0 引　言

船艇振动的激励源具有较高的功率和较宽的频率范围，其振动以反对称Lamb波的方式在结构中传播，随后向空气和水域中扩散，这对船舶的舒适性和舰艇的隐蔽性造成了严重影响。因此，如何有效减振成为国内外学者广泛关注的研究热点^{[1 − 4]}。

周期结构带隙产生的机理主要包括Bragg散射型和局域共振型。其中，Bragg散射型主要由结构的周期性引起，局域共振型主要是单个散射体的共振特性起主导作用。LIU等^[5]首次提出局域共振机理，发现由周期性排列的低密度球体嵌入基体材料所构成的结构可以产生显著的低频带隙，这种低频带隙由局域共振效应引起，比相同尺寸的Bragg散射效应引起的带隙频率降低了2个数量级。温激鸿等^{[6, 7]}研究了声子晶体的振动带隙特性及其在工程减振领域的应用，分析了不同参数对带隙范围和减振效果的影响，发现周期性结构能够有效阻止特定频率范围内的振动传播。郁殿龙等^[8]对二维薄板的振动特性进行了研究，分析了材料参数和结构周期性对振动控制的影响，并提出了优化设计方案。Chen等^{[9 − 11]}探讨了一种基于局域共振原理的结构中反对称Lamb波的传播机制，发现该结构能够在特定范围内产生带隙，有效抑制振动传递。李寅等^[12]对板的弯曲波带隙及减振降噪特性进行了研究，分析了结构参数对带隙的影响，发现特定拓扑设计可以拓宽带隙范围，提高减振效果。

基于局域共振原理的减振方法因其优异的性能和潜在的工程价值，近年来倍受关注。Cremer 等^[13]采用阻振质量的方法对结构进行减振分析，系统地研究了振动传递的机制及其对工程应用的影响，为后续的减振设计提供了理论基础。Li等^[14]对船体板结构采用周期性设计并计算其能带结构，深入探讨了板架结构的减振机制。孙勇敢等^[15]通过有限元分析，研究了周期性加筋板的带隙特性，并对其结构参数对带隙的影响进行了分析。周强等^[16]研究了阻振结构在低频隔振中对船舶结构的影响，并提出通过优化阻振结构设计，可以显著提高低频振动的隔离效果。夏兆旺等^[17]基于阻振质量的概念，提出在船舶基座结构中引入阻振质量可以显著提升减振效果，并探讨了如何利用周期性加肋和阻振质量相结合的方法优化船舶结构的振动控制。

本文基于局域共振原理，针对船体板振动传递问题，以敷设周期性阻振质量块的板为研究对象，求解其晶格结构能带特性，并深入探讨弯曲波带隙的产生机理。通过系列试验和有限元相结合的方法，在一维和二维板上敷设周期性阻振质量块，对其减振效果进行研究，并与等质量光板进行对比，为新一代船艇的减振设计提供理论指导和技术支撑。

1 周期性阻振质量块 1.1 结构尺寸与材料参数

板结构由多个包含阻振质量块的单元构成，各个单元沿着x和y方向进行周期性排列，如图1所示。晶格常数为每个单元晶胞的边长，分别为a_x和a_y，板厚为t。阻振质量块由橡胶和钢块组成，其中橡胶的直径为d₁，高度为h₁；钢块的直径为d₂，高度为h₂。钢材料的密度、弹性模量和泊松比分别为ρ=7850 kg/m³、E=210 GPa和υ=0.3；橡胶的密度、弹性模量和泊松比分别为ρ=1300 kg/m³、E=0.002 GPa和υ=0.47。

1.2 周期性阻振质量块的减振原理

当结构在2个正交方向上具有周期性时，常将2个具有周期性的方向组成的平面取为xoy平面，轴向取为z方向。由于z方向介质的均匀性，假设弹性波在xoy平面内传播时介质的位移只与x和y有关，而与z坐标无关。此时，xoy平面内与z方向上的波动方程可以解耦，分别为：

