0 引　言

浅海水声信道是已知最复杂的通信信道之一。浅海环境中，声波由于海底和海面的反射、散射，导致信号在通过水声信道时造成严重的时延扩展和多径效应^{[1 − 3]}。正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM）技术由于其对抗频率选择性衰落效果好、频带利用率高、抗多径传播能力强、信道均衡易于实现等优势，被广泛应用于高速水声通信^{[4 − 6]}。然而，复杂多变的浅海水声信道对OFDM通信系统产生了重大影响，为保障通信质量，需要在接收端对信道状态进行精确估计。

水声信道的稀疏特性显著^[5]，为了更准确地估计信道，基于压缩感知技术（Compressive Sensing，CS）的匹配追踪（Matching Pursuit, MP）^[7]和正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）^[8]等稀疏重构方法被引入水声稀疏信道估计问题。相较于最小二乘（Least Square, LS）的信道估计方法，CS方法能获得更高的估计精度，但存在稀疏度选取困难和算法计算复杂度高的问题。因此，基于稀疏贝叶斯学习的稀疏信号重构算法被广泛研究^{[9 − 12]}。Wipf等^[9]将稀疏贝叶斯学习（Sparse Bayesian Learning, SBL）算法引入单测量模型的稀疏信号重构；Wipf等^[10]将其扩展到多测量模型，推导出稀疏信号重构的多重稀疏贝叶斯学习（Multiple Sparse Bayesian Learning, MSBL）算法；Zhang等^[11]基于SBL算法推导了时序稀疏贝叶斯学习（Temporal Sparse Bayesian Learning, TSBL）算法，并基于MSBL扩展了TMSBL算法；Qiao等^[12]将TMSBL算法引入缓慢时变水声OFDM通信系统信道估计，利用相关性来联合估计几个连续块的信道，在强时间相关的信道中实现了最佳性能，并在弱时间相关信道保持了鲁棒性。TMSBL算法不仅利用了水声信道稀疏特性，还利用了信道之间的相关性，兼顾了信道的先验分布及空时信息，能够获得较高的信道估计精度，因此TMSBL算法被广泛应用于水下信道估计^{[13 – 14]}。

上述信道估计方法一般假设噪声服从高斯分布，但在更为复杂的水声环境中，时常存在脉宽短、能量高和突发性的脉冲噪声，如生物噪声^[15]、冰破碎噪声^[16]等。在这种环境中，上述水声信道估计方法受到脉冲噪声的影响导致估计性能下降。因此，需要对脉冲噪声进行抑制以提高信道估计的性能。考虑脉冲噪声脉宽短的特性，可在时域将脉冲噪声视作稀疏信号，引入SBL对其进行估计和抑制^{[17 – 18]}。相较于传统的Clipping^[19]和Blanking^[20]方法，SBL方法克服了脉冲噪声抑制效果受门限取值影响较大的局限性，能够更好地实现对脉冲噪声的抑制。此外，由于信道和脉冲噪声均具有稀疏性，引入SBL方法对信道冲激响应和脉冲噪声进行联合估计^{[21 − 23]}。Chen等^[21]利用SBL联合导频子载波的接收信号对信道脉冲响应和脉冲噪声进行联合估计，然后将估计的脉冲噪声从时域接收信号中去除，提高了信道估计的精度和抑制脉冲噪声的性能。然而，SBL信道和脉冲噪声联合估计方法没有考虑信道之间的相关性，且存在信道和脉冲噪声易混叠和算法计算复杂度较高的问题。Xing等^[24]利用信道之间的相关性，利用2次TMSBL算法实现了脉冲噪声抑制和信道估计问题，提高了信道估计的精度，同时降低了计算复杂度。但存在估计精度受能量系数取值影响较大和系统较为复杂的问题。

针对以上问题，提出一种改进的时序多重稀疏贝叶斯学习（TMSBL）信道和脉冲噪声联合估计方法（Improved Joint Estimation of Channel and Impulse Noise for Temporally Multiple Sparse Bayesian Learning Method, IJCI-TMSBL）。该方法利用水声OFDM系统中信道和脉冲噪声的稀疏特性，将信道和脉冲噪声的估计问题转换为多测量向量压缩感知问题。通过引入导频增益因子来放大导频字典矩阵，并结合傅里叶变换矩阵，构建新的联合估计字典矩阵。这种方法有效提升了接收导频信号的信噪比，提高了信道估计的精度。此外，该方法改变了导频字典矩阵和脉冲噪声字典矩阵的Gram矩阵的权重，从而在联合估计过程中更好地区分信道和脉冲噪声，减少迭代次数，降低算法的计算复杂度。最终，通过TMSBL方法实现对水声信道和脉冲噪声的联合估计。

