0 引　言

船舶横摇运动预测是海洋工程和船舶设计领域中的一个重要研究课题，对于船舶的安全性、经济性和乘员的舒适性具有至关重要的影响。船舶在海上航行时，会受到多种因素的影响，如波浪、流速、船舶自身的结构和操作等，这些因素共同作用于船舶，导致其产生横摇运动^[1]。准确预测船舶的横摇运动，尤其是在恶劣海况下，可以协助船员准确把握船舶未来的运动特性，采取相应的应急措施，极大提升船舶安全性。近年来，船舶横摇运动的预测方法主要包括基于数学模型的解析方法^[2]、经验公式法^[3]和基于数据驱动的机器学习方法^[4]。解析方法依赖于船舶动力学和流体力学的理论，构建数学模型来预测船舶的运动。这种方法的优点是理论基础坚实，但模型通常较为复杂，且难以适应实际海洋环境的多变性。经验公式法则通过分析历史数据，建立基于经验的预测模型，其简单易行，但预测精度受限于数据质量和经验公式的泛化能力。近年来，随着大数据和机器学习技术的发展，基于数据驱动的机器学习方法，尤其是神经网络相关技术，因其强大的数据处理和模式识别能力，被广泛应用于船舶运动预测，并取得了显著的成果。

然而，传统的BP（Back Propagation）神经网络在船舶横摇运动预测中容易出现如训练时间长、容易陷入局部最优解等问题^[5]。为了解决这些问题，研究者们尝试引入各种方法来改进神经网络的性能。例如，李冲^[6]引入改进的NARX神经网络，结合实测环境数据，有效提高了“育鲲”轮横摇运动的预测准确度，证实了其在海况预测中的有效性。张琴等^[7]研发了融合VMD与LSTM的预测模型，针对船舶横摇运动进行高效精准预测，提升了预测技术在海洋工程领域的应用潜力。鲸鱼优化算法^[8]（Whale Optimization Algorithm, WOA）是一种模拟座头鲸捕食行为的优化算法，通过模拟鲸鱼的狩猎策略来解决优化问题。因其简洁、高效以及出色的全局搜索性能，该算法在多个领域得到了广泛的应用和关注。

因此，本文提出了一种鲸鱼优化算法与BP神经网络相结合的预测模型（WOA-BP），旨在实现船舶横摇运动快速且准确的极短期预报。WOA-BP模型的创新之处在于，其不仅利用了鲸鱼优化算法的高效全局搜索能力来优化BP神经网络的参数，从而提高模型的预测精度和收敛速度；而且还通过引入自适应学习率和动态调整网络结构的机制，增强了模型对不同海况变化的适应性和泛化能力。此外，通过AQWA软件与机器学习技术相结合，模拟实际海洋环境条件下的船舶水动力响应，为模型提供高质量的训练数据。

1 优化算法介绍 1.1 BP神经网络模型

BP神经网络的结构包括输入层、输出层和若干隐含层，每层都有若干个节点，层与层之间节点的链接状态通过权重来体现。其中，输入层的节点个数等于输入的维度，输出层的节点个数等于输出的维度。在BP神经网络中，每个节点都包含一个感知器（即一个单独的神经元），其包含输入项、权重、偏置、激活函数和输出。在正向传播过程中，输入数据经过感知器节点的计算后，通过激活函数的处理得到输出结果；而在反向传播过程中，将结果与期望结果进行比较，通过多次迭代不断调整网络上各个节点的权重。

一个典型的多层前馈神经网络如图1所示，输入层接收外部特征X，并通过一系列隐藏层处理，最终在输出层产生预测结果Y。该网络的训练涉及前向传播输入信号和反向传播计算误差2个关键步骤。

每层的计算公式如下：

$ y = TW + b 。$

(1)

