0 引　言

模块支墩结构是FPSO的关键部位，同时也是高应力区域，通常需要进行细化网格分析以更准确地评估其应力水平。细化网格分析一般可采用嵌入式方法和子模型方法^[1] 2种方法。嵌入式方法将目标区域的细网格模型通过网格过渡的形式嵌入到舱段模型中，直接进行加载分析。子模型方法基于圣维南原理^[2]，以舱段粗网格模型的计算结果作为边界节点的强迫位移约束，只需要对细化区域进行有限元分析。子模型方法模型范围小，计算效率高，在船体结构的细化网格分析中应用广泛^{[3 − 5]}。嵌入式方法是直接计算分析，避免了子模型边界条件提取过程的误差，其计算结果更加合理。

崔磊等^[6]利用多边界插值改进了子模型方法，可适用于梁单元通过切割边界的情况；许允等^[7]以散货船底边舱下折角为例研究了不同子模型范围的影响，发现子模型的边界节点是否落在强构件上对于细化区应力结果的影响较小；秦国锋等^[8]基于三角形面积插值法，解决了子模型边界大于整体模型边界的问题；马旭等^[9]通过建立多级子模型，使得结构最大应力以及变形量的计算更加精确；黄曙光等^[10]通过计算整体模型和子模型切割边界处位移平均值及应力平均值的相对误差来验证切割边界的选取是否合理；张玉奎等^[11]采用子模型方法分析了FLNG模块支墩结构的强度，并根据计算结果进行了设计修改。然而，关于子模型法对不同结构形式适用性问题的研究却未见报道。

采用子模型方法对模块支墩结构进行细化网格分析时，若将模块支墩载荷通过强迫位移的形式传递到子模型中，则可能使计算应力产生较大的偏差，其准确性很大程度上取决于舱段粗网格模型中模块支墩刚度的精确性。由于模块支墩对加强结构的作用是通过界面载荷施加于舱段粗网格模型的，因此子模型需将界面载荷施加节点也纳入到边界节点中，这种做法有可能导致子模型中模块支墩结构区域与该部分边界节点相距较近，以至于无法满足圣维南原理，容易在二次应力分析时造成误差累积。本文以嵌入式方法为基准，首先针对不同模块支墩型式，研究子模型方法的适用性，进一步针对以上问题，探索一种修正的子模型方法，在无法保证粗网格模型建模精准度的条件下，通过消除粗网格模型与子模型之间刚度差异的影响，使其计算应力更加准确，提高结果可信度。

1 子模型方法的基本原理

子模型方法基于整体粗网格模型的计算结果，从中截取关注区域进行网格细化得到子模型，对子模型进行二次应力分析可以得到更精确的结果，二次分析的输入条件为粗网格模型切割边界处的节点位移^[12]。

根据有限元方法，结构静力学方程可表示为：

$ {\boldsymbol{K}}\mathit{x}=\mathit{f}。$

(1)

式中：$ \boldsymbol{K} $为总体刚度矩阵；$ \mathit{f} $为节点载荷向量；$ \mathit{x} $为节点位移向量。

将模型的节点自由度分为子模型内部自由度$ i $、子模型外部自由度$ o $和子模型边界自由度$ b $，则式(1)可拆解成以下形式^[9]：

$ \left[\begin{array}{ccc}{\mathit{K}}_{ii}& {\mathit{K}}_{ib}& 0\\ {\mathit{K}}_{bi}& {\mathit{K}}_{bb}& {\mathit{K}}_{bo}\\ 0& {\mathit{K}}_{ob}& {\mathit{K}}_{oo}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{i}\\ {\mathit{x}}_{b}\\ {\mathit{x}}_{o}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{i}\\ {\mathit{f}}_{b}\\ {\mathit{f}}_{o}\end{array}\right] 。$

(2)

其中由于子模型内部节点与外部节点并无共同的单元，故刚度矩阵中对应的元素为0。

对式(2)左边的刚度矩阵进行解耦，仅保留关于子模型的刚度信息，则可得到关于子模型的静力学方程：

$ \left[\begin{array}{cc}{\mathit{K}}_{ii}& {\mathit{K}}_{ib}\\ {\mathit{K}}_{bi}& {\mathit{K}}_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{i}\\ {\mathit{x}}_{b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{i}\\ {\mathit{f}}_{b}-{\mathit{K}}_{bo}{\mathit{x}}_{o}\end{array}\right]。$

