0 引　言

随着全球航运业的快速发展，船舶在海上运输、资源勘探以及应急救援等领域的作用日益凸显。截至2024年，全球约80%的贸易量依赖海运完成，海运船舶主要由欠驱船舶（Under-actu-ated Ships）构成。但由于欠驱船舶缺乏横向推力，其仅依靠主推进装置与有限的舵角控制难以直接改变航向或位置，因此，欠驱船舶在复杂水域下的避障操作尤为困难^[1]。在这种背景下，轨迹规划成为一项关键技术，与路径规划生成简单空间路线不同，轨迹规划着眼于生成可供控制算法直接作为控制目标的运动轨迹，它能够有效针对控制约束进行规划，确保欠驱船在复杂环境中的高效自主航行^[2]。

欠驱船相较于其他载具在运动控制上存在更多的约束，通常无法直接控制横向位移和偏航角速度，在规划过程中如果没有考虑欠驱船舶运动学模型的整体约束，规划的参考轨迹不一定满足其操纵性要求，导致跟踪参考轨迹失败。因此针对欠驱船舶的轨迹规划，需要结合其运动学特性设计改进算法。目前，国内外学者在欠驱船舶轨迹规划方面的研究较为有限。Miyauchi等^[3]提出一种基于随航速变化的船舶避碰算法，解决考虑障碍物的靠泊轨迹规划问题，该算法将空间约束纳入优化，但其使用的船舶运动模型较为简单，导致轨迹难以跟踪。祁新宇等^[4]提出一种基于多项式混沌展开法的船舶鲁棒轨迹规划方法，并使用遗传算法优化控制量与轨迹，但该方法仅在简单的避碰场景中进行了验证。高双等^[5]提出一种可保证欠驱动水面船全时可跟踪的轨迹规划方法，重点解决欠驱动水面船任意初始状态下规划轨迹的可跟踪性与安全问题；李晔等^[6]结合欠驱动船舶运动特性和障碍物参数，提出了基于多约束分析的轨迹规划方法。但上述2种方法均未考虑欠驱船与障碍物间的安全距离，导致规划轨迹碰撞风险较大。总的来说，在障碍物密集的复杂水域中，当前的欠驱船轨迹规划研究仍较为薄弱，现有方法难以同时兼顾欠驱船舶的运动特性与规划轨迹的安全性，导致轨迹规划结果难以直接执行。

为解决上述问题，本文提出一种考虑操纵性约束的复杂水域轨迹规划方法。在全局规划方面，该方法基于A*算法生成的全局路径删除冗余点，并提出了新的局部节点修改策略，以确保欠驱船舶航行的安全性。局部规划方面，本文将动态窗口法的速度采样空间转化为舵角与螺旋桨转速采样空间，并将MMG标准运动模型引入动态窗口算法进行轨迹预测，从而使算法更好地适应欠驱船舶的动态约束。此外，本文还优化了动态窗口法的评价函数，提高了算法的收敛性。试验结果表明，本文方法不仅解决了欠驱船舶初始姿态约束问题，还针对欠驱船舶的运动特性规划出了可跟踪的轨迹，在路径平滑性、安全性和轨迹跟踪精度方面均优于传统方法。

1 MMG船舶运动模型

MMG模型^[7]是一种分离型船舶运动数学模型，它以螺旋桨转速和舵角作为控制参数，能够有效描述欠驱船的操纵特性。MMG模型可以模拟包括船舶操纵、运动和导航等多种因素对船舶运动和路径的影响，该模型将船舶的6个自由度运动分别建模，并通过耦合关系将各独立运动方程联接起来。为简化模型并提高控制系统的有效性，本文仅研究船舶在纵向、横向和艏摇3个方向上的运动。图1为空间固定坐标系$ {o}_{0}-{x}_{0}{y}_{0}{z}_{0} $和船体固定坐标系$ O-xyz $及相应运动参数。

图中，$ \varPsi 、\theta 、r $分别为艏向角、舵角、转艏角速度；$ u\mathrm{和}v $分别为船舶前进时纵向速度和横向速度。不考虑风浪流干扰下，MMG运动模型可表示为^[8]：

$ \left\{\begin{aligned} & \dot{x}=u\mathrm{cos}\varPsi-v\mathrm{sin}\varPsi，\\ & \dot{y}=u\mathrm{sin}\varPsi+v\mathrm{cos}\varPsi，\\ & \dot{\varPsi}=r，\\ & \left(m+m_x\right)\dot{u}-\left(m+m_y\right)vr=X_H+X_P+X_R，\\ & (m+m_y)\dot{v}-(m+m_x)ur=Y_H+Y_P+Y_R，\\ & (I_{ZZ}+J_{ZZ})\dot{r}=N_H+N_P+N_R。\end{aligned}\right. $

