0 引　言

船舶在海上作业时，在风浪流的作用下会产生升沉运动而影响海上作业的安全和效率。船舶通常会使用锚泊和动力定位来抵消风浪流的干扰，但横摇、纵摇和升沉方向的扰动很难被消除^{[1 − 2]}。并联机构具有高承载能力、高刚度和良好的动态性能等优点，在波浪补偿领域应用广泛^{[3 − 4]}，其中两转动一平动的三自由度并联机构能很好地补偿上述提及的船舶扰动。因此，大量学者对三自由度并联机构展开研究，Jaouen F等^[5]对3-SPS/UR三自由度并联平台设计了速度前馈和位置反馈的比例控制器，实现了波浪补偿控制。李玉昆^[6]对三自由度的3-UPS/S并联机构建立了运动学模型，在此基础上使用PID控制器完成了模拟海况跟踪补偿实验。

由于三自由度并联机构动力学模型是一个多输入多输出的非线性系统，其运动过程存在动力学耦合效应，各个驱动分支的动作相互制约与影响，该特性给并联机构的控制带来非线性扰动。因此基于动力学模型的运动控制策略研究显得尤为重要，Liu等^[7]针对一种三自由度平台，设计了基于动力学模型的自适应超扭滑模控制算法。Cai等^[8]针对用于波浪补偿的Stewart平台建立非惯性坐标系下的动力学模型，并且设计了包含速度前馈和计算力矩的滑模控制算法。

上述的控制策略要求精确的动力学模型。其中的难点在于并联机构动力学模型复杂，具有非线性、多参数耦合等特点。因此，建立精确的动力学理论模型并提高计算效率，对并联机构的控制以及性能分析具有重要意义，是并联机构的关键研究方向^{[9 − 10]}。

近年来随着多刚体动力学研究的深入，出现了拉格朗日法、牛顿欧拉法、凯恩法等经典动力学建模方法。虽然不同的建模方法结果等效，但计算效率却差别很大。牛顿欧拉法建模需要求出各个部件约束反力，方程个数繁杂^[11]。拉格朗日法基于系统能量的概念，可以得到表达式简洁的动力学方程，但求解过程中需要处理大量偏微分方程^[12]，这增加了计算机仿真和实际运动控制程序中的计算量。

凯恩方程作为阿沛尔方程的另一种表现形式，其结合了矢量力学和分析力学的优点，引入偏速度概念，避免了繁琐的偏微分动力学方程计算和约束反力计算，主要关注机构末端执行器的运动，推导简单且适用于计算机数值计算。Wu等^[13]通过凯恩法建立了Stewart平台的完整逆动力学模型；Yang等^[14]对液压驱动的Stewart平台设计了基于凯恩法动力学模型的解耦控制算法。尽管Stewart并联平台的建模方法比较成熟，但少有对3-RCU并联机构的动力学研究，3-RCU作为一种基础的少自由度并联机构形式，具有机械结构简单、运动范围大等诸多优点^{[15 − 16]}。传统的并联机构如Stewart型平台，其上平台的承重能力受支腿惯量和质量的影响，并且当惯量和质量过大时，系统的有效带宽也随之降低^[17]。为了提高并联平台的承重能力和响应速度，本文在3-RCU机构的基础上，在上下平台之间加入UCU承重分支，有效降低了驱动分支的最大驱动力，同时减小驱动分支的质量，从而为改善系统带宽提供了可能。

本文针对海上波浪补偿平台，提出一种带有承重分支的3-RCU/UCU并联平台，利用凯恩方程对其进行理论建模，该模型定义广义坐标为运动学变量，将力投影在偏速度和偏角速度的方向，通过分析动力学模型特性，忽略驱动分支绕自身轴线的旋转运动，从而在保证精度的前提下显著提升了动力学模型计算效率。最后通过一个仿真实例验证了动力学模型的准确性并分析了模型的计算效率，为基于动力学模型的运动控制研究奠定了基础。

