0 引　言

金属空心球复合材料是一种新型的多功能多孔材料，由金属基材和中间随机分布的金属空心球组成。因其具有的减重和减振优势，已经在船舶、航空航天、交通运输等领域引起广泛关注。点阵夹芯结构同样是一种新型的复合结构，上下面板和中间点阵夹芯层组成。因其具有较高的刚度和重量比，可以在保持力学性能的同时显著减轻重量。因此，已经在航空、航天、海洋工程等领域得到了广泛应用。点阵夹芯结构采用金属空心球复合材料制作而成后，可在非金属材料使用受限的减振降噪场景得到重用。但是，目前关于金属空心球复合材料点阵夹芯结构振动特性的相关研究相对较少，其振动机理尚不清晰。因此，开展任意边界条件下金属空心球点阵夹芯梁振动特性研究，对于揭示其振动机理，促进其未来应用于船舶减振降噪领域具有重要意义。

近年来，人们对点阵夹芯结构的振动机理进行了一定的研究。最常用的方法是将点阵夹芯结构转换为等效的均匀层，然后采用不同的板壳理论进行建模和计算分析。Hwu等^[1]研究了复合材料夹层梁的自由振动和动力振动响应，讨论了它们对横向剪切变形和转动惯量的影响。娄佳等^[2]将离散的点阵芯子等效为连续均匀材料，研究了复合材料四面体点阵夹芯梁的自由振动特性，并利用有限元分析软件对计算结果进行了验证。为了获得更精确的夹层梁响应，Lou等^[3]引入了修正的分段函数，建立了研究复合点阵夹芯梁在几种典型边界条件下的自由振动响应的解析模型。Li等^[4]利用Hamilton原理和假设模态法，在点阵夹芯梁的上下板上设置压电致动器和传感器，分析了简支边界条件下梁的振动控制问题。Zhao等^[5]研究了带有Kagome桁架芯和金字塔桁架芯的多跨点阵夹芯梁的振动响应。采用相同的方法，Song等^[6]基于一阶剪切变形理论研究了超声速下点阵夹芯梁和板的颤振问题，基于Reddy三阶剪切变形理论^[7]研究了金字塔型和四面体点阵夹芯梁的非线性气动弹性特性和主动颤动控制。Chen等^[8]通过分别采用经典层合板理论、一阶剪切变形理论、Reddy三阶剪切变形理论以及Zig-Zag理论研究了金字塔、四面体和Kagome三种不同点阵夹芯板的自由振动特性。Xu等^[9]采用瑞利-里兹法给出了梯度点阵夹芯梁自由振动问题的半解析解，并且通过试验验证了该方法的有效性。Jin^{[10 - 11]}等采用改进傅里叶级数法和Rayleigh-Ritz法，建立了任意边界条件下多跨Timoshenko梁和点阵夹芯梁振动特性分析的理论模型，研究了结构参数对其振动特性的影响规律。

上述有关点阵夹芯结构振动特性研究中，大部分都是基于经典的边界支承条件。但是，实际工程中，结构的支撑边界往往并非理想的经典边界条件，而是存在介于之间的弹性边界条件。然而，对于点阵夹芯结构在一般弹性边界条件下的振动研究却很少。特别是，当其材料为金属空心球复合材料时，更是鲜有涉及。为此，本文拟改进傅里叶级数法和Rayleigh-Ritz法，建立任意边界条件下金属空心球复合材料点阵夹芯梁自由振动特性分析的理论模型，分析系统参数对其振动特性的影响规律，揭示其振动机理。

1 金属空心球点阵夹芯梁计算模型 1.1 结构物理模型

任意边界条件下金属空心球复合材料点阵夹芯梁自由振动的计算模型如图1所示，其上下面板和中间金字塔型夹芯层均为金属空心球复合材料。本文所涉及的坐标系规定如下：x-y平面固定在金属空心球点阵夹芯梁的中间平面，z轴垂直于x-y平面，其正方向向下。金属空心球点阵夹芯梁的长、宽、高分别用L、B、h定义。金属空心球点阵夹芯梁在长宽方向上包含不同数目的胞元，如图2所示。胞元为金字塔形式，圆桁架的半径、长度和倾角分别用r、l和α表示。通过选择不同的胞元数，可以得到不同长度和宽度的金属空心球点阵夹芯梁。

