0 引　言

据统计，由于靠泊过程中人为失误导致码头受损所需的修复费用占据码头维护费用的70%^[1]。船舶靠泊事故不仅会导致经济损失，还会导致人员伤亡和环境污染等问题。因此，有必要对船舶自动靠泊控制进行深入研究。作为智能船舶实现完全自主控制的关键一环，自动靠泊控制由于靠泊场景的复杂性，仍存在众多挑战，如风、浪、流等环境影响及岸壁效应等^[2]，并且由岸壁效应引起的系统不确定性以及外部环境产生的干扰会导致靠泊过程变得更加困难^[3]，因此，考虑系统的不确定性、提出具有鲁棒性及稳定性的自动靠泊控制方法具有重要现实意义和应用价值。

对于自动靠泊控制的研究最早可以追溯到20世纪80年代，Takai等^[4]利用实船对自动靠泊的可行性进行了验证。随着控制理论的发展，越来越多的控制方法可以被应用于多输入多输出系统。一些控制方法，如自适应控制^[5]、模型预测控制^[6]、神经网络控制^[7]及最优控制^[8]等方法被引入自动靠泊控制。Ahmed等^[1]利用人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）结合虚拟视窗法和比例积分算法设计了一种人工神经网络控制器，并且通过实验证明了控制器在存在一定外部干扰的情况下可以保持良好的性能。Shuai等^[9]提出了一种双平行结构的ANN自动靠泊控制方法，并利用特征提取及遗传算法对控制方法进行优化，有效地降低了神经网络的训练成本。Shimizu等^[10]将监督学习与强化学习相结合，提出了一种在线控制律，仿真结果表明该方法可以在无参考轨迹的情况下进行自动靠泊控制。以上这些方法可以实现自动靠泊控制，但是想要设计出精确的控制器，使神经网络的误差下降到可承受范围之内，需要采集大量船舶靠泊时的相关参数作为数据训练集。此外，由于神经网络的设计方法没有特定的规范，如果想要修改控制器的结构，则需要对神经网络的结构进行调整，这将会增加自动靠泊控制的成本。

此外，为了实现自动靠泊实时控制，一些研究者基于船舶的运动学模型对控制器进行了设计。Yuan等^[11]提出一种事件触发自适应平面模型预测控制，并且提出一种结合贝塞尔曲线的A^*路径规划算法，对自动靠泊路径进行规划，仿真结果表明控制器能够在靠泊时进行实时、有效地控制。Li等^[12]将非线性优化与模型预测控制相结合，提出一种非线性模型预测控制。实验表明，控制器具备良好的抗干扰效果，并且可以高效地对控制器参数进行调优。上述研究提高了船舶在靠泊时的抗干扰能力和轨迹跟踪的精确性，然而这些方法计算量较大，自动靠泊控制的实时性取决于于控制器的求解时间。此外，实船靠泊过程会受岸壁效应的影响，在控制器设计、求解和执行过程中若忽略岸壁效应引起系统不确定性误差，将会降低自动靠泊控制的稳定性，危及靠泊安全。

因此，为提高智能船舶靠泊安全性，减少不必要损失，本文考虑复杂环境（如风、浪、流和岸壁效应）带来的系统不确定性和外部干扰，对船舶自动控制方法进行了研究，基于二自由度回路成型提出一种自动靠泊控制方法。

1 系统建模 1.1 船舶数学模型

本文采用三自由度船舶运动数学模型，将船舶靠泊过程视作水平面的运动，仅考虑横荡、纵荡、艏摇。船舶运动数学模型由2个参考坐标系建立，分别为地球坐标系（${X_E}{O_E}{Y_E}$）及船体坐标系（$xoy$），如图1所示。

船舶非线性运动模型可以描述为^[13]：

$ \dot {\boldsymbol{\eta}} = {\boldsymbol{R}}(\varphi ){\boldsymbol{\upsilon}}，$

(1)