(3)

其中内部载荷$ {\mathit{f}}_{i} $与粗网格模型定义一致，是已知的；边界位移$ {\mathit{x}}_{b} $则提取自粗网格模型的计算结果。因此，子模型静力学方程(3)可以求解。

在应用子模型方法时，通常可采用以下思路：将模块支墩界面载荷施加节点纳入到边界节点中，即模块支墩载荷的作用体现在式(3)的$ {\mathit{x}}_{b} $项中。

2 子模型方法适用性分析

以某FPSO为例，为了满足不同上部模块的作业需求，该FPSO设置了2种类型的模块支墩，一种为高腹板模块支墩（见图1(a)），另一种为低腹板模块支墩（见图1(b)）。在FPSO舱段分析的粗网格模型中，规范要求的网格尺寸为肋距$ \times $肋距，对于高腹板模块支墩而言可以较为准确的模拟其几何形状；相比之下，对于低腹板模块支墩，其几何形状是粗糙的，尤其是趾端区域，在腹板高度方向仅能划分出一个三角形板单元，因此其刚度与实际存在较大的偏差。本节分别探究子模型方法对2种类型模块支墩强度分析的适用性，计算分析软件采用VeristarHull船体结构专业计算软件。

VeristarHull船体结构专业计算软件基于有限元软件Femap和NX Nastran求解器进行二次开发，集成了BV船级社的规范要求，可实现全船有限元计算、舱段有限元计算、细化网格分析、屈曲分析和疲劳分析等功能。由于液舱载荷加载的便利性，该软件在油船和FPSO船体结构的计算分析中具有独特的优势。

2.1 强度衡准

根据BV规范^[13]，模块支墩结构属于海工区域结构，其细化网格分析采用的强度衡准计算式为：

$ {\sigma }_{VM}\leqslant 1.3\frac{{R}_{y}}{{\gamma }_{R}{\gamma }_{m}}。$

(4)

式中：$ {\sigma }_{VM} $为有限元模型板单元的中面VonMises应力；系数1.3表示靠近焊缝的区域，为最保守的情况；最小屈服强度$ {R}_{y}=235/k $，$ k $为材料系数；$ {\gamma }_{R} $为抗力局部安全系数，取为1.02；$ {\gamma }_{m} $为材料局部安全系数，取为1.02。本文模块支墩结构的材料均采用H36高强度钢，其材料系数$ k=0.72 $，故强度衡准为$ {\sigma }_{VM}\leqslant 408 \;\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a} $。

2.2 高腹板模块支墩

建立三舱段粗网格模型，网格尺寸约为800 mm×800 mm，如图2所示。模型材料的弹性模量为$ E=2.06\times {10}^{11}\;\mathrm{P}\mathrm{a} $，泊松比为$ \lambda =0.3 $，密度为$ \rho =7\;850\;\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $。根据BV规范^[13]要求施加液舱载荷，包括最大吃水T_max、0.9T、0.75T和最小吃水T_min条件下的最危险的舱室装载情况，共9种装载条件。计算工况由不同的装载条件与载荷工况进行组合，共27种计算工况，分别编号为1～27，如表1所示。

保守考虑，对于不同的计算工况，模块支墩载荷均取为一个相同的包络值，通过MPC多点约束的形式施加于高腹板模块支墩相应节点处，（见图2）。根据粗网格模型的计算结果，筛选出细化区域，细网格子模型如图3所示，细化区域的网格尺寸约为50 mm×50 mm。其中，子模型边界位移传递节点包括了模型切割边界的节点以及模块支墩界面载荷的施加节点。

嵌入式模型由三舱段粗网格模型和细网格子模型通过网格过渡拼接而成，如图4所示，其计算工况设置及载荷施加方法与前述三舱段粗网格模型一致。

嵌入式方法和子模型方法计算的各工况VonMises应力包络值如图5(a)和图5(b)所示，强度校核结果分别为370.7 MPa<408 MPa和366.6 MPa<408 MPa。可见，2种方法的计算结果均满足强度衡准的要求。统计各工况最大VonMises应力平均值进行结果对比，见表2。可见，子模型方法的计算平均值偏大，但计算误差仅为2.0%，可满足工程要求，说明子模型方法对于高腹板模块支墩的强度分析适用性较好，计算精度高。