式中：T为激活函数，b为激活阈值，W为连接权重。对于多层网络，采用的是前馈传播的方式进行计算，即每一层都按以上的公式进行计算，直到最后一个输出层。本文中BP神经网络的误差函数为均方差函数，具体公式如下：

$ E\left( {W,b} \right) = \frac{1}{m}\sum\limits_k^m {\frac{1}{k}\sum\limits_{j = 1}^k {{{\left( {{{\hat y}_{ij}} - {y_{ij}}} \right)}^2}} } 。$

(2)

式中：m为训练样本个数；k为输出个数；$ {\hat y_{ij}} $为第i个样本第j个输出的预测值；$ {y_{ij}} $为对应的真实值。

1.2 鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法能有效避免陷入局部最优，是求解最优解问题的理想算法^[9]，是一种模拟座头鲸群体气泡狩猎捕食过程的元启发式算法。WOA算法3个阶段计算公式如下：

第一阶段包围猎物。发现猎物后，鲸鱼根据目标猎物位置或接近目标猎物最近点进行位置更新，位置更新公式为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{X\left( {t + 1} \right) = {X^*}\left( t \right) - A \cdot D} ，\\ &{D = \left| {C \cdot {X^*}\left( t \right) - X\left( t \right)} \right|} 。\end{aligned}} \right. $

(3)

式中：X^*为已发现的最优位置；X为鲸鱼的当前位置；t为迭代次数；A和C分别为影响搜索动态的参数矩阵，表达式为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{A = 2a \cdot {r_1} - a}，\\ &{C = 2{r_2}} ，\\ &{a = 2 - \displaystyle\frac{{2t}}{{{t_{\max }}}}} 。\end{aligned}} \right. $

(4)

式中：r₁和r₂为介于0～1的随机数值；t为当前的迭代轮数；t_max为迭代的上限；a为一个随着时间从2递减至0的衰减系数。算法的后续步骤涉及模仿鲸鱼盘旋上升捕食的螺旋搜索模式，其表达式如下：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{X\left( {t + 1} \right) = {X^*}\left( t \right) + D \cdot {e^{bl}} \cdot \cos (2{\text{π}} l)} ，\\ &{D = \left| {C \cdot {X^*}\left( t \right) - X\left( t \right)} \right|} 。\end{aligned}} \right. $

(5)

式中：b为一个固定值，用于调整螺旋搜索的轨迹形态；l为介于−1～1的随机数。

在模拟鲸鱼螺旋上升搜索猎物的行为时，搜索模式会逐步缩小搜索范围，为了模拟这种行为，需要包围猎物和螺旋搜寻同步进行，更新公式为：

$ X\left( {t + 1} \right) = \left\{ {\begin{aligned} &{X\left( t \right) - A \cdot \left| {C \cdot X\left( t \right) - X\left( t \right)} \right|,p < 0.5}，\\ &{X\left( t \right) + D \cdot {e^{bl}}\cos (2{\text{π}} l),p \geqslant 0.5} 。\end{aligned}} \right. $

(6)

式中：p为[0,1]之间均分布随机数。

在算法的最终阶段，采用随机搜索策略以增强算法的全局探索能力，通过引入随机因素来扩展搜索空间，从而提高鲸鱼群体的搜索效率。

当系数|A|≥1时，此时应采用随机搜索策略；当系数|A|<1时，实施螺旋环绕的搜索策略。在随机搜索的迭代更新中，使用以下公式，其中X_rand为群体中某个鲸鱼的随机位置。

$ X\left(t+1\right)=X\mathrm{_{rand}}\left(t\right)-A\cdot\left|C\cdot X\mathrm{_{rand}}\left(t\right)-X\left(t\right)\right|。$

(7)

3种搜索策略的融合形成了鲸鱼优化算法的核心^[10]。

2 船舶横摇运动方程

在评估船舶稳性时，通常会特别关注横浪影响下的横摇运动响应^[11]。这种简化的模型能够在简化复杂问题的同时，捕捉到船舶在大幅度横摇和倾覆过程中的非线性特征^[12]。因此，本研究将围绕单自由度横摇运动方程进行深入探讨，该方程式为：

