0 引　言

近年来，航运业在我国能源转型中面临着新的挑战和机遇，船舶综合电力系统逐渐由交流组网向直流组网发展，其电力网对电力电子变换器需求大量增加^{[1 − 2]}。在船舶电力系统所用的变换器中DC/DC变换器的使用最为普遍，DC/DC 变换器在新型船舶电力系统的作用主要有两方面，一方面用于电能的变换如可再生能源给负载供电；另一方面作为直流配电系统中DC母线与负载之间的缓冲器。因此，DC/DC变换器的工作状态直接影响着电力系统的稳定性，而稳定工作的电力系统是船舶在海上安全行驶的前提。然而，基于传统的控制方法的变换器参数稳定域有限，而船舶电力系统特殊的工作环境会使变换器中的参数产生大幅度变化，因此，变换器易产生分岔现象并最终进入混沌状态，从而导致整个电力系统崩溃。因此有必要探索更适合于应用在船舰、航天、军事等复杂多变的环境，简单且具有宽参数稳定域的非线性控制方法。

DC/DC变换器的非线性动力学行为分析及其控制已成为近年的研究热点。大量文献对基于各种控制方法的Buck、Boost 等DC-DC变换器的系统稳定性进行了深入分析，并提出了多种方法解决非线性问题，目前常用的控制方法分为两大类：反馈控制和非反馈控制。这些控制的目的在于消除分岔和混沌，或者延后分岔点的位置等^{[3 − 7]}。关于船用的 DC/DC 变换器的也有一些相关研究。王荣杰^[8]针对一种船用电流控制型 Buck-boost变换器的分岔行为进行了分析，得到了其稳定运行的参数域，为船用变换器选择合适的电路参数提供了依据；朱天丽^[9]采用阻抗法和特征值法对纯电船和混合动力船两种类型的船舶直流微电网中的各种类型DC-DC变换器及其级联、并联进行了小信号建模，稳定性分析。PIOTR^[10]研究了包含电力电子变换器的船舶电力系统的非线性行为，由相位轨迹和庞加莱图确定其所发生的混沌状态。

关于DC/DC变换器非线性行为的分析及控制，近年来已有很多国内外研究者从不同的角度和层面进行了大量深入的分析，建立了数学模型并得出了一些重要的结论。然而关于船舶用的 DC/DC 变换器的相关研究还较少。并且，从控制方法的角度探索宽参数稳定域的变换器控制方法的研究还较少，尤其是对其非线性现象的控制研究尚缺乏。

本文提出了一种单周能量的非线性控制方法，以船舶常用的Buck-boost变换器为例，介绍了其工作原理，而后采用理论推导和仿真验证相结合的方式验证了优异的动态稳定性，可以在更宽的参数范围域中保持稳定的运行。

1 船用Buck-boost变换器平均模型分析

图1为Buck-boost变换器的电路及通用控制框图。其中，u_in为输入电压值，i_L为电感电流值，i_o为负载电流值，i_c为电容电流值，u为输出电压值。

在电感电流连续模式(CCM)下，一个周期中电流有2个工作状态：

工作状态1：开关S开通，此时，电感电流上升，电路的状态方程为：

$ \dot{x}=\boldsymbol{A}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}x+\boldsymbol{B}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}。$

(1)

式中：$ {{\boldsymbol{A}}}_{\mathrm{on}=}\left[ \begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{RC}\end{array} \right],{\boldsymbol{B}}_{\mathrm{on}}=\left[ \begin{array}{c}\dfrac{u_{\mathrm{in}}}{L} \\ 0\end{array} \right] $为状态变量值矩阵。

工作状态2：开关S关断，此时，电感电流下降，电路的状态方程为：

$ \dot{x}=\boldsymbol{A}_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}}x+\boldsymbol{B}_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}}。$

(2)

式中：$ \boldsymbol{A}_{\mathrm{off}=}\left[ \begin{array}{cc}0 & -\dfrac{1}{L} \\ \dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{RC}\end{array} \right]，\boldsymbol{B}_{\mathrm{off}}=\left[ \begin{array}{c}0 \\ 0\end{array} \right]{x}=\left[ \begin{array}{cc}i_{\mathrm{L}} & u\end{array} \right]^{\mathrm{T}} $为状态变量值矩阵。

