0 引　言

造船行业在结构设计方面会遇到重量、强度和成本等多方面的挑战。考虑到船舶航速、环保和经济性的要求，船体的轻量化研究备受重视。基座是船体结构的一部分，通过对基座进行轻量化设计能在一定程度上帮助实现船体轻量化的目标。

常用的结构轻量化设计方法主要包括参数优化和拓扑优化。参数优化方法是通过对结构的板厚参数、几何参数以及形状参数等进行设计以达到轻量化的目的。Yu等^[1]考虑结构的屈服强度、屈曲强度以及尺寸要求，以重量最轻为目标对结构面板厚度进行优化设计，并根据优化结果采用板缝布局算法修改结构，使其满足造船技术要求。Zhang等^[2]对超材料基座的胞元几何参数进行了优化。秦浩星等^[3]以声学超材料的胞元壁厚和胞元夹角作为设计变量，将振级落差作为约束条件，以蜂窝质量最小作为目标对结构进行优化。Zhang等^[4]以某型集装箱船为研究对象，基于Isight平台对结构进行优化设计，优化后单位长度构件的重量减小5.04%。Putra等^[5]提出一种混合遗传算法，对加强筋的数量和类型、加强筋间距和板厚进行优化，结果表明混合方法能够得到所有变量的最优解。Aguiari等^[6]将参数优化理论引入到船舶设计，在概念设计和初始设计方面实现船舶主要构件的优化设计。

拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续结构的拓扑优化，目前学者多数采用连续结构的拓扑优化方法。Zhang等^[7]采用Tosca软件以最大刚度为目标，体积分数作为约束条件，对船舶基座进行拓扑优化设计，优化后的基座比传统基座重量减轻22.6%。Jia等^[8]基于变密度拓扑优化方法对某三体船进行结构设计，在保证舱壁具有足够强度的同时，尽可能减少舱壁和加强结构的质量，实现轻量化设计。Shah等^[9]采用基于固体各向同性惩罚微结构（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）的多材料拓扑优化方法（Multi-Material Topology Optimization，MMTO）对结构进行拓扑优化，并将移动渐近线（Method of Moving Asymptotes，MMA）优化算法集成在MMTO之中，用于解决多变量的复杂问题。Yu等^[10]将材料惩罚和节点激活模型（Material Penalization and Node Activation Model，MPNA）和可靠度分析方法相结合，提出了基于船舶横舱壁可靠度的拓扑优化方法，实现考虑多种失效模式的船舶结构拓扑优化。

为了得到更好的减重效果，可以综合应用上述方法对结构进行多层次的优化设计。Li等^[11]基于双向渐进结构优化方法（Bi-directional Evolutionary Structural Optimization，BESO）和代理模型法，开发了一种涵盖尺寸优化、拓扑优化、截面优化等3个层次的优化方法，并应用在船舶舱室结构设计之中，取得了较好的效果。唐华平等^[12]以某给料机为例，采用拓扑优化与参数优化的方法对结构关键部分进行优化设计，拓扑优化后质量减轻16.5%，参数优化后刚度和可靠性得到提升。Ma等^[13]提出一种基于多层次探索的优化方法，以一艘20万吨游船为例，采用该方法在一定约束情况下使其结构重量最小化和安全性最大化。张媛媛等^[14]采用拓扑优化和参数优化相结合的方式对某箱体结构进行了优化设计，优化后的结构重量降低11.18%且频率响应特性得到了改善。

为实现基座的轻量化，目前已有学者采用分块优化、拓扑优化、参数优化和材料优化等轻量化技术对结构进行设计，但不同优化方法所采用的基本原理不同，对结构优化的效果也存在区别，在实际设计中，受到船东要求、优化成本、施工工艺等方面的约束，需要按照实际情况选择优化方式，而目前对于上述4种优化方式的对比分析还较少。本文分别从结构和材料2个层面出发，总结目前应用在基座结构上的轻量化技术，对比不同优化技术下基座的减重效果以及优化后结构力学性能差异，为实现船舶轻量化设计提供一定参考。

1 基座轻量化设计理论

基座作为机械设备的主要支撑结构，首要保证的就是基座的承载能力，在强度和隔振满足要求的情况下，要尽量控制基座结构重量，使其满足轻量化设计要求。目前基座的轻量化设计技术主要分为3类^[15]：

