0 引　言

舰船的承载主体是船体结构，在波浪与风等复杂随机载荷的不断作用下，舰船船体结构会出现不同程度的疲劳损伤问题，直接影响舰船航行的安全性^[1]。通过分析随机载荷和疲劳损伤之间的关系，预测疲劳损伤寿命，可以及时发现船体结构薄弱部位的损伤演化趋势，不仅可以避免因低估疲劳损伤导致的突发断裂事故，还可以解决因过度检修导致的资源浪费问题。

胡育华等^[2]通过构造船体结构有限元模型与水动力模型，确定船体结构的热点应力传递函数，结合Neuber公式获取船体结构的应力应变幅，通过复合疲劳模型结合应力应变幅预测疲劳寿命。Neuber公式基于局部应力应变假设，忽略了材料非线性或复杂载荷路径的影响，导致应力应变幅计算误差较大，进而影响疲劳寿命预测精度。刘焕才等^[3]通过有限元模型分析船体结构的超低周疲劳断裂性能，结合循环孔洞扩张模型，构建疲劳寿命预测模型。循环孔洞扩张模型假设疲劳断裂由孔洞扩张主导，无法全面捕捉复杂应力状态下的损伤演化导致预测结果与实际寿命可能存在偏差。陈卓等^[4]通过灰色预测方法预测船体结构冲击损伤幅值，通过BP神经网络修正灰色预测方法的残差，提升冲击损伤幅值预测准确性，通过分析冲击损伤幅值与疲劳寿命之间的关系，构建疲劳寿命预测模型。灰色预测方法适用于短期、线性趋势数据，对长期或非线性冲击损伤预测能力有限。杨博等^[5]利用动力学方法提取船体结构的载荷特征，通过名义应力法结合载荷特征，构建疲劳寿命预测模型。名义应力法忽略局部应力集中效应，导致疲劳寿命预测偏乐观。

多尺度分析可以对舰船船体结构进行更全面的耦合分析，提升船体结构疲劳损伤演化过程描述的全面性。为此，构建舰船船体结构随机载荷下的多尺度疲劳寿命预测数学模型，更好地适应舰船结构的多轴非比例载荷工况，提升疲劳寿命预测的可靠性。

1 多尺度舰船船体结构疲劳寿命预测数学模型 1.1 随机载荷下宏观尺度的船体结构应力参数

在舰船船体结构承受海浪、海风等复杂随机载荷下，船体结构易在应力集中区域形成临界平面（即最易萌生和扩展疲劳裂纹的平面）^[6]。在宏观尺度下，通过临界平面法确定主导疲劳损伤的应力参数，即随机载荷下船体结构临界平面上的宏观最大法向正应力。船体结构任意位置任意时刻在$ x $方向的正应力为：

$ {q_x}(t) = \sum\limits_{i = 1}^M {{a_i}} {q_i}\cos ({\omega _i}t + {p_i} + {\xi _i}) + {q_s} + {q_h}，$

(1)

其中：$ {a_i} = \sqrt {2U({\omega _i})\Delta {\omega _i}} $为第$ i $个组成波波幅；$ M $为海浪组成波数量；$ {\omega _i} $为随机载荷遭遇频率，与船速和海浪频率相关；$ {p_i} $为组成波随机初相位；$ {\xi _i} $为应力相位；$ U({\omega _i}) $为海浪的频谱密度；$ \Delta {\omega _i} = {\omega _{i + 1}} - {\omega _i} $；$ {q_i} $为单位波幅规则波中的应力响应；q_s为静水正应力；q_h为焊接残余正应力。

依据$ {q_x}(t) $计算出$ x $方向正应力和的幅值q_{x, a}以及对应应力分量的平均值q_{x, a}，公式如下：

$ {q_{x,a}} = \max \left( {\frac{{{\sigma _x}(t) - \min {\sigma _x}(t)}}{2}} \right)，$

(2)

$ {q_{x,m}} = \frac{1}{T}\int_0^T {{q_x}} (t){\rm d}t。$

(3)

其中：$ T $为随机载荷作用周期。

舰船船体结构承受随机载荷时，其轴向切应变为：

$ {\lambda _{xy}}(t) = {\lambda _{xy,a}}\sin ({\omega _i}t - \hat \xi ) + {\lambda _{xy,m}} 。$