1 运动学分析 1.1 机构描述

3-RCU/UCU机构由下平台、上平台、3支RCU驱动分支、1支UCU承重分支构成，如图1所示。驱动分支由1个圆柱副、1个虎克副和1个转动副组成，圆柱副通过虎克副与上平台连接，同时通过转动副与下平台连接；承重分支由1个圆柱副和2个虎克副组成，圆柱副通过虎克副分别与上、下平台连接。

RCU分支在上、下平台的铰接位置均按照等腰三角形布置，2个三角形为相似的几何关系；UCU分支布置在上、下平台的质心之间。

首先建立坐标系，设RCU分支下铰点为${B_i}$，上铰点为${A_i}$$\left( {i = 1,2,3} \right)$，上平台质心位于${A_z}$。在下平台建立固定坐标系$\{ B\} $，坐标原点$O$位于UCU分支与下平台交汇处，$X$轴与${B_2}$和${B_3}$的连线平行，$Y$轴垂直于${B_2}$和${B_3}$的连线，指向${B_1}$，$Z$轴根据右手法则确定。上平台建立随体坐标系$\{ A\} $，原点$O'$与质心${A_z}$重合。设下平台等腰三角形的底边长$d$，高$h$，初始状态上下平台高度差为$H$，设上下两等腰三角形的相似比为$k(0 <k < 1)$，则上平台等腰三角形的底边长$kd$，高$kh$。

1.2 位姿描述

选取上平台3个位姿参数$ ( Z\ \ \alpha \ \ \beta ) $为广义坐标，记为${q_r}(r = 1,2,3)$；其对时间的导数$({\dot Z}\ \ {\dot \alpha }\ \ {\dot \beta } )$为广义速率，简记${\dot q_r}$。

上铰链点${A_i}$在上平台坐标系$\{ A\} $下的坐标为：

$ {}^A{A_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {kh/2} \\ 0 \end{array}} \right) {}^A{A_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kd/2} \\ { - kh/2} \\ 0 \end{array}} \right){}^A{A_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - kd/2} \\ { - kh/2} \\ 0 \end{array}} \right)。$

(1)

下铰链点${B_i}$在下平台坐标系$\{ B\} $下的坐标为：

$ {}^B{B_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {h/2} \\ 0 \end{array}} \right){}^B{B_{\text{2}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {d/2} \\ { - h/2} \\ 0 \end{array}} \right){}^B{B_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - d/2} \\ { - h/2} \\ 0 \end{array}} \right)。$

(2)

上平台相对下平台的运动可通过齐次变换矩阵$ \boldsymbol{T} $表示：

$ {\boldsymbol T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{R}_{3 \times 3}}}&{{{P}_{3 \times {\text{1}}}}} \\ {{0_{1 \times 3}}}&1 \end{array}} \right]。$

(3)

式中：$ \boldsymbol{P}=(0 \ \ 0 \ \ Z)^{\text{T}} $为位置向量，$ \boldsymbol{R}\text{ = }Rot(Y,\beta)\cdot Rot(X,\alpha) $为旋转矩阵，表达式为：

$ {\boldsymbol R} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta }&{\sin \alpha \cdot \sin \beta }&{\cos \alpha \cdot \sin \beta } \\ 0&{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\ { - \sin \beta }&{\sin \alpha \cdot \cos \beta }&{\cos \alpha \cdot \cos \beta } \end{array}} \right] 。$

(4)

1.3 速度与加速度分析

平台结构如图2所示。

${A_i}{B_i}$分支的表达式为：

$ {l_i}{{\boldsymbol n}_i}{ = }{\boldsymbol R}{\boldsymbol r_{Ai}} + {\boldsymbol P} - {{\boldsymbol r}_{Bi}}。$

(5)

式中：$ {l_i} $为${A_i}{B_i}$驱动分支长度；${{n}_i}$为在${A_i}{B_i}$驱动分支坐标系$\{ B\} $的单位位置矢量；${{r}_{Ai}}$、$ {{r}_{Bi}} $$\left( {i = 1,2,3} \right)$分别为铰接点${A_i}$、${B_i}$在坐标系$\{ A\} $和坐标系$\{ B\} $下的位置矢量。