(1)

式中：$ m $为船舶质量；$ {m}_{x} $、$ {m}_{y} $分别为船舶在纵向和横向上的附加质量；$ {I}_{ZZ}\mathrm{、}{J}_{ZZ} $分别为船舶的船体艏摇惯性矩及附加惯性矩；$ u\mathrm{、}v\mathrm{、}r $分别为船舶纵向速度与横向速度矢量分量和转艏角速度；$ {X}_{H}\mathrm{、}{X}_{P}\mathrm{、}{X}_{R} $分别为黏性类流体、桨和舵的纵向力；$ {Y}_{H}\mathrm{、}{Y}_{P}\mathrm{、}{Y}_{R} $分别为黏性类流体、桨和舵的横向力；$ {N}_{H}\mathrm{、}{N}_{P}\mathrm{、}{N}_{R} $分别为黏性类流体、桨和转艏力矩。其中，$ {X}_{H} $、$ {Y}_{H} $和$ {N}_{H} $可通过波浪载荷与船体水动力特性求出；$ {Y}_{P} $和$ {N}_{P} $数值较小，本文忽略不记，$ {X}_{P}{、X}_{R} $、$ {Y}_{R} $和$ {N}_{R} $可分别由下式计算得出:

$ {X}_{P}=(1-{t}_{P})\rho {n}^{2}{{D}_{P}}^{4}{K}_{T}\left({J}_{P}\right)，$

(2)

$ X_R=(1-t_R)F_N\mathrm{sin}\theta，$

(3)

$ Y_R=(1+a_H)F_Nz_R\mathrm{cos}\theta，$

(4)

$ N_R=(x_R+A_Hx_H)F_N\mathrm{cos}\theta。$

(5)

式中：$ n、\theta $分别为螺旋桨转速与舵角；$ \rho $为水的密度；$ {t}_{P} $为推力削减系数；$ {K}_{T} $为螺旋桨推力系数；$ {J}_{P} $为螺旋桨推力系数；$ {F}_{N} $为舵的正压力；$ {z}_{R} $为作用在舵上的横向力的垂向坐标；$ {a}_{H} $为船体横向力修正系数；$ {{x}}_{H} $为横向力的作用点到重心距离；$ {{x}}_{R} $作用在舵上的横向力的横向坐标；$ {t}_{R} $为转向阻力减额系数。

相较其它运动模型，MMG船舶运动模型参数更少，且可以详细地反映出欠驱船运动时作用在船体、舵和螺旋桨上的水动力对船舶操纵的影响，更为准确的描述欠驱船在航行过程中的操纵运动状态，满足轨迹规划的实时性需求。

2 考虑操纵性约束的轨迹规划方法

本文提出了一种融合A*算法和改进动态窗口法的轨迹规划方法，算法流程如图2所示。首先根据用户输入的起点、终点，通过A*算法生成全局路径，并根据策略选取局部节点；其次在单位采样时间内构建包含所有可行舵角和转速的操纵空间，并根据采样频率离散出可行的舵角和转速集合。对于每一组可行操纵输入，利用MMG运动学模型预测其运动轨迹并通过评价函数对其进行评估，选择最优操纵指标作为控制器的参考输入。最后，在后续采样时间内不断重复此过程，直至欠驱船舶抵达终点。

2.1 基于A*算法的全局路径规划

A*算法是一种路径规划方法，常用于在包含静态已知障碍物的环境中的全局规划。其核心思想是通过启发函数估算当前节点到目标节点的代价，并以此选择下一个扩展节点。算法通过计算以下值判断节点优劣：

$ F\left(n\right) $：从起点经当前节点到目标点的总代价，计算公式为^[9]：

$ F\left(n\right)=G\left(n\right)+H\left(n\right)。$

(6)