1）分块化设计。根据基座结构的受力特点，保留主要承载结构，删去非关键承载区域，将整体式基座设计为分块化基座。

2）结构优化设计。采用拓扑优化和参数优化等方法在基座满足强度和刚度要求的条件下，通过改变设计变量使得基座的重量达到最轻。

3）新型材料设计。采用密度小强度高的复合材料替代传统钢材，得到复合材料-钢组合基座，以达到轻量化的目的。

1.1 拓扑优化设计理论

结构拓扑优化设计主要考虑材料在设计域内的分布问题，通过优化材料分布，以达到轻量化目的。常用的材料插值模型包括均匀化方法、变密度法和变厚度法等。

本文基于变密度法进行拓扑优化设计，变密度法以单元密度作为设计变量，假定单元密度在0～1之间变化，材料属性与假定的单元密度相关，如下式：

$ {E_i} = f({\rho _i}){E_0} 。$

(1)

式中：E_i为结构优化后的材料弹性模量；E₀为结构优化前的材料弹性模量；在SIMP法中，f(ρ_i)为与相对密度ρ_i有关的函数：

$ f({\rho _i}) = {\rho _i}^p。$

(2)

式中：p为惩罚因子；ρ_i为单元的相对密度。

根据上式，可以将结构拓扑优化转换为结构密度分布优化问题，从而大大减少设计变量的数目，且程序设计简单，适用于任意形状的设计域。优化后得到单元密度相对分布云图，当密度值为1时，表示单元有材料，此处需要布置结构，密度值为0时，表示单元无材料，可以删除单元。在实际优化中，相对密度通常在0～1之间的某一个值，因此需要根据优化问题的特点，选取一定的阈值（单元密度值0.5），相对密度超过该值的单元予以保留，小于该值的单元删除，最终得到优化后的拓扑结构。

基于变密度法，以结构柔度最小为目标的数学模型如下：

$ \begin{split} {\text{Find}}\;\;\;\;&\rho = {\left[ {{\rho _1},{\rho _2},\;...\;,{\rho _n}} \right]^{\text{T}}}\\ {\text{Min}}\;\;\;\;\; &C(x) = {{\boldsymbol{F}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{U}} \\ {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;&V \leqslant {V_{\max }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&{\boldsymbol{F}} = {\boldsymbol{KU}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&0 \lt {\rho _i} \lt 1\;,\;(i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n)。\end{split} $

(3)

式中：ρ_i为第i个单元的相对密度，取值为0～1之间的连续值；C(x)为结构的柔度；F为结构所受的外力向量；U为结构的位移向量；V_max为优化后体积的上限值；K为结构的总刚度阵。拓扑优化迭代收敛的条件是前后两次目标函数的差别小于0.1%且前后两次单元密度值的差别小于0.5%。

1.2 参数优化设计理论

参数优化主要优化结构的参数特征，包括尺寸优化（截面的尺寸，比如壳单元的板厚以及梁截面的长和高等）和形状优化（包括圆孔的直径、方孔的边长等），以结构重量最轻为目标，在最大应力约束下的参数优化数学模型如下：

$ \begin{split} {\text{Find}}\;\;\;\;&{x_i}\;,\;(i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,q) \\ {\text{Min}}\;\;\;\;\;&{{mass}}\; \\ {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;&{a_i} \leqslant {x_i}\; \leqslant {b_i} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\sigma \leqslant {\sigma _{\max }}。\end{split} $

(4)

式中：x_i为需要优化的第i个参数，共有q个参数作为设计变量；a_i和b_i分别为设计变量的下限和上限值；mass为结构的重量；σ_max为结构应力允许的上限值。

1.3 复合材料设计理论

复合材料具有质量轻、比强度高的特点，且具有优异的承载能力和刚度特性。随着对新材料研究的不断深入，已经有学者开始研究用复合材料层合板替代传统钢材^[16]，利用层间吸能原理实现减振。本文参考文献[16]选取的碳纤维T700复合材料层合板，材料参数如表1所示。