为了研究任意边界条件下点阵夹芯梁的振动机理，本文采用人工虚拟弹簧技术。具体过程是在梁的两端设置平动弹簧$ {K_{x0}} $、$ {K_{xL}} $和扭转弹簧$ {k_{x0}} $、$ {k_{xL}} $，以此来模拟边界支撑处的剪力和弯矩作用。然后，通过调整横向平动弹簧和扭转弹簧的刚度值，可以很容易地模拟任意边界条件。例如，$ {K_{x0}} = 0 $、$ {k_{x0}} = 0 $表示结构左端（x=0时）为自由边界；$ {K_{x0}} = {10^{14}} $、$ {k_{x0}} = {10^{14}} $表示结构左端（x=0时）为固支边界；$ {K_{x0}} = {10^{14}} $、$ {k_{x0}} = 0 $表示结构左端（x=0时）为简支边界。

在理论建模中，点阵夹芯梁的上下板均为薄而坚硬的结构。一般只考虑横向弯曲变形和轴向变形，忽略剪切变形。相比之下，由于芯层普遍较厚、较轻，所以芯层对点阵夹芯梁的整体抗弯刚度在很大程度上被忽略。因此，对于较厚的夹芯层，一般只考虑剪切变形，认为剪切应力在高度方向上是恒定的。基于上述变形假设，一般将点阵夹芯梁简化为由上下板和等效均质材料的中间层组成的层合梁，如图3所示。根据等效力学原理，夹芯层的等效密度和等效横向剪切模量计算式为：

$\left\{ \begin{gathered} \rho _c^{pyr} = \frac{{2{\text{π}} {r^2}}}{{{l^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \alpha }}\rho ，\\ G_{xzc}^{pyr} = \sin \alpha \frac{{{\text{π}} {r^2}}}{{{l^2}}}E{}_s 。\\ \end{gathered}\right. $

(1)

式中：$ \rho $和$ {E_S} $分别为基材的密度和弹性模量。

1.2 点阵夹芯梁理论建模

本文分析仅限于线性条件。基于经典的夹层梁理论，点阵夹芯梁截面在外力作用下的变形过程见图3。HIJKL表示一条垂直于未变形梁的直线。如果没有剪切应变，HIJKL将转$ {{\partial w} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial w} {\partial x}}} \right. } {\partial x}} $到$H'I'J'K'I'$的位置。当夹芯层发生剪切应变$ \theta $时，HIJKL移动到$H''I''J''K''L''$的位置。由于假定面板的剪切应变可以忽略，$H''I''$和$K''L''$与$H'I'$和$K'L'$保持平行。点阵夹芯梁截面任意点的变形表达式为：

$\left\{ \begin{gathered} {u_t} = - \frac{c}{2}\theta - z\frac{{\partial w}}{{\partial x}}, {w_t} = w, - \frac{h}{2} \leqslant z \leqslant - \frac{c}{2}，\\ {u_c} = z\left(\theta - \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\right), {w_c} = w, - \frac{c}{2} \leqslant z \leqslant \frac{c}{2}，\\ {u_b} = \frac{c}{2}\theta - z\frac{{\partial w}}{{\partial x}}, {w_b} = w, \frac{c}{2} \leqslant z \leqslant \frac{h}{2}。\\ \end{gathered} \right.$

(2)

式中：$ w $、$ \theta $分别为点阵夹芯梁在z轴方向的横向位移和在y轴方向的转角。上、下板厚度和夹芯层高度分别用$ t $和$ c $表示。上面板、夹芯层和下面板在x轴方向的水平位移分别用$ {u_t} $、$ {u_c} $和$ {u_b} $来表示。上面板、夹芯层和下面板在z轴方向的横向位移分别用$ {w_t} $、$ {w_c} $和$ {w_b} $来表示。

根据上述表达式和材料应变的定义，等效点阵夹芯梁对应的应变可以写成位移的表达式：

$ \left\{\begin{array}{l}{\varepsilon }_{t}=\displaystyle\frac{\partial {u}_{t}}{\partial x}\text=-\frac{c}{2}\frac{\partial \theta }{\partial x}-z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial {x}^{2}}\text{，}-\frac{h}{2}\leqslant z\leqslant -\frac{c}{2}，\\ {\gamma }_{c}=\displaystyle\frac{\partial {u}_{c}}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=\theta \text{，}-\frac{c}{2}\leqslant z \leqslant\frac{c}{2}，\\ {\varepsilon }_{b}=\displaystyle\frac{\partial {u}_{b}}{\partial x}\text=\frac{c}{2}\frac{\partial \theta }{\partial x}-z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial {x}^{2}}\text{，}\frac{c}{2}\leqslant z\leqslant \frac{h}{2}。\end{array} \right.$