对比细化区域的粗网格和细网格（见图6）可以发现，粗网格与细网格的几何形状差异较小，说明两者之间具有良好的刚度匹配性。因此，按此粗网格模型计算得到的节点位移映射至子模型边界进行二次应力分析时，其计算结果与嵌入式模型的结果极为接近。

2.3 低腹板模块支墩

本节采用子模型方法对低腹板模块支墩进行强度分析，装载条件和计算工况选取以及子模型位移传递节点的设置与2.2节类似。其嵌入式模型及细化区域如图7所示。

按粗网格模型的网格尺寸要求，低腹板模块支墩在腹板高度方向仅能划分1个板单元，因此支墩趾端处的网格难以反映结构的真实形状，进而导致粗网格和细网格的刚度差异较大。图8所示为细化区域即模块支墩趾端附近的粗网格和细网格的划分情况。

为了说明子模型方法对模块支墩结构刚度的敏感性，本例设置了2种粗网格模型。与子模型（图8(a)）相比，粗网格模型1（图8(b)）的几何形状更接近真实情况，即粗网格模型1的刚度匹配性更好，粗网格模型2（图8(c)）的刚度匹配性稍差。

应力分析结果如图9～图10所示。采用子模型方法计算时，2种粗网格模型对应的VonMises应力包络值分别为389.1 MPa<408 MPa、364.3 MPa<408 MPa，均满足强度衡准。然而采用嵌入法计算时，VonMises应力包络值为476.7 MPa>408 MPa，已不满足强度衡准要求。说明采用子模型方法对低腹板模块支墩结构进行强度分析时，存在较大的误判风险。

通过对比低腹板模块支墩的计算结果（见表3）可以发现，子模型方法基于2种粗网格模型的计算误差分别为12.4%和18.6%，说明模块支墩在粗细网格之间的刚度差异导致其应力结果失真较为严重。与此同时，基于不同粗网格模型的计算结果也存在较大的差异，两者差值达到了6.2%，说明子模型方法对粗网格模型的刚度较为敏感。因此，当无法保证粗网格模型中模块支墩及加强结构的建模精准度时，不宜采用子模型方法。

3 子模型方法的修正 3.1 方法推导

根据2.3节低腹板模块支墩的应力分析结果，在模块支墩结构附近区域，由于无法保证粗网格模型的建模精准度，子模型和粗网格模型的刚度不可避免地会存在一定差异，进而可能导致子模型计算应力结果失真，因此需对子模型方法进行修正，以消除刚度差异造成的映射载荷差距的影响。以嵌入式模型的计算结果为基准，修正的目标是令粗网格模型中模块支墩界面载荷施加节点的位移等于或近似等于嵌入式模型对应节点的位移，以抵消子模型和粗网格模型之间刚度的差异。

根据有限元方法静力学方程(1)，对粗网格模型其修正对象有3个，即刚度矩阵$ \boldsymbol{K} $、节点位移向量$ \mathit{x} $和节点载荷向量$ \mathit{f} $。其中$ \mathit{f} $是已知的输入，在有限元软件中的修改相对简便，因此本文将推导一种基于节点载荷向量的子模型修正方法。

记模块支墩载荷为$ {\mathit{f}}_{u} $，记其余载荷如船体梁载荷和液舱载荷等为$ {\mathit{f}}_{vk}（k=\mathrm{1,2},\cdots ,n） $，其中$ n $为计算工况数。对于线性系统，根据叠加原理，第$ k $个计算工况的静力学方程可写成

$ \boldsymbol{K}\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{u}\\ {\mathit{x}}_{vk}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{u}\\ {\mathit{f}}_{vk}\end{array}\right] 。$

(5)

式中：$ {\mathit{x}}_{u} $为模块支墩界面载荷施加节点处的位移向量；$ {\mathit{x}}_{vk} $为其余节点处的位移向量。由于本文模块支墩载荷$ {\mathit{f}}_{u} $选取的是一个包络值，因此这里$ {\mathit{f}}_{u} $不随计算工况而改变。