由以上的状态分析可以得到Buck-boost变换器系统的平均状态模型为：

$ \left\{\begin{aligned} & \displaystyle\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\displaystyle\frac{u_{{\rm{in}}}}{L}-\displaystyle\frac{1-s}{L}u，\\ & \displaystyle\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-\displaystyle\frac{u}{{R}{C}}+\frac{1-\mathrm{s}}{{C}}i。\end{aligned}\right. $

(3)

式中：s = 1 代表开关管导通，s = 0 代表开关管关断。为了得到不同控制方式变换器的平均模型，需要用占空比 d 代替式 (3) 中的s。

2 船用Buck-boost 变换器的工作原理及平均模型 2.1 单周能量控制的船用Buck-boost 变换器的工作原理

$ {\int }_{0}^{{\mathrm{d}}{T}_{\mathrm{s}}}{u}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{i}_{\mathrm{L}}{\mathrm{d}}t={\int }_{0}^{{T}_{\mathrm{s}}}u{i}_{\mathrm{o}}{\mathrm{d}}t。$

(4)

其结构如图2所示。可以看到，其在实现的过程中依然类似于传统的单周控制模型，仅需要简单的逻辑运算（积分和比较）及RS 触发器即可以实现对开关的控制。当开关S以固定频率的时钟脉冲导通时，积分器开始积分。此时积分器的输出值W_int随着时间从初始值慢慢增加并与控制参考值比较。当积分值W_int 到达控制参考值时，控制器发送指令到开关，改变开关的状态从导通状态到关断状态。与此同时，控制器使积分器复位到零。在开关关断期间，电压源断开，因此，电路中没有能量输入。开关S保持关断状态直到下一个时钟脉冲的到来，从而开启第(n + 1)^th 开关周期。

2.2 单周能量控制的船用Buck-boost 变换器的平均模型和稳定判定

按照控制原理，控制的目标是使得输出电压u等于给定参考电压u_ref，因此，用u_ref代替式(4)中的u得到基于单周能量的Buck-boost系统的控制方程如下：

$ {\int }_{0}^{{\mathrm{d}}{T}_{\mathrm{s}}}{u}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}i{\mathrm{d}}t={\int }_{0}^{{T}_{\mathrm{s}}}{u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}{i}_{\mathrm{o}}{\mathrm{d}}t。$

(5)

于是，式(5)的平均模型可以表示为：

$ {u}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}id={u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}{i}_{\mathrm{o}}。$

(6)

其中：d是基于单周能量控制的Buck-boost占空比。

由式(6)可得到d的表达式为：

$ d=\frac{{u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}{i}_{\mathrm{o}}}{{u}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}i}=\frac{{u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}u}{{u}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}Ri}。$

(7)

将式(3)中的s由式(7)的d代替得到

$ \left\{\begin{aligned} & \displaystyle\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\displaystyle\frac{uu_{\mathrm{ref}}}{LR}+\displaystyle\frac{u^2u_{\mathrm{ref}}}{LRu_{\mathrm{in}}}，\\ & \displaystyle\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\displaystyle\frac{i}{C}-\displaystyle\frac{u}{CR}-\displaystyle\frac{uu_{\mathrm{ref}}}{CRu_{\mathrm{in}}}。\end{aligned}\right. $

(8)

设置式(8)中的$ \displaystyle\frac{{\mathrm{d}}i}{{\mathrm{d}}t}= $0，$ \displaystyle\frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}t}= $0，可以得到不动点如下：

$ V=u_{\mathrm{ref}}，I=-\frac{(u_{\mathrm{ref}}+u_{\mathrm{in}})u_{\mathrm{ref}}}{Ru_{\mathrm{in}}}。$

在此不动点，雅可比矩阵为：

$ J=\left(\begin{array}{cc}-\displaystyle\frac{(u_{\mathrm{in}}+V)Vu_{\mathrm{ref}}}{LRu_{\mathrm{in}}I^2} & \displaystyle\frac{u_{\mathrm{ref}}}{LR}+\frac{2u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\mathrm{V}}{{L}{R}{u}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}} \\ \displaystyle\frac{1}{C} & -\displaystyle\frac{u_{\mathrm{in}}+u_{\mathrm{ref}}}{CRu_{\mathrm{in}}}\end{array}\right)。$

(9)

