0 引　言

在船舶设计领域，复杂曲面部件是决定船舶综合性能的核心要素−船艏/船尾曲面直接影响航行阻力与兴波特性，螺旋桨叶面关乎推进效率与空化风险，舵叶曲面则对操纵稳定性起关键作用，这些部件的几何形态与船舶航行性能、稳性及制造经济性存在强关联。然而传统船舶曲面设计长期依赖经验驱动的迭代模式，如基于母型船的局部改造，不仅参数化程度低、设计周期长，还难以平衡低阻与高稳性等多目标优化冲突，人工试算的局限进一步导致优化效率与精度不足^[1]。在此背景下，智能优化算法为突破瓶颈提供了新路径，相较于遗传算法（GA）、粒子群优化（PSO），微分进化（DE）算法在处理高维非线性问题时展现出更优的鲁棒性与全局搜索能力，其对多变量优化场景的适配性，恰好契合船舶复杂曲面设计的技术需求^[2]。

从技术发展脉络来看，船舶复杂曲面设计技术已逐步从传统经验设计向数字化、性能驱动方向演进：NURBS曲面建模技术凭借对复杂几何形态的精准表达能力趋于成熟，计算流体力学（CFD）与设计流程的耦合推动了性能驱动设计的应用，多学科设计优化（MDO）虽被引入船舶领域以整合多性能目标，但在多学科耦合精度与计算效率上仍存在瓶颈。与此同时，微分进化算法的研究也在持续深化，传统DE算法因缩放因子F、交叉概率CR等参数的敏感性，易出现早熟收敛、高维降效等问题，学界已通过自适应DE、混合DE等改进方向提升其优化性能，且DE算法在机械领域复杂曲面优化中的成功应用，为其向船舶领域迁移提供了可借鉴的技术范式^[3]。

尽管相关技术已有一定发展，但是在多目标（阻力/稳性/制造性）DE优化中，Pareto最优解的排序逻辑与工程化决策机制仍不明确，难以有效筛选出兼顾性能与实用性的设计方案。本文在此基础上，提出一种基于DE算法的船舶复杂曲面设计与优化方法。

1 标准微分进化算法的原理与特性

标准微分进化（DE）算法是由Storn和Price于1997年提出的种群智能优化算法，其核心通过模拟生物进化中的变异、交叉与选择机制实现全局最优解搜索，数学逻辑可概括为基于种群个体差异驱动的迭代更新过程。算法的核心流程始于初始化阶段，设优化问题的变量维度为D，种群规模为NP（通常取50～100），则第G代种群可表示为$ {X_G} = \{ {x_{1,G}},{x_{2,G}},..., {x_{NP,G}}\} $，其中每个个体$ x_{i,G}=(x_{i1,G},x_{i2,G},...,x_{iD,G})^{\mathrm{T}} $，$ X_i^G $表示第G代种群中的第i个个体，$ x_{id}^G $表示第G代种群中第i个个体的第d维变量，通过均匀分布随机生成，且满足变量边界约束$ {x}_{j,\text{min}}\leqslant {x}_{ij,G}\leqslant {x}_{j,\text{max}}，j=1,2,\mathrm{...},D $，此阶段旨在构建覆盖可行域的初始解空间。

初始化完成后进入迭代优化环节，首要步骤为变异操作，其核心是利用种群中不同个体的差异向量生成变异向量$ {v_{i,G}} $。典型变异策略如“rand/1”可表示为：

$ {v_{i,G}} = {x_{r_{1},G}} + F \cdot ({x_{r_{2},G}} - {x_{r_{3},G}})。$

(1)

其中：$ V_i^G $为第G代种群中第i个变异向量；$ X_{r1}^G $、$ X_{r2}^G $、$ X_{r3}^G $分别为第G代种群中随机选取的3个不同个体，r₁,r₂,r₃为互不相等且不等于i的随机索引；F为缩放因子，用于控制变异步长。变异操作后执行交叉步骤以维持种群多样性，二项式交叉通过逐维判断实现基因重组：若随机数$ rand(0,1) < CR $或维度索引$ j = {j_{{\text{rand}}}} $（随机选定的强制交叉维度），则$ {u_{ij,G}} = {v_{ij,G}} $，否则$ {u_{ij,G}} = {x_{ij,G}} $；

指数交叉则生成连续的变异基因片段，这个片段可以表示为：

$ {u_{ij,G}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_{ij,G}},}&{j = {j_0},{j_0} + 1,...,{j_0} + L - 1} ，\\ {{x_{ij,G}},}&{\text {其他}} 。\end{array}} \right. $

(2)

其中：L为服从几何分布的交叉长度。最终的选择操作采用贪婪准则，若试验向量$ {u_{i,G}} $的适应度$ f({u_{i,G}}) \leqslant f({x_{i,G}}) $，则$ {x_{i,G + 1}} = {u_{i,G}} $，否则保留原个体，通过优胜劣汰机制驱动种群向最优解进化。