式中：$ G\left(n\right) $为起点到当前节点的实际代价；$ H\left(n\right) $为当前节点到目标点的估算代价。

A*算法在静态环境中性能较优，稳定收敛。本文方法结合了基于A*的全局路径规划方法，通过选取、修改A*路径关键节点引导局部轨迹优化，提升算法的全局规划能力。为得到用于局部路径规划的关键节点，首先通过一种冗余点删除策略^[10]，即删除同一条线上的冗余点和路径上无障碍物2个路径节点之间的冗余点。A*算法生成的全局最优路径进行冗余点删除，使优化后的全局路径仅保留起点、终点和必要的关键节点。冗余点删除后的规划路径不会穿过障碍物的顶点，这避免了“智能体”在运动过程中与障碍物发生碰撞。但欠驱船舶操纵较为困难，且有其最短回转半径，基于A*算法优化后的路径可能无法满足欠驱船舶的转艏要求，存在路径无法跟踪的情况，且可能不满足欠驱船舶航行中避碰的最短安全距离。

为了进一步提高路径对轨迹跟踪的适应性，并确保欠驱船舶航行的安全性，在删除冗余节点的基础上，本文提出了一种节点修改策略，对关键节点位置进行调整，形成更加合理的局部节点位置，具体策略如下：

1）在全局起点位置附近增加局部节点，并依据欠驱船的具体回转半径对节点位置进行调整，使该节点与起点之间距离不小于欠驱船舶实际航行中回转半径，这样确保了欠驱船舶无论初始艏向如何，都能通过旋回航行顺利进入规划轨迹。该策略保证了在欠驱船舶的初始姿态约束下后段轨迹规划路线的统一，更方便对欠驱船舶轨迹跟踪。

2）若障碍物位于回转圆外，在静水的理想条件下，欠驱船舶通过满舵转向即可绕开障碍物。此时，只要距障碍物距离不小于回转半径，欠驱船舶的路径将始终与障碍物保持安全距离。当有节点与障碍物距离过近时，在障碍物一侧选取合适位置修改节点。新节点与障碍物之间距离应稍大于欠驱船实际航行中回转半径，使欠驱船舶可以在抵达该节点附近后的预测轨迹避开障碍物，保证航行的安全性。

2.2 基于改进动态窗口法的局部路径规划

动态窗口法（Dynamic Window Approaches，DWA）是一种应用于局部轨迹规划的算法。其基本原理是在速度空间中进行采样，生成“智能体”的模拟运动轨迹，并结合运动学约束动态确定可行速度窗口。在每个时间步内，DWA根据目标函数对所有候选轨迹进行评估，选择最优轨迹作为“智能体”的当前运动路径。

传统DWA采用的运动学模型仅描述位置、方向角及线速度和角速度等基本状态变量，且无欠驱船舶动力学耦合关系，其规划得出的路径无法满足欠驱船舶实际航行操纵性需求^[11]。为此，本文提出一种结合MMG船舶运动模型的改进动态窗口算法，使轨迹规划结合了欠驱船舶动力学和运动学约束，以生成符合操纵性能的轨迹。

2.2.1 采样空间设计

本文将欠驱船舶的速度约束转化为舵角与转速约束，根据约束进行采样。首先确定初始舵角转速搜索空间，即在任意$ T $时刻，在欠驱船舶转速舵角$ (n,\theta ) $的二维空间中可以形成多组运动轨迹，其构成一个初始的采样空间。相对应的，欠驱船舶也应根据其本身约束，使采样空间缩小到更加准确的区域。以下是欠驱船舶操纵输入的动态采样空间约束。

1）欠驱船舶本身约束

根据欠驱船舶本身的硬件条件和操纵性能，其转速与舵角存在边界限制，此时可采样的转速空间$ {N}_{S} $与舵角空间$ {\theta }_{s} $为：

$ {N}_{S}=\left\{n\right|n\in ({n}_\mathrm{min},{n}_\mathrm{max})\}，$

(7)

$ {\theta }_{s}=\left\{\theta \right|\theta \in ({\theta }_\mathrm{min},{\theta }_\mathrm{max})\}。$

(8)

式中：$ {n}_\mathrm{min}、{n}_\mathrm{max} $分别为欠驱船最小转速和最大转速；$ {\theta }_\mathrm{min}、{\theta }_\mathrm{max} $分别为欠驱船最小舵角和最大舵角。

2）欠驱船舶操纵性能约束

欠驱船舶受其操纵性能约束，其转速和舵角在单位时间内的改变量有最大值，这里认为其最大增量与最大减量数值相同，故考虑操纵性能的转速空间$ {N}_{d} $与舵角空间$ {\theta }_{d} $为：

$ {N}_{d}=\left\{n\right|n\in ({n}_{c}-\dot{n}\Delta t,{n}_{c}+\dot{n}\Delta t)\} ,$

(9)