复合材料单向板宏观表现为正交各向异性，单向板主方向的应力-应变关系为：

$ {\left[ \begin{gathered} {\varepsilon _{11}} \\ {\varepsilon _{22}} \\ {\varepsilon _{33}} \\ {\varepsilon _{44}} \\ {\varepsilon _{55}} \\ {\varepsilon _{66}} \\ \end{gathered} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{{E_1}}}}&{ - \dfrac{{{\nu _{12}}}}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{{{\nu _{13}}}}{{{E_3}}}}&0&0&0 \\ { - \dfrac{{{\nu _{21}}}}{{{E_1}}}}&{\dfrac{1}{{{E_2}}}}&{ - \dfrac{{{\nu _{23}}}}{{{E_3}}}}&0&0&0 \\ { - \dfrac{{{\nu _{31}}}}{{{E_1}}}}&{ - \dfrac{{{\nu _{32}}}}{{{E_2}}}}&{\dfrac{1}{{{E_3}}}}&0&0&0 \\ 0&0&0&{\dfrac{1}{{{G_{23}}}}}&0&0 \\ 0&0&0&0&{\dfrac{1}{{{G_{31}}}}}&0 \\ 0&0&0&0&0&{\dfrac{1}{{{G_{12}}}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {\sigma _{11}} \\ {\sigma _{22}} \\ {\sigma _{33}} \\ {\sigma _{44}} \\ {\sigma _{55}} \\ {\sigma _{66}} \\ \end{gathered} \right]。} $

(5)

2 原始基座尺寸及有限元模型

原始钢制基座有限元模型如图1所示，长为8300 mm，宽为2000 mm，高为210 mm。基座截面尺寸如图2所示。基座上面板厚度t₁ = 20 mm，下面板厚度t₂ = 10 mm，胞元内上下腹板厚度t₃ = 5 mm，胞元内上下面板厚度t₄ = 5 mm，胞元内中间腹板厚度t₅ = 5 mm。材料弹性模量E = 210 GPa，泊松比ν = 0.3，密度ρ = 7850 kg/m³。本文仅考虑主机重力载荷作用，忽略了主机振动激振力、基座螺栓预紧力等，采用S4R壳单元建模，主机作用点和面板采用MPC连接，模型共7560个单元，重量为5.41 t。

某船用主机重18.95 t，重心高1280 mm，主机重心与12个主机机脚耦合，并通过机脚与基座上面板连接，机脚安装位置正对基座面板与腹板的交线处，边界条件为基座底部刚性固定，如图3所示。

3 基座轻量化设计 3.1 分块化设计

对原始基座模型进行静力学特性分析，基座应力和位移分布如图4(a)所示。主机的重量通过12个机脚向下传递，机脚附近的单元应力偏高、位移偏大，属于关键承载区域。其余位置的单元应力水平明显偏低、位移偏小，可以认为对主机承载的贡献量很小，称为非关键承载区域。因此在分块化设计时，以保证基座宏观尺寸不变为前提，将基座结构的非关键承载区域删除，只保留主要承载结构，即可得到分块化主机基座。

对分块化主机基座进行强度分析，得到的应力分布云图和位移云图如图4(b)所示。从应力分布上来看，删去非关键承载区域，对关键承载区域的应力分布影响很小，Mises应力最大的位置与一体化基座应力最大的位置相同，均在胞元内腹板的位置处，位移整体分布与分块化前的整体分布类似，可以认为分块化前后对基座整体静力学性能影响不大。

表2对比了分块化前后的主机基座力学性能，分块化后最大Mises应力值从分块前的29.63 MPa变为32.54 MPa，增大9.82%，在许用应力范围内，最大位移值由分块前的0.086 mm增大到0.112 mm，基座重量由分块化前的5.41 t减小到2.83 t，减小47.69%，且基座的一阶固有频率变化不大。因此，基于本文的分块化设计原则，可以在保证基座承载能力的基础上，较大幅度减小基座的重量。

3.2 拓扑优化设计

结构拓扑优化设计主要是研究材料在设计域内的分布问题，本节采用Abaqus有限元软件联合Tosca结构优化软件，基于变密度法，通过在分析过程中不断修改基座模型中指定优化区域（设计区域）的单元材料性质，从而获得最优的设计目标。

基座拓扑优化的数学表达式如下：

$ \begin{split}\text{Find}\; \; \; \; & \rho=\left[\rho_1,\rho_2,\; ...\; ,\rho_N\right]^{\text{T}} \\ \text{Min}\; \; \; \; \; & W\mathrm{_{all}}\; \; \\ \rm{s.t.}\; \; \; \; \; \; \; & \sigma_i\leqslant \sigma_{\max}\; ,\; (i=1,2,\cdots,n) \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \left|u_i\right|\leqslant \left|u\right|_{\max},(i=1,2,\cdots,n)。\end{split} $

(6)

式中：ρ为拓扑优化的设计变量，即基座单元的密度；W_all为设计目标，即基座总质量最小；σ_i和$ {\left| u \right|_{\max }} $分别为模型的最大Mises应力和最大位移，二者作为约束条件，分别要求小于3.1节分块化基座的$ {\sigma _{\max }} $ = 32.54 MPa，$ {\left| u \right|_{\max }} $ = 0.112 mm。