$ {\boldsymbol{M}}\dot {\boldsymbol{\upsilon}} + {\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{\upsilon}} = {\boldsymbol{\tau}} + {{\boldsymbol{\tau}} _d} + {{\boldsymbol{\tau}} _s}。$

(2)

式中：$\eta = {[x,y,\varphi ]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3}$为基于地球坐标的位置向量，$x$为东方向坐标，$y$为北方向坐标，$\varphi $为艏向角；${\boldsymbol{\upsilon}} = {[u,v, r]^ {\rm{T}} } \in \mathbb{R}$是基于船体坐标的速度向量，其中$u$为纵荡速度，$v$为横荡速度，$r$为艏向角速度；$ \dot {\boldsymbol{\upsilon}} = {[\dot u,\dot v,\dot r]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3} $是基于船体坐标的加速度向量，其中$\dot u$为纵荡加速度，$\dot v$为横荡加速度，$\dot r$为艏向角加速度；$ {\boldsymbol{M}} \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}} $为惯性矩阵；${\boldsymbol{D}} \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}$为线性阻尼矩阵；${\boldsymbol{R}}(\varphi ) \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}$为旋转矩阵；${\boldsymbol{\tau}} = {[{\tau _u},{\tau _v},{\tau _r}]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3}$为设计的控制器所产生的力和力矩向量，其中${\tau _u}$为纵荡方向的力，${\tau _v}$为横荡方向的力，${\tau _r}$为艏向的旋转力矩；$ {{\boldsymbol{\tau}} _d} = {[{\tau _{du}},{\tau _{dv}},{\tau _{dr}}]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3} $为风、浪、流等因素产生的干扰力和力矩组成的向量。$ {\tau _s} = {[{\tau _{us}},{\tau _{vs}},{\tau _{rs}}]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3} $为岸壁效应产生的干扰力和力矩组成的向量。${\boldsymbol{M}}$、${\boldsymbol{D}}$及${\boldsymbol{R}}(\varphi )$分别为^[13]：

$ \begin{array}{l} {\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - {X_{\dot u}}}&0&0\\ 0&{m - {Y_{\dot v}}}&{m{x_g} - {Y_{\dot r}}}\\ 0&{m{x_g} - {N_{\dot v}}}&{{I_z} - {N_{\dot r}}} \end{array}} \right],\\ {\boldsymbol{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {X_u}}&0&0\\ 0&{ - {Y_v}}&{ - {Y_r}}\\ 0&{ - {N_v}}&{ - {N_r}} \end{array}} \right],\\ {\boldsymbol{R}}(\varphi ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos (\varphi )}&{ - \sin (\varphi )}&0\\ {\sin (\varphi )}&{\cos (\varphi )}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]。\end{array}$

1.2 标称模型分析

假设状态向量${\boldsymbol{x}} = {[u,v,r,x,y,\varphi ]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^6}$，控制器产生的力和力矩作为输入向量${{\boldsymbol{u}}_c} = {[{\tau _u},{\tau _v},{\tau _r}]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3}$，输出向量为${\boldsymbol{y}} = {[u,v,r,x,y,\varphi ]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3}$，假设$ {{\boldsymbol{\tau}} _d} = {[{\tau _{du}},{\tau _{dv}},{\tau _{dr}}]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3} $，$ {{\boldsymbol{\tau}} _s} = {[{\tau _{us}},{\tau _{vs}},{\tau _{rs}}]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^3} $，令${\boldsymbol{u}}(t) = {{\boldsymbol{u}}_c} + {{\boldsymbol{\tau}} _d} + {{\boldsymbol{\tau}} _s}$，船舶非线性动态模型可以被线性化为状态空间的形式：

$ \left\{ \begin{gathered} \dot x = {{\boldsymbol{A}}_0}x(t) + {{\boldsymbol{B}}_0}u(t)，\\ y = {{\boldsymbol{C}}_0}x(t) + {{\boldsymbol{D}}_0}u(t)。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

