0 引　言

纯方位目标跟踪的相关算法常应用于隐蔽跟踪场景，此类算法通常假定目标的速度和航向恒定，大多数研究也都较为关注目标恒速恒向的假设^[1]。但是当目标为摆脱可能的跟踪，利用机动方式进行航行时，纯方位类算法适用性大大降低。如何在目标机动时，继续保持对其稳定跟踪成为相关研究者关注的问题^{[2 − 3]}。公开文献中解决此类问题的思路有2种，一种是直接对纯方位跟踪类算法进行改进，希望在目标机动时继续保持良好的跟踪性能，但是此类算法只对目标小幅机动有较好的效果。当目标进行大幅度机动时，此类算法不再适用^{[4 − 6]}。另一种思路是先对目标机动进行检测，当检测到目标机动时，重新对纯方位算法滤波初始化，继续进行对目标机动后的参数进行解算，保持稳定跟踪^{[7 − 9]}。在第2种解决思路中，如何快速、准确地检测目标机动并给出准确地目标机动时刻直接影响着跟踪算法的性能。公开文献的算法都是基于纯方位跟踪结果进行目标机动检测，该种检测方式的性能依赖于纯方位跟踪结果，尚未发现直接利用目标方位进行机动检测的相关文献。

变点检测是统计学中的一个重要研究方向，广泛应用于工业质量控制、医学诊断、信号跟踪等各个领域^{[10 − 11]}。变点也成为异常点或孤立点，即模型中某个或某些量突然变化的点，这种变化往往反应事物的某种质的变化。曲线下面积（Area Under the Curve，AUC）是变点检测领域一种重要方法，起初该方法在模式识别中被用来比较不同分类模型的性能。随后被引入变点检测领域，并可以很好地检测到数据样本中的突变点，在工程实践中有着广泛的应用^{[12 − 13]}。

经过对纯方位目标机动前后的相关特征进行研究发现，当目标机动时，其方位序列的变化规律会发生变化。将目标机动前后的方位序列看成服从不同分布的2个数据样本，即可将纯方位目标机动检测问题转变为统计学中的变点检测问题。然后引入AUC方法来解决纯方位目标机动检测问题，为传统的纯方位机动检测提供新的思路。

1 理论分析

在平面直角坐标系设定纯方位目标跟踪相对态势如图1所示，观测平台从初始位置$ \left( x_{w0},y_{w0} \right) $开始以速度$ V_w\left( t \right) $，航向$ C_w\left( t \right) $运动，目标从$ \left( x_{m0},y_{m0} \right) $开始以速度$ V_m $，航向$ C_m $匀速直线运动，$ \left( x_{mi},y_{mi} \right) $为$ {{i}} $时刻目标的坐标，$ {{{B}}_0} $为初始量测方位，$ {{{B}}_{{i}}} $为$ {{i}} $时刻的量测方位。

由图1中的相对态势可得目标的运动方程如下^[1]：

$ {{D_0}\sin {B_0} + ({t_j} - {t_0}){V_m}\sin {C_m} = \int_{{t_0}}^{{t_j}} {{V_w}\sin {C_w}{\rm{d}}t + {D_j}\sin {B_j}} ，}$

(1)

$ {{D_0}\cos {B_0} + ({t_j} - {t_0}){V_m}\cos {C_m} = \int_{{t_0}}^{{t_j}} {{V_w}\cos {C_w}{\rm{d}}t + {D_j}\cos {B_j}}。} $

(2)

式中：$ {{{D}}_0} $为初始距离；$ {{{B}}_0} $为初始量测方位；$ {{{V}}_{{m}}} $为目标速度；$ {{{C}}_{{m}}} $为目标航向；$ {{{V}}_{{w}}} $为观测平台速度；$ {{{C}}_{{w}}} $为观测平台航向；$ {{{t}}_0} $为开始时刻；$ {{{t}}_{{i}}} $为当前时刻。

