0 引　言

水下航行器外壳上弹性开口空腔产生的噪声是水下低频噪声的关键组成部分。如何有效降低水下航行器的低频噪声，提升其隐蔽性能，已成为增强我国海洋安全防御能力的重点。故而，开展水下弹性开口空腔声场特性的研究工作，特别是深入探究其声模态频率，具有极为重要的意义。

研究弹性开口空腔声模态特性时，通常需考虑其声固耦合问题，并采用数值法或解析法进行分析。解析法应用于弹性结构声学特性研究始于19世纪50年代，该方法具备运算简单、物理机制明确等优势，可有效阐释振动模态与声波辐射的耦合机理，但在处理几何形态复杂的结构时存在局限性^[1]。在数值求解方法上，学者们对声固耦合问题进行了持续研究，所采用的方法主要为有限元法。

1963年，Lyon^[2]首先提出了声固耦合模型，Gladwell等^[3-4]通过构建变分方程体系，进一步完善了有限元技术在声学耦合分析中的理论支撑。杜敬涛^[5]通过引入多元边界约束条件，成功实现了矩形板-腔耦合系统的动力学响应建模。姚昊萍等^[6]采用基于有限元法的数值仿真手段系统研究封闭腔体的耦合声场分布规律，其仿真解与试验结果的高度一致性验证了该方法的工程适用性。田红莉等^[7]基于声学有限元法和声固耦合理论，建立了箱体结构的有限元模型，证明了有限元法求解结构低频声固耦合问题的有效性。

考虑到开口带来的无限域问题，常见的数值模拟方法包括有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限元–边界元法（Finite Element–Boundary Element Method, FEM–BEM）和有限元–无限元法（Finite Element–Infinite Element Method, FEM–IFEM）等。FEM的优点是精度高且能适用于复杂结构，但其在求解无限空间域内的声学问题时由于无法确定截止边界而无法保证计算精度^[8]。求解无界域问题的常见方法为边界元法，因此集成有限元法与边界元法的优点而形成的FEM–BEM被用于求解水下无界域问题中任意形状、复杂结构的声学特性^[9]。FEM–BEM的优点是能适用于无限域内的声场计算，但在声场计算中，可能出现非唯一性问题^[10]。

无限元法由Bettess^[11]和Zienkiewicz等^[12]于1977年提出，是在有限元法基础上发展起来的一种数值方法，主要用于模拟无限域问题。在此基础上发展起来的FEM-IFEM为计算无限域内弹性结构的声辐射问题提供了另一种有效手段。由于无限元方法不需要考虑FEM-BEM方法方程求解中存在的奇异性、多值解等问题，因此在水下结构声场的计算中，尤其是涉及无限域的场景中得到了广泛应用^{[9 - 13]}。

在弹性开口空腔声场特性数值仿真的研究方面，李丽君等^[14]在考虑声固耦合的前提下，分别利用间接边界元法、直接边界元内外声场耦合法、FEM-BEM、FEM-IFEM四种方法求解了圆筒状开口薄壁结构的辐射声场，对比分析了某场点的频率响应结果，结果表明场点的频率响应变化规律基本一致。在水下领域，桑永杰等^[15]在液腔共振特性研究中创新性地引入腔壁弹性效应，采用多物理场耦合建模方法系统考察材料属性、几何尺寸对Helmholtz液腔谐振频率的影响规律，数值模拟结果与理论预测值的相对误差控制在2.0%以内，验证了弹性边界条件下液腔谐振频率的准确性。相较于传统的刚性壁理论计算结果，计算所得弹性壁的液腔谐振频率值有所降低。宋睿领^[16]采用FEM研究了弹性壁面条件下Helmholtz共振腔共振频率，发现腔体壁面弹性对谐振频率存在影响。柯李菊^[17]基于声电类比理论建立了水下空腔的集总参数模型，获得空腔的一阶声固耦合共振频率理论计算经验公式。并利用声学有限元软件，采用FEM结合完美匹配层方法计算空腔结构的声固耦合系统共振频率，得到的仿真解与理论解吻合良好。陈钊^[18]建立了水下开口弹性空腔结构声固耦合系统，采用FEM-BEM数值仿真方法，研究发现流体为海水时，弹性壁面会使声固耦合系统丢失某些声腔模态，其余声腔模态频率大大降低。赵成宇^[19]采用FEM结合完美匹配层方法，总结了腔体参数、开口参数以及激励声源特性对水下弹性开口空腔声辐射特性的影响规律。现有文献还未报道采用FEM–IFEM对水下弹性开口空腔声模态频率进行数值仿真预报。