其中${{\boldsymbol{A}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{\boldsymbol{D}}}&{{0_{3 \times 3}}}\\{{I_{3 \times 3}}}&{{0_{3 \times 3}}}\end{array}} \right]$，${{\boldsymbol{B}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{M^{ - 1}}}\\{{0_{3 \times 1}}}\end{array}} \right]$，${{\boldsymbol{C}}_0} = \left[ {{{\boldsymbol{I}}_{6 \times 6}}} \right], {{\boldsymbol{D}}_0} = \left[ {{0_{6 \times 3}}} \right]$。

对于构建的线性系统，需要对其有效性进行验证，即需要保证线性系统具备可控性和可观测性，其中可控性是指系统有着固定输入的情况下，系统能够在有限的时间内从初始状态到达任意状态；可观测性是指系统内部的状态可以在有限时间内，通过系统输入、输出来确定。根据文献[14]提出的验证方法，对于$\forall \lambda \in {\lambda _{{A_0}}}$且$\lambda \in \mathbb{C}$，矩阵$[{A_0} - \lambda I\ \ B_0]$行满秩，矩阵$ [{{{A_0} - \lambda I}\ \ C_0}]^{\rm{T}} $列满秩，即式(3)组成的线性方程有解，因此上述线性化之后的系统具备可控性和可观测性^[14]。

1.3 不确定性建模

在利用回路成型技术设计控制器或分析系统时，需要一个标称模型${{\boldsymbol{H}}_0}$。根据式(3)，本文研究对象的标称模型${{\boldsymbol{H}}_0}$可以表示为：

$ {{\boldsymbol{H}}_0} = {{\boldsymbol{D}}_0} + {{\boldsymbol{C}}_0}{(s{\boldsymbol{I}} - {{\boldsymbol{A}}_0})^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{A}}_0}}&\Big| & {{{\boldsymbol{B}}_0}} \\ \hline {{{\boldsymbol{C}}_0}}&\Big| & {{{\boldsymbol{D}}_0}} \end{array}} \right] 。$

(4)

${{\boldsymbol{H}}_0}$通常被认为是一个理想模型，在实际应用中，由于船舶运动模型与实际应用的船舶之间会存在不确定性误差，并且岸壁效应也会引入不确定性误差，在设计控制器时，这些误差不能被忽略。为了使模型${{\boldsymbol{H}}_0}$更接近实际工况下的船舶，考虑船舶动力学特性与乘性输出摄动模型，利用线性分式变换^[15]（Linear Fractional Transformation, LFT），将模型的不同部分的不同参数分离并组合成一个模块，对于上述船舶状态空间模型，假设系统摄动参数为：

$ \Delta = {\rm{diag}}({\Delta _u},{\Delta _v},{\Delta _r},{\Delta _x},{\Delta _y},{\Delta _\varphi },{\Delta _{{\tau _u}}},{\Delta _{{\tau _v}}},{\Delta _{{\tau _r}}}) 。$

因此式(3)可以改写为：

$ \left\{ \begin{gathered} \dot x = {{\boldsymbol{A}}_0}x + {{\boldsymbol{B}}_0}u + {{\boldsymbol{B}}_1}{y_2}，\\ {y_1} = {{\boldsymbol{C}}_0}x + {{\boldsymbol{D}}_0}u ，\\ {y_2} = \Delta {{\boldsymbol{C}}_1}x + \Delta {{\boldsymbol{D}}_1}u 。\\ \end{gathered} \right. $

(5)

考虑系统的不确定性之后的系统模型${{\boldsymbol{H}}_1}$可以被表示为：

$ {{\boldsymbol{H}}_1}(s) = ({\boldsymbol{I}} + \Delta ){{\boldsymbol{H}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{A}}_0}}&\Big| & {{{\boldsymbol{B}}_0}}&{{{\boldsymbol{B}}_1}} \\ \hline {{{\boldsymbol{C}}_0}}&\Big| & {{{\boldsymbol{D}}_0}}&0 \\ {{{\boldsymbol{C}}_1}}&\Big| & {{{\boldsymbol{D}}_1}}&0 \end{array}} \right] 。$