下面分别对上平台、驱动分支、承重分支进行速度及加速度分析。

1）上平台质心

上平台质心${A_z}$的位置矢量$ ^B\boldsymbol{r}_{Az} $表达式为：

$ {}^B{{\boldsymbol r}_{Az}} = {\boldsymbol R}{}^A{{\boldsymbol r}_{Az}} + {\boldsymbol P} 。$

(6)

式中：$ ^A\boldsymbol{r}_{Az}=(0 \ \ 0 \ \ 0)^{\mathrm{T}} $。

对式(6)进行求导得到质心速度${{v}_{Az}}$和加速度$ {{\dot v}_{Az}} $（以下所示的速度、角速度以及加速度、角加速度表达式均是基于$\{ B\} $坐标系）：

$ {{v}_{Az}} = {{\omega }_A} \times {{\boldsymbol{R}}}{}^A{{{\boldsymbol{r}}}_{Az}} + {\dot {\boldsymbol{P}} = \dot {\boldsymbol{P}}}，$

(7)

$ {\boldsymbol{\dot v}_{Az}} = \boldsymbol{\ddot P}。$

(8)

式中：$ {{\boldsymbol \omega }_A}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta \dot \alpha } \\ {\dot \beta } \\ { - \sin \beta \dot \alpha } \end{array}} \right] $为上平台角速度。

2）驱动臂分支（见图3）

${L_{ui}}$和${L_{di}}$分别为第$i(i = 1,2,3)$个分支推杆和缸体的质心，${l_u}$和${l_d}$分别为推杆和缸体长度的一半。

第$i\left( {i = 1,2,3} \right)$个上铰接点在固定坐标系$\{ B\} $下的位移和速度分别为：

$ {}^B{{\boldsymbol r}_{Ai}} = {\boldsymbol R}{}^A{{\boldsymbol r}_{Ai}} + {\boldsymbol P}，$

(9)

$ {{\boldsymbol v}_{Ai}} = {{\boldsymbol \omega }_A} \times {\boldsymbol R}{{\boldsymbol r}_{Ai}} + \boldsymbol{\dot P}。$

(10)

上铰接点速度$ \boldsymbol{v}_{Ai} $用刚体瞬时转动角速度矢量表示，得到：

$ {{\boldsymbol v}_{Ai}} = {\dot l_i}{{\boldsymbol n}_i} + {{\boldsymbol \omega }_i} \times {l_i}{{\boldsymbol n}_i}。$

(11)

式中：$ \boldsymbol{\omega}_i $为驱动分支角速度。

上式两边同时叉乘$ {{\boldsymbol n}_i} $，提取角速度${{\boldsymbol \omega }_i}$：

$ {{\boldsymbol \omega }_i} = \frac{{{{\boldsymbol n}_i} \times {{\boldsymbol v}_{Ai}}}}{{{l_i}}}{\text{ = }}\frac{{{{\boldsymbol n}_i} \times \left( {{{\boldsymbol \omega }_A} \times {\boldsymbol R}{{\boldsymbol r}_{Ai}} + \boldsymbol{\dot P}} \right)}}{{{l_i}}}。$

(12)

接着可得角加速度${{\dot \omega }_i}$表达式：

$ {\boldsymbol{\dot \omega }_i} = \frac{{{{\boldsymbol n}_i} \times {{\boldsymbol{\dot v}}_{Ai}} - 2{{\dot l}_i}{{\boldsymbol \omega }_i}}}{{{l_i}}}。$

(13)

第$i$个分支下半部分缸体质心${L_{di}}$的速度和加速度：

$ {{\boldsymbol v}_{ldi}} = {{\boldsymbol \omega }_i} \times \left( {{l_d} \cdot {{\boldsymbol n}_i}} \right) ，$

(14)

$ {\boldsymbol{\dot v}_{ldi}} = {\boldsymbol{\dot \omega }_i} \times \left( {{l_d} \cdot {{\boldsymbol n}_i}} \right){\text{ + }}{l_d}\left[ {{\boldsymbol{\omega }_i} \times \left( {{\boldsymbol{\omega }_i} \times {{\boldsymbol n}_i}} \right)} \right]。$

(15)