1 基于TMSBL的水声信道估计方法 1.1 OFDM系统接收信号模型

本文采用基于循环前缀的OFDM系统，OFDM系统的子载波个数为$ N $，导频个数为$ p $，空子载波数为$ U $。假设信道的相干时间远大于OFDM符号周期且OFDM符号的循环前缀大于信道的最大多径时延，则OFDM通信系统接收信号的频域表达式为：

$ {\boldsymbol{y}}={\boldsymbol{XFh}}+{\boldsymbol{Fv}}+{\boldsymbol{w}}。$

(1)

式中：$ \boldsymbol{y}\in {\mathbb{C}}^{N\times 1} $为接收信号；$ \boldsymbol{X}\in {\mathbb{C}}^{N\times N} $为对角化矩阵，对角线元素为发射信号；$ \boldsymbol{F}\in {\mathbb{C}}^{N\times M} $为DFT矩阵；$ \boldsymbol{h}\in {\mathbb{C}}^{M\times 1} $为时域信道冲激响应；$ \boldsymbol{v} $为时域脉冲噪声；$ \boldsymbol{w} $服从$ \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,\lambda {{\boldsymbol{I}}}_{N}\right) $的高斯白噪声。从接收信号$ \boldsymbol{y} $中取出导频信号，则导频信号的接收模型为：

$ {\boldsymbol{y}}_{p}={\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}h+{\boldsymbol{F}}_{p}v+{\boldsymbol{w}}_{p}。$

(2)

式中：$ {\boldsymbol{y}}_{p}\in {\mathbb{C}}^{p\times 1} $为接收导频信号；$ {\boldsymbol{X}}_{p}\in {\mathbb{C}}^{p\times p} $为对角化矩阵，对角线元素为已知导频信号；$ {\boldsymbol{F}}_{p}\in {\mathbb{C}}^{p\times M} $为导频位置处所对应的DFT矩阵。式(2)描述的系统模型为单测量模型，考虑多测量模型：对多个不同OFDM符号进行建模，表达式如下：

$ {\boldsymbol{Y}}_{p}={\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}H+{{\boldsymbol{F}}_{p1}\boldsymbol{V}+\boldsymbol{W}}_{p}={\boldsymbol{\varPhi }}_{p}H+{\boldsymbol{F}}_{p1}V+{\boldsymbol{W}}_{p}。$

(3)

式中：$ {\boldsymbol{Y}}_{p}=[{\boldsymbol{y}}_{p,1},{\boldsymbol{y}}_{p,2},\dots ,{\boldsymbol{y}}_{p,L}]\in {\mathbb{C}}^{p\times L} $为$ L $个OFDM符号的接收导频矩阵；$ {\boldsymbol{\varPhi }}_{p}\in {\mathbb{C}}^{p\times M} $为感知矩阵；$ {\boldsymbol{F}}_{p1}\in {\mathbb{C}}^{p\times p} $；$ \boldsymbol{V}\in {\mathbb{C}}^{p\times L} $；$ {\boldsymbol{W}}_{p}\in {\mathbb{C}}^{p\times L} $；$ \boldsymbol{H}=[{\boldsymbol{h}}_{1},{\boldsymbol{h}}_{2},\dots ,{\boldsymbol{h}}_{L}]\in {\mathbb{C}}^{M\times L} $。

1.2 噪声模型

当背景噪声存在明显的脉冲成分时，将噪声建模为高斯白噪声模型将产生较大的误差，因此需要采用更为合适的噪声模型。对称$ \alpha $稳定（Symmetric $ \alpha $ Stable，$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $）分布^[25]和高斯混合（Gaussian Mixture，GM）分布^[26]等具有重尾特性的分布能更准确描述水声脉冲噪声的统计特性。