算法性能高度依赖关键参数设置，其参数敏感性可通过数学分析与实验验证共同揭示。其中，缩放因子F用于控制变异步长，取值范围为0.4～0.9：当F<0.4时，算法易陷入局部最优解，难以搜索到全局最优；当F>0.9时，算法搜索步长过大，可能跳过全局最优解，引发发散震荡现象。交叉概率CR决定变异基因的传递比例：当CR趋近1时，算法收敛速度加快，但种群多样性会随之下降，易导致搜索早熟；当CR趋近0时，虽能有效保留种群多样性，避免过早收敛，却会显著降低算法的搜索效率。种群规模NP与迭代次数G需协同平衡以兼顾搜索效果与计算成本：NP需根据变量维度D确定，通常取5 D～10 D；若NP过小，解空间覆盖不足，易遗漏潜在最优解；若NP过大，则会大幅增加计算量，提升硬件资源消耗，降低算法运行效率。

传统DE算法的固有局限性使其在复杂工程优化中面临挑战。高维变量场景下搜索空间呈指数级扩张，个体差异向量的随机性增强，导致有效搜索方向缺失，算法收敛速度随维度增加呈多项式级下降。多目标优化中，标准DE缺乏专门的非支配解排序与多样性保持机制，仅通过适应度值比较难以区分Pareto最优解的优劣，易出现解集聚现象，导致Pareto前沿分布不均匀。对于船舶复杂曲面设计的优化而言，由于约束较多且较为复杂，标准DE无内置约束处理模块，若直接采用罚函数法，需人工设定罚因子，不仅依赖经验且易导致可行域搜索陷入局部停滞，无法有效平衡约束满足度与目标优化精度。

1.1 船舶曲面优化与DE算法的适配性分析

船舶复杂曲面优化的核心是通过调整几何参数实现性能提升，其变量维度直接由曲面参数化方法决定。工程中普遍采用NURBS（非均匀有理B样条）进行曲面建模，该方法通过控制顶点、权因子与节点向量构建几何形态，其中控制顶点坐标是最核心的优化变量。以船艏曲面为例，若采用16个控制顶点描述曲面拓扑结构，每个顶点包含x、y、z三个方向的坐标参数，则优化变量维度为48 ；若考虑螺旋桨叶面等更复杂曲面，控制顶点数量可增至30个以上，变量维度超过90，形成典型的高维优化问题。这种参数化映射关系可表示为：

$S(u,v) = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^m {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^n {{N_{i,p}}} } (u){N_{j,q}}(v){w_{ij}}{P_{ij}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^m {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^n {{N_{i,p}}} } (u){N_{j,q}}(v){w_{ij}}}}。$

(3)

其中：$ S\left( {u,v} \right) $为NURBS曲面上的点；u、v为参数域变量；$ {P_{ij}} $为控制顶点坐标（优化变量）；$ {N_{i,p}}(u) $、$ {N_{j,q}}(v) $为B样条基函数；$ {w_{ij}} $为权因子，通过调整$ {P_{ij}} $可连续改变曲面形态$ S(u,v) $，为DE算法提供了清晰的优化对象。

DE算法的本质特性与船舶曲面的非线性优化需求具有天然适配性。船舶曲面的核心性能指标（如航行阻力、推进效率）与几何参数间存在强非线性映射关系，以兴波阻力为例，其值$ {R_w} $与船艏曲面的排水体积V、傅汝德数Fr及型线参数λ的关系可近似表示为：

${R_w} = f(V,Fr,\lambda ) = {C_w}(Fr,\lambda ) \cdot \frac{1}{2}\rho {V^2}S。$

(4)

其中：C_w为兴波阻力系数，其与型线参数λ的非线性特征导致传统梯度优化方法易陷入局部最优。而DE算法通过种群迭代实现全局搜索，无需依赖目标函数的梯度信息，可有效捕捉非线性映射中的全局最优区域。对于“低阻力-高稳性”等多目标冲突问题，DE算法的种群多样性使其能够同时生成多个非支配解，形成覆盖不同性能权衡关系的Pareto解集，这与船舶设计中“性能均衡”的工程需求高度匹配——相较于遗传算法（GA）的基因重组随机性，DE的差异变异机制能更稳定地维持解的多样性，为后续工程决策提供更丰富的选择空间。

1.2 改进DE算法

在船舶曲面优化场景中，传统DE算法面临显著适配瓶颈：一方面，CFD等性能评估手段耗时较长，叠加船舶曲面参数化（如NURBS控制顶点）带来的高维变量特性，导致算法迭代周期大幅延长^[4]；另一方面，制造约束的非凸性特征会限制可行域搜索，且多目标优化（如阻力-稳性-制造性）中易出现非支配解分布不均、权重固定，导致优化偏向性等问题，难以满足工程需求^{[5 − 6]}。为此，需从高维问题处理与多目标优化两方面对DE算法进行针对性改进。

1）针对搜索效率下降的算法改进

针对高维变量导致的搜索效率下降问题，首先采用基于PCA的变量维度约简方法，图1为DE算法改进流程图：通过分析船舶曲面参数化变量（NURBS控制顶点坐标）的相关性，提取主成分并将高维变量映射至低维主成分空间，在保留核心几何信息的前提下，大幅降低搜索复杂度。其次引入分层DE搜索策略，将迭代过程分为“粗搜-精搜”两阶段：第一阶段采用大缩放因子（F=0.8～0.9）与大交叉概率（CR=0.7～0.9），以保证种群多样性，快速定位性能较优的可行域；第二阶段切换为小缩放因子（F=0.4～0.6）与小交叉概率（CR=0.2～0.4），聚焦最优解邻域进行精细搜索，提升收敛精度。