分支上半部分推杆质心${L_{ui}}$的速度${{v}_{lui}}$可表示为：

$ {{\boldsymbol v}_{lui}} = \left( {{l_i} - {l_u}} \right)\left( {{\boldsymbol{\omega }_i} \times {{\boldsymbol n}_i}} \right) + {\dot l_i}{{\boldsymbol n}_i}。$

(16)

其加速度$ \boldsymbol{\dot{v}}_{lui} $：

$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{\dot v}}_{lui}} = {{\ddot l}_i}{{\boldsymbol n}_i} + 2{\boldsymbol{\omega }_i} \times \left( {{{\dot l}_i}{{\boldsymbol n}_i}} \right) + \\ {}_{}^{}\left[ {{{\boldsymbol{\dot \omega }}_i} \times {{\boldsymbol n}_i} + {\boldsymbol{\omega }_i} \times ({\boldsymbol{\omega }_i} \times {{\boldsymbol n}_i})} \right] \times ({l_i} - {l_u}) 。\\ \end{gathered} $

(17)

3）承重分支

承重分支上半部分推杆的质心为${C_g}$，位于推杆几何中心处。在该结构中，承重分支下半部分无位移运动，只分析推杆的运动。承重分支与上平台的铰接点与上平台质心重合，得到推杆质心${C_g}$的速度和加速度：

$ {{\boldsymbol v}_g} = {{\boldsymbol v}_{Az}} - {\boldsymbol{\omega }_g} \times {{\boldsymbol n}_{Az}}，$

(18)

$ {\boldsymbol{\dot v}_g} = {\boldsymbol{\dot v}_{Az}} - {\boldsymbol{\dot \omega }_g} \times {\boldsymbol{n}_{Az}} - {\boldsymbol{\omega }_g} \times {\boldsymbol{\dot n}_{Az}} 。$

(19)

式(18)两边同时叉乘$ \boldsymbol{n}_{Az} $，得到推杆角速度和角加速度表达式为：

$ {\boldsymbol{\omega }_g} = \frac{{{{\boldsymbol n}_{Az}}}}{{{l_{Az}}}} \times {{\boldsymbol v}_{Az}} ，$

(20)

$ {\boldsymbol{\dot \omega }_g} = \frac{{{{\boldsymbol n}_{Az}} \times {{\boldsymbol{\dot v}}_{Az}} - 2{{\dot l}_{Az}}{\boldsymbol{\omega }_{Az}}}}{{{l_{Az}}}} 。$

(21)

式中：${l_{Az}}{{\boldsymbol n}_{Az}}{ = }{\boldsymbol R}{\boldsymbol{r}_{Az}} + {\boldsymbol P = \boldsymbol P}$；$\boldsymbol{n}_{Az}=\displaystyle\frac{l_{Az}}{\left|l_{Az}\right|}=[0 \ \ 0 \ \ 1]\mathrm{^T} $。

2 动力学建模

本文在动力学建模的过程中，做出如下假设：

1）假设各个构件均为刚体；

2）各运动副为理想运动副（即忽略摩擦及铰链间隙的影响）；

3）各个构件的质量为均匀分布。

各个构件的偏速度由其速度对广义速度求导得到，各构件的主动力及惯性力投影偏速度方向之和为零，最终得到多刚体系统的动力学方程，相比牛顿欧拉法，凯恩方程省去了对驱动杆和上平台的重复受力分析步骤，推导计算规格化。

2.1 偏速度与偏角速度分析

首先分析上平台偏速度特性。在惯性坐标系$\left\{ B \right\}$中，刚体$A$（上平台）质心的广义速度和刚体$A$的广义角速度可唯一表示为：

$ {{\boldsymbol v}_{Az}} = \sum\limits_{r = 1}^n {{{\boldsymbol v}_r}{{\dot q}_r} + {{\boldsymbol v}_t}}，$

(22)

$ {\boldsymbol{\omega }_A} = \sum\limits_{r = 1}^n {{\boldsymbol{\omega }_r}{{\dot q}_r} + {\boldsymbol{\omega }_t}} 。$

(23)