由det[I-J]=0可以写出多项式方程为：

$ {f}\left(\mathrm{\lambda }\right)={{a}_{2}\mathrm{\lambda }}^{2}+{a}_{1}\mathrm{\lambda }+{a}_{0}。$

(10)

式中：$ {a}_{2}=1 $；$ a_1=\dfrac{Ru_{\mathrm{in}}}{L(u_{\mathrm{in}}+u_{\mathrm{ref}})}+\dfrac{(u_{\mathrm{in}}+u_{\mathrm{ref}})}{RCu_{\mathrm{in}}} $；$ a_0= \dfrac{u_{\mathrm{in}}}{L(u_{\mathrm{in}}+u_{\mathrm{ref}})} $。

根据高斯稳定性判据，所有根都在左半平面是系统的稳定条件。对于二次多项式，所有$ {a}_{i} $都是正数是确保所有根都位于左侧的充分和必要条件。由式(10)可知$ {a}_{2} > 0 $，$ {a}_{1} > 0 $和$ {a}_{0} > 0 $。因此，无论电路参数包括R、u_in、u_ref、L、C如何变化，基于单周能量控制的Buck-boost变换器稳定性判据的充分和必要条件始终满足，证实了基于单周能量控制的Buck-boost变换器具有宽参数稳定域。

3 理论计算

电路参数如表1所示。在船舶电力系统运行过程中，电路参数如u_ref、u_in、R等参数都会发生变换，这里选取参考电压u_ref作为变化的参数。

基于表1中的电路参数，由式(10)可以计算出基于单周能量控制的Buck-boost变换器的雅可比矩阵的特征根，当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=4\;\mathrm{V} $时，雅可比矩阵的特征值为$ {\mathrm{\lambda }}_{1}= -41.77 $，$ {\mathrm{\lambda }}_{2}=-1\;886.6 $，此时$ \left|{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{1,2}}\right| < 1 $，特征根位于单位圆内；当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=6\;\mathrm{V} $时，雅可比矩阵的特征值为$ {\mathrm{\lambda }}_{1}= -40.75 $，$ {\mathrm{\lambda }}_{2}=-1\;450.26 $，$ \mathrm{此}\mathrm{时}\left|{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{1,2}}\right| < 1 $，特征根依然位于单位圆内，系统依然保持稳定运行；当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}= 8\;\mathrm{V} $时，雅可比矩阵的特征值为$ {\mathrm{\lambda }}_{1}=-40.35 $，$ {\mathrm{\lambda }}_{2}= -1\;352.34 $，此时$ \left|{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{1,2}}\right| < 1 $，特征根依然位于单位圆内，系统依然保持稳定运行；甚至当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=12\;\mathrm{V} $时，雅可比矩阵的特征值为$ {\mathrm{\lambda }}_{1}=-38.39 $，$ {\mathrm{\lambda }}_{2}=-1\;086.67 $，$ \mathrm{此}\mathrm{时}\left|{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{1,2}}\right| < 1 $，特征根依然位于单位圆内，系统依然保持稳定运行。图3为单周能量控制Buck-boost变换器随参数u_ref变换的特征根变化图。可以观察得到，随着u_ref的变化，其特征根总是具有负的实部。因此，根总是位于左侧，结果说明即使u_ref变化很大，特征根值也随之变化，但是始终没有移出单位元，因此系统始终保持稳定运行。

同时，图4为$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $由5 V到10 V变化时的单周能量控制Buck-boost变换器随参数$ {\mathit{u}}_{\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{f}} $变换的分岔图，可以看到，即使当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=10\;\mathrm{V} $时系统仍然能够稳定运行。同样可以由图3看出，在电路参数$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $变换时，电路能够始终保持稳定运行。

4 仿真验证

在Matlab中基于表1的电路参数分别搭建基于单周能量控制的Buck-boost变换器模型。为了更好的展示所提出的单周能量控制的具有更宽的参数稳定域的优势，仿真结果中设置了与单周控制（OCC）进行了比较研究，单周期控制是20世纪80年代提出的一种非线性大信号PWM控制理论。单周控制具有快速性、简单性和鲁棒性，其在每个开关周期内完成控制目标，无需等待多个周期，因此具有快速的响应速度，并且能有效抑制输入电压引起的波动。