对式(1)和式(2)进行变换可得方位序列的理论表达式如下：

${ {B_j} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{D_0}\sin {B_0} + ({t_j} - {t_0}){V_{mj}}\sin {C_{mj}} -\displaystyle \int_{{t_0}}^{{t_j}} {{V_{wj}}\sin {C_{wj}}{\rm{d}}t} }}{{{D_0}\cos {B_0} + ({t_j} - {t_0}){V_{mj}}\cos {C_{mj}} - \displaystyle\int_{{t_0}}^{{t_j}} {{V_{wj}}\cos {C_{wj}}{\rm{d}}t} }}。} $

(3)

式中：$ {{{B}}_{{j}}} $为$ {{j}} $时刻的量测方位；$ {{{V}}_{{w}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻观测平台的速度；$ {{{C}}_{{w}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻观测平台的航向；$ {{{V}}_{{m}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻目标的速度；$ {{{C}}_{{m}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻目标的航向；$ {{{D}}_{{0}}} $为初始时刻的目标的距离。

由式(3)可知，当目标或观测平台的航向或航速发生变化时，即当目标或观测平台发生机动时，方位序列变化规律会相应的发生变化。由于观测平台发生机动时可以被获知，则可通过检测目标方位序列变化规律的改变来判定目标是否机动，将方位序列作为纯方位目标机动检测的检测量。

为直观地展示目标方位序列的变化规律适用于作为纯方位目标机动检测的检测量，不失一般性的设定一组态势，观察目标机动时，检测量（方位序列）的变化规律。

设定目标初始距离为20 km，航速为18 kn，航向为30°，初始方位为0°，观测平台不动；在第300 s时，目标发生转向机动，航向增加60°，观察方位序列的变化规律。

利用计算机仿真可得该组态势的方位序列的变化如图2所示。

可知，当目标机动前，方位序列的变化规律为缓慢增加；当目标机动时，方位序列的变化规律出现缓慢连续变化；当目标机动后，方位序列的变化规律为缓慢减小。目标机动使目标方位变化规律从缓慢增加转变为缓慢减小。由此可知，当纯方位目标发生机动时，方位序列的变化规律发生变化，因此理论上把方位序列当做检测量可以对目标进行机动检测。

2 算法原理 2.1 AUC基本原理

对AUC理论方面的探索大都集中于外刊文献中，国内文献以工程应用为主^[13]。AUC本质上表征的是2个随机变量X和Y的统计关系：

$ AUC = Pr (X < Y)。$

(4)

在用AUC分析两类问题时，AUC的取值（这里用$ \theta $表示）与分离度有关，取值范围是$ 0.5 < \theta < 1 $，其中：$ \theta = 0.5$，表示类分布完全重叠；$ \theta = 1 $，表示类分布没有重叠（最优）。

根据关于样本的先验知识，现有的估计AUC的均值和方差的方法大致分为2类：参数方法和非参数方法。当2类样本的母体分布已知时，根据AUC与曼-惠特尼U统计量的等效性，有可能推导出AUC均值与方差的精确表达式^[13]。然而，在大多数情况下，样本的母体分布未知，只能根据现有的样本，采用非参数方法来估计AUC的均值和方差。

令$ {X_1},...,{X_m} $和$ {Y_1},...,{Y_m} $分别来自2个连续的样本，并满足独立同分布，其概率密度分别为$ {F_X}(x) $和$ {F_Y}(y) $。假设$ {X_i},i = 1,...,m $和$ {Y_i},i = 1,...,n $相互独立，根据曼-惠特尼U统计量，X和Y的关系为^[12]：

$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } ({X_i},{Y_j}) = \frac{1}{{mn}}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n I }。$

(5)

式中：当$ {X_1} >{Y_j},I = 1 $；当$ {X_1} < {Y_j},I = 0 $。

基于上述表达式，用$ {F_X}(x) $和$ {F_Y}(y) $描述$ \theta $的均值如下：

$ E(\theta)=\theta=\Pr(Y < X)=\int_{-\infty}^{+\infty}F_Y(x)\mathrm{d}F_X(x)。$

(6)