图1为黄海某海域实测噪声数据。可以看出明显的脉冲成分，这些脉冲成分的脉宽远小于信号的脉宽。因此，实测脉冲噪声的脉冲成分可稀疏表示为$ v\left(t\right)=\displaystyle\sum _{i=1}^{I}v\delta (t-{\tau }_{i}) $。其中，$ v $为脉冲的幅值，$ {\tau }_{i} $为脉冲成分的位置。因此可以用稀疏重构类算法对其脉冲成分进行稀疏重构，从而实现对脉冲成分的抑制。

为了更好地对水声脉冲噪声进行建模，采用高斯模型、二元GM模型和$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $模型对图1中的实测噪声数据进行拟合，所得的归一化PDF如图2所示。估计的$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $分布的特征指数$ \alpha =1.5655 $，表明该实测噪声中含有脉冲成分。可以看出，二元GM模型和$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $模型相较于高斯模型，都能很好地描述脉冲噪声的重尾特性，但$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $模型的拟合效果更好，因此选用$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $模型对水下噪声进行建模。

1.3 TMSBL水声信道估计

本文采用TMSBL算法^[14]利用时间相关性联合估计式(3)中的$ \boldsymbol{H} $的估计重构问题。首先，对每个$ {\boldsymbol{H}}_{i} $的先验概率建模为：

$ p\left({\boldsymbol{H}}_{i};{\gamma }_{i},{\boldsymbol{B}}_{i}\right)\sim N\left(0,{\gamma }_{i}{\boldsymbol{B}}_{i}\right),i=1,\dots ,M 。$

(4)

式中：$ {\boldsymbol{H}}_{i} $为$ \boldsymbol{H} $的第$ i $行，即不同OFDM符号在相同时刻的信道抽头系数；$ {\gamma }_{i} $为控制$ \boldsymbol{H} $的非负超参数矩阵，其控制着$ \boldsymbol{H} $中每行的稀疏性，当$ {\gamma }_{i}=0 $时，$ {\boldsymbol{H}}_{i}=0 $；$ {\boldsymbol{B}}_{i} $为正定矩阵，表示$ {\boldsymbol{H}}_{i} $内的元素之间的时间关联结构，可以用TMSBL算法对正定矩阵$ \boldsymbol{B} $进行估计。式(4)可写为：

$ p\left({\boldsymbol{H}}_{i};\boldsymbol{\varGamma },{\boldsymbol{B}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{M}p\left({\boldsymbol{H}}_{i};{\gamma }_{i},{\boldsymbol{B}}_{i}\right)。$

(5)

式中：$ \boldsymbol{\varGamma } $为超参数矩阵$ \boldsymbol{\varGamma }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\boldsymbol{\gamma }\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}([{\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\dots , {\gamma }_{M}]^\mathrm{T}) $；$ {\boldsymbol{H}}_{i} $服从均高斯概率分布，其后验概率可写为：

$ p\left({\boldsymbol{h}}_{l}|{\boldsymbol{y}}_{p,l};\boldsymbol{\varGamma }\right)\sim N\left({\boldsymbol{\mu }}_{l},\boldsymbol{\Sigma }\right),l=\mathrm{1,2},\dots ,L 。$

(6)

其中，均值和协方差可表达为：

$ \Sigma ={\left({\mathrm{\sigma }}^{-2}{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}+{{\boldsymbol{\varGamma }}^{\left(r\right)}}^{-1}\right)}^{-1}, $

(7)

$ \mathcal{M} =\left[{\boldsymbol{\mu }}_{1},{\boldsymbol{\mu }}_{2},\dots ,{\boldsymbol{\mu }}_{L}\right]={\mathrm{\sigma }}^{-2}\Sigma {{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{Y}}_{p}。$

(8)

式中：$ {\boldsymbol{\mu }}_{l} $和$ \mathcal{M} $分别为$ {\boldsymbol{H}}_{i} $和$ \boldsymbol{H} $的估计值；$ {\boldsymbol{\varGamma }}^{\left(r\right)} $为第$ r $次迭代的$ \boldsymbol{\varGamma } $的更新矩阵。利用OFDM系统空子载波获取噪声方差$ {\sigma }^{2}=E\left[{\left|{\boldsymbol{Y}}_{n}\right|}^{2}\right] $，其中，$ {\boldsymbol{Y}}_{n} $为空子载波上频域的接收信号。采用EM算法对超参数进行估计，EM算法的E-step更新规则为式(7)和式(8)。M-step的更新规则为：

