0 引　言

声传播特性研究是水声学领域的重要课题之一，其在海洋监测、海底通信和水下目标探测等方面具有广泛的应用价值。浅海环境由于水深有限、声速剖面多变以及海底和海面的影响，给水下目标辐射声场特性测量与评估带来较大困难，按球面波传播规律及理想环境进行分析已无法满足测量精度要求^{[1 − 2]}。如何准确地分析浅海环境下声源的传播特性，是水声学研究的重要方向之一。

经过国内外学者的广泛研究与发展，已有多种声场计算方法，如简正波方法、抛物方程法、快速场法、有限元法等^[3]，并且基于上述方法对浅海环境下的目标声场特性^{[4 − 7]}以及声传播特征^{[8 − 9]}进行了较多分析，获得部分有益的规律。其中简正波方法能够有效描述浅海环境中的声场分布特性，特别是在低频段，其对海底参数、声速剖面和传播损失的定量分析具有重要优势。然而，这些研究多集中于对单一声源声传播特性进行研究，对组合声源声传播特性的研究则很少。特别是在复杂浅海条件下，其传播特性仍存在诸多未知^{[10 − 12]}。

另外在对大型船舶噪声特性进行分析时，由于其结构复杂，内部的机械设备（如发动机、泵、螺旋桨）会产生多种噪声，这些噪声源的位置和强度各不相同，并且不同噪声源产生的噪声在水中传播时会发生干涉，形成复杂的干涉图案，影响声波的传播特性，所以不能将目标看作单一声源进行模拟。

针对上述问题，本文基于简正波方法，构建了组合声源的声传播模型，并通过仿真计算，对组合声源与点声源在不同方向性下的传递函数进行对比，并进行了模型验证；通过对浅海环境下在不同海底参数、不同声源布放方式（声源间距）以及不同频率时的传播特性进行分析，初步得到低频组合声源在浅海环境下的声传播特性。

1 组合声源声传播模型

从声速只与深度z有关的二维亥姆霍兹方程开始，不考虑密度的变化，对于二维平面内位于$ (0,{z}_{s}) $的单频点声源在无水平变化的分层介质中激励产生的点源声场，在$ (r,z) $处满足柱坐标下的亥姆霍兹方程：

$ {\begin{array}{c}\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial }{\partial r}\left(r\displaystyle\frac{\partial p}{\partial r}\right)+\rho \left(z\right)\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}\left(\displaystyle\frac{1}{\rho \left(z\right)}\displaystyle\frac{\partial p}{\partial z}\right)+\displaystyle\frac{{\omega }^{2}}{{c}^{2}\left(z\right)}p=-\displaystyle\frac{\delta \left(r\right)\delta \left(z-{z}_{s}\right)}{2{\text{π}} r}。\end{array}} $

(1)

利用变量分离技术，按以下形式寻找非强迫方程的解：$ P\left(r,z\right)=R\left(r\right)Z\left(z\right) $，代入式(1)，再除以$ R\left(r\right)Z\left(z\right) $后可得：

$ {\displaystyle\frac{1}{R}\left[\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{\mathrm{d}r}\left(r\displaystyle\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)\right]+\displaystyle\frac{1}{Z}\left[\rho\left(z\right)\displaystyle\frac{d}{\mathrm{d}z}\left(\displaystyle\frac{1}{\rho\left(z\right)}\displaystyle\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}z}\right)+\displaystyle\frac{\omega^2}{c^2\left(z\right)}Z\right]=0。}$

(2)

2个方括号的内容分别为$ r $和$ z $的函数，因此使该方程能够满足的唯一方法是让每个部分为常数。用$ {{k}_{m}}^{2} $表示这一分离常数，就得到以下本征方程：

$ \rho\left(z\right)\displaystyle\frac{d}{{\rm{d}}z}\left[\displaystyle\frac{1}{\rho\left(z\right)}\displaystyle\frac{{\rm{d}}Z_m\left(z\right)}{{\rm{d}}z}\right]+\left[\displaystyle\frac{\omega^2}{c^2\left(z\right)}-k_m^2\right]Z_m\left(z\right)=0。$

(3)

以上微分方程是经典的Sturm-Liouville特征值问题，它的特性众所周知。假定$ c\left(z\right) $，$ \rho \left(z\right) $为实函数，将这些特性简要概括如下：本征方程有无限个类似于振动弦模式的解；模式用本征函数$ {Z}_{m}\left(z\right) $和水平波数$ {k}_{m} $表征；这些水平波数类似于振动频率，各不相同；函数$ {Z}_{m}\left(z\right) $为本征函数，$ {k}_{m} $或$ {k}_{m}^{2} $为本征值；第m个模式在[0,H]区间内有m个零值；相应的本征值$ {k}_{m}^{2} $全为实数，且次序为$ {k}_{1}^{2} > {k}_{2}^{2} $。还可以证明，所有的本征值都小于$ \omega /{c}_{\min} $，这里$ {c}_{\min} $是所讨论问题中的最小声速。另外，这类Sturm-Liouville问题的模式是正交的，即：

