0 引　言

板架结构是典型的船体结构型式，通常由板和加强筋所组成，主要用于增强船体板的强度和刚度，提高结构的稳定性。然而，船舶在航行过程中会受到波浪、推进系统、机械设备等多种激励的作用，引起船体板架结构振动。为保障船舶的安全性与舒适性，在设计阶段需对板架结构进行优化设计，改善其动力学性能。

随着计算机技术的成熟，遗传算法、粒子群算法等启发式算法在船舶结构优化设计中的应用日益广泛。刘波等^[1]设计了一种基于二进制编码的适用于混合变量的量子行为遗传算法，对船体局部结构优化设计具有较好的计算效果和效率。秦洪德等^[2]对比了基本PSO算法、标准PSO算法与GA算法对某大型油船双层底结构的优化效果，发现PSO算法的收敛速度快于GA算法，更易得到全局最优解。何小二等^[3]将粒子群算法引入到复杂船舶结构的优化中，实现了多用途船舱段模型的结构优化，并与遗传算法相比较，验证了算法的有效性。

在船舶结构优化设计中，迭代收敛过程较长，有限元计算分析耗费时间与计算资源。代理模型是复杂仿真模型的近似模型，以训练后的快速预测模型替代原始有限元计算模型，有效地提高计算效率^[4]。常用的代理模型有Kriging模型、径向基函数模型、支持向量机模型、多项式响应面模型和BP神经网络模型等。其中，BP神经网络模型可以较好地模拟非线性映射问题，适合代替计算耗时的大型有限元计算模型^[5]。李永华等^[6]提出一种基于蒙特卡罗方法和BP神经网络代理模型的货车转向架构架可靠度计算方法，兼顾计算效率与拟合精度。陈晨铭等^[7]采用BP神经网络代理模型优化风机机翼翼型，经验证，其代理模型能够得到较好的翼型，具有较高的精度。苏绍娟等^[8]针对V型无压载水船，构建设计变量和响应之间的RBF代理模型，并结合遗传算法实现了舱段结构和刚度的多目标全局最优化设计。郭海丁等^[9]将BP神经网络和遗传算法相结合，实现了一个包含9个设计变量的发动机盘模型的结构优化设计。张宇等^[10]利用APDL语言参数化建模，采用拉丁超立方抽样选取样本，构建BP神经网络代理模型，并应用粒子群算法优化壳体参数，具有理想的优化效果。

目前，板架的结构布局设计一般由设计人员根据工程经验确定方案，再利用有限元分析对比响应值，存在着方案数量有限、计算时间长、设计效率低等问题。BP神经网络的非线性映射关系具有高效率、高精度的优点，能与粒子群算法的随机性、全局性形成优势互补。因此，本文以板架结构为研究对象，提出基于BP神经网络代理模型和粒子群算法的船舶板架结构动力学优化设计方法，实现板架结构固有频率的快速预测及型材布局的动力学优化，为合理的板架结构设计提供参考。

1 数据集的构建 1.1 数据集样本生成

典型板架结构的布局型式如图1所示，由板、强横梁、纵桁和纵骨构成。矩形薄壁板长L、宽B、厚t。为更清晰地反映型材之间的位置关系，横梁、纵桁和纵骨的位置信息分别以其间距表征，即从原点起，各型材与上一同类型材间距依次给出并累加，得出型材位置坐标，如下式：

$ l\left[i\right]={\sum }_{j=1}^{i}d\left[j\right]，\;\;\;\;\; i=\mathrm{1,2}\dots \dots 。$

(1)

式中：l为型材位置；d为型材间距。

板架结构可通过各型材构件的移动和删减确定最优布局型式。本文将强横梁间距、纵桁间距、纵骨间距等特征参数作为布局优化的主要设计变量。此外，为了使代理模型能够对设计空间内任意尺寸的板架结构均具有预测能力，板尺寸也作为代理模型的输入变量。各参数的取值范围如表1所示。

为了尽可能均匀、全面地覆盖设计变量的取值范围，减少样本点之间的相关性，本文采用拉丁超立方采样方法在设计空间内生成10000组样本点。借助Python-Abaqus二次开发的手段，利用样本点的设计参数建立有限元模型，并进行模态分析求解。求解时，设置边界条件为四边简支约束，有限元网格大小为50 mm。提取板架的前两阶固有频率，从而构建板架结构特征参数和固有频率的数据集。

1.2 数据集预处理

为避免输入各参数的数量级差异过大，影响训练效果，首先对原始数据进行Z-score标准化，保证网络层中输入数据的范围统一，如下式：

$ x{'}=\frac{x-\mu }{\sigma }。$

(2)