以下为了便于区分，以上标“$ \mathrm{*} $”表示嵌入式模型的相关信息，以上标“$ \mathrm{\text{'}} $”表示粗网格模型的相关信息。

对于嵌入式模型，仅加载模块支墩载荷$ {\mathit{f}}_{u}^{*} $，即令$ {\mathit{f}}_{vk}^{*}=0 $，有

$ {\mathit{K}}^{*}\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{u}^{*}\\ {\mathit{x}}_{v}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{u}^{*}\\ 0\end{array}\right]。$

(6)

记$ {\overline{{\mathit{K}}^{*}}=\left({\mathit{K}}^{*}\right)}^{-1} $，式(6)等号两边同时左乘$ \overline{{\mathit{K}}^{*}} $，可以求得模块支墩界面载荷施加节点处的位移向量$ {\mathit{x}}_{u}^{*} $：

$ \left[\begin{array}{c} {\mathit{x}}_{u}^{*} \\ {\mathit{x}}_{v}^{*} \end{array}\right]=\overline{{\mathit{K}}^{*}}\left[\begin{array}{c} {\mathit{f}}_{u}^{*} \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{\mathit{*}}}& \overline{{\mathit{K}}_{uv}^{\mathit{*}}}\\ \overline{{\mathit{K}}_{vu}^{\mathit{*}}}& \overline{{\mathit{K}}_{\mathit{v}\mathit{v}}^{\mathit{*}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {\mathit{f}}_{u}^{*} \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \overline{{\mathit{K}}_{uu}^{\mathit{*}}}{\mathit{f}}_{u}^{*} \\ \overline{{\mathit{K}}_{vu}^{\mathit{*}}}{\mathit{f}}_{u}^{*} \end{array}\right]。$

(7)

进一步将$ {\mathit{x}}_{u}^{*}=\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{\mathit{*}}}{\mathit{f}}_{u}^{*} $作为强迫位移加载到粗网格模型对应节点上，同样令$ {\mathit{f}}_{vk}^{{{'}}}=0 $，有

$ {\mathit{K}}^{{'}}\left[\begin{array}{c}\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{\mathit{*}}}{\mathit{f}}_{u}^{*}\\ {\mathit{x}}_{v}^{'}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{u}^{'}\\ 0\end{array}\right]。$

(8)

记$ {\overline{{\mathit{K}}^{{{'}}}}=\left({\mathit{K}}^{{'}}\right)}^{-1} $，式(8)等号两边同时左乘$ \overline{{\mathit{K}}^{{{'}}}} $，可得：

$ \left[\begin{array}{c}\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{\mathit{*}}}{\mathit{f}}_{u}^{*}\\ {\mathit{x}}_{v}^{{{{'}}}}\end{array}\right]=\overline{{\mathit{K}}^{'}}\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{u}^{'}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{{{'}}}}& \overline{{\mathit{K}}_{uv}^{{{'}}}}\\ \overline{{\mathit{K}}_{vu}^{{{'}}}}& \overline{{\mathit{K}}_{\mathit{v}\mathit{v}}^{'}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{u}^{'}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{{{'}}}}{\mathit{f}}_{u}^{'}\\ \overline{{\mathit{K}}_{vu}^{{{'}}}}{\mathit{f}}_{u}^{{{{'}}}}\end{array}\right] 。$

(9)

根据方程(9)反推出修正后的模块支墩载荷为$ {\mathit{f}}_{u}^{{{{'}}}}={(\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{{{'}}}})}^{-1}\overline{{\mathit{K}}_{uu}^{\mathit{*}}}{\mathit{f}}_{u}^{*} $。对于式(5)，将$ {\mathit{f}}_{u} $替换成$ {\mathit{f}}_{u}^{{{{'}}}} $，并按照子模型方法的计算流程可实现模块支墩结构细化区域的应力分析。这种做法的优势是，嵌入式模型只需要加载$ {\mathit{f}}_{u}^{*} $进行单一工况的应力分析，反推出修正载荷$ {\mathit{f}}_{u}^{{{{'}}}} $后，进一步采用计算速度更快的子模型方法对所有计算工况进行应力分析，这样可避免在模型修改后对不同计算工况繁复的重新加载。

