0 引　言

随着制造工艺和材料科学的进步，船舶尺寸和高强度钢比例显著增加，导致船舶结构刚性降低、波浪载荷增加和固有频率降低等问题，船舶在航行中面临更大的结构安全挑战。自2005年以来，全球发生了1200余起重大海上事故，其中约1/10与船舶结构故障有关。因此，监测船舶各部件的应力响应以进行安全评估，对于船舶运行和维护至关重要^[1]。

船体应力监测系统是实时监测船舶结构状况的主要方法^{[2 − 4]}，通过安装在船体上的传感器获取加速度和局部应变数据，监测船体的重要结构、敏感区域和关键部件，并进行在线评估。目前，美国、英国、挪威、丹麦、日本和澳大利亚的研究机构正在利用光纤传感器技术开发船舶操作监测系统，一些研究成果已实际应用。对于应力监测系统中最重要的监测点布置，胡雄等^[5]基于船舶事故成因提出了集装箱船的监测设备布置方案，贾连徽^[6]根据船舶结构特性确定了应力响应重点，刘彦麟^[7]从船舶结构规范出发确定了12个监测点。这些方案能对船舶重要部分的结构安全进行有效的评估，但传感器数量有限，且受结构功能、空间和成本限制，无法完整监测船体每个部件的应力^[4,8]。因此，基于有限测点的全船应力反演研究具有重要意义，但相关研究较少。

模态叠加法是简化船舶应力计算的重要方法，能反映船舶不同位置的应力应变关系。船舶受到波浪载荷作用产生的振动通常被认为由多种振型的各阶模态组成^[9]，模态叠加方法能够解耦各阶振动，通过线性叠加各模态，得到整个船体的应力响应。Faltinsen^[10]研究了将船体简化为双节点弯曲梁的弹性效应，黄强等^[11]采用类似方法，结合模态叠加法来分析航速和波角对船体形变的影响。

然而，过往研究在船舶应力响应反演上仍存在缺陷^[12–13]。将船体简化为双节点弯曲梁的计算中，主要采用垂向弯曲模态叠加。但集装箱船的结构特性使单一垂向弯曲模式无法准确反映船舶响应^[14]，集装箱船货舱通常具有大开口，这种开口在甲板上的宽度往往超过船体宽度的85%，达到对应货舱长度的90%以上。与其他船舶相比，具有大开口的船舶扭转刚度较低，显著增加了复杂海浪载荷下的扭转变形。因此，在集装箱船和其他具有大开口的船舶结构设计中，不仅要考虑垂向弯曲强度，还需考虑水平弯曲和抗扭强度^[15–16]。

本研究基于模态叠加法和有限元模型，通过有限数量测点的应力数据反演整个船舶的应力分布。建立全船船体应力监测数字孪生模型，针对集装箱船结构与受载特点，对基础模态的选择进行系统性研究，并验证基于有限监测数据反演船舶各关键结构部件应力响应的技术可行性。

1 船体结构应力监测的数字孪生模型

数字孪生模型的计算主要分为3个部分：

1）构建全船有限元模型，利用有限元计算软件获取船舶不同振型的基础模态，并选择合适的模态和阶数得到基础模态应力矩阵；

2）根据船舶的结构特征和应力响应特征，选择合适的监测点布置方案，以更好地反映船舶在波浪载荷下的响应特征；在船舶应力较大的区域选择验证点，用以验证船体结构应力监测数字孪生模型的可靠性；

3）以监测点的应力响应为目标矩阵，计算各基础模态的权重系数，并依据权重系数对基础模态进行线性叠加，反演得到全船结构的应力响应；使用验证点的反演应力与实测应力之间的相对误差作为数字孪生模型应力反演可靠性的评价标准。

船体结构应力监测数字孪生模型的计算流程如图1所示。

1.1 模态叠加原理

多自由度系统的强迫振动方程为：

$ \boldsymbol{M}\ddot{x}+\boldsymbol{C}\dot{x}+\boldsymbol{K}x=\boldsymbol{F}。$

(1)

式中：M、C、K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；F为结构的外部载荷。该方程通常为耦合方程，可通过正则坐标变化将方程解耦，达到缩减求解工作量的目的。

假设结构的位移变形可以通过有限数量的振型线性叠加组成，即：

$ {x}=\varPhi {\boldsymbol q}=\varphi_{1}{\boldsymbol q}_{1}+{\varphi}_{2}{\boldsymbol q}_{2}+... 。$

(2)