$ \begin{array}{c}{\displaystyle\int }_{0}^{D}\displaystyle\frac{{Z}_{m}\left(z\right){Z}_{n}\left(z\right)}{\rho \left(z\right)}{\rm{d}}z=\left\{ \begin{array}{c}1，m=n，\\ 0，m\ne n。\end{array}\right.\end{array} $

(4)

从式(3)可看出，本征方程的解对于乘法常数是不定的。为了简化最后结果，假定模式是按比例标度的（归一化的），使得：

$ {\displaystyle\int }_{0}^{D}\displaystyle\frac{{Z}_{m}^{2}\left(z\right)}{\rho \left(z\right)}{\rm{d}}z=1。$

(5)

这些模式构成一个完备集，把声压写成任意函数的简正模式之和，即：

$ P\left(r,z\right)=\displaystyle\sum _{m=1}^{\infty }{R}_{m}\left(r\right){Z}_{m}\left(z\right)。$

(6)

将式(6)代入式(1)得：

$ \begin{aligned}&\displaystyle\sum _{m=1}^{\infty }\Bigg\{\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}r}\left(r\displaystyle\frac{\rm{d}{R}_{m}\left(r\right)}{{\rm{d}}r}\right){Z}_{m}\left(z\right)+\\ &{R}_{m}\left(r\right)\left[\rho \left(z\right)\displaystyle\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}z}\left(\displaystyle\frac{1}{\rho \left(z\right)}\displaystyle\frac{{\rm{d}}{Z}_{m}\left(z\right)}{{\rm{d}}z}\right)+\displaystyle\frac{{\omega }^{2}}{{c}^{2}\left(z\right)}{Z}_{m}\left(z\right)\right]\Bigg\}=\\ &\displaystyle\frac{\delta \left(r\right)\delta \left(z-{z}_{s}\right)}{2{\text{π}} r}。\end{aligned} $

(7)

利用本征方程进行进一步简化，得到：

$ \begin{split}&\displaystyle\sum _{m=1}^{\infty }\left\{\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}r}\left(r\displaystyle\frac{\rm{d}{R}_{m}\left(r\right)}{{\rm{d}}r}\right){Z}_{m}\left(z\right)+{k}_{m}^{2}{R}_{m}\left(r\right){Z}_{m}\left(z\right)\right\}=\\&-\displaystyle\frac{\delta \left(r\right)\delta \left(z-{z}_{s}\right)}{2{\text{π}} r}。\end{split} $

(8)

再对上式进行以下运算：

$ {\displaystyle\int }_{0}^{D}\left(\cdot \right)\displaystyle\frac{{Z}_{n}\left(z\right)}{\rho \left(z\right)}{\rm{d}}z。$

(9)

由于具有正交性，求和式中只有第n项保留下来，得到：

$ \begin{array}{c}\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\rm{d}\mathit{r}}\left[r\displaystyle\frac{\rm{d}\mathit{R}_{\mathit{n}}\left(\mathit{r}\right)}{\rm{d}\mathit{r}}\right]+k_n^2R_n\left(r\right)=-\displaystyle\frac{\delta\left(r\right)Z_n\left(z_s\right)}{2\text{π}r\rho\left(z_s\right)}。\end{array} $

(10)

这是一个标准方程，解用汉克尔函数给出为：

$ \begin{array}{c}{R}_{n}\left(r\right)\displaystyle\frac{i}{4\rho \left({z}_{s}\right)}{Z}_{n}\left({z}_{s}\right){H}_{0}^{\left(\mathrm{1,2}\right)}\left({k}_{n}r\right)。\end{array} 　 $

(11)

选择$ {H}_{0}^{\left(1\right)} $还是$ {H}_{0}^{\left(2\right)} $取决于辐射条件，辐射条件规定当$ r\to \infty $时能量应该向外辐射。因省去了时间关系$ {e}^{-j\omega t} $，故采用第一类汉克尔函数。同时计及以上因素可得：

$ \begin{array}{c}\rho\left(r,z\right)=\displaystyle\frac{i}{4\rho\left(z_s\right)}\sum_{m=1}^{\infty}Z_m\left(z_s\right)Z_m\left(z\right)H_0^{\left(1\right)}\left(k_mr\right)。\end{array} $

(12)

对于组合声源声场的计算，本文拟采用声场叠加的方式获取。如上所述，计算出点源声场后，假设有N个点源，则N个点源（组合声源）产生的声场为：

$ p\left(r,d\right)=\displaystyle\sum _{i=1}^{N}{A}_{i}\cdot {p}_{i}。$

(13)

