0 引　言

船舶在结构设计以及安全航行中要考虑风、波浪、海流、海冰等海洋环境对船体结构的影响。在船舶设计及优化的计算过程中，需要将环境载荷外力作为边界条件引入船舶结构模型中，从而进行流固耦合计算。然而，通常情况下计算水动压力值的船体湿表面网格和结构网格并不匹配，水动压力网格较粗，而有限元结构网格更为精细，由此产生了2套非匹配网格之间的压力及其它载荷传递问题，因此寻求一种合理有效的插值方法是实现流固耦合分析的关键。国内很多研究人员对载荷映射提出了可行的办法，汪学锋等^[1]采用网格插值的方法实现流体计算软件Fluent和Patran软件的接口。冯国庆等^[2]采用线性插值方法，将Wasim软件计算的水动压力映射到Patran有限元网格上。任慧龙等^[3]建立水动力-结构模型的边界积分方程求解结构网格控制点的速度势，实现水动压力在结构单元上的直接计算。

在流固耦合计算中，流固界面存在大量反复的数据交换，对此精确的插值方法显得尤为重要。径向基函数（RBF）是近年来受到普遍关注的一种离散数据插值方法，由于径向基函数的各种优点，数学界对其进行了大量研究，其中Buhmann^[4]和吴宗敏^{[5 − 6]}对RBF的基础理论和应用研究起了重要的推动作用。RBF用于工程实践计算具有重要意义，目前主要用于2个方面：求解偏微分方程和大型散乱数据的处理。前者可用于求解固体或流体力学中的控制方程，后者常用于数据插值及拟合。Rrank^[7]曾对散乱数据的各种插值方法做了实例比较，得出的结论是径向基函数插值的结果令人满意，其中Hardy^[8]提出的MQ径向基函数和Duchon提出的TPS径向基函数的插值精度最高。

本文深入探讨了流体-结构压力传递中不同插值方法的应用与效果。在研究过程中，采用了临近点加权法、经典径向基函数法（MQ-RBF）、含多项式基的径向基函数法（PRBF）以及含多项式基的紧支撑径向基函数法（CS-PRBF）等多种不同的插值方法。这些方法各具特点，为准确进行流体-结构压力传递的插值计算提供了多样化的选择。对于不同网格比的情况，每种插值方法都展现出独特的性能。通过严谨的计算分析，深入研究了不同插值方法在不同网格比下对流体-结构压力传递的插值效果。其中，临近点加权法基于其特定的计算原理，在处理压力传递问题时表现出一定的优势。而径向基函数法家族中的 MQ-RBF、PRBF 和 CS-PRBF 也各自发挥着独特的作用。MQ-RBF 以其经典的特性，在插值计算中有着稳定的表现；PRBF 则通过引入多项式基，使得具有较少场点的情况下仍能得到较高精度的插值结果；CS-PRBF 凭借紧支撑的特点，同时利用PRBF的特点，不仅能够获得高精度插值结果，同时能够更加高效地进行插值。经过对不同插值方法的插值误差进行详细分析，可以看出临近点加权法和径向基函数法的插值结果均能满足工程要求。

1 插值方法及耦合计算

在船舶工程领域中，船舶结构有限元模型与常用水动力计算模型之间存在着显著的差异。一般情况下，船舶结构有限元模型的单元尺度较小，这是因为需要对船舶结构进行精细分析，以确保其在各种复杂工况下的安全性和可靠性。而常用水动力计算模型的单元尺度相对较大，这主要是出于对计算效率的考虑。在固液交界面上，这2种模型的网格尺度不一，网格节点也不重合，这给船舶的整体分析带来了一定的挑战。

为了解决这个问题，需要通过插值的方法将流场计算结果插值出固体节点上的相应边界条件，如压力、温度等。插值方法的选择对于计算结果的准确性至关重要。本文将深入讨论临近点加权平均法和径向基函数的方法。临近点加权平均法是一种基于距离加权的插值方法。它通过计算固体节点周围一定范围内的流场节点，并根据距离的远近赋予不同的权重，然后对这些流场节点的结果进行加权平均，从而得到固体节点上的边界条件。这种方法简单直观，计算效率较高，但对于复杂的流场分布可能会存在一定的误差。