式中：$ \mu $为样本均值；$ \sigma $为样本标准差。

本文采用主成分分析，将高维数据投影到低维空间上，将多个线性相关的特征变量转化成为线性无关的变量，删除冗余信息，更好地解释特征变量之间的关系^[11]。板架结构特征参数初始数据为63维，其中各维度的解释方差比和累计方差比如图2所示，当维度达到30后，累计方差比已不再变化，前30维的信息能完整地表征63维数据的整体信息，因此本文将原始数据降维至30阶。

按照8∶1∶1的比例将数据量大小为10000的初始数据集划分训练集、验证集和测试集。测试集用于网络训练，验证集用于网络训练参数的优化选择，测试集用于网络性能评估。

2 BP-PSO优化方法

本文提出BP-PSO方法主要由代理模型和结构优化两大模块组成。代理模型模块构建BP神经网络代理模型，快速预测板架结构的固有频率；结构优化模块通过调用代理模型的预测值和粒子群算法，实现初始板架的多目标全局寻优。

BP-PSO优化方法的整个流程如图3所示。该方法首先采用拉丁超立方采样产生样本点并进行模态计算，通过BP神经网络，建立板架特征参数和固有频率之间的非线性映射关系，并进行网络训练构建代理模型；然后，设置合适的参数，调用PSO粒子群算法和BP神经网络代理模型进行板架特征参数的全局优化迭代，直至满足迭代条件时输出最优解。

2.1 BP神经网络代理模型

BP神经网络是一种基于误差逆向传播算法训练的前馈神经网络，由输入层、隐藏层和输出层组成。输入层接收外界输入的变量，隐藏层通过激活函数对输入数据进行非线性变换，输出层给出预测结果。反向传播算法通过计算预测值与真实值之间的误差，并将该误差反向传播至各层节点，逐步调整网络权重，从而不断优化模型的性能。BP神经网络具有高效的学习能力和良好的泛化性能，在工程应用中具有强大的适应性，极大地提升了工程分析与设计的效率和精度。

本文所采用的BP神经网络结构如图4所示，包含3层隐藏层，节点数为128；输入层变量为板架特征参数，节点数为30；输出层变量为板架前两阶固有频率，节点数为2。

为缓解梯度消失问题并提升模型的训练效果，网络隐藏层的激活函数选择了Leaky-ReLU函数^[12]，如下式：

$ {y}_{i}=\left\{\begin{aligned} &{x}_{i}{x}_{i}\geqslant 0，\\ &\alpha {x}_{i}{x}_{i} < 0。\end{aligned}\right. $

(3)

式中：$ {x}_{i} $为隐藏层输入；$ {y}_{i} $为隐藏层输出；$ \alpha $为$ \left(\mathrm{0,1}\right) $内的固定参数，本文中取0.01。

在处理回归问题时，均方误差（Mean Square Error, MSE）对训练误差敏感，受异常值和离群点的影响小，能较为稳定地评估模型的性能。本文采用均方误差作为训练过程中的损失函数，同时为防止模型过度拟合训练数据，在损失函数中引入L2正则化。损失函数如下式：

$ \mathrm{loss}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}{\left({f}_{t}-{f}_{p}\right)}^{2}+\lambda {\| w \Vert }_{2}^{2} 。$

(4)

式中：$ {f}_{t} $为真实值；$ {f}_{p} $为预测值；N为数据点个数；$ w $为权值向量；$ \lambda $为正则化惩罚因子，本文取0.001。

在网络训练过程中，神经网络的权重、偏置等参数通过最小化损失函数逐步更新，更新过程采用Adam优化器，该优化器基于梯度下降算法，适用于处理较大规模的数据集。初始学习率设为0.01。

神经网络的训练轮数设置为1000轮，训练数据批次大小为32，以确保模型在优化过程中具有足够的学习能力和收敛速度。

2.2 粒子群优化算法

粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法，粒子可不断调整自己的速度和位置，逐渐趋近于最优粒子。粒子在搜索空间中的位置和速度更新遵循下式：

$ {x}_{i}\left(t+1\right)={x}_{i}\left(t\right)+{v}_{i}\left(t+1\right)，$

(5)

$ \begin{split}{v}_{i}\left(t+1\right)=& \omega {v}_{i}\left(t\right)+{c}_{1}{r}_{1}\left[{p}_{i}\left(t\right)-{x}_{i}\left(t\right)\right]+ \\ &{c}_{2}{r}_{2}[g\left(t\right)-{x}_{i}\left(t\right)] 。\end{split}$

(6)