$ {\gamma }_{i}=\frac{1}{L}{\mathcal{M}}_{i}{\boldsymbol{B}}^{-1}{\mathcal{M}}_{i}^{\mathrm{H}}+\Sigma \left(i,i\right), $

(9)

$ B=\left(\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{M}\frac{\boldsymbol{\Sigma }\left(i,i\right)}{{\gamma }_{i}}\right)B+\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{M}\frac{{{\boldsymbol{H}}_{i}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{H}}_{i}}{{\gamma }_{i}}。$

(10)

EM算法迭代完成后，信道冲激响应的联合估计为$ \widehat{\boldsymbol{H}}=M $，对$ \mathcal{M} $取均值获取信道的抽头系数。

2 改进的TMSBL信道和脉冲噪声联合估计

针对传统TMSBL算法在脉冲噪声环境下存在的局限性，在接收端引入导频增益因子，构建新的脉冲噪声和信道联合估计字典矩阵，利用TMSBL算法得到信道估计$ \widehat{\boldsymbol{H}} $和脉冲噪声估计$ \widehat{\boldsymbol{V}} $。在时域中将估计得到的脉冲噪声从接收信号中减去，实现对脉冲噪声的抑制，得到降噪后的接收信号$ {\boldsymbol{Y}}^{{'}} $。最后进行信道均衡和信号解码处理。基于导频增益因子的TMSBL信道和脉冲噪声联合估计方法的接收机框图如图3所示。

稀疏贝叶斯信道和脉冲噪声的联合估计（JCI-SBL）^[21]为定义一个字典矩阵$ \boldsymbol{\varPhi }\triangleq \left[{\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{N}\right]\in {\mathbb{C}}^{P\times N+M} $和一个新向量$ \boldsymbol{j}\triangleq {[\boldsymbol{h},\boldsymbol{v}]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{M+N\times 1} $，式(2)可以写为：

$ {\boldsymbol{y}}_{p}={\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}h+{\boldsymbol{F}}_{p}v+{\boldsymbol{w}}_{p}=\varPhi{{\boldsymbol{j}}} +{\boldsymbol{w}}_{p}。$

(11)

式中：$ \boldsymbol{j} $由稀疏的信道冲激响应向量和脉冲噪声向量构成，因此$ \boldsymbol{j} $也具有稀疏性。字典矩阵$ \boldsymbol{\varPhi } $的行数小于列数，是一个欠定矩阵，则求解式(11)转化为压缩感知问题，引入SBL求解$ \boldsymbol{j} $。JCI-SBL方法适用于单测量模型，对多测量模型需逐列求解且未利用信道间相关性。因此将TMSBL引入多测量模型联合估计信道与脉冲噪声。

考虑多测量模型，对多个OFDM符号进行建模，定义一个字典矩阵$ \boldsymbol{\varPhi }\triangleq \left[{\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p1}\right]\in {\mathbb{C}}^{p\times M+p} $，信道矩阵和脉冲噪声的联合矩阵为$ \boldsymbol{J}\triangleq {[\boldsymbol{H},\boldsymbol{V}]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{M+p\times L} $，则式(3)可以写为：

$ {\boldsymbol{Y}}_{p}=\varPhi J+{\boldsymbol{W}}_{p}。$

(12)

多测量模型假设矩阵$ \boldsymbol{J} $具有列稀疏性，即列向量的非零元素位置基本相同。针对式(12)所示模型，利用TMSBL算法求解稀疏矩阵$ \boldsymbol{J} $。

矩阵$ \boldsymbol{H} $和$ \boldsymbol{V} $的第$ k $列分别可表示为$ {\boldsymbol{h}}_{k}=\displaystyle\sum _{i=1}^{M+p} {h}_{i}\delta (i- {\tau }_{hi}) $，$ {\boldsymbol{v}}_{k}=\displaystyle\sum _{i=1}^{M+p}{v}_{i}\delta (i-{\tau }_{vi}) $，$ {h}_{i} $和$ {v}_{i} $为稀疏向量$ {\boldsymbol{h}}_{k} $和$ {\boldsymbol{v}}_{k} $的系数，$ {\tau }_{hi} $和$ {\tau }_{vi} $为稀疏向量$ {\boldsymbol{h}}_{k} $和$ {\boldsymbol{v}}_{k} $的非零位置，则$ {\boldsymbol{j}}_{k} $可以表示为：