式中：$ {{\boldsymbol v}_r} $、${\boldsymbol{\omega }_r}$、${{\boldsymbol v}_t}$、${\boldsymbol{\omega }_t}$分别为关于广义速度${\dot q_r}$和时间$t$的函数；$ {{\boldsymbol v}_r} $、${\boldsymbol{\omega }_r}$为偏速度和偏角速度：

$ {{\boldsymbol v}_r} = \frac{{\partial {{\boldsymbol v}_{Az}}}}{{\partial {{\dot q}_r}}} ，$

(24)

$ {\boldsymbol{\omega }_r} = \frac{{\partial {\boldsymbol{\omega }_A}}}{{\partial {{\dot q}_r}}}。$

(25)

整理得到上平台偏速度${{\boldsymbol u}_A}$及偏角速度矩阵${{\boldsymbol w}_A}$为：

$ {{\boldsymbol u}_{A} } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol I}_{3 \times 3}}}&{{0_{3 \times 3}}} \end{array}} \right]，$

(26)

$ {{\boldsymbol w}_{A} } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{0_{3 \times 3}}}&{{{\boldsymbol J}_{3 \times 3}}} \end{array}} \right]。$

(27)

其中：${{\boldsymbol I}_{m,n}} = {{\partial {v_{A{z_n}}}}} / {{\partial {{\dot q}_m}}} $；${{\boldsymbol J}_{m,n}} = {{\partial {\omega _{A{z_n}}}}} / {{\partial {{\dot q}_{m + 3}}}} ，m = (1,2,3)$，$n = (1,2,3)$；${{\dot q}_m} = (\dot x,\dot y,\dot z,\dot \alpha ,\dot \beta ,\dot \gamma )$，${v_{A{z_n}}} = ({v_{A{z_x}}},{v_{A{z_y}}},{v_{A{z_z}}})$，${\omega _{A{z_n}}} = ({\omega _{A{z_\alpha }}},{\omega _{A{z_\beta }}},{\omega _{A{z_\gamma }}})$。

第$i$支驱动杆偏速度$ {{\boldsymbol u}_{ui}} $、偏角速度${{\boldsymbol w}_{ui}}$和承重杆偏速度$ {{\boldsymbol u}_g} $及偏角速度${{\boldsymbol w}_g}$同理可得。

2.2 广义主动力与广义惯性力

上平台及各分支的受力如图4所示。根据第1节推导出的各构件姿态在统一的广义坐标下的表示形式，将其所受主动力与其对应的偏速度方向进行点乘，从而得到系统广义主动力$ \boldsymbol{K}_c $：

$ \begin{split} {{K}_c} = &{u}_A^{\text{T}}\left(\sum\limits_{i = 1}^3 {{F_i}{{n}_i}} + {F_g}{{n}_g} + {m_A}{g} + {{F}_w}\right) + \\ &\sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{g}} + {u}_g^{\text{T}}{m_g}{g} + w_A^{\text{T}}\left(\sum\limits_{i = 1}^3 {{{r}_{Ai}} \times {F_i}{{n}_i}} + {{M}_w}\right)。\end{split} $

(28)

式中：$ {\boldsymbol g = }{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&g \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $为重力加速度矢量；$ {F_i} $为驱动力；$ {F_g} $为承重分支主动承载力；$ {{\boldsymbol F}_w} $为上平台质心处所受外力矢量；$ {m_A} $、$ {m_u} $、$ {m_g} $分别为上平台、驱动杆、承重杆质量；${{\boldsymbol M}_w}$为上平台质心所受外部扭矩矢量。

驱动分支和承重分支通过圆柱副连接上下平台，导致驱动杆围绕其自身轴线发生转动。在考虑其惯性特性的基础上，系统广义惯性力${{K}_c}^ * $可表示为：

$ \begin{split} {{K}_c}^ * = &- u_A^{\text{T}}{m_A}{{\dot v}_{Az}} - w_A^{\text{T}}{{M}_{Az}} - \sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{{{\dot v}}_{lui}}} -\\ & {{u}_g}{m_g}{{{\dot v}}_g} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{w}_{ui}^{\text{T}}{{M}_i}} + {w}_g^{\text{T}}{{M}_g}。\end{split} $