其方差为：

$ {V(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } ) = \displaystyle\frac{1}{{mn}}\left\{ {{Q_0} + (n - 1)({Q_1} - {\theta ^2}) + (m - 1)[{Q_2} - {{(1 - \theta )}^2}]} \right\}。} $

(7)

其中：

$ Q_0=\theta(1-\theta)，$

(8)

$ Q_1=\Pr(Y < X\cap Y' < X)=\int_{-\infty}^{+\infty}F_{_Y}^2(x)\mathrm{d}F_X(x)，$

(9)

$ Q_2=\Pr(Y > X\cap Y > X')=\int_{-\infty}^{+\infty}F_{_X}^2(x)\mathrm{d}F_Y(y)。$

(10)

式中：$ X' $为$ X $的独立同分布；$ Y' $为$ Y $的独立同分布。

此外，除了以上性质外，$ \theta $还具有以下性质^[12]：

1）$ \ddot \theta \in [0,1] $；

2）$ \ddot \theta ({Y_j},{X_i}) = 1 - \ddot \theta ({X_i},{Y_j}) $；

3）零假设下，当$ {F_X}( \cdot ) = {F_Y}( \cdot ) $，$ E(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } ) = \dfrac{1}{2} $，$ V(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } ) = \dfrac{{m + n + 1}}{{12mn}} $；

4）零假设下，可以通过递归算法求出$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } $的分布函数；

5）当$ m \to \infty ,n \to \infty $时，$ (\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } - \theta )/{[V(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\theta } )]^{\frac{1}{2}}} $的分布趋向于标准正态分布$ N(0,1) $。

根据样本计算AUC、AUC均值与方差等统计量，进而确定检测量和检测阈值对样本进行二分类检测。

2.2 AUC检测算法原理

机动前的样本和机动后的样本看成2个需要分类的样本，从模式识别角度出发，将变点检测看成为一个二分类问题：在变点发生的前后的时间段中，把变点前的样本看成一个随机变量$ \left\{ {{X_i}} \right\}_{i = 1}^m $，变点后的样本看成另一个随机变量$ \left\{ {{Y_j}} \right\}_{j = 1}^m $，利用AUC作为统计量，在计算出AUC后，直接利用AUC量计算均值，获得AUC均值序列，将AUC均值作为检测量。

具体说来，本文所提的基于AUC的变点检测方法可以分为2个阶段：预分析阶段，对样本数据进行加窗处理，通过计算窗口中的样本数据的AUC值的方式来间接得到其均值和方差；检测阶段，通过假设检验的方法对经处理后的样本数据进行变点检测。

第一阶段计算，与常规做法不同，本文在预分析阶段并不是直接估计过程的均值和方差，而是通过先计算样本数据的AUC值，然后再根据AUC估计均值和方差。这样做的好处是，由于不用事先假设样本数据的过程分布，这有效避免了样本中噪声等不确定因素^[13]。

$ AUC = \frac{1}{{mn}}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n I }。$

(11)

式中：当$ {X_1} > {Y_j},I = 1 $；当$ {X_1} < {Y_j},I = 0 $。

式中采用的是对原始的样本数据进行加窗处理的方法：选择2个连续的窗口X和Y（假设窗口大小分别为$m$和$n$，大小固定），通过逐渐滑动窗口来对原始数据进行处理。

第二阶段，由AUC的性质可知，样本数据经处理后将服从如下分布：

$ AUC～N\left(\frac{1}{2},\frac{{m + n + 1}}{{12mn}}\right)。$

(12)

在得到了过程所服从的分布参数后，就可以应用参数方法中通过假设检验的方法来进行变点检测

$ {H}_{0}:{X}_{i}~N({\mu }_{{}^{0}}\text{，}{\sigma }_{0}^{2})\text{，}i=1,2,\mathrm{...},m; $

(13)

