水下无源声呐目标识别利用接收到的目标辐射噪声或发射信号来实现目标的分类识别，其特点是不依赖自身发射信号，能够在水下作战中实施隐蔽攻击，从而争取战场主动权。该技术对智能化鱼雷、水雷等武器系统也具有重要意义^[1]。在无源声呐的目标分类识别中，舰船辐射噪声特征提取是关键步骤，科研人员研究了多种舰船辐射噪声连续谱和线谱特征提取方法。陈玉胜等^[2]系统阐述了水声目标识别的基本原理和方法，提取了舰船辐射噪声的调制谱、线谱等多种特征；张雨萌^[3]提出了基于稀疏表示、深度学习的舰船辐射噪声DEMON谱特征提取方法；李新^[4]基于Welch功率谱估计法，提取了舰船辐射噪声功率谱特征；李岩洲等^[5]将舰船辐射噪声的线性频率谱和3种听觉谱构建为二阶张量谱特征，实现了舰船辐射噪声的分类识别；沈鑫玉等^[6]采用变分模态分解方法分解舰船辐射噪声后，提取了舰船辐射噪声的线谱特征。

从分类识别效果看，上述谱特征在各自的检验背景下均取得了较好的性能，表明谱特征是舰船辐射噪声的重要表征。然而，谱的分辨率与分类识别系统计算量始终存在矛盾关系。提高谱分辨率意味着分类识别系统需要承担更大的计算负担。传统的特征提取方法通常是在固定的变换域上对信号进行表示，是将信号映射到一组完备正交基上的方法。一旦变换域的基函数确定，信号在该变换域上的表示也就固定不变。但如果设定的变换域基函数不能反映信号的本质特征，那也就不能获得期望的特征表示，也就是说，基函数的构造在整个特征提取过程中至关重要。1992年，Coifman等^[7]提出了稀疏分解的概念，通过构建更加完备的稀疏基，结合稀疏分解优化问题，可以在一定程度上揭示信号中所蕴含的本质特征。因此引起了许多学者的兴趣，成为信号界一个非常引人关注的研究领域，并在多个领域都有重要的应用^{[8 - 12]}。研究表明^[13]，舰船辐射噪声在某些基下具有良好的稀疏性，稀疏特征具有较好的分类识别效果，如果能构造反映目标本质特性的稀疏分解基，则可望得到更加鲁棒的分类识别效果。

基于功率谱特征的有效性，并借鉴稀疏表示在其它领域的成功应用，基于傅里叶变换构造了舰船辐射噪声频率线性变化和非线性变化2种稀疏基，根据信号基分解和稀疏表示的原理，提取了舰船辐射噪声的常规功率谱特征、线性频率基分解稀疏谱特征、非线性频率基分解稀疏谱特征、线性频率稀疏系数谱特征、非线性频率稀疏系数谱特征、线性频率稀疏重构功率谱特征和非线性频率稀疏重构功率谱特征共7种特征，其中非线性频率基分解稀疏谱特征和非线性频率稀疏系数谱特征与常规功率谱特征相比，在特征维数相同条件下展现出更高的低频频率分辨率，能够提取更多的低频信息。在海上实录舰船辐射噪声的分类识别检验中，提取的稀疏谱特征表现出更高的正确分类识别概率，对提升无源声呐目标指示能力具有重要意义。

Coifman等^[7]提出的稀疏表示（也常称为稀疏分解）为信号表示提供了更加灵活、简洁的方式。假定一个基函数的集合$ \varPsi =\left\{{g}_{k}：k=1,2,\cdots ,M\right\} $，如果$ M \geqslant N $（$N$为空间维数），称集合$ \varPsi $为稀疏基，元素$ {g_k} $称为基函数（$ M $为基函数的总个数）。对于任意的信号$ X = {\left[ {x(1),x(2), \cdots ,x(N)} \right]^{\text{T}}} \in {R^N} $，可以在稀疏基$ \varPsi $中自适应地选取$ K $个基函数对信号$ X $做$ K $项逼近，即