本文以水下弹性开口空腔为研究对象，利用FEM–IFEM，采用基于有限元的声固耦合求解模型结合点声源激励策略，获取水下弹性开口空腔声模态频率的数值仿真方法。首先，采用基于有限元的声固耦合求解模型结合点声源激励对典型空腔声模态频率进行数值仿真计算，以验证该数值仿真方法在计算水下弹性开口空腔声模态频率上的可行性。接着，建立水下弹性开口空腔声固耦合计算模型，采用本文建立的数值仿真方法，分析仿真计算参数收敛性，预报得到水下弹性开口空腔声模态频率。

1 水下弹性开口空腔声模态频率数值仿真原理及方法 1.1 基于有限元的声固耦合仿真模型 1.1.1 基于FEM的声固耦合仿真模型

在无限流场域中，V_s为弹性结构，S₀为弹性结构与流场域交界面，将无限流场域分为2个部分，分别为近场有限流场域V_f及外延无限部分V_if，两者交接处为人工边界S₁^[19]。基于限元声固耦合仿真模型如图1所示。

联立介质运动方程、连续性方程和物态方程，可得到声波动方程：

$ {\nabla ^2}p = \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}}。$

(1)

式中：${\nabla ^2}$为拉普拉斯算子；c为声速；t为时间；p为声压。

考虑声固耦合作用时，将流体看成弹性体介质，在声固界面S₀上会产生流体负载，同时声压也对结构体产生弹性应力，在S₀上应用法向速度连续条件和法向力连续条件。采用Galerkin法得到流体域内的声场波动方程：

$ \boldsymbol{M}_f\boldsymbol{\ddot{p}}+\boldsymbol{C}_f\boldsymbol{\dot{p}}+\boldsymbol{K}_f\boldsymbol{p}=-\boldsymbol{R}\rho_f。$

(2)

式中：$ \boldsymbol{M}_f、\boldsymbol{C}_f、\boldsymbol{K}_f $分别为与结构接触的流体质量、阻尼和刚度矩阵；p为节点声压；$ {{\rho _{{f}}}} $为流体密度；$ \boldsymbol R={{\displaystyle \int }}_{{s}_{0}}{\rho }_{\text{f}}{N}^{'}{T}{n}_{s}N\mathrm{d}S $为声固耦合矩阵，n_s为声固交界面单元外法线向量。

根据虚功原理，对接触面作用的力可以等效为作用在单元节点上的力，得到声固耦合中的结构动力学方程：

$ {{{\boldsymbol{M}}_{s}}} {{\boldsymbol{\ddot u}}} + {{{\boldsymbol{C}}_{s}}} {{\boldsymbol{\dot u}}} + {{{\boldsymbol{K}}_{s}}} {\boldsymbol{u}} = {{{\boldsymbol{F}}_{s}}} + {\boldsymbol{R}} {{{\boldsymbol{p}}_{s}}} 。$

(3)

式中：$ {{\boldsymbol M_{{s}}}} $为结构的质量矩阵；$ {{\boldsymbol C_s}} $为结构的刚度矩阵；$ {{\boldsymbol K_{{s}}}} $为结构阻尼矩阵；$ u $为结构节点的位移；$ {{\boldsymbol F_{{s}}}} $为结构载荷力；$ {{{\boldsymbol{p}}_{s}}} $为结构外压强。

结合方程(2)和方程(3)可以计算弹性结构表面的位移和声压，得到声固耦合有限元方程：

$ \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{M}}_{s}}}&0 \\ {{\rho _{f}}}&{{{\boldsymbol{M}}_{f}}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{\ddot u}}} \\ {{\boldsymbol{\ddot p}}} \end{array}} \right\} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{C}}_{s}}}&0 \\ 0&{{{\boldsymbol{C}}_{f}}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{\dot u}}} \\ {{\boldsymbol{\dot p}}} \end{array}} \right\} + \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{K}}_{s}}}&{ - {{\boldsymbol{R}}^{\text{T}}}} \\ 0&{{{\boldsymbol{K}}_{f}}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{u}} \\ {\boldsymbol{p}} \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{F}}_{s}}} \\ 0 \end{array}} \right\}。\\ \end{gathered} $

(4)

1.1.2 基于IFEM的远场声学边界模型

声学无限元作为一类具有径向发散特性的非标准离散单元，采用区域分解策略将开放域声场问题转化为有限计算域与无限延伸域的耦合^{[20 - 21]}。无限单元可直接设置在有限域边界上，通过有限元与无限元相结合的方法，使得有限单元声场满足流场无穷远边界上的Sommerfield辐射条件：

$ \frac{{\partial p}}{{\partial n}} + ikp = 0。$

(5)

式中：$k = \omega /c$为波数。

声辐射问题的声压由Helmholtz方程控制，有：

$ {\nabla ^2}p + {k^2}p = 0。$

(6)

应用Galerkin权残值方法到单个无限单元的Helmholtz微分方程上，有：

$ ({\boldsymbol{K}} - {k^2}{\boldsymbol{M}}){ \boldsymbol{p}} = {\boldsymbol{F}}。$