$ {H}_{1}\left\{\begin{aligned}&{X}_{i}~N({\mu }_{{}^{0}}\text{，}{\sigma }_{0}^{2})\text{，}i=1,2,\mathrm{...},t;\\ &{X}_{i}~N({\mu }_{1}\text{，}{\sigma }_{1}^{2})\text{，}i=t+1,t+2,\mathrm{...},m,1\leqslant t\leqslant m。\end{aligned}\right. $

(14)

通过设定一个门限来判断是否有变点产生，由设定显著性水平α可得$c = {z_{\alpha /2}}$，再根据选取的窗口大小$N$，由下式可计算处拒绝域^[13]。

$ W = \left\{ {\left| {\frac{{\bar X - \mu }}{{\sigma /\sqrt N }}} \right| > c} \right\}。$

(15)

原假设H0：目标未发生机动；

备选假设H1：目标发生机动。

选择合适的显著性水平α，对原假设进行检验。当AUC值越小时，说明样本服从同一分布，这时接受原假设，拒绝备选假设；反之，如果AUC值越大，说明样本服从2个分布，这时拒绝原假设，接受备选假设。在一定显著水平α条件下，根据式(15)计算拒绝域，可以得到临界值$ P $，若$ AUC > P $，则拒绝原假设，说明目标发生机动；若$ AUC < P $，则接受原假设，说明目标未发生机动。由于样本噪声的存在，实际中可以根据大量仿真试验来确定阈值$ P $。

3 仿真计算与分析

为验证所提算法对纯方位目标机动检测性能，统计不同距离、不同速度、不同舷角下的虚警率以及不同机动量（航向变化量）条件下的机动检测率、机动检测反应时间、机动时刻估计精度等指标，其中目标机动时刻估计精度用目标机动时刻估计误差表示。

设定纯方位目标机动检测性能的评价指标定义如下：

1）机动检测率。每组态势在不同机动条件下仿真n次，其中m次正确检测到目标机动，该态势的机动检测率为$ m/n\times100\text{%} $。

2）机动检测反应时间。目标机动时刻为$ {{{t}}_m} $，检测到目标机动的时刻为$ {{{t}}_k} $，机动检测反应时间为$ \Delta {{{t}}_{{m}}} = \left| {{{{t}}_{{m}}} - {{{t}}_{{k}}}} \right| $，对于每个态势的机动反应时间，用其均值表示，即$ {E_{\Delta {{{t}}_{{m}}}}} = \displaystyle\sum\limits_{{{i}} = 1}^n {\Delta {{{t}}_{{m}}}_{{i}}} /n $。

3）机动时刻估计误差。目标机动时刻为$ {{{t}}_m} $，估计目标机动的时刻为$ \widehat {{{{t}}_m}} $，机动时刻估计误差为$ \Delta t = \left| {\widehat {{{{t}}_{{m}}}} -{{{t}}_{{m}}}} \right| $，对于每个态势的机动反应时间，用其均值表示，即$ {E_{\Delta {{t}}}} = \displaystyle\sum\limits_{{{i}} = 1}^n {\Delta {{{t}}_{{i}}}} /n $。

4）虚警率。每个态势在目标不机动的条件下仿真N次，其中M次检测到目标机动，则该态势的机动检测虚警率为$ M/N\times100\text{%} $。

设定5个典型态势组成的态势题如表1所示进行仿真计算。通过在不同量测方位误差及不同机动条件下，对态势题进行1000次仿真计算来考察所提纯方位目标机动辨识方法的适应性、虚警率及检测率等性能影响因素。

3.1 AUC检测结果示意图

通过展示AUC检测结果示意图，直观地说明本文所提纯方位机动目标检测算法的有效性。不失一般性的设定方位量测误差为0.6°，目标在300 s机动（航向增加60°），利用表1态势题中的“态势1”的态势参数，观察目标机动时，AUC检测量的变化规律以及目标机动检测结果。