式中：$ {v}_{i}\left(t\right) $和$ {v}_{i}\left(t+1\right) $分别为粒子$ i $在$ t $和$ t+1 $代的速度；$ {x}_{i}\left(t\right) $为粒子$ i $在$ t $代的位置；$ {p}_{i}\left(t\right) $为粒子$ i $在$ t $代的个体最优位置；$ g\left(t\right) $为$ t $代的全局最优位置，$ \omega $为惯性权重；$ {c}_{1} $和$ {c}_{2} $分别为个体学习因子和社会学习因子；$ {r}_{1} $和$ {r}_{2} $为[0, 1]之间的随机数。

惯性权重影响着粒子的搜索能力和收敛速度。较大的 $ \omega $会提高算法的全局搜索能力，较小的 $ \omega $ 会增强算法的局部搜索能力^[13]。为平衡粒子群算法的全局搜索能力和局部改良能力，本文惯性权重系数的动态调整采用线性递减策略，其表达式如下式：

$ w=\omega_{\mathrm{max}}-\frac{i\times(\omega_{\mathrm{max}}-\omega_{\mathrm{min}})}{i_{\mathrm{max}}}。$

(7)

式中：$ \omega_{\mathrm{max}} $为最大惯性系数；$ \omega_{\mathrm{min}} $为最小惯性系数；$ i_{\mathrm{max}} $为最大迭代次数，$ i $为当前迭代次数。

标准粒子群算法在处理多目标优化时，难以同时使多个目标达到最优。因此，本文对不同目标赋予目标系数，将多个目标合成为一个综合目标函数进行全局寻优。具体的目标系数可根据问题的重要性进行设定，从而更好地平衡各个目标的优化效果。

本文中粒子群算法的参数设置为：粒子群种群规模为30，最大惯性权重$ \omega_{\mathrm{max}}=0.9 $，最小惯性权值$ \omega_{\mathrm{min}}= 0.4 $，个体学习因子$ {c}_{1}=2 $，社会学习因子$ {c}_{2}=2 $，最大迭代次数为200。

3 板架结构动力学优化设计 3.1 代理模型预测

为保证BP神经网络代理模型能够代替有限元模型进行计算，需评估代理模型的性能。代理模型预测效果曲线如图5所示，代理模型的预测值和真实值偏差小于10%的样本分别占95.87%和97.64%。因此，本文所建立的BP神经网络代理模型能够较为准确的预测板架结构前两阶固有频率，在10%的频率容许误差范围内，模型具备良好泛化能力。

进一步采用相关系数R、平均绝对误差MAE和平均绝对百分比误差MAPE对代理模型的精确度进行定量分析，具体公式如下：

$ R=\frac{\sum ({f}_{t}-\stackrel-{{f}_{t}})({f}_{p}-\stackrel-{{f}_{p}})}{\sqrt{\sum {\left({f}_{t}-\stackrel-{{f}_{t}}\right)}^{2}}\sqrt{\sum {\left({f}_{p}-\stackrel-{{f}_{p}}\right)}^{2}}} ，$

(8)

$ MAE=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}\left|{f}_{t}-{f}_{p}\right| ，$

(9)

$ MAPE=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}\left|\frac{{f}_{t}-{f}_{p}}{{f}_{t}}\right|\times 100{\text{%}} 。$

(10)

对比代理模型的预测值和真实值，如图6所示。板架一阶和二阶频率代理模型的相关系数均为0.97，模型的预测性能良好，预测值和真实值之间具有很强的正线性关系。板架一阶和二阶频率代理模型的平均绝对误差分别为0.554和0.948，平均绝对百分比误差为5.96%和5.60%，表明代理模型具有较高的精度，能较为准确地预测板架的前两阶固有频率，可用BP神经网络代理模型代替有限元模型。

3.2 优化数学模型

型材的删减影响板架重量，型材的移动影响结构刚度，导致固有频率改变。因此，本文的板架结构动力学优化是一个多目标多参数优化问题，以型材间距为设计变量，以最小化结构重量和最大化一阶固有频率为目标函数，优化模型的数学表达式：

$ \left\{\begin{aligned} &\mathrm{find}x=\left(x_1,x_2\dots\dots x_n\right)，\\ &\mathrm{min}s=w_1\cdot\mathrm{mass}\left(x\right)-w_2\cdot f \left(x_1,x_2\dots\dots x_n\right)\in\mathrm{\Omega}。\end{aligned} \right.$

(11)

式中：$ x $为设计变量参数集合，包含强横梁间距、纵桁间距和纵骨间距；$ s $为目标适应度函数；$ {w}_{1}、{w}_{2} $为重量和频率的目标系数；$ \mathrm{mass} $为重量；$ f $为固有频率；$ \mathrm{\Omega } $为设计变量的可行域范围，如表2所示。优化过程中，约束板架强横梁和纵桁的间距一致。在计算目标函数时，对重量和频率归一化处理，避免数据量级差异过大影响优化结果。