$\begin{split} {\boldsymbol{j}}_{k}=&{\boldsymbol{h}}_{k}+{\boldsymbol{v}}_{k}= \sum _{i=1}^{M+p}[{h}_{i}\delta \left(i-\left({\tau }_{hi}-\tau \right)\right)+\\&{v}_{i}\delta (i-\left({\tau }_{vi}-\tau \right)+\left({{h}_{i}+v}_{i}\right)\delta \left(i-\tau \right)] \end{split}。$

(13)

式中：$ \tau =\cap ({\tau }_{hi},{\tau }_{vi}) $表示$ {\tau }_{hi} $和$ {\tau }_{vi} $交集，即$ {\boldsymbol{h}}_{k} $和$ {\boldsymbol{v}}_{k} $的非零元素在相同位置。根据$ \boldsymbol{J} $的定义，信道估计为$ \boldsymbol{H}= \boldsymbol{J}(1:M,:) $，导频子载波脉冲噪声估计为$ \boldsymbol{V}= \boldsymbol{J} (M+ 1:p+ M,:) $。然而，当$ \tau \not\equiv \mathrm{\varnothing } $时，$ {\boldsymbol{h}}_{k} $和$ {\boldsymbol{v}}_{k} $会在$ \tau $处产生混叠，此时无法准确的从$ {\boldsymbol{j}}_{k} $中分离出$ {\boldsymbol{h}}_{k} $和$ {\boldsymbol{v}}_{k} $。因此，当$ {\boldsymbol{h}}_{k} $和$ {\boldsymbol{v}}_{k} $的非零位置重叠时，TMSBL算法难以区分$ \boldsymbol{H} $和$ \boldsymbol{V} $的贡献，造成信道估计不准确、算法收敛速度慢。针对这些局限，提出一种改进的TMSBL信道和脉冲噪声联合估计，通过放大导频字典矩阵，减少脉冲噪声对信道估计的影响，更好地区分信道和脉冲噪声，实现更准确的估计。

导频子载波上的频域接收信号矩阵$ {\boldsymbol{Y}}_{p} $可表示为：

$ \begin{split}{\boldsymbol{Y}}_{p}&= {\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}H+{\boldsymbol{F}}_{p1}V+{\boldsymbol{W}}_{p}= \left[{\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p1}\right]{\left[\boldsymbol{H}\boldsymbol{V}\right]}^{\mathrm{T}}+{\boldsymbol{W}}_{p}=\\ & \left[{c\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p1}\right]{\left[\frac{\boldsymbol{H}}{c}\boldsymbol{V}\right]}^{\mathrm{T}}+{\boldsymbol{W}}_{p}={\boldsymbol{\varPhi }}_{p}'J+{\boldsymbol{W}}_{p}。\end{split} $

(14)

式中：$ {\boldsymbol{\varPhi }}_{p}'=\left[{c\boldsymbol{X}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p1}\right]=\left[c{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}{\boldsymbol{F}}_{p1}\right] $，$ \boldsymbol{J}={\left[\dfrac{\boldsymbol{H}}{c}\boldsymbol{V}\right]}^{\mathrm{T}} $。其中，$ c $为导频增益因子，$ c\geqslant 1 $，即导频字典矩阵放大了$ c $倍；$ c=1 $时，表示不对导频字典矩阵放大，即传统信道估计和脉冲噪声联合估计算法。假设接收导频信号的信噪比为$ SNR={P}_{sp}/{P}_{vw} $，其中，$ {P}_{sp} $为信号功率，$ {P}_{vw} $为脉冲噪声和背景高斯白噪声的功率。传统联合估计方法的信号功率为$ {P}_{sp}={{\boldsymbol{P}}}({\boldsymbol{X}}_{p}\;{\boldsymbol{F}}_{p}) $，而放大导频字典矩阵后的信号功率为$ {P}_{sp}'={{\boldsymbol{P}}}(c{\boldsymbol{X}}_{p}\;{\boldsymbol{F}}_{p}) $，其中，$ {{\boldsymbol{P}}}(x\left(n\right))=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum _{n=0}^{N-1}{\left|x\left(n\right)\right|}^{2} $。由于$ {P}_{vw} $保持不变，放大导频字典矩阵后，信噪比提高了$ {c}^{2} $。由此可知，放大导频字典矩阵能有效地提高信噪比，减少脉冲噪声对信道估计性能的影响。