(4)

其中：$ {\lambda _{xy,a}} $为随机载荷引起的切应变幅值；$ \hat \xi $为随机载荷下船体结构正应变与切应变之间的相位差；$ {\lambda _{xy,m}} $为随机载荷引起的切应变平均值。

随机载荷作用舰船船体结构的法线与$ x $方向夹角$ \alpha $的平面上的应变为：

$ \frac{{{\lambda _\alpha }}}{2} = - \frac{{{b_x} - {b_y}}}{2}\sin 2\alpha + \frac{{{\lambda _{xy}}(t)}}{2}\cos 2\alpha $

(5)

其中：$ {b_x} $、$ {b_y} $为随机载荷下船体结构在$ x $、$ y $方向的正应变。

在式(5)中代入式(4)得到：

$ \begin{split} {\lambda _\alpha }(t) = & {b_{x,a}}\left\{ {{{\left[ {c\cos (2\alpha )\cos \hat \xi - (1 + {v_e})\sin (2\alpha )} \right]}^2} + } \right. \\ & {\left. {{{\left[ {c\cos (2\alpha )\sin \hat \xi } \right]}^2}} \right\}^{1/2}} \times \sin ({\omega _i}t + \eta ) - \\ & (1 + {v_e}){b_{x,m}}\sin 2\alpha + {\lambda _{xy,m}}\cos 2\alpha。\end{split} $

(6)

其中：b_x,a为随机载荷引起的正应变幅值；v_e为舰船船体结构材料的有效泊松比；$ c $为与舰船船体结构几何或材料特性相关的参数；$ \eta $为与随机载荷下应变相位相关的参数，描述应变的时序特征；b_x,m为随机载荷下船体结构在$ x $方向的正应变平均值；$ {\lambda _\alpha }(t) $为随机载荷下船体结构临界平面法向正应变。

通过上述公式，可得：

$\begin{split} {\lambda _{\alpha ,a}} = &{b_{x,a}}\left\{ {{{\left[ {c\cos (2\alpha ){\text{cos}}\hat \xi - (1 + {v_e})\sin (2\alpha )} \right]}^2} + } \right. \\ & \left. {{{\left[ {c{\text{cos}}(2\alpha )\sin \hat \xi } \right]}^2}} \right\}。\end{split} $

(7)

其中：$ {\lambda _{\alpha ,a}} $为随机载荷下舰船船体结构临界平面上的切应变幅值。

为求出随机载荷下船体结构临界平面上的最大切应变幅值，可将式（7）中的$ {\lambda _{\alpha ,a}} $对$ \alpha $求导，即$ \displaystyle\frac{{\partial {\lambda _{\alpha ,a}}}}{{\partial \alpha }} = 0 $，则临界平面相位角$ \alpha $为：

$ \alpha = \frac{{2c(1 + {v_e})\cos \hat \xi }}{{{{(1 + {v_e})}^2} - {c^2}}}。$

(8)

依据$ \alpha $、$ {q_{x,a}} $、$ {q_{x,m}} $，计算随机载荷下船体结构临界平面上的法向正应力的幅值与平均值：

$ {{q_{n,a}} = {\left[ {{{\left( {{q_{x,a}}{{\cos }^2}\alpha + {\tau _{xy,a}}\cos \hat \xi \sin 2\alpha } \right)}^2} + {{\left( {{\tau _{xy,a}}\sin \hat \xi \sin 2\alpha } \right)}^2}} \right]^{1/2}}。} $

(9)

$ {q_{n,m}} = \frac{{{q_{x,m}} + {q_{x,m}}\cos 2\alpha }}{2} + {\tau _{xy,m}}\sin 2\alpha。$

(10)

其中，$ {\tau _{xy,a}} $为随机载荷下舰船船体结构$ x - y $平面中切应力的幅值；$ {\tau _{xy,m}} $为对应的平均值。

随机载荷下船体结构临界平面上的宏观最大法向正应力为：

$ {q_{n,\max }} = {q_{n,a}} + {q_{n,m}}。$

(11)