2）针对多目标优化的算法改进

针对多目标优化的核心痛点，首先构建融合NSGA-Ⅱ的多目标DE（NSDE）：引入NSGA-Ⅱ的非支配排序机制，对种群按性能优劣分级，同时结合拥挤度计算量化解的分布密度，避免“Pareto前沿塌陷”−在船舶曲面“阻力-稳性-制造性”多目标优化中，NSDE生成的Pareto最优解分布均匀性较标准DE提升40 %，覆盖更多性能权衡场景，如图2所示。

2 仿真验证

为全面验证改进微分进化算法在船舶曲面优化中的优势，选取传统DE算法、改进DE算法与BP神经网络优化算法三类方法展开对比。传统DE算法保留原始变异、交叉、选择机制，作为基准对照。改进DE算法融合主成分分析降维的高维处理策略，并嵌入非支配排序遗传算法Ⅱ的非支配排序机制，以应对多目标需求。BP神经网络优化算法则以船舶曲面参数为输入、性能指标为输出，依靠梯度下降更新网络参数实现优化。

实验以船艏非均匀有理B样条曲面为优化对象，围绕兴波阻力、初稳性高度与制造复杂度3个目标展开评估。兴波阻力反映船舶航行能耗，初稳性高度表征稳性且需满足规范并尽可能大，制造复杂度综合曲面光顺度与加工特征数量，取值范围1到10，1代表最低复杂度。对比维度包括收敛速度、多目标分布均匀性、计算耗时与最终最优解性能。收敛速度通过迭代次数与目标性能变化关系衡量；多目标分布均匀性采用Spacing指标，指标值越小表明Pareto前沿分布越均匀；计算耗时记录单次优化从初始化到输出结果的累计时间，涵盖算法迭代与计算流体力学仿真等环节；最终最优解性能则统计兴波阻力降低率、初稳性高度提升率与制造复杂度改善率，以确保评估的全面性与工程指导性。

1）不同算法的兴波阻力对比

图3为不同算法的兴波阻力对比结果，对比可以发现：改进DE算法的兴波阻力随迭代推进下降速度最快，迭代约40代后快速趋近并稳定在100 kN以下，优化效率与最终效果最优；BP神经网络算法的兴波阻力下降幅度次之，迭代后逐步稳定在约108 kN左右；传统DE算法的兴波阻力下降相对缓慢，且最终稳定在约113 kN左右，优化效果弱于BP神经网络算法与改进DE算法。

2）不同算法的初稳性高度对比

图4为不同算法的初稳性高度对比结果，对比可以发现：传统DE算法迭代100代后，将初稳性高度提升至2.05 m；改进DE算法因融合多目标优化的非支配排序机制，能更高效平衡性能目标，迭代100代时初稳性高度达到2.25 m，提升幅度远高于传统DE；BP神经网络优化算法对初稳性高度的提升相对平缓，迭代100代仅提升至1.98 m，在稳性优化方面表现不佳。

3）不同算法的制造复杂度对比

图5为不同算法的制造复杂度对比结果，对比可以发现：制造复杂度数值越小代表难度越低，传统DE算法迭代100代后将复杂度降至5.9 ；改进DE算法借助对制造约束的适配性改进，能更精准搜索低复杂度可行域，100代时复杂度降至4.8 ，有效简化了船舶曲面的制造难度；BP神经网络优化算法在制造复杂度优化上进展缓慢，迭代100代仅降至6.3 ，对制造工艺友好性的提升效果不及DE算法。

3 结　语

本研究针对船舶复杂曲面设计中传统经验驱动模式效率低、多目标优化难平衡的问题，结合微分进化（DE）算法的全局搜索优势开展优化方法研究，对突破船舶曲面设计瓶颈、提升船舶综合性能与设计工程化水平具有重要意义。研究成果可广泛应用于散货船、集装箱船等主流船型的船艏/船尾曲面优化，也可拓展至螺旋桨叶面、舵叶曲面等关键部件的设计过程，为海事工程领域复杂曲面智能优化提供技术支撑。具体结论如下：

1）通过整合主成分分析（PCA）降维策略与分层搜索逻辑，同时嵌入非支配排序遗传算法Ⅱ（NSGA-Ⅱ）的多目标处理机制，构建了适配船舶曲面优化场景的改进DE算法，有效解决了传统DE算法在高维变量下搜索效率低、多目标解分布不均的核心问题，实现了算法与船舶曲面优化需求的深度适配。

2）经仿真验证，改进DE算法在船舶曲面关键性能优化上表现突出，相较于传统DE算法与BP神经网络优化算法，其在收敛速度、目标优化精度上均展现明显优势，能够更高效地平衡船舶航行性能与制造可行性，为工程实践提供更优的设计方案。