(29)

将各构件力矩表达式展开得到：

$ \begin{split} {{K}_c}^ * =& - u_A^{\text{T}}{m_A}{{\dot v}_{Az}} - w_A^{\text{T}}\left( {^B{I_A}{{\dot \omega }_A} + {\omega _A}{ \times ^B}{I_A}{\omega _A}} \right) - \\ &\sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{{{\dot v}}_{lui}}} - {{u}_g}{m_g}{{{\dot v}}_g} + \\ &\sum\limits_{i = 1}^3 {{w}_{ui}^{\text{T}}\left( {{}^B{{I}_{ui}}{{{\dot \omega }}_i} + {{\omega }_i} \times {}^B{{I}_{ui}}{{\omega }_i}} \right)} + \\ &{w}_g^{\text{T}}\left( {{}^B{{I}_g}{{{\dot \omega }}_g} + {{\omega }_g} \times {}^B{{I}_g}{{\omega }_g}} \right)。\end{split} $

(30)

式中：${}^B{{I}_A} = {{R}^A}{{I}_A}{{R}^{\text{T}}}$、$^A{{I}_A} = {\text{diag}}({I_{A{\text{xx}}}},{I_{A{\text{yy}}}},{I_{A{\text{zz}}}})$为上平台在随体坐标系$\left\{ A \right\}$下的惯量矩阵；${}^B{{I}_{ui}} = {{R'}_{ui}}{}^A{{I}_{ui}}{{R'}_{ui}}^{\text{T}}$，$ {}^A{{I}_{ui}} = {\text{diag}}({I_{ui{\text{xx}}}},{I_{ui{\text{yy}}}},{I_{ui{\text{zz}}}}) $为第$i$条驱动分支的推杆在随体坐标系$\left\{ A \right\}$下的惯量矩阵；${{R'}_{ui}}$为驱动杆推杆质心坐标系相对固定坐标系的旋转矩阵；${}^B{{I}_g}{\text{ = }}{{R'}_g}{}^A{{I}_g}{{R'}_g}^{\text{T}}$，$ {}^A{{I}_g} = {\text{diag(}}{I_{g{\text{xx}}}},{I_{g{\text{yy}}}},{I_{g{\text{zz}}}}{\text{)}} $为承重驱动分支的推杆在随体坐标系$\left\{ A \right\}$下的惯量矩阵；${{R'}_g}$为承重分支推杆质心坐标系相对固定坐标系的旋转矩阵。

为表示各分支的${{R'}_{ui}}$和${{R'}_g}$矩阵，定义：

$ {{t}_i} = \frac{{{{n}_i} \times {{{\dot v}}_{lui}}}}{{\left\| {{{n}_i} \times {{{\dot v}}_{lui}}} \right\|}}，$

(31)

$ {{r}_i} = {{n}_i} \times {{t}_i}。$

(32)

得到旋转矩阵${{R'}_{ui}}$及${{R'}_{{g}}}$表达式：

$ {{R'}_{ui}}{ = }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{n}_{ix}}}&{{{t}_{ix}}}&{{{r}_{ix}}} \\ {{{n}_{iy}}}&{{{t}_{iy}}}&{{{r}_{iy}}} \\ {{{n}_{iz}}}&{{{t}_{iz}}}&{{{r}_{iz}}} \end{array}} \right]，{{R'}_{{g}}}{ = }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{n}_{gx}}}&{{{t}_{gx}}}&{{{r}_{gx}}} \\ {{{n}_{gy}}}&{{{t}_{gy}}}&{{{r}_{gy}}} \\ {{{n}_{gz}}}&{{{t}_{gz}}}&{{{r}_{gz}}} \end{array}} \right]。$

(33)

完整的凯恩方程为：

$ {{K}_c} + {{K}_c}^ * = 0。$

(34)