(3)

式中：$ {\varepsilon _t} $和$ {\varepsilon _b} $分别为上面板和下面板的正应变；$ {\gamma _c} $为夹芯层的剪切应变。

根据胡克定律，等效点阵夹芯梁所对应的应力可以写成位移的表达式：

$ {\sigma }_{t}={E}_{x}{\varepsilon }_{t}\text{，}{\tau }_{c}={G}_{xzc}{\gamma }_{c}，{\sigma }_{b}={E}_{x}{\varepsilon}_{b}。$

(4)

式中：$ {E_x} $为上、下板的弹性模量；$ {G_{xzc}} $为夹芯层的等效剪切模量；$ {\sigma _t} $和$ {\sigma _b} $分别为上、下面板在x轴方向上的法向应力；$ {\tau _c} $为夹芯层剪切应力。

本文基于Rayleigh-Ritz求解结构的自由振动。首先，需要求解整个结构的动能和势能表达式，得到拉格朗日能量泛函表达式。其中，任意边界条件下点阵夹芯梁的总势能$ U $由应变能$ {U_B} $和储存在点阵夹芯梁两端约束弹簧中的弹性势能$ {U_S} $组成。具体表达式为：

$ {U_B} = \frac{1}{2}\int_0^L {\int_A {(\sigma \cdot \varepsilon + \tau \cdot \gamma )} } {\rm{d}}A{\rm{d}}x，$

(5)

$ {\begin{split} {U_s} = & \frac{1}{2}{k_0}{\left. {{w^2}(x)} \right|_{x = 0}} + \frac{1}{2}{K_0}{\left. {{{\left( {\frac{{\partial w(x)}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right|_{x = 0}} + \frac{1}{2}{K_0}{\left. {{\theta ^2}(x)} \right|_{x = 0}}+ \\ & \frac{1}{2}{k_L}{\left. {{w^2}(x)} \right|_{x = L}} + \frac{1}{2}{K_L}{\left. {{{\left( {\frac{{\partial w(x)}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right|_{x = L}} + \frac{1}{2}{K_L}{\left. {{\theta ^2}(x)} \right|_{x = L}}。\\ \end{split} }$

(6)

对于任意边界条件下的点阵夹芯梁，系统的总动能$ T $为：

$ T = \frac{1}{2}\int_0^L {\int_A {\rho \left[ {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)}^2}} \right]} } {\rm{d}}A{\rm{d}}x。$

(7)

任意边界条件下点阵夹芯梁的拉格朗日能量函数$ L $可表示为：

$ L{\text{ = }}\left( {{U_B} + {U_S}} \right) - T 。$

(8)

为了求解任意边界条件下点阵夹芯梁的振动响应，本文采用改进的傅里叶级数来描述结构的位移函数。横向位移$ w $和转角$ \theta $表示为：

$ w(x,t)=\left({\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{A}_{m}\mathrm{cos}{\lambda }_{m}x+{\displaystyle \sum _{n=1}^{4}{A}_{n}^{a}\mathrm{sin}{\lambda }_{n}x}}\right){\text{e}}^{\text{j}\omega t}，$

(9)

$ \theta (x,t)=\left({\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{B}_{m}\mathrm{cos}{\lambda }_{m}x+{\displaystyle \sum _{n=1}^{4}{B}_{n}^{a}\mathrm{sin}{\lambda }_{n}x}}\right){\text{e}}^{{\rm{j}}\omega t}。$

(10)

式中：$ {\lambda _m}{\text{ = }}m{\text{π}} /L $，$ {\lambda _n}{\text{ = }}n{\text{π}} /L $；$ {A_m} $和$ {B_m} $均为余弦傅里叶级数的系数；$ A_n^a $和$ B_n^a $为4个正弦项的系数，$ n = 1,2,3,4 $。

由Rayleigh-Ritz可知，将拉格朗日能量函数L对所有未知系数$ {A_m} $、$ {B_m} $、$ A_n^a $和$ B_n^a $的求偏导数后，令其等于0，便可得到结构的特征值方程。