式中：$ {I_K} $为$ {g_k} $的下标集，$ {a_k} $为稀疏表示系数。若$ K $远小于空间的维数$ N $，式(1)定义的逼近称为稀疏逼近。令$ \Theta = {\left\{ {{a_k}} \right\}_{k \in {I_K}}} $，则称系数$ \Theta $为信号$ X $在稀疏基$ \varPsi $上的稀疏表示。通过解式(2)所示的优化问题则可求得稀疏系数$ \Theta $，实现信号的稀疏分解。

式中：$ f(\Theta ) $为稀疏性度量函数。实际应用中可用$ {L_p} $范数、归一化峰度函数、对数范数、双曲型函数等作为稀疏性度量函数。

通过上面稀疏表示模型不难发现，要想在稀疏基中获得高度非线性逼近的好结果，稀疏基的构建和稀疏表示算法是关键。稀疏基的构造可分为二大类，即传统的构造方法和基于训练的方法。传统的构造方法如利用已有的变换基构造基函数、根据信号自身结构特点构造基函数等；基于训练的方法如最佳方向算法、广义PCA算法及联合正交基算法等。本文在稀疏基构造时采用传统的构造方法，即基于傅里叶变换基实现稀疏基构造。稀疏表示算法包括基追踪（Basis Pursuit，BP）算法、匹配追踪（Matching Pursuit，MP）算法和K-SVD算法等^{[14 - 15]}。本文在稀疏分解时采用正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法来求解稀疏分解优化问题。

傅里叶变换是信号处理领域经典的变换域方法。其正变换将信号从时域形式$ x(t) $变换到频域形式$ y(j\Omega ) $，反变换则将信号从频域形式$ y(j\Omega ) $变换到时域形式$ x(t) $，如下式：

根据式(3)，将指数函数$ {e^{ \,j2{\text{π}} ft}} $作为稀疏基$ \varPsi $的基函数$ {g_k} $，即：

式中：$M$为基函数的总个数；${f_k}$为第$k$个基函数对应的频率；${f_1}\left( {{f_1} \geqslant 0} \right)$为基函数的最低频率；${f_M}$$\left( {{f_M} \leqslant \dfrac{{{F_s}}}{2}} \right)$为基函数的最高频率；${F_s}$为信号的采样频率；$N$为基函数的长度（等于信号的长度）。

一般情况下，基函数的最低频率${f_1}$和最高频率${f_M}$根据无源声呐的工作频段$ [f_{\mathrm{min}} \quad f_{\mathrm{max}}] $设定，其中$ f\mathrm{_{min}} $为声呐工作最低频率，$ f\mathrm{_{max}} $为声呐工作最高频率，基函数频率的变化按式(5)所示的线性变化（简称线性频率）。

通过对舰船辐射噪声频谱分析，发现舰船辐射噪声的能量主要集中在低频段，低频段信号传播距离远，并能更好地反映目标的频域特征。因此，在特征提取过程中应更多关注低频段特征，即${f_k}$在低频段应分布密集一些，而在高频段可适当稀疏一些。借鉴听觉模型提取舰船辐射噪声特征的优势，提出频率${f_k}$按照Patterson-Holdworth耳蜗模型进行非线性变化（简称非线性频率），如式(6)。与线性频率变化相比，在特征维数相同的情况下，非线性频率变化能更有效地提取舰船辐射噪声的低频特征信息。

式中：$Q$为滤波器高频处的渐近品质因子，取$Q = 9.26\;449$；$W$为低频通道的最小带宽，取$W = 24.7$。

从稀疏表示模型可看出，信号$ X $和信号在$ \varPsi $域的稀疏表示系数$ \Theta $均是信号的2种表示，即稀疏表示系数$ \Theta $表征了信号$ X $的特征，因此，如果信号$ X $为舰船辐射噪声，则其稀疏表示系数$ \Theta $就可作为分类识别的特征。另外，研究表明，稀疏表示可以用来对信号进行降噪，因此也可将稀疏表示作为舰船辐射噪声特征提取前的降噪处理方法，对稀疏表示重构后的信号再进行特征提取。完整的舰船辐射噪声稀疏谱特征提取流程如图1所示。

