐显现。随着缩尺比的增加，速度分量模态图显示出更多的复杂结构，特别是在低阶模态中，漩涡和高能量区域的数量增加。这说明随着缩尺比的增加，流动的非稳态与湍流特征逐渐增强。

当缩尺比在40以上时，各模态图中涡旋结构明显增多，低阶模态中包含的涡旋结构逐渐增多，这说明涡流在大缩尺比下对整体流场影响更大。

图13所示为不同缩尺比下浆盘面z向速度分量伴流场前4个模态的云图，图中等值线聚集的地方为旋涡聚集处。图13(a)所示为在缩尺比28的船模浆盘面伴流场云图，在该缩尺比下，模态1显示了较为平稳的流场特征流动区域，流动区域分布均匀且没有明显的集中旋涡或高梯度区域。表明该缩尺比下，流场的主要能量集中在整体稳定的流动结构中。模态2的特征图出现了局部不对称的结构，显示出一些初步的小尺度扰动。模态3与模态4进一步展示了复杂的局部结构，包含较多的小尺度波动，表明高阶模态包含了流场的细节信息，但对整体能量贡献较低。

随着缩尺比从28增加到57.5，低阶模态（模态1与模态2）中漩涡结构显著性增加，这表明缩尺比增加后，流场主要特征集中在复杂的漩涡结构中。在较小的缩尺比（25和31.6）下，流动较为平缓，低阶模态捕捉到的主要是整体稳定的流动特征。而在较大的缩尺比下，高阶模态包含了大量的小尺度流动，这些细节代表了流动中的湍流与不稳定性。

图14所示为利用POD分析不同缩尺比下三相速度第一模态能量随缩尺比的变化曲线，图中每一条曲线均随着缩尺比变化呈现周期性波动。可以看出，对于三相速度第一模态能量，波峰与波谷位置基本一致，表明缩尺比对模态能量影响具有全局规律性，Vx方向模态能量整体较高，显示出Vx能量占主导地位，Vy与Vx变化趋势相似，但模态能量低于Vx，Vz相模态能量在三相能量中处于最低地位，对第一模态能量贡献最低。

4 结　语

本文在CFD软件STAR-CCM+的基础上构建了自航模数值模拟方法，利用MRF法实现了船舶与数值水池流固耦合计算，将螺旋桨与船体计算域划分成了旋转域与静止域两部分，在利用公开实验数据验证方法准确性的基础上，对通气孔进行设计，以新加坡港到好望角的特定航线为例开展了集装箱船冷热水减阻的计算，将不同缩尺船模冷热水减阻进行对比，对浆盘面伴流场进行了POD分析，可以得出如下结论：

1）大缩尺比下，船模在显著减阻段对水温变化敏感，随着通入高温水速度的增加，到达减阻稳定段时，其减阻效果趋于稳定，此时对通入高温水速度变化不敏感，而在小缩尺比下，随着高温水的通气速度的增加到达阻力回升段时其减阻效果呈现减弱趋势。

2）高温水的通入降低了船体周围的粘度与摩擦阻力，使得船体边界层变薄，船尾部边界层最厚，阻力最大，同一通气速度下大尺度模型减阻效果更显著。

3）随着缩尺比的增加，速度场低阶模态（一阶、二阶）包含的能量显著增加，低阶模态流场结构更为复杂和多样化，高阶模态贡献在小缩尺比下相对较少，但在大的缩尺比下，随着流动复杂性增加，高阶模态中包含更多的小尺度特征，反映出更加复杂的涡旋与不稳定性。