$ \begin{split} \rho \left( r \right)\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {t^2}}} =& \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\lambda \left( r \right)\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial y}}} \right)} \right] + \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {2\mu \left( r \right)\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}} \right] +\\ &\frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\mu \left( r \right)\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right)} \right]，\\[-1pt] \end{split}$

(1)

$ \begin{split} \rho \left( r \right)\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}} =& \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\lambda \left( r \right)\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial y}}} \right)} \right] + \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {2\mu \left( r \right)\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial y}}} \right] + \\ &\frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\mu \left( r \right)\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right)} \right]，\\[-1pt] \end{split}$

(2)

$ \rho \left( r \right)\frac{{{\partial ^2}{u_z}}}{{\partial {t^2}}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\mu \left( r \right)\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right] + \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\mu \left( r \right)\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}}} \right]。$

(3)

式中：$ \rho $为材料的密度；$ r $为空间位置矢量；$ \lambda $和$ \mu $为材料的拉梅常数。

基于固体晶格能带理论和Bloch定理^[18]，敷设周期性阻振质量块的板具有周期性和点群对称性，其本征场具有Bloch函数的形式，波动方程的本征函数是按照正格子周期性调幅的平面波：

$ u\left( {r + a} \right) = u\left( r \right){e^{i\left( {{k_r}a} \right)}}。$

(4)

式中：$ {k_r} $为波矢量；$ a $为晶格常数矢量。

Bloch理论表明，由于晶格的周期性及其点群对称特性，采用周期性边界条件，可将原本复杂的波动行为转换为对单元的分析。在该边界条件下，通过Bloch波矢k，使得仅需扫描不可约布里渊区的边界，进而得到其特征频率和特征函数，从而画出其能带结构图。本文研究的结构为对称结构，因此其固有频率特性分析可在布里渊区中计算。通过沿不同方向（M-Γ-X-M）求解波矢k的固有属性，将固有频率沿扫描的顺序进行展开并拼接，从而得到晶格的能带结构。分析求解得到的能带结构图，就可以得到带隙的频率范围。

本文使用有限元软件COMSOL Multiphysics中的固体力学物理场模块对单胞结构（见图2）的能带曲线进行求解。在板结构横向和纵向2个方向采用Floquet周期性边界条件，求解波矢k在不可约布里渊区边界上的本征频率。晶格结构参数为d₁=60 mm、d₂=50 mm、a_x=a_y=100 mm、t=2.5 mm、h₁=10 mm、h₂=25 mm，晶格结构有限元模型如图2所示。分别计算了单板和敷设周期性阻振质量块的板在1～1000 Hz范围内的能带曲线，如图3所示。

根据板的波动理论，板中具有一系列兰姆波模态，这些模态包括弯曲波模态和纵波模态，分别记为A和S模态，以及水平剪切波模态，记为SH模态^[19]。具体而言，这些模态包含3个最基本的模态：A₀模态、S₀模态和SH₀模态，以及它们的倍频模态（如A_n模态、S_n模态和SH_n模态）。由图3可知，单板结构与敷设阻振质量块的板结构能带特性具有显著差异。能带图中，从Γ点开始的3条能带各自对应于A₀模态、SH₀模态以及S₀模态。

图3(b)中的平直带表示，在波矢k的各个方向上，其特征频率几乎相同。为揭示带隙是如何形成的，本文计算了图3(b)中标记点处的本征位移场，结果如图4所示。其中，模态2～模态5以及模态7的振动模式分别对应于与板平面垂直方向、横向、纵向以及扭转振动，此时由于系统内部共振消耗了大部分能量，板的振幅相对而言几乎为0。

当频率接近时，板与阻振质量块的局域共振模式被激发，弹性波在传播过程中与阻振质量块的反向作用力耦合，从而抑制振动的传递。同时，两者振动方向也会影响这种耦合作用，当振动方向一致时，局域共振模态更易被激发，两者之间的耦合效果更为显著。