$ \left(I_{xx}+J_{xx}\left(\omega\right)\right)\ddot{\varphi}+B\left(\omega\right)\dot{\varphi}+K\cdot\varphi=\boldsymbol M_{\mathrm{wave}}\left(\omega\right)。$

(8)

式中：船舶横摇角$ \varphi $、阻尼系数$ B\left( \omega \right) $、回复力系数K、横摇惯性矩$ {I_{xx}} $以及随时间变化的横摇附加惯性矩$ {J_{xx}}\left( \omega \right) $和波浪激励力矩$ \boldsymbol{M}_{\mathrm{wave}}\left(\omega\right) $是关键参数。通过将频域中的横摇运动方程转换到时域，则公式如下：

$ {\left(I_{xx}+J_{xx}\right)\ddot{\varphi}\left(t\right)+\displaystyle\int_0^th\left(t-\tau\right)\dot{\varphi}\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau+K\cdot\varphi\left(t\right)=\boldsymbol M_{\mathrm{{wave}}}\left(t\right) }。$

(9)

参数$ h $为反映波浪历史影响的延迟函数。波浪记忆效应表现为船体不仅受到当前波浪的作用，还受到之前波浪累积效应的影响，这种效应使得系统展现出一种记忆特性。通过在式(10)中对附加质量$ {J_{xx}}\left( \omega \right) $或阻尼$ B\left( \omega \right) $进行积分，来分析波浪记忆效应对横摇运动的影响。AQWA软件在处理势流阻尼时，通过阻尼修正来纳入黏性阻尼的影响，其中$ B\left( \omega \right) $为考虑了黏性效应的阻尼系数。$ {J_{xx}}\left( \omega \right) $和$ B\left( \omega \right) $的值可以通过最小二乘法基于系统识别数据来确定。

$ h\left(t\right)=\frac{2}{\text{π}}\int_0^{\infty}\frac{Jxx\left(\omega\right)}{\omega}\sin\left(\omega t\right)\mathrm{d}\omega=\frac{2}{ {\text{π}}}\int_0^{\infty}B\left(\omega\right)\cos\left(\omega t\right)\mathrm{d}\omega 。$

(10)

计算波浪产生的力矩时，采用以下公式：

$ \boldsymbol M\mathrm{_{wave}}\left(t\right)=\boldsymbol M_{F-K}(t)+\boldsymbol M_d(t)。$

(11)

在未受浮体干扰的情况下，$ \boldsymbol{M}_{F-K}(t) $为由Froude-Krylov理论计算得到的原始波浪力矩，而$ \boldsymbol{M}_d(t) $为波浪与浮体相互作用后产生的绕射力矩。在横浪的条件下，$ \boldsymbol{M}_{\rm{w}ave}\left(t\right) $为依据Froude-Krylov假设计算得出的波浪激励力矩^[13]。

3 WOA－BP模型验证结果及分析

鲸鱼优化算法-反向传播（WOA-BP）神经网络具有自适应性、高度可调性与全局搜索能力，使得预测模型具有更好的鲁棒性和更高的预测精度。具体算法流程如图2所示。

3.1 数据输入

利用基于势流理论的船舶水动力分析软件AQWA^[14]，对一艘17000 DWT的油船在空载状态下的运动响应进行了时域模拟，以收集WOA-BP模型所需的数据，船型的具体参数如表1所示。通过 AQWA时域计算模块得到油船空载状态下横摇运动历时数据，数据的采样间隔为0.1 s，每组数据5000个，总共时长500 s用于WOA-BP模型训练预报。油船的几何模型如图3所示。不规则波谱类型选择JONSWAP谱，在给定的波浪参数条件下得到的时域横摇运动响应如图4所示。