(6)

式中：${{\boldsymbol{B}}_1} =[{ {{A_0}}\ \ B_0 }]\in {\mathbb{R}^{6 \times 9}}$；$ {{\boldsymbol{C}}_1} = {[{I_{6 \times 6}}\;\;0]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^{9 \times 6}} $，${{\boldsymbol{D}}_1} = {[0\ \ {{I_{3 \times 3}}} ]^ {\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^{9 \times 3}}$。系统模型${{\boldsymbol{H}}_1}$的LTF形式如图2所示。

1.4 干扰模型

在船舶靠泊过程中，环境因素（如风、浪、流及岸壁效应）对船舶的操控系统产生重要影响。

根据文献[16]，风、浪、流对船舶在纵荡、横荡和艏摇等方向的扰动作用可以通过解耦处理进行建模。每个方向上由风、浪、流产生扰动可以通过传递函数来表示其频率响应，传递函数可以被表示为：

$ {T_i}(s) = \frac{{{a_i}}}{{{b_i}s + {c_i}}}。$

(7)

式中：$i = 1,2,3$表示纵荡、横荡和艏摇方向。${a_i}$为干扰强度；${b_i}$为信号衰减频率；${c_i}$为信号响应速度。

因此，由环境干扰产生的力和力矩向量${{\boldsymbol{\tau}} _d}$可以表示为：

$ {{\boldsymbol{\tau}} _d} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{du}}} \\ {{\tau _{dv}}} \\ {{\tau _{dr}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_1}}&0&0 \\ 0&{{T_2}}&0 \\ 0&0&{{T_3}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\xi _1}} \\ {{\xi _2}} \\ {{\xi _3}} \end{array}} \right]。$

(8)

式中：${\xi _i}(i = 1,2,3)$为均值为0，方差为1的白噪声信号。

此外，岸壁效应模型采用Norbin给出的直壁影响模型^[17]：

$ {\tau _s} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{us}}} \\ {{\tau _{vs}}} \\ {{\tau _{rs}}} \end{array}} \right] = { \left[ {\begin{aligned} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ {{\rho _w}{C_B}Bd{u^2}{\eta _0}\left[0.0925 + 0.372{{(\displaystyle\frac{d}{h})}^2}\right]}\ \ \ \ \\ { - {\rho _w}{C_B}BLd{u^2}{\eta _0}\left[0.0025 + 0.0755{{(\displaystyle\frac{d}{h})}^2}\right]} \end{aligned}} \right] }。$

(9)

式中：${\rho _w}$为水的密度；$h$为水深；${C_B}$为方形系数；$L$为船长；$B$为船宽；$d$为船舶吃水；$u$为船舶纵荡速度；${\eta _0}$为船中距离岸壁的距离。

2 方　法

传统的回路成型主要采用单一自由度的控制器，因此其在时域响应、鲁棒稳定性和干扰抑制能力上依据设计者的需求进行一定的权衡，无法同时优化。基于此，为了实现船舶在复杂环境下的靠泊控制目标，本文基于2DOF回路成型提出了一种自动靠泊控制方法。

2.1 系统不确定性与左互质分解

闭环系统的设计目标可以根据系统的频域性能指标来确定，如：低频增益可以指示系统抗干扰及参考信号跟踪能力；穿越频率周围的滚降系数和带宽表示系统的阻尼和稳定性，高频增益表示对传感器噪声和未建模动态的灵敏度^[20]。为了使系统能够获得期望的增益，引入权重函数来灵活控制和优化闭环系统的输出响应，提升稳健性、灵敏度和频域性能。引入权重后的系统可以表示为：

$ \boldsymbol{H}(s)=\boldsymbol{H}_1(s)\boldsymbol{W}(s)。$

(10)