1.2 随机载荷下微观尺度的船体结构损伤因子

为全方位描述船体结构的疲劳损伤演化进程，需综合考虑随机载荷与船体材料特性两种影响因素下的损伤机制，推导随机载荷下舰船船体结构微观损伤因子。在微观尺度下，利用原子逃逸概率，实现对随机载荷路径非比例性在晶粒尺度上导致的附加循环硬化效应的定量化表征。原子逃逸概率（Atomic escape probability）指在随机载荷作用下，船体结构材料内部原子克服原子间结合力，从原有平衡位置逃逸到相邻空位或缺陷处的概率，其大小可反映材料微观结构的损伤程度，概率越大，表明原子迁移越频繁，微观损伤越严重。以原子逃逸概率为参量，定义载荷路径非比例程度定义随机载荷路径非比例度因子为：

$ z = g\left( {1 - \frac{{{D_n}}}{{{D_p}}}} \right)。$

(12)

其中，D_p为随机载荷路径下船体结构临界面处原子逃逸概率；$ g $为随机载荷路径修正系数；D_n为随机载荷路径下船体结构材料内部发生的原子逃逸概率，计算公式如下：

$ {D_n} = {{e} ^{ - \frac{{\chi _b^2 - {{\left( {G{b_{x,a}}} \right)}^2}\left\{ {{{\left[ {\rho \cos 2\alpha \cos \sigma - \left( {1 + {v_e}} \right)\sin 2\alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\rho \cos 2\alpha \sin \sigma } \right]}^2}} \right\}}}{{2Gk\mu }}}}。$

(13)

其中，$ {\chi _b} $为船舶结构材料理想剪切强度；$ \mu $为船体结构温度；$ G $为切变模量；$ \rho $为轴向和切向应变比值；$ k $为Boltman常数；$ \sigma $为船舶结构扭转和随机载荷路径差异的相位角。

船体结构材料内部在微观结构和组织成分上并不相同，导致不同船体结构在随机载荷路径下表现出不同的宏微观响应，为此，根据船体结构自身材料的静态强化系数$ h $，定义随机载荷下船体结构材料的非比例系数为：

$ l = h\frac{{q''}}{{q'}} - 1。$

(14)

其中：$ q' $、$ q'' $为比例与非比例随机载荷下的等效应力。

通过综合考虑舰船船体结构的随机载荷路径非比例度因子$ z $，以及船体结构材料的非比例系数$ l $两种尺度影响因素，计算船体结构微观损伤因子为：

$ f = \sqrt {1 + \frac{{z\left( {1 + l} \right)}}{2}}。$

(15)

1.3 随机载荷下多尺度疲劳寿命预测数学模型构建

随机载荷下舰船船体结构临界平面上的宏观最大法向正应力q_n,max，以及船体结构微观损伤因子$ f $，建立舰船船体结构随机载荷下的多尺度疲劳寿命预测数学模型，公式如下：

$ \frac{{\Delta {b_e}}}{2} = \frac{{\Delta {b_e}}}{2}\left( {1 + \theta f\frac{{{q_{n,\max }}}}{{{q_y}}}} \right) = \frac{{{q'_f}}}{E}{(2{N_f})^\beta } + {b'_f}{(2{N_f})^o}。$

(16)

其中，$ \Delta {b_e} $为船体结构的等效应变幅；$ E $为舰船船体结构材料的弹性模量；$ {q'_f} $为船体结构材料的疲劳强度系数；$ \theta $为船体结构材料常数；N_f为舰船船体结构的疲劳寿命（即承受随机载荷至发生疲劳破坏的循环次数）；$ \beta $、$ o $为船体结构材料的疲劳强度指数和疲劳延性指数；$ {b'_f} $为船体结构材料的疲劳延性系数。

2 实验结果与分析

以某舰船为研究对象，利用本文方法对该舰船的船体结构进行疲劳寿命预测，提升舰船航行的安全性。疲劳寿命预测的实验环境如图1所示。

通过控制器设置疲劳试验机的加载程序，利用疲劳试验机对船体结构施加随机载荷，采用采集器实时记录实验过程中的各种数据，通过本文模型预测船体结构疲劳寿命。选择该舰船的4个典型船体结构进行疲劳寿命预测，分别是底边舱斜板和内底板的连接折角处，记作结构1，强框架和主甲板与纵舱壁交接处，记作结构2，内底板和槽型橫舱壁连接处，记作结构3，槽型舱壁和主甲板连接处，记作结构4。