径向基函数方法则是一种基于函数逼近的插值方法。它通过构建一个径向基函数，将流场节点的结果作为输入，固体节点的位置作为输出，通过求解函数的参数来确定固体节点上的边界条件。径向基函数方法具有较高的精度和适应性，能够处理复杂的流场分布。

1.1 临近点加权法

临近点加权法首先读取从流体模型中读取流体单元网格信息及水动压力信息，从结构模型中读取有限单元信息。将流体四边形网格转化成三角形单元网格，计算四边形单元中心点的水动压力值，将四边形转化成4个三角形单元。判断结构有限中心点是否在流体网格内，若该点在流体网格内，采用三角形面积插值法计算^[9]其压力值。

三角形中任意一点D与其3个角点相连形成3个子三角形，如图1所示。以原三角形边所对的角码来命名此3个子三角形面积,即△BDC的面积为${S_A}$，△ADC的面积为${S_B}$, △ADB的面积为${S_C}$，D点的位置信息可由3个比值信息确定：

$ \left\{ \begin{aligned} &{N_A} = S_{A}/S ，\\ &{N_B} = S_{B}/S ，\\ &{N_C} = S_{C}/S 。\\ \end{aligned} \right. $

(1)

式中：S为△ABC的面积，因此有

$ {N_A} + {N_B} + {N_C} = 1。$

(2)

式中：${N_A}$、${N_B}$和${N_C}$为单元的形函数。若D点在△ABC的三条边上：在AB边${N_C}{\text{ = 0}}$，在AC边${N_B}{\text{ = 0}}$，在BC边${N_A}{\text{ = 0}}$，则单元内D点的压力场函数可插值表示为：

$ {P_D} = {N_A}{P_A} + {N_B}{P_B} + {N_C}{P_C} 。$

(3)

1.2 径向基函数插值法

RBF插值函数是一种整体插值方法，对数据点来源并无特殊要求，可以是规则的网格数据点（如有限元网格节点），也可以是无规则的散乱点，因此，在使用网格化方法时，计算流体力学（CFD）和计算结构力学（CSD）可以保持相对的独立性。本文拟采用将径向基函数和多项式基函数耦合的插值方法（Polynomial and radial basis function，PRBF），该方法一方面可以避免多项式基函数带来的奇异性问题，另一方面可以改善径向基函数的稳定性和插值精度，并且在同样的插值精度下，可以适当减少插值点，以提高插值效率。

在n维欧几里得空间内给定一组不同位置的点${{x}} = \{ {x_1} \cdots {x_N}\} \in {R^n}$，称之为“场点”，同时给出这些场点处的标量值${u_1},{u_2} \cdots {u_N}$，可以由此确定一个连续函数，函数描述的曲面能够通过全部场点^[10]。该连续函数可以表示为：

$ u({x})=\sum\limits_{i=1}^NR_i({x})a_i+\sum\limits_{i=1}^mp_i({x})b_i={R}^{\mathrm{T}}({x}){a}+{p}^{\mathrm{T}}{b}。$

(4)

式中：${R_i}\left( {{x}} \right)$为径向基函数（RBF）；N为场点个数（N=1，2，3….）；${p_i}\left( {{x}} \right)$为空间坐标$ {x}\mathrm{^T}=\left[x,y,z\right] $中的单项式；m为多项式基函数的个数。如果m = 0，则该插值函数为单纯的径向基插值函数，否则为径向基-多项式基耦合插值函数。a和b为待定系数。

在式(1)径向基函数${R_i}(x)$中，仅有表示计算点$x$与节点${x_i}$之间距离的变量。

$ {r_i} = \sqrt {{{(x - {x_i})}^2} + {{(y - {y_i})}^2} + {{(z - {z_i})}^2}}。$

(5)

$ {P}\mathrm{^T}({x}) $ 是与空间坐标${{{x}}^{\rm{T}}} = \left[ {x,y,z} \right]$相关的多项式基，通常是低次多项式，如常数项、一次多项式等，对于三维空间，通常m=1，4，10···，一般情况下采用线性基即可，即m=4，其对应的函数为：${{{P}}^{\rm T}}({{x}}) = \{ 1\;\;x\;\;y\;\;\;z\}，m = 4$。