为了考虑不确定性对系统带来的影响，首先将系统模型${\boldsymbol{H}}(s)$进行标准化左互质分解，可以表示为：

$ {\boldsymbol{H}}(s) = {\bar {\boldsymbol{M}}^{ - 1}}(s)\bar {\boldsymbol{N}}(s)。$

(11)

其中，

$ {\boldsymbol{H}}(s) = {\boldsymbol{D}} + {\boldsymbol{C}}{(sI - A)^{ - 1}}{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}}&\Big| & {\boldsymbol{B}} \\ \hline {\boldsymbol{C}}&\Big| & {\boldsymbol{D}} \end{array}} \right]，$

(12)

$ \bar {\boldsymbol{N}}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{A}} + LC}&\Big| & {{\boldsymbol{B}} + L{\boldsymbol{D}}} \\ \hline {{R^{ - 1/2}}C}&\Big| & {{R^{ - 1/2}}{\boldsymbol{C}}} \end{array}} \right]，$

(13)

$ {\bar {\boldsymbol{M}}^{ - 1}}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}}&\Big| & { - L{R^{1/2}}} \\ \hline {\boldsymbol{C}}&\Big| & {{R^{1/2}}} \end{array}} \right]。$

(14)

其中，$L = - (Y{C^ {\rm{T}} } + B{D^ {\rm{T}} }){R^{ - 1}}$，$R = {R^{1/2}}{R^{1/2{\rm{T}}}}$，$Y > 0$是代数Riccati方程的解：

$ \begin{array}{l} (A - B{D^ {\rm{T}} }{R^{ - 1}}C)Y + Y{(A - B{D^ {\rm{T}} }{R^{ - 1}}C)^ {\rm{T}} }-\\ Y{C^ {\rm{T}} }{R^{ - 1}}CY + B{(I + {D^ {\rm{T}} }D)^{ - 1}}{B^ {\rm{T}} } = 0 \end{array}$

(15)

在经过分解后，目标系统${\boldsymbol{H}}(s)$如图3所示。

其中，${d_s}$为由系统不确定性引起的扰动。

2.2 二自由度自动靠泊控制器

为了同时优化自动靠泊控制器的干扰抑制和时域响应能力、提高系统的鲁棒稳定性，控制器在设计时被分为两部分。其中，反馈控制器${K_2}$用于提高干扰抑制能力；前馈控制器${K_1}$用于提高闭环系统时域响应，使闭环系统跟踪特定的参考模型${R_m}$。系统结构如图4所示。

其中，${u_1}$、${u_2}$分别为控制器${K_1}$、${K_2}$的输出；${{z}}$为闭环与参考模型之间的误差。

结合2.1节，考虑了由岸壁效应引起的不确定性自动靠泊系统的整体结构如图5所示。

其中，$\rho $为设计者指定的标量，表示时域响应在设计过程中的重要性。如果$\rho = 0$，则设计的控制器为单一自由度的回路成型控制器，在二自由度回路成型控制器设计的过程中，通常$1 \leqslant \rho \leqslant 3$。

由图5的结构可以得到：

$ y = {G_y}{\bar M^{ - 1}}{d_s} + {T_{r \to y}}r，$

(16)

$ u = {K_2}{G_y}{\bar M^{ - 1}}{d_s} + {T_{r \to u}}r ，$

(17)

$ z = {G_y}{\bar M^{ - 1}}{d_s} + ({T_{r \to y}} - {R_m})r 。$

(18)

式中：${G_y} = {(I - H{K_2})^{ - 1}}$；${T_{r \to y}}$表示由信号$r$到信号$y$之间的传递函数。

结合式(16)～式(18)，可以得到系统的矩阵表达式：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z \\ y \\ u \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_y}H{K_1} - {R_m}}&{{G_y}{{\bar M}^{ - 1}}} \\ {{G_y}H{K_1}}&{{G_y}{{\bar M}^{ - 1}}} \\ {(I - {K_2}{H^{ - 1}}){K_1}}&{{K_2}{G_y}{{\bar M}^{ - 1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r \\ {{d_s}} \end{array}} \right] 。$