上述建模过程中，考虑驱动分支及承重分支的转动会引入复杂的计算，若能合理简化模型且保持模型精度可靠，将有助于算法更好地适应实时控制需求。根据相似构型Stewart并联机构的研究文献[18]结论，对于Stewart并联机构而言，活塞杆沿轴线方向转动惯量为垂直轴线方向转动惯量的1%以内时，当并联机构做高频或低频运动，忽略驱动分支绕自身轴线方向的转动所带来的动力学模型误差可忽略不计。其中驱动杆、承重杆轴向转动惯量分别为$ {I_{ui{\text{zz}}}} $、$ {I_{g{\text{zz}}}} $，驱动杆垂向转动惯量为$ {I_{ui{xx} }} $与$ {I_{uiyy}} $、承重杆垂向转动惯量为$ {I_{g{\text{xx}}}} $与$ {I_{g{\text{yy}}}} $，具体参数见表1，满足上述要求。因此在接下来的方程构建中忽略驱动杆及承重杆绕自身轴线方向的转动，得到系统广义主动力${{K}_s}$：

$ \begin{split} {{K}_s} =& {u}_A^{\text{T}}\left(\sum\limits_{i = 1}^3 {{F_i}{{n}_i}} + {F_g}{{n}_g} + {m_A}{g} + {{F}_w}\right) + \sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{g}} +\\ & {u}_g^{\text{T}}{m_g}{g} + w_A^{\text{T}}\left(\sum\limits_{i = 1}^3 {{{r}_{Ai}} \times {F_i}{{n}_i}} + {{M}_w}\right)。\end{split} $

(35)

系统广义惯性力${{K}_{{s}}}^ * $可表示为：

$ \begin{split} {{K}_s}^ * =& - u_A^{\text{T}}{m_A}{{\dot v}_{Az}} - w_A^{\text{T}}\left( {^B{I_A}{{\dot \omega }_A} + {\omega _A}{ \times ^B}{I_A}{\omega _A}} \right) - \\ &\sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{{{\dot v}}_{lui}}} - {{u}_g}{m_g}{{{\dot v}}_g} 。\end{split} $

(36)

得到简化后的凯恩方程：

$ {{K}_s} + {{K}_s}^ * = 0 。$

(37)

展开并移项驱动力：

$ \begin{split} &u_A^{\text{T}}\left(\sum\limits_{i = 1}^3 {{F_i}{{n}_i}} \right) + w_A^{\text{T}}\left(\sum\limits_{i = 1}^3 {{{r}_{Ai}} \times {F_i}{{n}_i}} \right) = u_A^{\text{T}}{m_A}{{\dot v}_{Az}} + \\ &\sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{{{\dot v}}_{lui}}} + {{u}_g}{m_g}{{{\dot v}}_g} + w_A^{\text{T}}\left( {^B{I_A}{{\dot \omega }_A} + {\omega _A}{ \times ^B}{I_A}{\omega _A}} \right) - \\ & u_A^{\text{T}}\left( {{F_g}{n_g} + {m_A}g + {F_w}} \right) - w_A^{\text{T}}{M_w} - \sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{g}} - {u}_g^{\text{T}}{m_g}{g} 。\end{split} $

(38)

上平台驱动力可以被解耦：

$ {F} = {{R}_n}^{ - 1}{D}。$

(39)

式中：$ {{R}_{n} } = {u}_A^{\text{T}}{{R}_1} + {w}_A^{\text{T}}{{R}_2} $，$ {{R}_1} = [ {\text{0}}\ \ {\text{0}}\ \ {{{n}_1}}\ \ {{{n}_2}}\ \ {{{n}_3}}\ \ 0 ]$，${{R}_2} = [ {\text{0}}\ \ {\text{0}}\ \ {{{r}_{A1}} \times {{n}_1}}\ \ {{{r}_{A2}} \times {{n}_2}}\ \ {{{r}_{A3}} \times {{n}_3}}\ \ 0 ]$，${F}{\text{ = }}[ 0\ \ 0\ \ {{F_1}}\ \ {{F_2}} \ \ {{F_3}} $$ 0 ]^{\rm{T}}，{D} = u_A^{\text{T}}{m_A}{{\dot v}_{Az}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{{{\dot v}}_{lui}}} \;+\; {{u}_g}{m_g}{{{\dot v}}_g} + w_A^{\text{T}}\Big({}^B{I_A}{{\dot \omega }_A} + $${\omega _A}{ \times ^B}{I_A}{\omega _A} \Big) - u_A^{\text{T}}\left( {{F_g}{n_g} + {m_A}g + {F_w}} \right) - w_A^{\text{T}}{M_w} - \sum\limits_{i = 1}^3 {{u}_{ui}^{\text{T}}{m_u}{g}} - {u}_g^{\text{T}}{m_g}{g} 。$