弯曲振动是板类结构的主要振动模式，因此控制板的弯曲振动对减振具有重要意义。本文重点研究板中弯曲波带隙的形成机理。如图3(b)所示，能带A对应图4中模态2的本征位移场，能带F对应图4中模态7的本征位移场。由于模态2和模态7在y方向和z方向上都存在振动分量，因此能够被反对称兰姆波激发，从而打开弯曲波带隙，打开频率分别为266 Hz和735 Hz。同时，图3(b)中能带E对应图4中模态6的本征位移场，板随阻振质量块共同沿y轴转动，导致第一弯曲波带隙截止，截止频率为583 Hz。能带G对应图4中模态8的本征位移场，板沿y轴转动导致第二弯曲波带隙截止，截止频率为984 Hz。因此，敷设周期性阻振质量块的板在1～1000 Hz范围内出现了2条弯曲波带隙，频率范围为266～583 Hz和735～984 Hz，如图3(b)中填充区域。

2 敷设周期性阻振质量块的板振动试验 2.1 试验方法

为验证结构存在弯曲波带隙，采用试验方法测试试件的减振性能。试件包括一维结构和二维结构，其中试件1和试件2为一维结构，沿x方向1×6布置；试件3～试件8为二维结构，其中，试件3和试件4沿x和y方向4×4布置，试件5和试件6沿x和y方向3×3布置，试件7和试件8沿x和y方向4×3布置。试件测试方案如图5所示。

试验所用试件和单个晶胞计算所用的单元结构尺寸如表1所示。此外，t=2.5 mm，h₁=10 mm，h₂=25 mm保持不变。

在实际结构中，采用频响函数来量化其传输特性，当激励和响应两端所取的物理量相同时，频响函数表现为无量纲量：

$ T = 20\lg \left( {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}} \right)。$

(5)

式中：$ {m_1} $和$ {m_2} $分别为激励端和响应端的加速度幅值。

在试验过程中，为了模拟自由边界条件，将试件的响应端使用弹力绳悬挂，激励端通过激振丝将激振器与结构连接，并施加垂直于板面的激励，在激励端和响应端同时采集振动加速度的值。对各试件的弯曲波带隙进行计算，确定试验扫频范围为1～1000 Hz。试验中，振动信号是由系统产生白噪声信号并经功率放大器带动激振器所产生。将采集的振动信号通过uTekSs分析系统进行处理，得到试件的频响函数。

2.2 试验结果

试验测试的频响曲线如图6所示。可知，当晶格常数一定时，随着钢块直径的增加，弯曲波带隙的起始频率会降低。通过对比试件3和试件4（或试件7和试件8）可知，当钢块直径相同时，晶格常数的增加会导致弯曲波带隙的起始频率降低。在各阶局域共振模态中，等效质量主要由钢块大小决定，等效刚度主要由橡胶厚度决定，由于等效刚度的变化较小，随着等效质量的增大，各阶固有频率随之降低。此外，增大晶格常数会增大板的有效面积，从而减小等效刚度，导致各阶固有频率降低。

振动试验得到的频响曲线中，弯曲波带隙起始频率略低于单个晶胞的计算结果，如图3(b)和图6所示。单个晶胞的计算是基于无限周期结构，而试验试件为有限周期结构，因此试验试件的整体模态刚度更弱并且固有频率更低，导致带隙起始频率前置。同时，试验得到的弯曲波带隙比单个晶胞计算更宽，主要原因是实际结构存在阻尼，而单个晶胞计算不考虑结构阻尼。

对比试件1（一维结构）与试件3（二维结构）在测点1和测点2的频响曲线，如图7所示，可以看出尽管一维结构与二维结构的周期不同，且二维结构响应端测点不同，试验测试结果表明其频响曲线振动衰减起始频率基本一致。然而，由于二维结构相比一维结构还受到来自y方向相邻阻振质量块所产生的反向作用力，从而更有效抑制了板的振动，因此二维结构整体衰减程度更高。