Abaqus联合Tosca对基座结构进行拓扑优化的具体流程如图5所示，在Tosca的优化模块设置上式定义的优化三要素，联合Abaqus/CAE中进行分析求解，通过多次循环迭代，优化设计区域单元密度，使基座的质量最轻。

图6为典型迭代次数下，基座单元材料密度的分布云图，红色的单元代表其密度值为1，即不可删去单元；蓝色的单元密度值为0，表示结构设计时不需要对该区域布置单元。在循环为0次时，初始设置中规定主机机脚下方必须布置结构，该区域范围内的单元密度值为1，如图6(a)中的红色单元。每次迭代模型中单元的密度都在不断变化，迭代过程中螺栓附近结构的单元密度始终保持偏红的状态，因此是重要的结构参数。随着迭代次数增加到20次之后，材料密度分布趋于稳定，最终在第25次时结构拓扑优化过程结束。

图7为优化过程中的约束条件（结构强度和刚度）和设计目标（基座质量）随迭代次数的变化曲线。结构应力随着迭代次数增加，先下降后在迭代6次后趋于稳定，稳定的Mises应力为32.53 MPa；结构位移随着迭代次数增加，先下降后略有上升，在迭代15次后趋于稳定，稳定的最大位移值为0.105 mm；结构重量随着迭代次数增加，先上升后下降，在迭代次数达到20次后趋于稳定，稳定的基座质量为1.891 t。

基于上述迭代过程，对最后一次迭代结果（循环25次）进行后处理，隐藏密度值小于0.5的单元，如图8所示。提取密度值大于0.5的单元，认为这些位置均需要布置结构，且结构的密度值为1。尽管结构拓扑优化结果可以指示结构的最佳材料分配，但优化结果有时会在局部生成一些歧义结构，因此将优化后的模型导入Hypermesh，根据有限元模型提取几何（边线和面板），进行光顺后，得到更符合实际的结构型式，如图9所示，优化后的基座重量为2.01 t。

将光顺后的几何模型导入Abaqus软件进行特征值分析，得到拓扑优化后结构的固有频率。拓扑优化前后的基座力学特性对比如表3所示，通过拓扑优化设计基座重量减小62.85%，最大Mises应力和最大位移在均在允许范围内，可以认为拓扑优化能够在不影响承载能力的前提下起到很好的减重效果。从基座的动力学性能分析，第1阶固有频率为40.029Hz，与优化前结构的固有频率（45.364Hz）相比，固有频率减少11.76%，可见拓扑优化过程对基座结构的动力学特性有一定影响。

3.3 参数优化设计

采用Abaqus联合Isight对结构进行参数优化的流程如图10所示。考虑到设计目标基座重量与设计变量结构厚度之间的函数关系是线性连续的，且工程中板厚多为整数，为加快寻优速度，采用数值优化算法对结构进行参数优化。本文采用的数值优化算法是多功能优化系统技术（Multifunction Optimization System Tool，MOST），该方法能够对优化得到的实型解进行圆整，以2个最相邻整型值替代当前值，产生分支点，进而找到满足所有整型设计变量要求的最优方案。

本节针对基座上面板厚度t₁、胞元内上下腹板厚度t₃、胞元内中间面板厚度t₄和胞元内中间腹板厚度t₅等变量进行设计，在一定强度和刚度约束下，使基座的重量达到最轻，具体的数学表达式如下。

$ \begin{split}\text{Find}\; \; \; \; & t_1,t_3,t_4,t_5 \\ \text{Max}\; \; \; \; & W\mathrm{_{all}} \\ \rm{s.t.}\; \; \; \; \; \; \; & \sigma_i\leqslant \sigma_{\max}\; ,\; (i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n) \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \left|u_i\right|\leqslant \left|u\right|_{\max},(i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n)\; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \text{15\; mm}\leqslant \; t_1\leqslant 20\; \text{mm} \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & \text{3\; mm}\leqslant \; t_3,\; t_4,t_5\leqslant 7\; \text{mm}。\end{split} $

(7)

式中：W_all为基座重量；${\sigma _{\max }}$和$ {\left| u \right|_{\max }} $分别为强度约束上限和位移约束上限，分别要求小于3.1节分块化设计后的$ {\sigma _{\max }} $ = 32.54 MPa，$ {\left| u \right|_{\max }} $ = 0.112 mm。