式中：$ {A}_{i} $为每个点源的强度；$ {p}_{i} $为单个点源产生的声场。传播损失的定义为：

$ \begin{array}{c}TL\left(r,z\right)=-20\rm{log}_{10}\left|\displaystyle\frac{\mathit{p}\left(\mathit{r},\mathit{z}\right)}{\mathit{p}\left(\mathit{r}=1\right)}\right|。\end{array} $

(14)

自由空间中点声源的声压$ p(r=1) $为：

$ \begin{array}{c}p\left(r=1\right)=\displaystyle\frac{{e}^{-jkr}}{4{\text{π}} r}。\end{array} $

(15)

可得到：

${ \begin{array}{c}TL\left(r,z\right)=-20{\rm{log}}_{10}\left|\displaystyle\frac{i}{\rho \left({z}_{s}\right)}\sqrt{\displaystyle\frac{2{\text{π}} }{r}}\sum _{m=1}^{\infty }{Z}_{m}\left({z}_{s}\right){Z}_{m}\left(z\right)\displaystyle\frac{{e}^{j{k}_{m}r}}{\sqrt{{k}_{m}}}\right|。\end{array}} $

(16)

上式的传播损失是基于不同模态简正波之间相位叠加的结果，如果忽略简正波之间的相位差异，只考虑简正波携带的能量多少，通过这种方式叠加则产生非相干损失。

2 点源与组合声源声传播特性对比 2.1 点源与组合声源传播损失的分析

选取如图1 所示的海洋环境进行计算，单位强度的谐和点源位于海水层$ {z}_{s} $处，海水深度为100 m，水中声速为1500 m/s，海底为半无限液体海底，不同种类海底沉积层的地声参数如表1所示，且海水与海底层密度和声速均保持不变。

设组合声源深度分别为40、45、50、55、60 m，点源深度50 m，接收深度也为50 m，海底参数选取表1中泥质海底参数，二者传播损失如图2所示。

可知，当50、100 Hz时，随着距离的增大，组合声源与点源的传播损失变化趋势相同，且在数值上也没太大差别。随着频率的增高，声波的波长变短，进而影响传播模式和阵列的干涉效应，使得组合声源的传播损失开始出现周期性的波动。相比之下，点源的传播损失依然主要受几何扩散的影响，变化较为平稳。当300 Hz时，组合声源的传播损失表现出明显的周期性波动。而由于高频信号在水中的吸收更强，导致其点源的传播损失衰减速度更快，因此在远距离时的传播损失与组合声源的传播损失差距更大。

2.2 点源与组合声源声场传递函数的分析

在声学中，传递函数是描述输入信号与输出信号关系的工具，通过计算发射点与接收点的声压比，可以用于研究声波在不同介质、不同路径中的传播特性，特别是在复杂的环境中（如多路径传播、声波散射等）或多源环境中。为研究点源与组合声源声场传播特性，设海水深度为100 m，组合声源深度分别为40、45、50、55、60 m，点源深度50 m，接收深度也为50 m，海底参数选取表1中泥质海底参数，水中声速为1500 m/s。分别对100 Hz和300 Hz时点源与组合声源的实部声压与虚部声压进行仿真计算，通过对传递函数具体分量进行物理上的解读，从而理解组合声源的声场特性。

归一化后的实部和虚部声压变化曲线分别代表了声波强度（或幅度）在不同位置或条件下的相对变化以及声波的相位变化，从图3和图4可知，在声源频率为100 Hz时，点源与组合声源的变化规律基本一致，声场衰减较为平缓，而组合声源由于干涉效应导致实部和虚部声压的变化呈现出一定波动。随着频率升高，波长变短，声场干涉效应更明显，导致点源与组合声源声场差异较大。可以发现，在近距离，2种声场相似度较差，且相位变化更为快速，虚部声压的波动幅度增大，尤其在组合声源的情况下，多个源之间的干涉效应使得虚部波动更加剧烈。

3 浅海组合声源声传播模型验证及声传播特性分析

浅海声场比深海声场有着更为复杂的传播状况，声波在其中传播受到多种因素的影响，本文主要考虑不同布放方式（声源间距离）、不同声速剖面和不同海底参数对组合声源声传播的影响，并对本文提出的组合声源声传播模型进行验证。

3.1 组合声源声传播模型验证

设组合声源深度分别为40、45、50、55、60 m，接收深度为50 m，海深100 m。分别利用本文提出的组合声源声传播模型与COMSOL计算在不同频率不同距离处的传播损失误差值。每隔100 m统计一次，统计距离范围为67～1167 m，统计结果如表2所示。