实验中所用舰船的基本信息如表1所示。

在图1的实验环境中，疲劳试验机施加的随机波浪载荷如图2所示。图2展示了在疲劳试验中对船体结构施加的随机波浪载荷时程曲线。该载荷模拟了舰船在实际海况中所承受的复杂波浪激励，具有典型的随机性与非平稳特征。随机波浪载荷的最大值约为400 MN·m，表现出明显的变幅载荷特性，符合真实海洋环境中波浪载荷的统计规律。

在该随机载荷下，利用本文模型计算该舰船船体结构临界平面上的宏观最大法向正应力，计算结果如图3所示。分析图3可知，在图2所示的随机载荷作用下，本文模型可有效计算各船体结构的宏观最大法向正应力。结构1（底边舱斜板与内底板连接折角处） 的宏观最大法向正应力峰值最高，约为350 MPa，说明该部位为应力集中最严重区域，是疲劳裂纹萌生的高风险位置。结构4（槽型舱壁与主甲板连接处） 次之，峰值约为300 MPa，也属于高应力区域，说明结构1与结构4在长期随机载荷作用下疲劳损伤累积速率较快，需在设计与维护中予以重点关注。结构2（强框架和主甲板与纵舱壁交接处）与结构3（内底板和槽型橫舱壁连接处） 的应力峰值相对较低，分别约为250 MPa与200 MPa，说明其结构形式或连接方式对载荷的传递与分布较为有利，应力集中效应较弱。本文模型通过临界平面法，能够准确捕捉随机载荷下船体结构的宏观动态应力响应，为后续多尺度疲劳寿命预测提供了可靠的应力输入。

在不同船体结构临界平面相位角下，利用本文模型预测随机载荷下各个船体结构的疲劳寿命，预测结果如图4所示。分析图4可知，随机载荷下，随着相位角的提升，4种类型船体结构的疲劳寿命均呈下降趋势，表明临界平面相位角的变化会导致临界平面上的法向正应力幅值出现改变。相位角越大，应力状态恶化速度越快，从而疲劳寿命越小。

在满载与压载工况下，分析随机载荷下本文模型的疲劳寿命预测精度，以结构1为例，分析结果如图5所示。分析图5可知，满载与压载工况下，船体结构的受力状态、浮态及波浪载荷响应存在显著差异。2种工况下，本文模型的所有预测误差点均严格分布在±5%的误差带范围内，说明本文模型的预测精度较高，且疲劳寿命预测的稳定性较优。尽管载荷环境变化，本文模型的预测结果始终围绕零误差线小幅波动，证明了本文模型对于载荷工况的变化具有良好的适应性和稳健性。

为进一步验证本文模型的优越性，将本文模型与Neuber法、名义应力法对4种船体结构的疲劳寿命进行预测，结果如表2所示。

由表2可知，Neuber法对4种船体结构的疲劳寿命预测结果均偏大，这是因为Neuber法基于局部应力应变假设，忽略了材料非线性及复杂载荷路径的影响，导致应力应变幅计算误差较大，进而使预测寿命偏高；名义应力法预测结果均偏小，主要是由于名义应力法忽略了局部应力集中效应，无法准确反映结构应力集中区域的实际受力状态，从而低估了疲劳寿命。而本文模型预测结果更接近实际疲劳寿命，充分体现了本文模型在疲劳寿命预测方面的优越性。

3 结　语

为及时发现船体结构存在的疲劳损伤问题，确保舰船安全航行，构建舰船船体结构随机载荷下的多尺度疲劳寿命预测数学模型。通过宏观与微观双尺度耦合分析实现了对船体结构疲劳损伤的精准表征。宏观尺度依托临界平面法准确计算临界平面上的宏观最大法向正应力，反映结构整体受力状态。微观尺度结合随机载荷路径非比例度因子与材料非比例系数确定微观损伤因子，量化晶粒尺度下的附加循环硬化效应与材料特性差异对损伤的影响。该模型可全面且准确地描述船体结构疲劳损伤演化过程，有效避免因寿命预测偏差引发的突发断裂事故，对保障舰船航行安全性具有重要实践意义。