式(4)中变量有（N+m）个，但方程只有N个，为了使线性方程组封闭，且考虑到矩阵的对称性，添加如下约束方程：

$ \sum\limits_{i=1}^Np_j(x)a_i={p}_m^{\mathrm{T}}{a}=0,\; \; j=1,2,\cdot\cdot\cdot,m 。$

(6)

则可将式(4)写为

$ \left[ \begin{gathered} {{{U}}_s} \\ {\mathbf{0}} \\ \end{gathered} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{R}}&{{{{P}}_{{m}}}} \\ {{{P}}_{{m}}^{\rm{T}}}&{{0}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a}} \\ {{b}} \end{array}} \right\}。$

(7)

其中，${U_s} = \left\{ {{u_1}\;\;{u_2}\;\;{u_3}\;\; \cdot \cdot \cdot \;\;{u_N}} \right\}$。

$ \begin{aligned}{R}(x)=\left[\begin{array}{*{20}{c}}R_1(r_1) & R_2(r_1) & \cdots & R_N(r_1) \\ R_1(r_2) & R_2(r_2) & \cdots & R_N(r_2) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ R_1(r_N) & R_2(r_N) & \cdots & R_N(r_N)\end{array}\right]_{(N\times N)} ，\\ {P}_m^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_N \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_N \\ z_1 & z_2 & \cdots & z_N \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ p_m({x}_1) & p_m({x}_2) & \cdots & p_m({x}_N)\end{array}\right]_{(m\times N)}。\end{aligned}$

本文将采用以下3种不同的径向基函数进行插值计算：

1）复合2次（MQ-RBF） ${R_i}(x,y) = {\left( {r_i^2 + {c^2}} \right)^{0.5}}$ ，c为形状参数；

2）CSRBF${R_i}(x,y) = {\left( {1 - rp} \right)^4} + (4 + 16rp + 12r{p^2} + 3r{p^3})$ ，$rp = {\raise0.7ex\hbox{${{r_i}}$} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_i}} \delta }}\right.} \lower0.7ex\hbox{$\delta $}}$, $\delta $为形状参数，${(1 + rp)_ + }$表示当$(1 + rp) < 0$时，${R_i}(x,y) = 0$；

3）含多项式基的径向基函数（PRBF）。

2 数值结果及分析 2.1 模型介绍

本文以某集装箱船及某海工平台为研究对象，主尺度如表1所示，其中集装箱船采用10种不同的网格密度（0.5～5.0 m）对湿表面进行网格划分，网格数分别为15320、3934、1740、1015、657、478、364、331、255、228，以最小网格密度作为结构网格，其余网格作为流体网格（网格比分布从1∶2到1∶10）；海工平台采用7中不同的网格密度（0.7～4.9 m）对湿表面进行网格划分，网格数分别为14244、3518、1919、1121、855、652、524，以最小网格密度作为结构网格，其余网格作为流体网格（网格比分布从1∶2到1∶7）。对于2种不同的研究对象分别采用文中所阐述的插值方法进行插值，并与理论结果对比。为了对比不受其他因素干扰，本文采用的理论值为静压力，即通过$\rho gh$计算的压力值。网格模型如图2所示。

2.2 计算结果及分析

本文以集装箱船和半潜式海工平台为研究对象，分别采用临近点加权法、经典径向基函数法（MQ-RBF）、含多项式基的径向基函数法（PRBF）以及含多项式基的紧支撑径向基函数法（CS-PRBF），对不同网格比的流体-结构压力传递进行插值计算，对比不同方法的插值结果、网格敏感度以及同平台下的计算效率，并对计算结果进行统计分析。

图3和图4所示为分别采用MQ-RBF方法和临近点加权法对集装箱船和海工平台流体域到结构域的压力传递进行插值，两套网格的网格比为1∶5。由于其他2种径向基函数法的结果更好，因此这里只展示MQ-RBF方法的压力云图。图中可以发现在这种大网格比的情况下，采用MQ-RBF方法的插值结果与理论值吻合非常好，而采用临近点加权方法的插值结果出现多处明显的插值误差。