(19)

为了最小化闭环系统的扰动，控制器需要满足：

$ {\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho ^2}({G_y}H{K_1} - {R_m})}&{\rho {G_y}{{\bar M}^{ - 1}}} \\ {\rho {G_y}H{K_1}}&{{G_y}{{\bar M}^{ - 1}}} \\ {\rho (I - {K_2}{H^{ - 1}}){K_1}}&{{K_2}{G_y}{{\bar M}^{ - 1}}} \end{array}} \right\|_\infty } < \gamma 。$

(20)

式中：${\left\| \cdot \right\|_\infty }$表示${\mathcal{H}_\infty }$范数^[14]；$\gamma $为闭环系统${\mathcal{H}_\infty }$范数的上界，用于衡量系统对扰动的抑制能力。

根据文献[18]，为了保证控制器可以被求解，$\gamma $的取值需要保证$1.2{\gamma _{\min}} \leqslant \gamma \leqslant 3{\gamma _{\min}}$，其中，${\gamma _{\min}}$可以通过式(21)求解。

$ {\gamma _{\min}} = \sqrt {1 - \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} N&M \end{array}} \right\|_H^2}。$

(21)

因此，满足式(20)的控制器即为符合设计目标的控制器。为了求解控制器，假设

$ u = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_1}}&{{K_2}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&y \end{array}} \right]^ {\rm{T}} }。$

(22)

为了将2DOF回路成型控制问题标准化，式(19)可以被改写为：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ y \\ u \\ \hline r \\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&\Big| & {{B_1}} \\ \hline {{C_1}}&\Big| & {{D_1}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_s}} \\ \alpha \\ \hline u \end{array}} \right] 。$

(23)

其中：

$ \begin{gathered} {A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {{\bar M}^{ - 1}}}&{ - {\rho ^2}{R_m}} \\ {{{\bar M}^{ - 1}}}&0 \\ 0&0 \end{array}} \right],{B_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho H} \\ H \\ I \end{array}} \right], \\ {C_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\rho I} \\ {{{\bar M}^{ - 1}}}&0 \end{array}} \right],{D_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ H \end{array}} \right]。\\ \end{gathered} $

(24)

式(20)可以被改写为：

$ {\left\| {{F_l}\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&\Big| & {{B_1}} \\ \hline {{C_1}}&\Big| & {{D_1}} \end{array}} \right),\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_1}}&{{K_2}} \end{array}} \right]} \right)} \right\|_\infty } < \gamma。$

(25)

式中：${F_l}( \cdot \;, \cdot )$表示下线性分式变换。

根据文献[21]，控制器使闭环系统稳定且满足约束式(25)的充分必要条件是存在正定矩阵${\boldsymbol{X}} > 0$满足Riccati方程：

$ \begin{split} &{({A_1} - {B_1}{S^{ - 1}}D_1^{\rm{T}}{C_1})^{\rm{T}}}{\boldsymbol{X}} + {\boldsymbol{X}}({A_1} - {B_1}{S^{ - 1}}D_1^{\rm{T}}{C_1}) - \\ &{\boldsymbol{X}}{B_1}{S^{ - 1}}B_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{X}} + {C_1}^{\rm{T}}{R^{ - 1}}{C_1} = 0 \end{split}$

(26)

那么满足稳定性要求的控制器${\boldsymbol{K}} = [{K_1}\;\;{K_2}]$可以被表示为：

$ {\begin{aligned} &{\boldsymbol{K}} = \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1} + {B_1}F + {\gamma ^2}{{({Q^ {\rm{T}} })}^{ - 1}}{\text{Y}}C_1^ {\rm{T}} ({C_1} + {D_1}F)}&\Big| & {{\gamma ^2}{{({Q^ {\rm{T}} })}^{ - 1}}YC_1^ {\rm{T}} } \\ \hline {B_1^ {\rm{T}} X}&\Big| & { - D_1^ {\rm{T}} } \end{array}} \right]。\\ \end{aligned} }$