经过多次迭代后，当t₁ = 15 mm、t₃ = 4 mm、t₄ = 6 mm、t₅ = 4.5 mm时基座重量最轻，为4.75 t，此时，基座最大Mises应力为31.36 MPa，基座最大位移为0.105 mm。表4是参数优化前后基座性能对比。经过优化后，基座重量减少12.2%，且最大Mises应力和最大位移值均在约束条件内，固有频率减小18.22%，原因是由于结构厚度减小，刚度下降程度比重量下降程度更高，导致结构的固有频率降低较为明显。可见，以轻量化为目标、基于静力约束条件的结构参数优化对结构的动力学特性影响较大。

3.4 复合材料设计

通过改变材料也能有效实现基座的轻量化。本节通过将基座钢制上面板用复合材料代替，构建钢-复合材料组合基座。考虑到基座上面板与主机机脚通过螺栓相连，上面板需要具有足够的强度，因此需要对基座面板的强度进行校核。

如图11所示，按照美国ASTM D3039/ D3039M -08测试标准要求，层合板标准试样的铺层角度为0°、45°、90°交替布置^[17]，本节复合材料板采用对称铺层顺序，共铺设8层，上下4层对称分布，铺层的顺序设置如表5所示。

表6为不同铺层方案下钢-复合材料组合基座力学性能。在基座重量一致的情况下，不同铺层方案下基座的静态刚度、强度和动力学特性存在一定差异，其中方案4的刚度和强度最大。

4 轻量化技术对比

针对本文船舶主机基座，采用不同轻量化技术优化后的基座性能计算结果对比如表7所示。

在上述轻量化设计方法，分块化设计、拓扑优化设计、参数优化设计等均是对结构自身进行设计以达到减重的目的。从结构强度和刚度方面看，在最大Mises应力和最大位移相近的情况下，分块化设计基座重量为2.83 t，而拓扑优化设计的基座重量仅为2.01 t，可见采用拓扑优化设计能够更加准确找到对承载贡献更为突出的结构，从而将冗余结构去掉，实现基座重量最轻的设计目标，而传统的分块化设计更多是凭借经验对结构进行力学分析和优化设计，虽然操作起来简单方便，但是对于陌生工况载荷或者复杂的设计目标，该方法的可设计性和结构合理性不如拓扑优化方法。参数设计的减重效果要小于拓扑优化设计的减重效果，原因是原始基座的冗余结构较多，在拓扑优化过程中这些位置的单元密度均趋于0，将其删去后大幅减小了基座重量，因此拓扑优化的设计效果更为明显。而参数优化改变的是截面属性，以基座面板为例，基座面板既包括关键承载结构也包括冗余结构，由于同时受到强度的约束条件，关键承载区域的截面厚度不能无限小，也就意味着冗余结构不能完全删除，所以重量改变不明显。在工程实际中，可以根据结构特点，综合运用2种结构优化方法以达到更好的优化效果。

从基座的动力学特性来看，不同结构设计方法对结构的第1阶固有频率影响不同，在3种结构优化设计方法中，分块化设计对结构动力学特性影响相对不够明显，原因是分块化过程主要将结构中的非关键承载区域去除，第1阶固有频率仍可由关键承载区域主导，较原来只下降0.12%。拓扑优化后结构的第1阶固有频率减少11.76%，变化程度小于参数优化的结果，原因是参数优化对基座所有区域的结构截面均进行改变，截面属性的变化影响刚度和重量，进而影响整体结构的动力学特性，导致其第1阶固有频率变化更明显。

除了对结构自身进行优化设计以达到减重的目的外，通过将传统钢材换为新型复合材料也能实现轻量化的目的。本文算例中，不改变结构型式和结构板厚变化，仅将基座钢制面板换为复合材料面板，基座重量减小36.23%，减重效果明显，且最大应力和最大位移与其他优化减重方法得到的结果在同一量级，但是由于复合材料的密度明显低于钢材，基座的固有频率改变非常明显。

5 结　语

1）在结构设计方法中，分块化设计依赖于一定的工程经验，虽然操作简便，但是结构的可设计性和合理性不如拓扑优化设计方法。和参数优化相比，拓扑优化设计能使船舶主机基座重量减小62.8%，在基座冗余结构较多的情况下减重效果更好。

2）与结构设计方法相比，复合材料设计能够在强度和刚度相近的情况下有良好的减重效果，但是由于自身密度轻的特点，会显著改变结构的动力学性能，固有频率会变化61.5%。

3）各种方法设计原理不同，优化后基座的力学性能也有所不同，拓扑设计减重效果最好，减重率达62.8%，参数设计的应力和位移优化效果最好，最大应力和位移的增大率仅为5.8%和22.1%，材料优化对基座动力学性能的影响最大。工程实际中可根据实际需求，选取不同方法进行轻量化设计。