图 1 稀疏谱特征提取 Fig. 1 Sparse spectrum feature extraction

具体实现步骤如下：

步骤1　对舰船辐射噪声信号$X$带通滤波后进行有部分信号重叠的分段（论文中分段时每段信号重叠一半）。带通滤波器的频带范围根据无源声呐分类识别的频段设定，分段后的信号用${x_h}\left( {h = 1,2, \cdots ,H} \right)$表示，每段信号长度为$N'$，总信号段数为$H$。

步骤2　直接采用周期图法对每段信号${x_h}$进行功率谱估计，用${P_h}$表示第$h$段信号的功率谱特征。然后，将所有$H$段信号的功率谱特征${P_h}$求和，得到辐射噪声的功率谱特征，即$P = \displaystyle\sum\limits_{h = 1}^H {{P_h}} $。

步骤3　根据式(4)所示稀疏基的基函数表达式，构造稀疏分解的稀疏基$ \varPsi $并对构造好的稀疏基进行Gram-Schmidt正交化，当频率线性变化时构造的基称为线性频率稀疏基，频率非线性变化时构造的基称为非线性频率稀疏基（稀疏基构造中频率变化的间隔根据特征提取时确定的基函数总数确定）。

步骤4　根据基分解的思想^[14]，对信号${x_h}$按式(7)计算得到第$h$段信号的基分解稀疏谱特征${P_{Dh}}$，对所有$H$段信号的基分解稀疏谱特征${P_{Dh}}$求和，得到辐射噪声的基分解稀疏谱特征，即${P_D} = \displaystyle\sum\limits_{h = 1}^H {{P_{Dh}}} $。当稀疏基频率线性变化时，基分解稀疏谱特征称为线性频率基分解稀疏谱特征$ {P}_{线性D} $；当稀疏基频率非线性变化时，基分解稀疏谱特征称为非线性频率基分解稀疏谱特征$ {P}_{非线性D} $。

式中：$ {\varPsi ^ + } $为稀疏基$ \varPsi $的伪逆。

步骤5　按式(8)所示优化问题，对每段信号${x_h}$采用OMP算法求解出信号${x_h}$的稀疏表示系数$ \Theta $，稀疏性度量函数采用${L_1}$范数，并将稀疏表示系数作为第$h$段信号的稀疏系数谱特征${P_{Sh}}$，对所有$H$段信号的稀疏系数谱特征${P_{Sh}}$进行求和，得到辐射噪声的稀疏系数谱特征，即${P_S} = \displaystyle\sum\limits_{h = 1}^H {{P_{Sh}}} $。当稀疏基频率线性变化时，稀疏系数谱特征称为线性频率稀疏系数谱特征$ {P}_{线性S} $，当稀疏基频率非线性变化时，稀疏系数谱特征称为非线性频率稀疏系数谱特征$ {P}_{非线性S} $。

步骤6　根据步骤5计算得到第$h$段信号的稀疏表示系数$ \Theta $，结合稀疏基重构出第$h$段信号，即$ {\hat x_h} = \varPsi \Theta $。然后，使用周期图法对重构的第$h$段信号$ {\hat x_h} $进行功率谱估计，得到第$h$段信号的稀疏重构功率谱特征${P_{SRh}}$。对所有$H$段信号的稀疏重构功率谱特征${P_{SRh}}$求和，得到辐射噪声的稀疏重构功率谱特征，即${P_{SR}} = \displaystyle\sum\limits_{h = 1}^H {{P_{SRh}}} $。当稀疏基频率线性变化时，稀疏重构功率谱特征称为线性频率稀疏重构功率谱特征$ {P}_{线性SR} $；当稀疏基频率非线性变化时，稀疏重构功率谱特征称为非线性频率稀疏重构功率谱特征$ {P}_{非线性SR} $。

通过上述稀疏谱特征提取方法，可获得舰船辐射噪声的功率谱特征$P$、线性频率基分解稀疏谱特征$ {P}_{线性D} $、非线性频率基分解稀疏谱特征$ {P}_{非线性D} $、线性频率稀疏系数谱特征$ {P}_{线性S} $、非线性频率稀疏系数谱特征$ {P}_{非线性S} $、线性频率稀疏重构功率谱特征$ {P}_{线性SR} $和非线性频率稀疏重构功率谱特征$ {P}_{非线性SR} $共7种谱特征。