在TMSBL算法中，$ {\gamma }_{i} $为控制$ \boldsymbol{H} $的非负超参数矩阵，其控制着$ \boldsymbol{H} $中每行的稀疏性，当$ {\gamma }_{i}=0 $时，$ {\boldsymbol{H}}_{i}= 0 $。由此可知，$ {\gamma }_{i} $直接决定了$ \boldsymbol{H} $的稀疏分布和稀疏度。

放大导频字典矩阵后超参数$ {\gamma }_{i}' $的更新公式为：

$ {\gamma }_{i}'=\frac{1}{L}{\mathcal{M}}_{i}'{{\boldsymbol{B}}'}^{-1}{{\mathcal{M}}_{i}'}^{\mathrm{H}}+{\boldsymbol{\Sigma }}'\left(i,i\right)。$

(15)

式中：$ {\gamma }_{i}'$直接决定着$ \boldsymbol{J} $的稀疏分布和稀疏度。$ {\mathcal{M}}' $、$ {\boldsymbol{B}}' $和$ {\boldsymbol{\Sigma }}'$的更新公式为：

$ {\boldsymbol{\Sigma }}'={\left({\mathrm{\sigma }}^{-2}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}'}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}'+{{{\boldsymbol{\Gamma }}'}^{\left(r\right)}}^{-1}\right)}^{-1}，$

(16)

$ {\mathcal{M}}'=\left[{\boldsymbol{\mu }}_{1},{\boldsymbol{\mu }}_{2},\dots ,{\boldsymbol{\mu }}_{L}\right]={\mathrm{\sigma }}^{-2}{\boldsymbol{\Sigma }}'{{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}'}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{Y}}_{p}, $

(17)

$ {\boldsymbol{B}}'=\left(\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{M}\frac{{\boldsymbol{\Sigma }}'\left(i,i\right)}{{{\gamma }_{i}}'}\right){\boldsymbol{B}}'+\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{M}\frac{{{\boldsymbol{J}}_{i}'}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{J}}_{i}'}{{\gamma }_{i}'}。$

(18)

将$ {\boldsymbol{\varPhi }}_{p}'=\left[{cX}_{p}{F}_{p}{F}_{p1}\right] $代入式（16）可得：

$\begin{split} {\boldsymbol{\Sigma }}'=&\left({\mathrm{\sigma }}^{-2}\left[\begin{array}{cc}{c}^{2}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}& c{{\boldsymbol{\varPhi }}_{p}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{F}}_{p1}\\ c{{\boldsymbol{F}}_{p1}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varPhi }}_{p} & {{\boldsymbol{F}}_{p1}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{F}}_{p1}\end{array}\right]+\right.\\&\left. {\left(\mathrm{diag}\left({\left[{\gamma }'_{1},{\gamma }'_{2},\dots ,{\gamma }'_{M}\right]}^\mathrm{T}\right)\right)}^{-1}\right)。\end{split}$

(19)

由式(19)可以看出，$ {\boldsymbol{\varPhi }}_{p} $和$ {\boldsymbol{F}}_{p1} $的Gram矩阵权重比值为$ {c}^{2} $，使得$ {\gamma }_{i}'(1:M) $和$ {\gamma }_{i}'(M+1:\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}) $能更有效地控制信道和脉冲噪声的稀疏分布、稀疏度，从而在TMSBL联合估计中更好地估计信道和脉冲噪声。因此，当$ c $取合适的值时，能有效地提升信道估计的性能。同时由于$ c $的引入，使得信道和噪声更好分辨，算法收敛速度加快，降低算法的复杂度。

根据$ \boldsymbol{J} $的定义，信道的估计为：$ \widehat{\boldsymbol{H}}=\boldsymbol{J}\left(1:M,:\right)*c $，脉冲噪声的估计为：$ \widehat{\boldsymbol{V}}=\boldsymbol{J}(M+1:\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d},:) $。获得脉冲噪声的估计后，将估计结果从原时域信号中减去，过程可以表示为：$ {\boldsymbol{Y}}'=\boldsymbol{Y}-{{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{I}}\boldsymbol{F}}_{p1}\widehat{\boldsymbol{V}} $。其中，$ {\boldsymbol{P}}_{\mathrm{I}}\in {\mathbb{C}}^{N\times p} $，$ {\boldsymbol{P}}_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{I}\left(i\right),i\right)= \left\{\begin{array}{l}1,i=1,\dots ,p\\ 0,\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\right. $，表示导频子载波的位置，以实现对接收信号的脉冲噪声抑制。