3.2 计算验证

本节采用修正子模型方法对低腹板模块支墩进行应力分析，以验证该方法的有效性。按照3.1节的推导结果，首先在嵌入式模型中仅加载表4中的模块支墩载荷$ {\mathit{f}}_{u}^{*} $，为进一步简化，仅考虑位于细化区域附近的模块支墩载荷，如图11(a)所示。对嵌入式模型进行静力分析后，提取模块支墩界面载荷施加节点处的6个自由度的节点位移$ {\mathit{x}}_{u}^{*} $，如图11(b)所示。将$ {\mathit{x}}_{u}^{*} $以强迫位移形式施加于粗网格模型对应节点上，如图11(c)所示。进一步对粗网格模型进行静力分析后，在模块支墩界面载荷加载节点处，对MPC单元从节点的节点反力进行积分，积分点取在MPC单元的主节点处，结果如图11(d)所示，最终得到的模块支墩修正载荷$ {\mathit{f}}_{u}^{{{{'}}}} $与该节点反力积分大小相等、方向相反。其中表5和表6分别是以2.3节的粗模型1和粗模型2作为粗网格模型得到的修正后的模块支墩载荷。以修正后的模块支墩载荷$ {\mathit{f}}_{u}^{{{{'}}}} $代替原载荷，与27个计算工况的其余载荷$ {\mathit{f}}_{vk} $进行叠加，进一步采用子模型方法进行分析，即为修正子模型方法的计算结果。

对比原模块支墩载荷（见表4）和修正后的模块支墩载荷（见表5和表6）可以看出，子模型方法应力水平偏低的直接原因是，模块支墩界面载荷施加节点处的位移相较嵌入式方法是偏小的，也就是说，粗网格模型在模块支墩附近的刚度较子模型偏大。修正子模型方法对模块支墩载荷进行了一定的放大，在很大程度上减弱了粗网格模型和子模型之间刚度不匹配对计算结果的影响。

采用修正子模型方法计算的各工况VonMises应力包络值（见图12）为460.9 MPa>408 MPa、458.2 MPa>408 MPa，因此该区域结构已不满足强度衡准，其强度判定结果与嵌入法（见图9）一致，说明修正子模型方法在很大程度上消除了误判风险。

计算误差分析如表7所示。与子模型方法相比（结合表3），基于粗网格模型1的修正子模型方法将计算误差由12.4%降低为1.3%，基于粗网格模型2的修正子模型方法将计算误差由18.6%降低为0.5%，修正效果极为明显。此外，修正子模型方法基于2种粗网格模型的计算结果仅相差0.8%，说明修正子模型方法对粗网格模型建模精准度的敏感性也有了很大程度的降低。

4 结　语

1）对于高腹板模块支墩，由粗网格表征的模块支墩模型与细网格模型之间的建模差异小，两者之间具有良好的刚度匹配性，采用子模型方法得到的计算应力与嵌入式方法极为接近，说明子模型方法适用于高腹板模块支墩的强度分析。

2）对于低腹板模块支墩，受限于网格尺寸，由粗网格表征的模块支墩模型与实际结构及细网格模型存在一定的建模差异，导致粗网格模型在模块支墩附近区域的刚度比子模型大，子模型边界的强迫位移偏小，进而导致模块支墩结构的计算应力不精准。因此采用子模型方法时，需要在粗网格模型中对模块支墩的刚度进行较为准确的模拟，但此操作有一定的局限性，对于低腹板模块支墩的模拟存在一定的困难。

3）考虑到低腹板模块支墩结构粗细网格刚度匹配性低的问题，提出了一种修正子模型方法，通过修正模块支墩界面载荷来抵消模型之间刚度的差异，在很大程度上消除了强度校核的误判风险，使修正前后计算应力的误差从12.4%降低为1.3%，效果明显。此外，由于粗网格模型的差异对计算结果造成的影响也有了很大程度的降低。因此，当无法保证粗网格模型中模块支墩及加强结构的建模精准度时，推荐采用本文的修正子模型方法进行修正。