4.1 控制性能的仿真结果

为了验证所提出的控制方法优越的动静态性能，进行了所提出控制方法在输入电压跳变和负载跳变时的仿真分析。图5和图6分别是Buck-boost变换器在负载R由30 Ω跳变为50 Ω和输入电压由5 V跳变为8 V的响应波形。由图5可以看到，当负载R由30 Ω跳变为50 Ω时，电压超调量从约0.2 V（基于传统OCC）降低到约0.08 V（基于单周能量控制），调整时间也减少到小于0.05 s，而相对比的，由结果可以看到，基于传统OCC的Buck-boost变换器的输出电压需要一段长达0.3 s的时间调整，进而重新进入新的稳态。由图6可以看到，当输入电压由5 V跳变为8 V时，基于单周能量的电压超调量约为0.1V，调整时间约为0.1 s，而相对比的，由结果可以看到，基于传统OCC的Buck-boost变换器的输出电压的电压超调量约为0.1 V，需要约0.2 s的时间调整，进而重新进入新的稳态。结果表明，与传统的OCC相比，所提出的单周能量控制方法能够保持传统OCC所具有的有效抑制输入电压侧干扰的能力，同时对于负载侧的跳变具有更小的超调量和更短的调整时间。

4.2 随参数变化的稳定域仿真结果

随电路参数变换的稳定性的仿真结果如图7～图10所示。由图7中的电感电流和输出电压波形可以看到，当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=4\;\mathrm{V} $时，基于单周能量控制的Buck-boost变换器系统没有发生任何分岔等非线性现象，系统运行稳定；同时，如图8所示，当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=9\;\mathrm{V} $时，系统依然稳定运行，没有发生任何分岔等非线性现象。相比较而言，由仿真结果可以观察到，在$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=4\;\mathrm{V} $时，基于OCC的Buck-boost变换器系统没有非线性现象发生，因此变换器能够稳定运行，如图9所示。由图10可以观察到，当$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $增加到 9 V 时，系统失去稳定运行，发生 Hopf分岔行为。若继续增大$ {u}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $，将会出现其它非线性现象。

5 结　语

船舶特殊的工作环境使得电力系统电路参数更易产生变化，当这些电路参数的变化到达相应的临界值时，变换器将产生分岔甚至混沌等非线性行为，即开始进入失稳工作状态，而这种失稳的工作状态将直接影响着作为船舶生命线的电力系统的稳定性。为此，本文针对船舶DC-DC变换器引入一种单周能量控制方法，并以常用的 Buck-boost变换器为例，介绍和分析其控制原理，而后通过推导其平均模型，采用雅可比矩阵证实其具有宽参数稳定域，最后通过Matlab的Simulink搭建仿真模型对所提出的控制方法进行可行性验证，并和传统的单周控制变换器系统进行对比，首先验证了其优越的动静态性能，而后以参数u_ref为例仿真验证了本文理论推导的正确性，仿真结果验证了其具有宽参数稳定域的优越性能。

本文提出的单周能量控制方法在船舶DC-DC变换器中展现了良好的稳定性和宽参数适应能力，但为了进一步提升船舶电力系统的整体可靠性，未来研究可从以下方面深入探索：

1）多类型电力电子装置的应用验证：其他DC-DC变换器（如Cuk、Sepic、逆变器等）：单个电力电子变换器如Boost变换器、Cuk变换器及逆变器等。更进一步地，应用于船舶直流微电网中多个电力电子变换器级联、并联系统，扩大系统的参数稳定域，从而改善系统的稳定性，以应对船舶电力系统特殊的工作环境（如高湿、高盐、振动频繁以及参数大范围变化等复杂工况）

2）微电网系统：探索该方法在船舶AC-DC-AC电力推进系统或直流微电网中的扩展应用，解决因非线性负载（如变频驱动）导致的谐波振荡问题。

3）所提出的控制方法的持续改进，持续增强控制系统的抗扰性与环境适应性：结合在线参数辨识（如递推最小二乘法）或智能算法（如模糊逻辑、强化学习），实时调整控制参数以更好地应对输入电压突变、负载阶跃等扰动。将单周能量控制与滑模控制、鲁棒控制结合，提升对高频噪声、器件老化等不确定因素的抑制能力。

总之，以期未来研究能够兼顾理论深度与工程实用性，通过多学科交叉如非线性控制、人工智能、材料科学等解决船舶电力系统的高可靠控制难题，最终形成一套适用于恶劣环境的稳定性增强技术体系。