根据图4所示的时域横摇运动数据，得到图5所示的频率响应特性，通过应用快速傅里叶变换（FFT）算法，将时域信号转换为频域信号，并计算出每个频率成分的幅度谱。这一过程不仅揭示了横摇角随时间变化的频率特性，还反映了船舶动态响应的特性。

3.2 数据准备阶段

采用归一化方法处理样本数据，使所有数据都处于[0,1]的范围内，消除量纲影响并加速收敛，归一化数学表达式为：

$ {X^*} = \frac{{{{X}} - {x_{\min }}}}{{{x_{\max }} - {x_{\min }}}} 。$

(12)

式中：$ {X^*} $为数据的归一化结果；$ X $为数据的原始形态；而$ {x_{\min }} $与$ {x_{\max }} $则分别为原始数据集中的最小值和最大值。

3.3 配置模型参数

本次模拟中训练组70%样本用于训练网络，30%样本作为验证组，用于独立测试所训练网络的性能。并根据其误差调试网络，其中训练法则采用Levenberg-Marquardt运算法则，使用Matlab环境构建了BP神经网络模型及其改进版WOA-BP模型，设定神经元数量为10个，隐藏层级为5层。在模型训练中，选用Adam优化算法，设定学习速率为0.1，并规定最大训练周期为1000轮。

在WOA算法的初始设置中：鲸群数量设定为50，迭代次数上限为100，每个鲸鱼的位置限制在[−3,3]区间内。通过图6所示适应度变化曲线发现，使用WOA算法优化BP神经网络的搜索过程，其中适应度在第5轮迭代时达到了最低点为0.010343885。在较少的迭代次数内，该算法成功找到了最优的学习参数组合，并达到了较低的适应度值。这表明算法具有较高的效率，能够在消耗较少计算资源的情况下，快速获得较好的优化结果。

3.4 WOA－BP模型训练及预测结果分析

根据所设定的函数及加权参数，WOA-BP神经网络的拟合结果如表2及图7所示，显示出在训练和测试数据集上预测精度较高，满足工程应用的要求。图8及表2进一步展示了WOA-BP模型预测值与AQWA计算结果的频率响应谱对比，显示出两者的频率响应曲线具有很高的拟合度且峰值误差较小，表明WOA-BP模型对船舶运动响应谱具有较高的频率分辨率，能够精确捕捉系统的动态特性，从而确保了在船舶横摇预测方面的准确性和可靠性。

线性回归分析图（见图9）显示了网络输出对训练、验证和测试集的目标。理想情况下，图中的点应该紧密围绕着45°角的直线（即预测值等于实际值的线），其相关系数为1，这表明模型的预测非常准确。其中，圆圈表示真实值；拟合线则是模型根据输入数据拟合出的预测值与实际值之间的关系；虚线表示的是理想情况下的预测线，即Y=T，其中Y是模型预测值，T是目标值。虚线是45°角的直线，表示当预测值完全等于目标值时的情况。如表3所示，在本次模拟中，WOA-BP神经网络在所有给出的预测准确率上都超越了传统的BP神经网络，其中最高的准确率达到了0.99759，这一数值在所有列出的数据中是最高的，表明WOA-BP神经网络在整体上表现更优。

图10为本文提出的WOA-BP以及BP船舶横摇运动预测模型的预测结果和预测误差，该WOA-BP模型有效避免了传统BP神经网络易陷入局部最优和对初始权重敏感的问题，增强了网络模型的稳健性，相较于BP船舶横摇运动预测模型在预测精度上有了较大提升。如图11所示，相比传统BP神经网络，WOA-BP神经网络预测的频率响应特性与AQWA计算的响应谱吻合度较高，趋势和峰值均有较高的一致性，验证了其在捕捉船舶动态响应方面的高效性和准确性。

对训练后得到的结果进行反归一化后，再计算出结果与标准结果的误差值，将预测值与真实值之间的误差做了对比，如表4所示。表中展示了这2个模型对船舶横摇运动进行预测后的均方误差 MSE，均方根误差 RMSE 以及平均绝对误差 MAE，决定系数R²。