由表2和表3可知，经过对不同插值方法的插值误差统计分析，临近点加权法和径向基函数法的插值结果均能满足工程要求（一般要求误差在10%以内，对于精度较高的插值场景，误差需控制在5%以内）。然而，临近点加权法在误差1%以内的占比较径向基函数小，且随着流体与结构网格比增大，插值误差会明显增大；MQ-RBF插值法在压力值为0的点处的相对误差比较大，但绝对误差在允许范围内；PRBF插值法的精度控制的最好，可以很好的避免压力值为0处的插值数值震荡，插值误差基本都在1%以内；CS-PRBF在PRBF的基础上明显提升了计算效率，同时也保证了精度。

图5和图6是以集装箱船为研究对象进行的探讨，其中图5显示不同网格比下各方法计算所用时间，其中MQ-RBF和PRBF因为采用的是全域插值方法，所以在网格比较小时，即流体网格数量较大时，计算效率很差，特别是1∶2的网格比下达到惊人的300多秒。然而在大网格比下，即流体网格数较少的情况下，计算效率比较高，甚至优于临近点加权法和紧支撑径向基函数法。同时按照图6显示，对比插值误差可以发现，临近点加权法随着网格比的增加，插值精度明显下降，反观径向基函数法，对于不同网格比没有太明显的变化，特别是CS-PRBF方法插值精度几乎无变化。综合考虑，对于1∶3以内的小网格比，可以考虑采用临近点加权法和CS-PRBF方法，不仅效率较高，精度也不差于其他2种方法；对于超过1∶3的网格比，可以考虑采用径向基函数法，特别是PRBF和CS-PRBF，稳定性和效率都较优。

3 结　语

本文通过采用临近点加权法、经典径向基函数法（MQ-RBF）、含多项式基的径向基函数法（PRBF）以及含多项式基的紧支撑径向基函数法（CS-PRBF）多种不同的插值方法，针对不同研究对象（集装箱船和海工平台）的不同网格比的流体-结构压力传递进行插值计算。结果表明，临近点加权法对网格比的变化非常敏感，这意味着在网格比不大的情况下，能够发挥出一定的作用，满足工程的实际需求。然而，一旦网格比超出一定范围（建议不要超过1∶5），其插值结果的准确性可能会受到较大影响。在实际工程应用中，当面临网格比相对较小时的情况，临近点加权法可以作为一种有效的工具。但需要注意的是，对于网格比的变化要保持高度的敏感性，以便及时调整计算策略；径向基函数法则表现出了对网格不敏感的优势。无论是在较小的网格比还是在较大的网格比下，径向基函数法都能展现出良好的插值效果。当不添加多项式基时，插值结果受径向基函数的形状参数影响较大。形状参数的变化可能会导致插值结果的不稳定，尤其是在一些关键区域，如压力值为0的点处，数值震荡较大。这种数值震荡不仅会影响计算结果的准确性，还可能给工程分析带来不确定性。然而，当添加了多项式基后，情况发生了显著的变化。含多项式基的径向基函数法（PRBF）能够在很大程度上克服形状参数的影响。这意味着即使形状参数发生一定的变化，插值结果也能保持相对稳定。同时，它还可以有效地避免压力值为零的点处的数值震荡。

径向基函数的形状参数的选取对插值结果有一定的影响，如何合理的选取需要进一步深入的研究。径向基函数作为一种整体插值方法，其对流体域点的数量较敏感，当流体域中的点数量发生变化时，径向基函数的插值效率会有明显的改变，然而值得注意的是，径向基函数对网格比并不敏感，通过引入径向基函数的紧支撑特性，可以有效提高径向基函数的插值效率，同时也引入了另一个问题，即如何选取紧支撑域，不同大小的支撑域将影响插值精度和插值效率，需要研究一种统一的方法来平衡这一矛盾，这也是后续的重点工作之一。此外，本文中的算例还存在一定的局限性。目前的算例没有涉及到海冰载荷以及复杂海洋波浪载荷的传递。然而，在实际应用中，海冰载荷和复杂海洋波浪载荷的传递是非常重要的问题。因此，后期需要对此类载荷的精确传递做进一步的研究。这将涉及到对径向基函数的进一步改进和优化，以使其能够更好地适应海冰载荷和复杂海洋波浪载荷的传递需求。同时，还需要结合实际情况，进行大量的实验和模拟，以验证改进后的径向基函数的有效性和准确性。