(7)

式中：$ \boldsymbol K、\boldsymbol M、\boldsymbol F $分别为无限元单元的刚度矩阵、质量矩阵和压力梯度矢量。

记${W_i}$为加权函数，${\varPhi _j}$为形函数，则单元刚度矩阵和质量矩阵可写为：

$ {K}_{ij}={{\displaystyle \int }}_{{V}_{\text{IF}}}\nabla {W}_{i}\cdot \nabla {\varPhi}_{j}\mathrm{d}V,$

(8)

$ {M}_{ij}={{\displaystyle \int }}_{{V}_{\text{IF}}}{W}_{i}\cdot {\varPhi}_{j}\mathrm{d}V。$

(9)

无限单元中各点的声压是基于边界S₁上节点的声压线性插值而得，这样对于无限元中任意一点，其声压可由S₁上节点声压表示。

1.2 水下弹性开口空腔声模态频率数值预报策略

水下弹性开口空腔声模态频率计算的声固耦合求解模型结合点声源激励数值预报策略建立如下：

1.2.1 模型描述

用于探究水下弹性开口空腔声学特性的声固耦合数值仿真模型如图2所示。该模型的核心结构为矩形空腔，其顶板设有开口。弹性开口空腔采用直角坐标系描述，原点定于腔体顶板开口中心。腔体壁面由六块在x、y和z方向尺寸分别为Lx、Ly和Lz的弹性板构成，且该弹性开口空腔处于无限流场中。

1.2.2 声场边界处理

为精确分析此声固耦合系统，结构与流体间采用基于有限元的声固耦合计算方法。针对计算中涉及的无限声场域问题，运用FEM–IFEM对无界声场域进行离散处理。具体做法是，建立人工边界截断无限流域，将人工边界和结构间离散为声学有限元域，人工边界外离散为声学无限元域。声学有限元域的声模拟通过FEM实现，声学无限元域通过IFEM实现。其优势在于，有限元可精准捕捉有限元域内声波的传播与反射特性，无限元能有效模拟声波在无限空间中的传播特性，避免了因远场边界截断产生的误差，从而确保整个外部声场模型的可靠性。

1.2.3 模态激励源

外部激励采用点声源模拟。点声源置于空腔开口处，为声压随距离变化的宽频球形声源。通过该声源激发弹性开口空腔的声学特性，为研究该系统在不同频率下的响应提供必要的外部激励条件。

1.2.4 声模态频率获取方法

在点声源激励下，对弹性开口空腔声场进行数值模拟。监测腔内测点的声压，获取测点声压级曲线，通过提取测点声压级曲线的峰值频率，得到弹性开口空腔的声模态频率。其基本原理为：当空腔的声模态频率与外部激励频率一致时，会引发共振现象。在共振状态下，空腔内部的声学能量强烈耦合，致使声压显著增强，进而形成峰值。

2 典型空腔声模态频率数值仿真计算

通过2个典型空腔模型为验证对象，对其声模态频率仿真解和理论解进行对比，验证本文所采用的弹性开口空腔声模态频率数值计算方法的可行性。

2.1 刚性封闭矩形空腔

刚性封闭矩形空腔腔体尺寸为650 mm×750 mm×400 mm。声学介质水的参数为：ρ=1000 kg/m³，c=1500 m/s。激励方式为点声源，声源强度为1 Pa。

刚性封闭矩形空腔前十阶声模态频率理论解和本文仿真方法得到的仿真解如表1所示。可知，刚性封闭矩形空腔前十阶声模态频率仿真解与理论解吻合良好，理论解和仿真解最大相对误差为0.12%。证明基于有限元的声固耦合求解模型结合点声源激励，可作为水下刚性封闭矩形空腔声模态频率的数值预报方法。

2.2 弹性Helmholtz共振器

本节以弹性Helmholtz共振器为计算模型，共振器具体参数为：颈部内半径为17 mm，长度为87 mm，空腔半径为80 mm，长度为200 mm。共振器内介质为水，密度为1000 kg/m³，声速为1480 m/s。激励方式亦为点声源，声源强度为1 Pa。弹性通过改变弹性底板厚度和弹性材料来改变。弹性材料为钢和铝，其参数如表2所示。

不同弹性的Helmholtz共振器一阶声模态频率通过文献[16]计算得到和用本文采用的仿真方法得到的解由表3和表4给出，理论解和仿真解最大相对误差为1.81%。验证了声固耦合FEM–IFEM结合点声源激励策略，作为弹性开口空腔声模态频率的数值计算方法，具有较高的准确性和可行性。