式中：$ \varPhi $为结构的主模态形状；q为广义正则坐标的分量。

因此，多自由度结构的强迫振动方程可以写为：

$ {\varPhi}^{\text{T}}{{\boldsymbol M}\varPhi}\ddot{{q}}+{\varPhi}^{\text{T}}{{\boldsymbol C}\varPhi}\dot{{q}}+{\varPhi}^{\text{T}}{{\boldsymbol K}\varPhi q}={\varPhi}^{\text{T}}{\boldsymbol F}。$

(3)

定义广义质量矩阵$ {{\boldsymbol M}}^{{*}}={\varPhi}^{\text{T}}{{\boldsymbol M}\varPhi}，{{\boldsymbol C}}^{{*}}={\varPhi}^{\text{T}}{{\boldsymbol C}\varPhi}，{{K}}^{{*}}= {\varPhi}^{\text{T}}{{\boldsymbol K}\varPhi} $，则解耦后的多自由度系统强迫振动方程为：

$ {{\boldsymbol M}}^{{*}}{\ddot{{q}}}_{{i}}+{{\boldsymbol C}}^{{*}}{\dot{{q}}}_{{i}}+{{\boldsymbol K}}^{{*}}{{q}}_{{i}}={{\boldsymbol F}}_{{i}}，{(i=1,2,...,n)} 。$

(4)

因此，倘若求解得到各阶模态的广义坐标向量q，即可通过将所有响应模态线性叠加的方法，求得全船实际的响应。

$ \sigma =\sum_{i=1}^{n}{q}_{i}{\sigma}_{i} 。$

(5)

根据实船监测点的应力实测值$ {\sigma}_{\text{real}} $，结合提取的模态振型中监测点的应力值$ {\sigma}_{i}^{\text{}\text{monitor}} $，求得各阶模态的权重系数q。

$ {q}={\left({\sigma}^{\text{monitor}}\right)}^{-1}{\sigma}_{\text{real}}。$

(6)

根据模态权重系数，对预报点的各阶模态应力$ {\sigma}^{\text{}\text{prediction}} $进行线性叠加即可得到预报点的应力响应$\sigma$。

$ \sigma={\sigma}^{\text{prediction}}q。$

(7)

基于上述原理，结合船体有限元模型，建立船体结构应力监测数字孪生模型。

1.2 基础模态选择范围

本文的研究对象为一艘14000 TEU集装箱船，船长330 m，全尺寸有限元模型如图2所示。与变截面梁模型相比，该模型能更准确地模拟船舶在波浪载荷下的振动模式和响应。

考虑到集装箱船的结构特点和海洋条件的复杂性，本文采用垂向弯曲振型的前三阶模态、扭转振型的前三阶模态以及水平弯曲的前三阶模态作为基础模态选择的范围。

基础模态的振型图如图3所示。

1.3 模态选择方案

基于船舶受载与结构特点，根据3条准则制定了不同的模态选择方案用于分析计算。

1）船舶受到垂向弯矩为主的载荷，因此基础模态选择需要包含一至三阶垂向弯曲。

2）由于模态叠加法计算矩阵的特点，模态数量受到监测点数量限制，而为保证验证结果的独立性，在本文G₁～G₈共8个测点的实测数据中，仅能采用7个测点的数据进行权重系数的计算，因此基础模态数量上限为7；同时经过初步计算，将数量下限定为5。

3）根据第一条准则，一至三阶的垂向弯曲与不同阶数的横弯和扭转模态组成了不同的基础模态选择方案；而在每个方案中，优先选择低阶模态而非高阶模态。

符合以上准则的10种方案如表1所示，包含了3种五模态方案、4种六模态方案与3种七模态方案，表中√代表该基础模态选择方案包含此模态，×代表该方案中没有采用此模态。

为了控制变量，对模态数量的影响进行分析。根据模态选择的变化规律将10种方案分为了3组，每组方案均以一种五模态方案为基点，逐步添加水平弯曲或扭转模态，得到“临近”的六模态方案与七模态方案，如图4所示。

1.4 监测点布置方案

参考《钢制海船入级规范》的相关要求，本文建立如图5所示的8个长基线传感器监测点，以更好地捕捉船舶的整体形变特征。

以船舶左舷为例，为了反映船舶的纵向变形，将测点G₁～G₃依次放置在船舶纵向的0.25L、0.5L和0.75L处。此外，甲板上的监测点G₅、G₆和水线以下的监测点G₇、G₈被增设在载荷更大的船中区域。其中G₂作为验证点，用反演应力值与实测应力值的误差作为标准验证应力反演模型的可靠性。测点位置描述如表2所示。