可以看出，将BP模型与经过WOA算法优化的BP模型的预测结果对比分析预测误差，WOA-BP预测模型将预测值误差百分比降低了大约99.85%，RMSE相较BP模型降低了约88.97%，MAE降低了约96.76%，R²提高了约86.54%。

基于WOA-BP模型在横摇角度预测的准确性验证，对横摇角速度及横摇角加速度的预测进行了分析，以进一步验证模型的泛化能力和实用性。横摇角速度和加速度作为船舶动态稳定性分析的关键指标，对于评估船舶在复杂海况下的响应性能至关重要。在本次模拟中，选取了与横摇角度相对应的横摇角速度和横摇角加速度的数据集。分别用BP模型和WOA-BP模型在这些数据上进行了重新训练，以适应横摇角速度和角加速度的预测任务。图12～图15所示为WOA-BP模型与BP模型对船舶运动响应谱的频率分辨率的性能对比。

图13所示为不同预测模型与AQWA计算结果的对比，其中WOA-BP模型在横摇角速度频率响应中展现出了更高的准确性，验证了模型在频域分析中的有效性。通过对比图12及表5的WOA-BP模型与原始BP模型的预测结果，WOA-BP模型在横摇角速度预测上表现出比传统BP模型更高的准确性，根据统计指标，WOA-BP模型的MSE、RMSE、R²及MAE均低于BP模型，表明其在横摇角速度预测任务上具有更好的性能。

如图14、图15和表6所示，在横摇角加速度预测方面，该模型在预测精度和频率响应的解析度上均超越了传统的BP模型，显示出更高的准确性和稳定性。综上，WOA-BP模型不仅在横摇角度的预测准确性上超越了传统BP模型，而且在横摇角速度和加速度的预测任务中也展现了卓越的性能和泛化能力。以AQWA计算得到的横摇运动响应谱作为目标值，WOA-BP模型的预测结果相较于原始BP模型显示出更高的拟合度。

4 结　语

本文将BP神经网络与鲸鱼优化算法相结合对船舶横摇进行预测，提高了预测模型的准确性和预测结果的稳定性。改进后的WOA-BP模型能够有效的提高原始的BP模型的训练能力，减小模型的预测误差，在实时预测船舶横摇运动方面，具有更好的效果。

通过AQWA对一艘油船在空载状态下进行时域仿真并获取动态响应数据，以此为基础，建立鲸鱼算法优化BP神经网络，对船舶横摇角、角速度及角加速度进行预测对比，得出以下结论：

1）借助WOA算法的简洁性、易于配置的参数、强大的优化能力和快速收敛的特性，构建了WOA算法优化神经网络模型，获得了BP神经网络最佳的权值和阈值，取得了良好的预测效果。

2）根据Matlab仿真结果可以直观看出，经WOA算法优化的BP神经网络预测精度要优于未优化的BP神经网络，主要是其初始权重和阈值通常是随机设定的，这使得BP神经网络更容易陷入局部最优解；而WOA算法作为一种全局优化算法，可以用于搜索BP神经网络模型初始的权值和阈值，能够更好地避免陷入局部最小值，从而获得全局最优解，提高了模型在船舶横摇运动方面的性能。

3）相比传统的BP神经网络，WOA-BP模型不仅在横摇角度预测上表现卓越，更在横摇角速度和角加速度的预测中展现了出色的性能，通过将WOA-BP模型预测的频率响应与AQWA计算结果进行对比，二者趋势和峰值具有较高的一致性，验证了其在捕捉船舶动态响应方面的准确性，进一步凸显了WOA-BP模型在船舶横摇运动谱分析中的高分辨率。研究结果将有助于船员和设计者更好地掌握船舶复杂海况下的运动特性，以提高船舶的稳定性和安全性。