对比式(28)～式(33)与式(35)～式(37)，简化后的模型省去了复杂的惯量求取，减少了动力学模型的计算量。

3 仿真验证

为验证动力学模型的准确性，在Adams和Matlab中分别建立了3-RCU/UCU机构动力学的三维模型和数值模型，三维模型如图5所示，仿真流程如图6所示。

系统仿真输入为广义坐标表示的上平台运动轨迹；仿真输出为各驱动分支的驱动力。首先将SolidWorks模型导入至Adams软件，使用默认材料属性即可得到各构件的质量和惯量属性。在数值模型的仿真中，这些参数均与Adams模型参数保持一致，具体参数如表1所示，${{{I_{ui{\text{zz}}}}}}/{{{I_{ui{\text{xx}}}}}} = {{{I_{ui{\text{zz}}}}}}/{{{I_{ui{\text{yy}}}}}} = 0.098{\text{%}} $ $ < 1{\text{%}} $、${{{I_{{\text{gzz}}}}}}/{{{I_{{\text{gxx}}}}}} = {{{I_{{\text{gzz}}}}}}/{{{I_{{\text{gyy}}}}}} = 0.087{\text{%}} $$ < 1{\text{%}} $。

对平台输入三自由度复合运动指令，设定上平台的运动轨迹如下：

$ \left\{ {\begin{aligned} {Z = 0.1\sin ({\text{π}} t)}，\\ {\alpha = {\text{0}}{\text{.1}}\sin ({\text{π}} t)}，\\ {\beta = {\text{0}}{\text{.1}}\cos ({\text{π}} t)}。\end{aligned}} \right. $

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式中：$t$为时间，s；$Z、\alpha 、\beta $为上平台沿Z轴移动的距离和绕坐标系$\left\{ A \right\}$的X轴、Y轴转动的角度，位置单位为${\text{m}}$，角度单位为${\text{rad}}$。

设置承重分支顶推力$ F_g=1\;000\ \text{N} $，上平台受合外力矢量${{F}_{{w}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{1500} \end{array}} \right]$，所受外部力矩矢量${{M}_{{w}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \end{array}} \right]$，仿真结果如图7所示。

可以看出，本文模型与Adams模型的驱动力曲线几乎吻合，最大误差出现在上平台姿态运行到极端位姿，此时的误差为9 N，误差最大百分比为1.5%。上述结果验证了理论模型的准确性。

为了验证本文所建立模型的计算效率优势，并评估模型在实际控制程序中的适用性，在C语言环境下分析模型运算量及运算时间。对程序进行单步计算，得到动力学模型计算一次的时间，其更贴合实际控制程序运行情况。其中${{R}_{{n}}}$矩阵的广义逆求解采用满秩分解和高斯消元，并利用稀疏矩阵的性质，对程序进行简化，动力学方程的运算次数如表2所示。

对比简化前的凯恩模型，简化后的模型运算次数平均减少了47%，验证了该模型的计算效率优势。

最后，在一台配备i5-11260H处理器，主频为2.6 GHz的计算机上，简化后的动力学模型单步运行的计算时间稳定保持在0.03 ms。其计算时间远低于常见控制器1～10 ms的控制周期，可以应用至实际控制程序中。

4 结　语

本文在3-RCU并联机构的基础上加入UCU分支，建立了3-RCU/UCU机构的动力学模型。以平台的姿态为广义坐标，通过凯恩方程建立了简化的动力学方程。通过对三自由度复合运动的数值算例进行联合仿真，验证了动力学模型的准确性，模型的最大误差为1.5%；最后理论分析动力学方程计算次数并运行测试，单次运行时间0.03 ms，显示出优异的计算效率，研究结果为基于动力学模型的运动控制策略研究提供了可靠支持。