3 仿真结果及分析

验证本文算法性能的仿真基于水声OFDM通信系统实现，采用SαS噪声模型来仿真水下噪声。为了简化仿真过程，在OFDM通信系统中未使用信道编码。每个OFDM符号包含1024个子载波，其中256个为导频子载波（采用梳状导频结构），30个为空子载波，其余为数据子载波。每帧传输5个OFDM符号，信号的调制方式为16QAM。具体的OFDM参数设置如表1所示。

仿真信道由BELLHOP水声信道模型仿真得到水声信道冲激响应。2013年在黄海实验的声速剖面图如图4所示，将该声速剖面图导入BELLHOP中，设置声源深度为15 m，水听器深度为14 m，两者之间的距离为1.2 km，海底为弹性海底，海水密度为1.5 g/cm³，海底吸收为0.5 dB，声线掠射角为[−35^o,35^o]，得到图5的归一化信道冲激响应。

为了衡量所提算法的估计精度，定义信道估计的归一化均方误差（NMSE）的计算公式为：

$ {\mathrm{NMSE}}=\frac{1}{L}\left(\sum _{i=0}^{L-1}{\|\widehat{{\boldsymbol{h}}_{i}}-\boldsymbol{h}\|}_{F}^{2}/{\|\boldsymbol{h}\|}_{F}^{2}\right)。$

(20)

式中：$ {\|\cdot \|}_{F}^{2} $为向量$ F $范数的二次方；$ \widehat{{\boldsymbol{h}}_{i}} $为第$ i $个OFDM符号的信道估计值；$ \boldsymbol{h} $为真实的OFDM水声信道冲激响应；$ L $为OFDM符号的个数。

根据$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $分布的特性，$ \alpha $越大，其模型越接近高斯分布；$ \alpha $越小，分布中的幅值越大，脉冲特性也越明显。Song等^[27]表明大部分水下环境噪声特征指数$ \alpha $位于$ 1.2 \sim 2.0 $，因此选择$ \alpha =1.8 $、$ \alpha =1.5 $和$ \alpha =1.2 $的$ \mathrm{S}\alpha \mathrm{S} $分布分别代表弱脉冲、中等脉冲和强脉冲噪声环境。

为使表达简洁，所提算法描述为IJCI-TMSBL算法，JCI-TMSBL算法等效于放大系数$ c=1 $的IJCI-TMSBL算法。仿真主要选择LS、OMP、SBL、TMSBL、JCI-SBL^[21]、SBL-SBL^[17]、JCI-TMSBL$ \left(\beta \right) $^[24]算法作为对比算法。若无特殊说明，OMP算法的稀疏度设置为5和25，IJCI-TMSBL算法中的导频增益因子c设置为200；设置最大迭代次数$ {r}_{\mathrm{max}}=1\;000 $，误差阈值为$ \mathrm{thresh}=1\times {10}^{-6} $。

3.1 算法性能分析

图6为在不同程度脉冲噪声环境下IJCI-TMSBL与LS、OMP、SBL、TMSBL算法的信道估计误差。可以看出，LS算法没有利用信道的稀疏性，估计性能最差；OMP方法由于其利用了水声信道的稀疏特性，其性能略优于LS，但受稀疏度选取影响较大。SBL等价于一种迭代加权$ L_1 $最小化算法，容易获得稀疏信道的估计，所以SBL信道估计方法性能较好。TMSBL算法不仅利用了信道的稀疏特性，同时还利用了不同符号间信道较为稳定的特点，从而获得了更高的信道估计精度。而IJCI-TMSBL由于引入导频增益因子，放大了导频字典矩阵，相对提升了接收导频矩阵的信噪比，能更好地识别出信道和脉冲噪声，因此IJCI-TMSBL的性能相较于对比算法有一定的提升。在信噪比为−10 dB时，强脉冲噪声环境下TMSBL算法的NMSE为0.5666，IJCI-TMSBL算法的NMSE为0.0725，相较于TMSBL算法性能提高了近87.20%；中等脉冲噪声环境下TMSBL算法的NMSE为0.4994，IJCI-TMSBL算法的NMSE为0.1135，相较于TMSBL算法性能提高了近77.27%；弱脉冲噪声环境下TMSBL算法的NMSE为0.5019，IJCI-TMSBL算法的NMSE为0.1943，相较于TMSBL算法性能提高了近61.29%。由此可见，IJCI-TMSBL算法在不同程度脉冲噪声环境下的都能取得很好的信道估计性能。