本文将船体的测点分为监测点和验证点。监测点用于模态权重系数的计算，而验证点不参与系数计算，仅用于验证反演应力的准确性。通过有限元模型得到船舶的基础模态数据后，根据各监测点的响应数据和模态矩阵，计算出各模态的权重系数。最后，根据式(2)将基础模态乘以各自的权重系数进行线性叠加，反演得到验证点的应力响应。

2 基础模态数量对反演效果影响的分析

为了验证本文提出的船体结构应力监测数字孪生模型的可靠性，以及对监测点外整个船舶部件的预测精度，采用了不同典型海况下船舶应力监测数据，以60 s内船体应力响应作为分析对象。在各海况下，基于不同的基础模态选择方案对船舶应力响应进行反演，并以验证点G₂的反演应力值与实测应力值之间的相对误差作为反演可靠性评价标准，其中时域内相对误差的算术平均值是主要评价标准。

2.1 实测海况

本文研究所用海况如表3所示。

2.2 A海况下各组方案误差分析

该海况为本文研究对象14000 TEU集装箱船在长江试航的实测海况，对应的船舶吃水为11.36 m，对地船速为22.5 kn。

该海况下不同基础模态选择方案的应力反演时历曲线如图6所示。

首先，分析第1组方案在该海况下的反演效果，第1组内各基础模态方案应力反演误差如表4所示。

可以看出，无论是依据60 s内最大误差还是平均误差判断，在第1组方案中，七模态的基础模态方案反演效果最佳，而其中方案M7-1显著优于M7-3。五模态及六模态方案反演误差均值都超过了10%，而方案M7-1的反演误差均值为–1.54%，显著优于方案M7-3的–7.73%。

此外，虽然方案M5-1在时域误差均值上有较好表现，但并不能反映出应力的时序波动，对船舶结构的疲劳分析不利。从图6可以明确观测到方案M5-1应力反演曲线相较于实测应力曲线过于平缓，其反演应力极差为1.67，方差为0.07258，而实际响应的应力极差为2.575，应力数值方差为0.2949，差异明显。

第2组内各基础模态方案应力反演误差如表5所示。

可以看出，无论是依据60 s内最大误差还是平均误差判断，在第2组方案中，仍然是七模态的基础模态方案反演效果最佳，其中方案M7-2反演误差均值为5.36%，在该组方案内反演效果最好。总体而言，反演误差随着模态数量的增加而下降，同时，六模态方案得到的反演结果良好，反演误差极值均低于15%。

第3组内各基础模态方案应力反演误差如表6所示。

可以发现，同为五模态，方案M5-3的反演效果明显劣于其余2种五模态方案，误差均值偏差过大，达到了–76.86%。

同时，在该组内，反演误差随着模态数量的增加而下降，五模态方案的反演误差超过50%，六模态方案的反演误差在10%～20%区间内，七模态方案的反演误差低于10%，且方案M7-1反演误差均值为–1.54%，误差极值为–3.39%，误差方差为0.18，均为组内各方案最小，该方案在误差均值、误差极值以及误差稳定性全面占优。

对于A海况，能够得出的结论为：反演效果会随着模态数量的增加而提升；M7-1是最符合要求的基础模态选择方法；六模态中M6-2与M6-4也能得出较为可靠的反演结果。

2.3 B海况下各组方案误差分析

该海况为本文所研究14000 TEU集装箱船某次海试的实测海况，吃水为13.5 m，对地船速为11 kn。

该海况下不同基础模态选择防范的应力反演时历曲线如图7所示。

首先，分析第1组方案在该海况下的反演效果，第1组内各基础模态方案应力反演误差如表7所示。

可以看出，无论是依据60 s内最大误差还是平均误差判断，在第2组方案中，反演效果随着模态数量的增加而提升。五模态方案的反演误差超过60%，六模态方案的反演误差在30%～60%区间内，七模态方案的反演误差低于20%，且方案M7-1反演误差均值为–11.67%，误差极值为–14.26%，误差方差为0.34，均为组内各方案最小，该方案在误差均值、误差极值以及误差稳定性全面占优。

同时，在该海况下，第1组内的五模态及六模态方案反演误差均过高，且可以明显观测到在10～20 s的区间里，M5-1与M6-1方案的反演应力曲线与实测应力曲线波动极不一致。当实测应力出现较大峰谷值时，M5-1与M6-1方案的反演应力保持平稳。相较而言，从应力波动趋势的角度，M6-3更能反映实际应力的特征。