$ {\theta }_{d}=\left\{\theta \right|\theta \in ({\theta }_{c}-\dot{\theta }\Delta t,{\theta }_{c}+\dot{\theta }\Delta t)\}。$

(10)

式中：$ {n}_{c} $、$ {\theta }_{c} $分别为欠驱船当前时刻的舵角和转速；$ \dot{n} $、$ \dot{\theta } $分别为欠驱船单位时间内舵角和转速的最大改变量。

结合上述控制输入约束，最终的欠驱船舶操纵性能采样空间是以上2个采样空间的交集，即：

$ {N}_{r}={N}_{s}\cap {N}_{d}，$

(11)

$ {\theta }_{r}={\theta }_{s}\cap {\theta }_{d}。$

(12)

2.2.2 轨迹预测方法

为了满足轨迹预测的准确度要求，本文采取了非线性MMG运动数学模型作为欠驱船舶轨迹预测模型。在确定了操纵性约束下欠驱船舶的动态采样空间$ {N}_{r} $、$ {\theta }_{r} $后，根据预先设定的采样分辨率将其离散化。在预测船舶轨迹时，先获取当前的环境信息和船舶的运动状态，并将不同的舵角与转速依次输入到MMG运动数学模型中，算法每次循环都会依据模型求解出设定时长内的本船状态，包括本船位置、艏向和航速等运动数据，从而获得欠驱船舶在不同控制输入下的所有预测轨迹。

2.2.3 轨迹评价函数设计

确定了欠驱船舶轨迹预测范围后，改进算法在预测轨迹后首先进行碰撞检测。对于环境中存在的障碍物，如果预测轨迹与障碍物发生碰撞，则将相应的预测轨迹丢弃。在筛除所有存在碰撞风险的轨迹后，本方法使用轨迹评价函数对剩余轨迹进行量化评价，并循环选取连续的最优轨迹组合直至到达终点作为轨迹规划结果（见图3）。

考虑到欠驱船舶在轨迹规划过程中需要避开障碍物并快速到达目标点，结合其操纵性能。本文设计轨迹评价函数如下：

$ \mathrm{heading}(n,\theta) $为方位角评价函数，用于评价当前转速和舵角下产生的轨迹终点位置方向与目标点连线的夹角的误差$ \Delta \theta $。用180°$ -\Delta \theta $表示其函数值，函数值越大，欠驱船舶更倾向于朝向目标点航行。

$ \mathrm{dist}(n,\theta) $为安全距离评价函数用于评价当前转速与舵角下对应模拟轨迹与障碍物之间的最近距离。函数值越大，欠驱船舶更倾向于避开障碍物。

$ \mathrm{speed}\left(n\right) $为转速评价函数用于评价当前预测轨迹下当前转速。函数值越大，欠驱船舶更快地到达目标点。

根据上述评价标准，得出改进后的评价函数为：

$ G\left(n,\theta \right) = \alpha \cdot {\rm{heading}}\left(n,\theta \right) + \beta \cdot {\rm{dist}}(n,\theta ) + \gamma \cdot {\rm{speed}}\left(n\right)。$

(13)

式中：$ \alpha 、\beta 、\gamma $分别为各项评价函数权重系数。

3 试验结果与分析

为验证引入MMG运动模型的融合A*和改进动态窗口法的轨迹规划方法的有效性和优越性，在不同起始姿态约束下利用该方法进行轨迹规划仿真，与其它不同算法进行数值对比，并利用循迹算法对规划轨迹进行循迹。本文以7米级的KVLCC2国际标模为模型开展仿真实验,该船主要模型参数如下：船长为7.0 m；船宽为1.27 m；吃水深度为0.455 m；螺旋桨直径与舵距之比为0.626。模拟环境地图尺寸为350 m×350 m，起点坐标为(0,0)，终点坐标为(300,300)。算法参数设置如下：最大转速$ n $为60 r/s，最大舵角$ \theta $为±45°，每秒转速最大改变量为30 r/s²，每秒舵角最大改变量为45°/s，初始纵向速度、横向速度和转艏角速度$ {v}_{0} $=[1 m/s,0,0]。根据经验选取权重系数，确定方位角评价函数、安全距离评价函数、转速评价函数的权重系数$ \alpha $、$ \beta 、\gamma $，分别为1.0、0.2、0.2。

3.1 不同起始艏向仿真试验

为验证本文轨迹规划方法的有效性，按照上文设定的仿真参数，首先通过A*算法进行全局路径规划并通过策略选择局部节点，然后分别设置该船以90°、180°和270°等3种不同艏向角作为起始位姿，依次通过局部节点，在同样的场景中获得了欠驱船舶全局规划的轨迹，结果如图4～图7所示。