从结果来看，本文提出的组合声源声传播模型精度较高，最大偏差不超过2.1 dB。误差可能是由于模型复杂度不够（仅采用一层底质结构和纵波参数）导致的。

3.2 浅海声速剖面对组合声源声传播的影响

一般来说，在近岸浅海及大陆架区域，声速剖面有比较明显的季节特征，本文选取浅海等声速梯度、浅海负声速梯度和浅海正声速梯度这3种典型声速剖面进行研究。声速剖面如图5所示。

设海深为100 m，海底深度为30 m，忽略海底地形起伏，海底为细砂，其声学参数见表1。组合声源深度分别为20、25、30、35和40 m，点源深度为30 m。利用Kraken得到组合声源和点源在100 Hz时不同声速梯度下的传播损失如图6所示。

可知，由于阵列的干涉效应，整体上组合声源的传播损失要比点源低很多，尤其是在近距离上有较大增益。随着距离增加，阵列效应逐渐减弱，接近点源的传播损失规律。等声速梯度、负声速梯度下的水平传播损失明显高于正声速梯度下的传播损失。这是由于在正声速梯度条件下，声波会沿着水体层间的高声速路径传播，因此声波传播方向会向水面弯曲，声能集中在水面附近，传播损失相对较小；在等声速梯度条件下，声波在水中传播基本沿直线传播，传播损失随着水平距离的增加而稳定增大，且没有因为声速梯度变化而产生显著弯曲效应；在负声速梯度条件下，由于负梯度的作用，声线偏向海底，声波与海底的接触次数增多，横波的传播和声吸收导致传播损失增大。

3.3 浅海沉积层对组合声源声传播的影响

在浅海海域，不同的沉积层对声波的反射和吸收不同，海底地形及沉积层特性成为限制水下声传播的重要因素。设海深为100 m，海水声速剖面为正声速剖面，组合声源深度分别为20、25、30、35、40 m，点源深度为30 m。海底深度为30 m，忽略海底地形起伏，按照表1中给出的地声参数，得到沉积层为细砂、砂-泥-粘土和泥时组合声源与点源在100 Hz时的传播损失如图7所示。

可知，在20 km以内的距离，不同的海底底质对声传播损失影响较大，随着距离的增加，3种海底底质的传播损失大小趋于一致。且由于干涉效应，组合声源的传播损失比点源传播损失要低很多。对比3种海底底质，细砂的密度与声速均大于另外2种，因此细砂的声阻抗要大于另外2种底质的声阻抗。海底底质为细砂时能够反射更多的声能量，声波在海底处的能量损失更低。故而在海底底质为细砂的海洋环境下声波能够传播的更远。

3.4 声源深度对组合声源声传播的影响

不同频率的点声源在海水中激发的声场不同，同一频率的声源在不同位置也会激发不同的声场。为研究不同深度时组合声源对传播损失的影响，设声源频率为100 Hz，海水深度为 100 m，海底底质为细砂，海底深度为30 m，声速梯度为正声速梯度，计算组合声源放置于10～30 m，20～40 m，40～60 m，60～80 m（声源间隔5 m）范围时的传播损失如图8所示。

从图中可知，不同深度的声源会因为声波的传播路径和干涉规律，产生不同的传播损失模式，表现为周期性的带状高低损失区域。声源位于10～30 m，传播损失主要集中在靠近声源区的地方。由于声源位置较浅，声波的传播方向没有明显向海底聚集，导致某些距离下的传播损失较高；声源位于20～40 m，传播损失的分布更加均匀，能量的扩散不会过度集中在某一特定区域；声源位于40～60 m时，声能量更加集中，呈现出弧形分布；声源位于60～80 m时，声能聚焦效果最明显，传播损失在某些距离处显著减小。总体来看，随着组合声源深度的增加，特别是在远距离处，声能能够通过海底反射集中，从而降低传播损失。

3.5 声源间距对组合声源声传播的影响

为研究不同声源间距时组合声源的声传播特性，设声源频率为100 Hz，海水深度为 100 m，海底底质为细砂，海底深度为30 m，声速梯度为正声速梯度，不同声源间距（等间隔分布）时的传播损失如图9所示。

可知，较小的声源间距时，声场分布较均匀，传播损失较平缓，但难以实现声能聚焦。随着声源间距的变大，声场的干涉效应加强，减少了能量的扩散。在水深40 m左右能看到明显的声能聚焦现象，且在该深度范围传播损失较低，在远距离时的传播损失与较小声源间距相比变得更小，声波传播的更远。

4 结　语

针对组合声源声传播构建了基于简正波方法的传播模型，并验证了其准确性。通过仿真得到，随着频率的升高，组合声源相对于单一声源的声传播损失明显降低，声场差异变大；在三类声速剖面里，正声速梯度下组合声源声传播损失最小；在3种海底底质中，底质为细砂时的声能量衰减最慢；组合声源布放深度越深，声能通过海底反射集中，传播损失也越低；声源间间距越大，干涉效应越明显，声波传播的更远。