$ \frac{{\partial L}}{{\partial {A_m}}} = 0,\frac{{\partial L}}{{\partial A_n^a}} = 0,\frac{{\partial L}}{{\partial {B_{\text{r}}}}} = 0,\frac{{\partial L}}{{\partial B_s^a}} = 0 。$

(11)

式中：$ m,r=0\text{～}\infty；n,s=1,2,3,4 $。

因此，先将式(2)～式(4)代入式(5)～式(8)，求得拉格朗日能量函数L的解析表达式；接着将式(9)和式(10)代入式(8)，结合式(11)便可得到任意边界条件下金属空心球复合材料点阵夹芯梁的特征值方程。具体如下：

$ \left( {K - {\omega ^2}M} \right){\text{A = }}0。$

(12)

式中：$ M $和$ K $分别为结构的质量矩阵和刚度矩阵；$ A $为未知系数向量。

1.3 金属空心球复合材料的等效处理

本文将金属空心球复合材料等效为均质各向同性实心材料。为此，需要确定其等效刚度、密度和泊松比。本文采用Ansys APDL语言，通过自编程方式，建立金属空心球的半径不同，位置随机排布的有限元模型，如图4所示。

2 数值分析 2.1 有效性验证

以简支（C-C）、固支（SS-SS）和悬臂（C-F）等3种边界条件下金字塔型点阵夹芯梁作为算例，采用本文方法计算其前5阶固有频率，并与Hwu等^[1]以及Lou等^[3]公开的计算结果进行对比。所采用材料与几何参数为：上、下面板厚度$ t $=0.0005 m，芯子高度$ c $=0.015 m，芯子杆件倾斜角度$ \alpha $=45°，芯子杆件半径$ r $=0.001m，单个胞元的长度$ b $=$ l $=0.0212 m，材料密度$ \rho $=7930 kg/m³，材料弹性模量$ {E_S} $=210 GPa，泊松比$ \nu $=0.3；该单跨点阵夹芯梁长度方向具有30个基本胞元，宽度方向上有3个基本胞元。具体计算结果如表1所示，其中$ \eta $表示本文方法与Lou等^[3]结果的相对误差。

为了进一步验证本文理论方法的准确性，本文开展了金字塔型点阵夹芯梁自由边界条件下的模态试验。试验模型中，点阵夹芯梁单胞的长度和宽度均为0.1 m，高度为0.0707 m，上下面板的厚度均为0.0038 m；圆柱形桁架与为上下面板的夹角为45°，其截面半径为0.0025 m；点阵夹芯梁长方向上有10个单胞，梁宽方向上有1个单胞；材料采用304不锈钢，弹性模量为193 GPa，泊松比为0.3，密度为7930 kg/m³；金字塔型点阵夹芯梁的试验模型如图5所示。

通过上述对比可知，采用本文方法所计算得到的结果，与已有文献结果都吻合较好，计算误差均小于1.5%，模态试验和理论计算得到的第一阶固有频率值分别为396.91 Hz、411.39 Hz，二者之间的误差3.5%。理论值与文献值、试验值的对比误差均相对较小，从而证明了本文算法的正确性和准确性。故本文方法可以用于分析任意边界条件下点阵夹芯梁的振动特性。

2.2 金属空心球复合材料等效参数分析

金属空心球复合材料中球体的占比$ a $%，对其等效密度、等效弹性模量、等效泊松比都有一定的影响。金属空心球复合材料的等效密度记为$ {\rho _d} $。

$ a\text{\text{%} } = 1 - \frac{{{V_0}}}{V}，$

(13)

$ {\rho _d} = a\text{%} {\rho _a} + (1 - a\text{%} ){\rho _f}。$

(14)

式中：$ {V_0} $为基材的体积；$V$为模型的体积；$ a $%为球的占比；$ {\rho _f} $为复合材料基材的密度；$ {\rho _a} $为金属空心球的等效密度。