可知，A*算法在起点与终点之间找到了一条路径成本最小且避开障碍物的全局最优路径。并在全局路径的基础上选取了适用于改进DWA的局部目标点，实时规划的轨迹有效引导欠驱船舶避开障碍物。试验表明，在同样的出发位置和目标下，欠驱船以90°、180°或270°等3种不同艏向角作为起始姿态，其均能按照算法生成轨迹到达首个局部目标点，并保持速度与航向继续前进。且后段轨迹大致相同，方便轨迹跟踪。仿真试验结果验证了本文方法具备复杂水域下的轨迹规划能力。

3.2 不同算法间对比仿真试验

为验证本文改进算法相比其它算法的优势，在同样的场景中实现了仅使用改进DWA、人工选择引导点+改进DWA、节点修改策略+传统DWA及节点修改策略+改进DWA得到规划轨迹，设置船舶起始姿态艏向角为180°。选择的评判标准有3个：累计转角度数、距障碍物最短距离和路径长度。累计转角度数是指欠驱船舶在轨迹中因转向而累积的艏向角变化总和。累计转角度数越小，路径越平缓，对欠驱船舶操纵性的要求越低；与障碍物最短距离体现规划轨迹的安全性，较大的最短距离说明轨迹足够远离障碍物，碰撞风险较低；轨迹长度为所规划轨迹从起点到终点的总距离，长度较短说明循迹所需能耗较小。一组典型的仿真结果如图8所示。

表1所示为上述不同算法间规划性能对比。

可知，在以艏向为180°作为起始位姿时，基于仅使用改进DWA的规划轨迹未到达终点，导致规划失败。基于节点修改策略+传统DWA路径累计转角为541.20°，节点修改策略+改进DWA路径累计转角为398.90°，后者规划轨迹更加平滑，更符合欠驱船舶实际操纵要求。基于人工选择引导点+改进DWA得到的轨迹与障碍物最小距离为4.67 m，风险较大。节点修改策略+改进DWA与障碍物最短距离为12.93 m，基于节点修改策略获得的全局路径点为引导点相较人工经验选择的引导点更可靠。综上，节点修改策略+改进DWA相比其他算法性能更为优越。

3.3 循迹仿真试验

为进一步验证规划轨迹的可行性，利用LOS循迹算法对相同引导点策略下传统DWA与改进DWA的规划轨迹进行了循迹控制仿真。本文选择艏向偏差和横向误差作为评价指标，艏向偏差是欠驱船船艏方向与期望航向之间的夹角差，用于评估欠驱船在航行过程中是否能始终保持正确的航向。横向误差是欠驱船当前位置与期望路径之间的垂直距离，用于评估欠驱船偏离期望路径的程度。仿真结果与偏差变化如图9～图10所示。

由图9可以看出，基于LOS的循迹方法均能实现对2种算法规划航迹的跟踪。然而，由于起始艏向的影响，传统DWA在第一个转弯处出现了较大的艏向偏差，导致欠驱船难以适应该路径；相比之下，改进DWA的艏向偏差较小，其循迹路径与规划轨迹基本重合。由图10可以得到，传统DWA的横向偏差均方误差为82.96，偏差峰值为26.84 m；改进DWA的横向偏差均方误差仅为5.91，峰值为6.63 m。在艏向跟踪方面，传统DWA的偏差均方误差为358.51，峰值为59.62°，而改进DWA的均方误差为250.56，峰值为47.13°。改进方法相较于传统方法在循迹精度上有所提升，由此可见，引入MMG船舶运动模型的改进DWA所规划轨迹更加符合欠驱船舶的运动特性，能够更好地满足循迹算法输入需求，服务智能航行。

4 结　语

本文针对欠驱船舶在复杂水域中的轨迹规划难以满足其运动特性问题，提出了一种基于改进动态窗口法的轨迹规划方法。采用A*算法完成引导全局路径并选取局部节点后，本文通过将MMG运动模型引入DWA中，并结合欠驱船舶的舵角与螺旋桨转速操纵约束，优化了DWA的采样空间和轨迹预测过程。仿真结果表明，在障碍物密集的复杂水域下，本文方法可以规划出一条符合欠驱船舶运动特性的平滑且安全的轨迹。通过与传统方法的对比试验进一步验证了本文方法在路径平滑性、安全性和轨迹跟踪精度方面表现出的优势。