3 敷设周期性阻振质量块的板振动有限元分析 3.1 有限元方法

采用有限元软件COMSOL对敷设周期性阻振质量块的板进行计算，分析其频响函数，以验证该结构的弯曲波带隙特性，有限元模型如图8所示。为更精准模拟试验的边界条件，在响应端添加弹性支撑，将弹簧的激活条件设置为仅张力，并对整个结构施加重力作为谐波扰动。在激励端沿x轴一端施加频率1～1000 Hz范围内变化的z方向单位力，输出激励端和响应端的加速度幅值随频率的变化情况，根据式(1)计算得到有限周期敷设阻振质量块的板结构的频响曲线。

3.2 有限元计算结果

有限元计算的典型频响曲线如图9所示。试件1的有限元计算频响曲线在1～1000 Hz频段内有2个衰减谷，其衰减频段分别对应于能带图（见图3(b)）中第一和第二弯曲波带隙，且在频响曲线中衰减频段与带隙计算结果吻合良好，验证了带隙计算的有效性。

由图9可知，试验结果中的各共振峰频率与仿真结果基本一致，在高频区域内存在一定差异。在对比曲线中可知，相较于仿真结果，试验测试具有更宽的衰减谷，且弯曲振动的衰减量更显著。此外，试验测试较仿真结果波动性更为显著，主要原因是由于橡胶的阻尼是随频率变化的，通常情况下在中高频阶段橡胶表现出更优越的阻尼效果。

为了更加精准地预报频响曲线的高频部分，在有限元计算中，定义橡胶的阻尼系数η₁=0.3，钢的阻尼系数η₂=0.004。计算结果表明，在高频区域，仿真和试验结果的趋势基本一致，且仿真计算结果逐渐接近试验结果。然而，仿真和试验之间仍存在一定差异，主要原因在于实际结构中橡胶阻尼随频率变化，而在仿真计算中假设橡胶的阻尼为常数。此外，试验样件在达到带隙起始频率后，加速度响应迅速减小，外界干扰因素也随之增加。再者，试验过程中，激振器无法按照设定的宽频白噪声频率进行激励，同时，阻振质量块通过胶接固定在板上，而仿真计算中则假设两者直接相连，这些因素均会对试验结果产生一定影响。

4 与等质量光板的试验对比分析

为验证在板上敷设周期性阻振质量块的减振效果，开展一块等质量光板的振动试验（板厚7 mm），与试件3质量相同，采用相同的试验工装。

试验测试得到的频响曲线如图10所示。在1～1000 Hz频段范围内，7 mm光板对弯曲波基本无抑制作用。相较试件3的频响曲线，在弯曲波带隙范围（266～583 Hz）内具有明显的衰减谷。对比结果表明，敷设周期性阻振质量块可以通过内部局域共振消耗振动能量，使板振动得到明显的抑制。

5 结　语

1）通过单个晶胞（零维）、一维和二维板的振动分析，系统研究了周期性阻振质量块在纵向和横向布置时的减振效果变化。一维板相较单个晶胞（零维），分析得出了阻振质量块纵向布置的减振效果；二维板相较一维，横向布置的阻振质量块之间的反向作用力可更有效抑制板的振动。

2）敷设周期性阻振质量块的板结构存在弯曲波带隙，主要由弹性波与共振单元的局域共振模态之间耦合作用产生。更大的晶格常数或钢块直径可获得更低起始频率的弯曲波带隙。

3）试验表明周期性阻振质量块可以显著抑制板的振动，由于试件中阻尼作用，测得的弯曲波带隙宽度相较于单个晶胞计算更宽。再者，试件的整体模态刚度更弱并且固有频率更低，导致带隙起始频率前置。

4）有限元分析中，考虑结构阻尼可更加精准地预报频响曲线的高频部分。