本文在固定体积内（0.2 m×0.2 m×0.8 m）、固定空心球的个数（18个），通过RAND函数随机生成空心球的球心坐标和半径，获得不同球占比的金属空心球复合材料。其中，空心球半径在0.008～0.03 m范围内随机取值。通过将空心球半径的下限值从0.008 m不断增大，便可以获得球占比不断增大的金属空心球复合材料。接着，通过APDL程序设计语言建立了不同占比下金属空心球复合材料的有限元模型，分别求出对应的等效弹性模量与等效泊松比如表2所示。可知，当钢制金属空心球的占比为8%～13%，金属空心球复合材料的等效弹性模量随着球的占比的增大而减小，等效泊松比也随球的占比的增大略有减小，但是减小趋势较小，基本保持在0.33左右。

2.3 材料的影响

本节取金属空心球占比为10%的复合材料，等效密度为2643 kg/m³，等效弹性模量为6.21×10¹⁰ Pa，等效泊松比为0.33。数值计算中，金字塔点阵夹芯梁的几何尺寸为$ L $=0.6364 m，$ B $=0.06364 m，$ t $=0.0005 m, $ c $=0.015 m，$ r $=0.001 m，$ \alpha $=45°。计算出6种不同边界条件下钢材、铝材和金属空心球复合材料等3种不同材料时点阵夹芯梁的前六阶固有频率。表3给出了数值计算时，不同边界条件下对应的具体取值。其中，符号F、C、SS分别表示自由边界条件、固定边界条件和简支边界条件；弹性边界条件用E1、E2、E3表示。通过不同组合可以得到任意边界条件。

由图6可知，在经典边界条件下（C-C、SS-SS和C-F），钢材点阵夹芯梁的固有频率最大，铝材点阵夹芯梁的固有频率次之，金属空心球复合材料点阵夹芯梁的固有频率最小。究其原因，与钢材相比，铝材的密度和弹性模量都降低，但是弹性模量的减少对结构产生的影响更大；而与铝材相比，金属空心球复合材料的密度略微减少，而弹性模量减少的比较多，因此其固有频率最低。然而，在任意边界下（E1-E3、E3-E3和E3-SS），铝材点阵夹芯梁的固有频率最大，金属空心球复合材料点阵夹芯梁的固有频率次之；钢材点阵夹芯梁在低阶时固有频率最小，随着频率阶次增大，钢材点阵夹芯梁固有频率会逐步超过铝材和铝基不锈钢钢金属空心球复合材料，且边界刚度约大，效果越明显。这表明：弹性边界降低了系统的固有频率，导致低频以质量控制为主，因此边界条件对结构振动的影响非常重要。

2.4 金属空心球不同占比影响分析

本节研究金属空心球占比不同时，金属空心球复合材料点阵夹芯梁的自由振动频率。结合表2可计算出不同边界条件下金属空心球点阵夹芯梁在不同占比下的一阶固有频率，具体结果如表4所示。

分析可知，当金属空心球的占比为8%～13%，在不同边界条件下，随着金属空心球占比的增大，点阵夹芯梁的一阶固有频率均逐渐降低，结构的一阶固有频率和金属空心球占比呈线性关系。究其原因是，随着金属空心球的占比不断增大，金属空心球复合材料的等效密度缓慢减小，但是等效弹性模量减小较大，因此导致结构的固有频率降低。

3 结　语

本文通过APDL自编程建立了随机分布的金属空心球复合材料有限元模型，并且通过数值拉伸模拟获得了其等效力学参数；采用Rayleigh-Ritz法，建立了金属空心球复合材料点阵夹芯梁自由振动特性分析的理论模型。通过与现有文献结果进行对比，验证了本文方法的有效性。在此基础上，研究了边界条件、材料、金属空心球占比等参数对结构振动特性的影响规律。具体结论如下：

1）当球的占比为8%～13%，金属空心球复合材料的等效弹性模量随着球的占比的增大而减小，等效泊松比也随球的占比的增大而减小，但是减小趋势微小，保持在0.33左右。

2）在经典边界条件下（C-C、SS-SS和C-F），点阵夹芯梁固有频率以刚度控制为主，金属空心球复合材料点阵夹芯结构的固有频率最小；在任意边界下（E1-E3、E3-E3和E3-SS），弹性支撑边界会降低结构固有频率，且以质量控制为主，此时钢材点阵夹芯结构的固有频率最小。

3）随着金属空心球占比的增大，点阵夹芯结构的固有频率逐渐降低。其原因是，随着金属空心球的占比不断增大金属空心球复合材料的等效密度缓慢减小，但是等效弹性模量减小较大，因此导致结构的固有频率降低。