第2组内各基础模态方案应力反演误差如表8所示。

可以明显发现，虽然方案M5-2的反演误差数值最小，但是应力波动趋势完全错误，甚至在譬如10、14 s等多处时刻出现峰谷相反的情况，基于该现象，本文认为方案M5-2反演结果不可靠。

同时，在该海况下，六模态方案的反演应力曲线波动比七模态方案更为剧烈，峰谷值更明显，且误差数值更大，七模态方案的反演误差均值在10%～20%区间内，六模态方案的反演误差均值在20%～30%区间内。

第3组内各基础模态方案应力反演误差如表9所示。

从时历曲线与误差表能够得出的最直观结论为：M5-3完全无法对该海况下的应力响应进行反演，其反演应力误差超过了100%，甚至反演应力方向都与实际应力相反。同时，在该海况下，依旧存在六模态方案的反演应力曲线波动更剧烈的情况，峰谷值更明显，且误差数值更大的情况。在七模态方案中，M7-1的表现最好。

2.4 讨论与分析

由表10可知，在所有方案中，反演误差的各海况平均随着模态数量增加而下降，五模态方案的反演误差极大，除反演应力趋势错误的方案M5-2外，五模态方案反演误差各海况平均超过35%，六模态方案的反演误差在15%～45%区间内，七模态方案的反演误差在5%～15%区间内。同时，方案M7-1的反演误差均值在各海况下的平均为6.61%，在所有方案中唯一小于10%。

根据上述2种海况的应力反演误差分析可知，在5～7个基础模态的范围内，应力反演的效果随着模态数量的增加而提升。五模态的选择方案几乎不能得出可靠的应力反演结果。在部分海况下，六模态的选择方案也能够得到较好的应力反演效果，但应力时序波动会被放大，对峰谷值的反演存在一定的失真。反演效果最好的是方案M7-1，即一至三阶垂向弯曲、一至三阶扭转加上一阶水平弯曲的基础模态选择。该方案的反演误差小、应力波动趋势吻合度高、误差稳定性好。

3 基础模态选择对反演效果影响的分析

在第2节的分析中，可以得出在5～7个模态的范围内，七模态的选择方案具有全面且明显的优势，因此本节将通过更多海况下的实测数据与七模态方案的直接对比，进行模态振型选择的分析。

C海况船舶吃水为13.2 m，对地船速为13.6 kn。该海况下七模态方案反演应力曲线如图8所示。

D海况吃水为13.9 m，对地船速为16.8 kn。该海况下七模态方案反演应力曲线如图9所示。

对上述所有4种海况的七模态方案应力反演误差汇总如表11～表12所示。

可以发现，所有海况下，从误差均值和误差极值的角度分析，方案M7-1的反演效果最好，其反演误差均值的范围为5%～15%，各海况下平均为9.02%，3个七模态方案中唯一小于10%，显著优于方案M7-2的13.28%与方案M7-3的16.06%。且从误差稳定性的角度分析，方案M7-3相较其余方案而言稳定性较差，在一半的海况中出现了方差超过其余2种方案150%的情况。

可知，3种七模态方案对实际应力波动趋势的反演可靠性均处于较高水平，能够较为完整且准确地表现出应力上升和下降的时间与趋势。但在应力波动剧烈的海况下，3种七模态方案的反演应力均存在放大应力波动趋势的情况，具体表现为上升和下降的斜率偏大、峰值偏高。

总体而言，七模态方案都能较好地完成应力反演，基于方案M7-1的应力反演可靠性最高，即数字孪生模型应采用一至三阶垂向弯曲、一至三阶扭转加上一阶水平弯曲的基础模态选择。

4 结　语

本文验证了基于模态叠加、基础模态选择和监测点布置方案建立船体结构应力反演模型的可行性，这对船体应力监测数字孪生系统的发展具有重要意义。合理使用这种船体结构应力监测的数字孪生模型，可以在航行时更及时、方便地获取结构应力响应数据，为船舶的结构安全检查和疲劳分析提供了有利价值。本文的主要结论如下：

1）在五模态～七模态的范围内，随着模态数量的上升，应力反演效果提升。

2）在部分海况下，基于六模态方案的应力反演也可以得到较为可靠的结果，当装载情况特殊，监测点的布置受到进一步限制时，可以考虑采用六模态方案以适应点位更少的监测数据。

3）七模态中反演结果最可靠、最稳定的是方案M7-1，即一至三阶垂向弯曲、一至三阶扭转与一阶横弯的组合。