3.3 板架优化设计

采用BP-PSO方法对等间距和非等间距板架进行优化设计，验证其有效性。板架的强横梁和纵桁均为$ \perp \frac{400\times 12}{160\times 16} $，纵骨均为$ \lfloor \frac{150\times 12}{50\times 18} $。材料参数为弹性模量$ {E= 2.06\times10^5\; \mathrm{MPa}} $，泊松比$ \mu =0.3 $，密度$ \rho=7.85\;\times 10^3\; \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 $。

板架1：等间距板架，长为15000 mm、宽为12000 mm、厚为12 mm，4根强横梁和3根纵桁间距为3000 mm，纵骨间距为500 mm。一阶固有频率为9.76 Hz。

板架2：非等间距板架，长为12000 mm、宽为10000 mm、厚为10 mm，3根强横梁间距为3000、2500、3500 mm，3根纵桁间距为2000、2500、3000 mm，12根纵骨间距为800、700、1000、600、800、1000、800、600、800、900、500、800 mm。一阶固有频率为14.68 Hz。

优化过程中，$ {w}_{1}、{w}_{2} $均取1，板架一、板架二的迭代收敛过程如图7所示。板架1经过100次迭代收敛，板架2经过92次迭代收敛。考虑到工程实际的设计要求，对优化后的参数进行取整。

板架1：4根强横梁的间距为4000、2400、2400、2400 mm；3根纵桁的间距为4000、2000、2000 mm；12根纵骨的间距为1000、1000、800、800、1000、1000、1000、1000、1000、800、800、1000 mm。强横梁和纵桁数量没有变化，分布位置更趋向于板架中心区域，纵骨数量减少了8根。

板架2：3根强横梁的间距为4000、2000、2000 mm；3根纵桁的间距为3000、2000、2000 mm；10根纵骨的间距为1000、800、800、1000、800、1000、1000、1000、1000、1000 mm。强横梁和纵桁数量没有变化，纵骨数量减少了2根。

板架的优化效果如表3所示，板架1和板架2的重量均有所下降，固有频率均有所增加。因此，应用BP-PSO方法，能够较好地应用于等间距和非等间距板架布局的优化问题。

3.4 BP-PSO与有限元方法对比

在方案数量上，BP-PSO法的每一轮迭代计算了30个板架的结果，在优化时从初始板架出发，朝着目标方向进行大量的智能化搜索，最终达到最优结果。而传统的有限元法根据设计经验给出布局较为规则的方案，再进行有限元计算并对比，从而得到相对较优方案。相较于有限元法，BP-PSO法所能考虑到的方案数量更广泛，优化过程具有启发式智能化，最终优化结果更具全局性。

BP-PSO方法整个流程所需要的时间如表4所示。

在计算效率方面，BP-PSO法需要花费较长的时间制作样本量足够的数据集，从而保证代理模型预测的准确性。在代理模型训练完成之后，可进行固有频率快速计算，BP-PSO法中的代理模型无需建立有限元模型，直接通过板架特征参数计算板架结构的固有频率，预测仅需5 s。而有限元法首先建立板架结构的有限元模型，再计算固有频率，单次计算大约需要660~1260 s。因此，代理模型极大地缩短了单次固有频率的计算时间，在面对粒子群算法中大规模种群的目标函数计算时具有显著的优势。并且，当板架尺寸发生改变时，BP-PSO法能够直接应用代理模型预测固有频率以及应用粒子群算法给出优化结果，而有限元方法需要重新建立相应的有限元模型、设计方案并计算对比。

在适用范围上，传统有限元法的优势在于能够对物理边界条件精确建模和求解。但在板架的初步设计阶段，应用BP-PSO法能更好地进行参数智能化调优，从而快速得到板架结构的型材最佳布局型式。同时，代理模型可快速预测设计区间不同板架尺寸的固有频率，因此BP-PSO法很好地适用于多种尺寸、多种可能布局的全局优化问题。

4 结　语

本文基于BP神经网络代理模型和粒子群算法提出了BP-PSO方法，用于船舶板架结构的动力学优化，该方法首先通过参数化方法构建板架结构的特征参数和固有频率之间的数据集，建立板架固有频率的BP神经网络代理模型。在此基础上，应用粒子群算法，以最小化重量和最大化一阶固有频率为目标函数，对板架布局参数在设计空间内进行多目标全局寻优。本文得到的主要结论如下：

1）所建立的BP神经网络代理模型对板架前两阶固有频率的预测具有较高的精度，平均绝对百分比误差为5.96%和5.60%，能较为准确地给出预测值。

2）BP-PSO方法对等间距和非等间距板架结构型材布局的优化均具有较好的效果，能够为板架结构的布局优化提供较好的思路和方案。

3）相较于传统的有限元法，BP-PSO法具有方案数量广泛、优化效率高、适用性良好等优势。