如图3所示在目标未机动时，检测量（AUC值）的幅值一直在−0.8～0震荡；当目标机动时（航向增加50°），检测量的幅值阶跃到0.2～1震荡，可以明显观察到检测量的规律发生变化。所提算法在309 s检测到目标机动，说明所提算法可以有效的检测到目标机动。

3.2 虚警率

不失一般性的设定方位量测误差为0.6°。在纯方位目标不机动的条件下，利用态势题中的5个态势考察所提算法的虚警率，计算结果如表2所示。

可知，在的5个态势下，所提算法的虚警率为3.4%～7.8%，平均虚警率为5.64%。因此针对态势题中的5个典型态势，所提算法具有较低的虚警率。

3.3 适应性

设定方位量测误差为0.6°，在纯方位目标执行航行改变量为增加50°的条件下，利用态势题中的5个态势考察所提算法的适应性，计算结果如表3所示。

可知，在量测方位误差为0.6°、航向该变量在50°的条件下，设定态势题中的5个态势的机动检测反应时间均在2.3 min之内，目标机动时刻估计误差均在1.4 min之内。设定的各态势中的平均机动辨识率为98.06%，平均反应时间为1.907 min，平均精度为1.074 min。由此可知，所提算法在不同态势均具有较高的机动检测率和较快的机动检测反应时间以及较高的目标机动时刻估计精度，因此所提算法具有较好的适应性。

3.4 量测误差对所提算法的检测性能的影响

不失一般性地设定航向改变量为增加60°，考察不同态势下量测方位误差对算法机动检测性能的影响，仿真结果如图4～图6所示。

可知，在机动量一定的条件下，随着量测方位误差的增大，所提算法对设定态势题中5个态势的机动检测率从100%降低到0%～9%以下；机动检测反应时间从1.264～1.639 min升高至2.703～2.333 min；目标机动时刻估计误差从0.431～0.805 min升高至1.502～1.867 min。当量测方位误差大于1.7°时，所提算法对态势5的机动检测率为0%。由此可知，机动量一定时，随着量测方位误差的增大，在不同态势下所提算法的机动检测率均降低、机动检测反应时间均增大、机动时刻估计精度均降低。

3.5 机动量对所提算法的检测性能的影响

设定量测方位误差为0.6°，机动量（航向改变量）为增加10°～110°，考察目标机动量对所提算法机动检测性能的影响，计算结果如图7～图9所示。

可知，在量测方位误差一定的条件下，随着目标机动量从10°增大至100°，所提算法对设定态势题中5个态势的机动检测率从0%～0.3%升高到97.6%～100%。机动检测反应时间从1.667～2.309 min降低至1.654～1.886 min。目标机动时刻估计误差从0.8333～1.476 min降低至0.821～1.052 min。由此可知，量测方位误差一定时，随着机动量的增大，在不同态势下所提算法的机动辨识率均升高、机动辨识反应时间降低、机动时刻估计精度升高。

4 结　语

本文提出一种基于AUC的纯方位目标机动检测算法，首次直接将目标方位信息作为目标机动检测统计量，引入变点检测领域方法，将纯方位目标机动检测问题转化为变点检测问题，为提高相关纯方位目标跟踪算法的适应性提供一种新的技术途径。研究了不同态势、不同量测方位误差、不同目标机动量下所提算法的机动检测率、机动检测反应时间及机动时刻估计精度等性能。仿真计算结果表明，在测试态势下，所提算法对纯方位目标机动具有较好的适用性且具有较好的机动检测性能。通过进一步地仿真分析可知所提算法的机动检测率、机动检测反应时间及机动时刻估计精度等性能随着目标机动量（10°～100°）的增加而升高，随着量测方位误差（0.1°～2°）的增大而降低，因此降低目标量测方位误差，提高目标量测方位估计精度有利于提高所提算法的机动检测性能。后续将研究检测窗口对算法性能的影响并且继续优化算法，使其在量测方位误差较大时具有较好的性能，进一步提高相关跟踪算法的适用性。