为了验证上述稀疏谱特征在实际舰船辐射噪声分类识别中的正确分类识别效果，利用已知标签的海上实录目标信号数据集进行检验。实验验证数据集来自海上实录的两类水中目标辐射噪声（Ⅰ类和Ⅱ类），并在不同工况和水文气象条件下采集，共计16184个样本，每个样本长度4 s，第Ⅰ类样本1555个，第II类样本14629个。为了构建训练集，从所有样本中每间隔10个选取1个作为训练样本，余下的样本作为测试样本。因此，训练样本集包含156个第Ⅰ类样本和1463个第Ⅱ类样本，共计1619个样本；测试样本集包含1399个第I类样本和13166个第Ⅱ类样本，共计14565个。通过多次实验，最终确定稀疏基构造时基函数的总数为730个，分类算法采用最近邻分类算法。不同特征对测试样本集中各类目标及总体的正确分类识别概率如表1所示。表1中“总体”项表示特征对所有测试样本的正确分类识别概率。

表 1(Tab. 1)

表 1 测试样本集各类目标和总体的正确分类识别概率（%） Tab. 1 Correct classification recognition probability of each type of target and the overall test sample set 特征 第Ⅰ类 第Ⅱ类 总体 功率谱$P$ 70.69 96.21 93.76 线性频率基分解稀疏谱$ {P}_{线性D} $ 85.49 97.29 96.16 非线性频率基分解稀疏谱$ {P}_{非线性D} $ 86.78 97.90 96.83 线性频率稀疏系数谱$ {P}_{线性S} $ 87.49 88.72 88.60 非线性频率稀疏系数谱$ {P}_{非线性S} $ 86.99 94.69 93.95 线性频率稀疏重构功率谱$ {P}_{线性SR} $ 72.05 95.17 92.95 非线性频率稀疏重构功率$ {P}_{非线性SR} $ 65.40 94.57 91.77

表 1 测试样本集各类目标和总体的正确分类识别概率（%） Tab.1 Correct classification recognition probability of each type of target and the overall test sample set

从表1所示的测试样本集每类目标和总体的正确分类识别概率可看出：

1）不同谱特征均得到了较高的正确分类识别概率，进一步验证了功率谱是舰船辐射噪声重要特征的表征；

2）基分解稀疏谱和稀疏系数谱特征相比常规功率谱特征具有更高的正确分类识别概率，在舰船辐射噪声分类识别中的应用前景比较乐观；

3）频率非线性变化相比频率线性变化，提取特征的低频信息更加丰富，在不增加特征维数的情况下得到了更高的正确分类识别概率。

水下无源声呐智能化需要舰船辐射噪声的分类识别技术，实现该技术的关键步骤是特征提取。考虑到功率谱是舰船辐射噪声特征的重要表征，将傅里叶变换中的指数函数作为稀疏基函数，通过线性和非线性离散化其频率因子，构建了舰船辐射噪声线性频率和非线性频率稀疏基，提取了舰船辐射噪声的线性频率基分解稀疏谱特征、非线性频率基分解稀疏谱特征、线性频率稀疏系数谱特征、非线性频率稀疏系数谱特征、线性频率稀疏重构功率谱特征和非线性频率稀疏重构功率谱特征，其中非线性频率基分解稀疏谱特征和非线性频率稀疏系数谱特征与常规功率谱特征相比，在相同特征维数条件下，稀疏谱特征提取方法能提高低频频率分辨率，提取舰船辐射噪声更多的低频特征信息。在海上实录舰船辐射噪声的分类识别对比检验中，稀疏谱特征表现出较高的分类识别准确性，特别是非线性频率基分解稀疏谱特征，其性能更加优越。需要说明的是，稀疏基构造过程中，基函数的数量是通过多次实验确定的，即频率细化的步长是经验获得。如何确定最佳的步长，以确保分类识别的准确性并避免增加分类识别系统的计算量，仍需进一步研究。