3 水下弹性开口空腔声模态频率数值仿真预报与分析

首先进行仿真计算参数收敛性分析，接着利用本文数值仿真方法，建立水下弹性开口空腔声固耦合有限元模型，最后计算水下弹性开口空腔500 Hz内的声模态频率。

3.1 水下弹性开口空腔模型

弹性开口空腔几何模型如图3所示。开口空腔模型内部腔体尺寸参数如下：Lx=400 mm，Ly=300 mm，Lz=700 mm，空腔开口大小为200 mm×200 mm，腔壁壁厚30 mm。模型参数为：弹性材料为钢，其密度为ρ=7 800 kg/m³，杨氏模量E=2.10×10¹¹ Pa，泊松比μ=0.31。其中，腔体内部与外部流体均采用水，参数为：密度ρ=1 000 kg/m³，声速c=1500 m/s。

3.2 仿真计算参数收敛性分析 3.2.1 结构的网格密度收敛性验证

为了验证结构的网格密度收敛性，分别在壁厚方向划分了1、3、5层网格，对这几种网格分别命名为网格1、网格2和网格3，其对应的结构网格单元数分别为1468、40656和129490。

3种网格对应的开口空腔前五阶结构模态频率计算结果如表5所示。从3种不同结构网格密度下的弹性开口空腔结构模态计算结果分析可知，网格1的模态频率计算结果与网格2和网格3相差很大，精度较差，不满足计算要求。网格2和网格3的模态频率相差较小，最大相对误差为0.54%，满足工程计算误差要求，可以认为网格2和网格3的计算结果已经收敛。后续计算中，选取网格2作为结构网格模型。

3.2.2 声学有限元域尺寸收敛性验证

针对水下弹性开口空腔声固耦合系统，采用底板弹性，其余壁面刚性的弹性开口空腔，腔体参数和材料参数同3.1节，

声学有限元域尺寸收敛性验证工况及对应的底板弹性开口空腔一阶声模态频率计算结果如表6所示。不同工况对应的空腔声模态频率大小一致，说明声学有限元域尺寸对水下弹性开口声模态频率数值仿真计算无影响。

3.2.3 声学网格密度收敛性验证

本节声学有限元域为直径2 000 mm的球形，改变声学网格密度，声学网格密度的验证工况及其对应的底板弹性开口空腔一阶声模态频率计算结果如表7所示。可知，网格尺寸达到200 mm之后，底板弹性开口空腔一阶声模态频率（340.0 Hz）不变，可以认为声学网格密度已收敛，故选取声学网格尺寸为200 mm。

3.3 水下弹性开口空腔声模态频率预报 3.3.1 数值计算模型

本节以3.1节建立的水下弹性开口空腔模型为对象，建立水下弹性开口空腔声固耦合有限元模型如图4所示，计算弹性开口空腔500 Hz内声模态频率。其中，结构网格在厚度方向划分3层网格，弹性结构网格最大尺寸限制为10 mm，计算域大小设置为直径为2 000 mm的球域，计算域网格尺寸最大限制为200 mm。

3.3.2 计算结果与分析

利用本文声固耦合求解模型结合点声源激励的数值模拟方法，计算不同弹性的水下开口空腔数值仿真计算模型声模态频率。不同弹性的水下开口空腔声模态频率计算工况及其一阶声模态频率计算结果如表8所示，3种工况腔内测点声压级曲线如图5所示。可知，开口空腔的声模态频率与腔壁弹性密切相关。其中全弹性开口空腔一阶声模态为229.0 Hz，底板弹性开口空腔一阶声模态为340.0 Hz，全刚性开口空腔一阶声模态为352.0 Hz。

4 结　语

本文针对水下航行器上的空腔声隐蔽性问题，获取了水下弹性开口空腔声模态频率的数值仿真方法。主要得到了以下结论：

1）利用FEM–IFEM，采用基于有限元的声固耦合求解模型结合点声源激励策略，获取了水下弹性开口空腔声模态频率的数值仿真方法。

2）以典型空腔（刚性封闭矩形空腔和弹性Helmholtz共振器）为验证模型，利用本文采用的数值仿真计算方法，对其声模态频率进行计算，并将其仿真解与理论解进行对比分析。分析结果表明，刚性封闭矩形空腔前十阶声模态频率最大相对误差为0.12%，不同弹性底板厚度的Helmholtz共振器一阶声模态频率最大相对误差为1.81%，证明了基于有限元的声固耦合求解模型结合点声源激励，可作为水下弹性开口空腔声模态频率的数值预报方法。

3）通过仿真参数收敛性验证，建立了以某水下弹性开口空腔为对象的声固耦合有限元数值计算模型。并采用此计算模型，在外部点声源激励下，预报了该水下弹性开口空腔500 Hz频率范围内的声模态频率。在计算频率范围内，底部弹性开口空腔声模态频率为340.0 Hz，全弹性开口空腔声模态频率为229.0 Hz。