(27)

式中：$ F = - {S^{ - 1}}(D_1^ {\rm{T}} {C_1} + B_1^ {\rm{T}} X) $；$ Q = (1 - {\gamma ^2})I + XY $；$ S = I + D_1^ {\rm{T}} {D_1} $。

3 仿真实验与分析

本文以CyberShipII^[19]为仿真实验研究对象，该模型为北海供给船1∶70的等比模型，其船长为1.255 m，船宽为0.29 m，各项参数如表1所示。

选择的时间响应参考模型$ {R_m} = \frac{{0.5}}{{s + 0.5}}{I_3} $，干扰模型的传递函数选择为$T = \frac{1}{{s + 1}}{I_3}$。权重函数为：

$ {\rm{diag}}\left( {\frac{{12s + 10}}{{s + 5}},\frac{{10s + 20}}{{6s + 8}},\frac{{s + 1}}{{0.4s + 1}}} \right)。$

(28)

根据式(21)，求得最小可实现值${\gamma _{\min}} = 1.672$。设置$\rho = 1.2$，得到的控制器$K$对应的$\gamma = 2.6919$，根据文献[18]，$1.2{\gamma _{\min}} \leqslant \gamma \leqslant 3{\gamma _{\min}}$时，能够很好地实现同时兼顾鲁棒稳定性和干扰抑制这一设计目标。

为了体现本文所提控制方法的优越性，将${H_\infty }$控制方法^[22]与本文提出的控制方法进行对比。靠泊路径通过贝塞尔曲线和最小二乘法得到。靠泊起点设置为$(0,0)$，起始艏向为0，泊位坐标为$(10,10)$。仿真时间设置为$300\;{\rm s}$，仿真结果如图6～图9所示。

由仿真结果可以看出，2种控制方法在外部存在扰动的情况下，都可以完成靠泊任务，最终停靠在泊位。但是从靠泊轨迹来看，本文提出的控制方法可以使船舶更为平稳地进行靠泊。根据图7的位置信息对比可以看出，本文提出的控制方法在艏向控制上的效果优于${H_\infty }$控制，可以有效地调节艏向、减少艏向在扰动下的晃动。根据图8的速度信息对比，2DOF回路成型控制下的纵荡速度、横荡速度及角速率变化更为缓慢。结合图9的控制器输出对比信息，可以看出本文方法的输出更为平稳。

上述结果表明，在存在系统不确定性和外部扰动的情况下，本文提出的控制方法可以有效地解决自动靠泊控制问题，并且具备良好的鲁棒性和稳定性，相较于${H_\infty }$传统控制方法，具备更强的抗干扰能力。

尽管本文提出的自动靠泊控制方法通过仿真实验进行了验证，并取得了良好的效果，但目前的研究仍存在一些局限性。利用仿真手段虽然能够有效模拟船舶在不同条件下的靠泊行为，但与实际靠泊场景仍存在一定差异，后续研究可利用历史海洋环境数据进行控制器自适应性和鲁棒性的研究。目前本研究只处于仿真阶段，后续可在测试场内，开展实船测试，将算法推广到实际工程应用中。

4 结　语

本文对存在系统不确定性的船舶自动靠泊控制问题进行了研究，首先对系统不确定性进行了分析，然后提出了一种2DOF回路成型自动靠泊控制方法，所提方法具有两部分，分别为前馈部分和反馈部分。前馈部分用于精确控制闭环系统的时域响应，以满足系统性能要求。反馈部分用于提高系统的鲁棒稳定性和抗干扰能力。最后，利用仿真实验验证了所提方法的有效性和优越性。仿真结果表明本文提出的控制方法可以在存在外部干扰的情况下，实现船舶的自动靠泊，使船舶靠泊到指定泊位。