图7为强脉冲噪声环境下$ c $取不同值时IJCI-TMSBL算法信道估计的NMSE。其中JCI-TMSBL算法等效于放大系数$ c=1 $的IJCI-TMSBL算法。可以看出，当信噪比大于0 dB时，IJCI-TMSBL算法的NMSE均低于JCI-TMSBL算法和TMSBL算法。由于JCI-TMSBL算法联合估计信道和噪声，会导致信道和噪声的混叠，所以JCI-TMSBL的NMSE高于仅估计信道的TMSBL算法。当$ \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}\geqslant 0\;\mathrm{d}\mathrm{B} $时，IJCI-TMSBL算法的NMSE均低于TMSBL算法。当$ \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R} < 0\;\mathrm{d}\mathrm{B} $时，IJCI-TMSBL算法的NMSE均低于JCI-TMSBL算法；$ c=\mathrm{150、200、250、300} $时，IJCI-TMSBL的性能最佳，NMSE均低于TMSBL算法。$ c=100 $时，当$ \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R} > -8\;\mathrm{d}\mathrm{B} $时IJCI-TMSBL的性能优于TMSBL算法。$ c=50 $时，IJCI-TMSBL算法的性能需要$ \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R} > -2\;\mathrm{d}\mathrm{B} $时才能优于TMSBL算法。所以为保证IJCI-TMSBL算法的性能，$ c $的取值应大于100，本文中$ c $的取值为200。

IJCI-TMSBL利用接收导频矩阵实现对导频子载波上脉冲噪声的估计，然后从时域接收信号中减去脉冲噪声的估计值，从而实现对脉冲噪声的抑制。图8为在强脉冲噪声环境下IJCI-TMSBL算法与JCI-TMSBL算法的道估计误差。其中JCI-TMSBL算法等效于放大系数$ c=1 $的IJCI-TMSBL算法。可以看出，由于JCI-TMSBL算法没有放大导频字典矩阵，信号的信噪比没有提高，所以信道估计的误差均高于IJCI-TMSBL算法。当信噪比为−10 dB时，JCI-TMSBL算法的NMSE为0.818；IJCI-TMSBL算法的NMSE为0.0714，相较于JCI-TMSBL，IJCI-TMSBL信道估计的NMSE降低了91.27%。由此可知，导频增益因子的引入能有效地提高信噪比，降低信道估计的误差。

图9为强脉冲噪声环境下不同信道估计方法的误码率。可知，由于IJCI-TMSBL放大了导频字典矩阵，提升了接收导频矩阵的信噪比，提升了信道估计的精度，所以在强脉冲噪声环境下，IJCI-TMSBL信道估计能有效地降低OFDM系统的误码率，提升水声OFDM系统性能。

为了进一步验证所提算法的性能，将JCI-SBL^[21]、SBL-SBL^[17]、JCI-TMSBL($ \beta $)^[24]算法和IJCI-TMSBL算法的信道估计性能进行对比。图10为4种算法在强脉冲噪声条件下的信道估计误差。可知，在强脉冲噪声环境下，JCI-SBL由于没有进行脉冲噪声抑制，导致其估计精度较低。SBL-SBL算法由于利用了空子载波对脉冲噪声进行估计然后从接收信号中去除，实现了对脉冲噪声的抑制，SBL-SBL的信道估计NMSE低于JCI-SBL算法。IJCI-TMSBL算法由于引入导频增益因子来放大导频字典矩阵，使得信噪比相对增大，其估计精度均优于JCI-SBL、SBL-SBL算法，稳定性优于JCI-TMSBL($ \beta $)算法。当信噪比为0 dB时，JCI-SBL、SBL-SBL的NMSE分别为0.09706、0.07151，IJCI-TMSBL的NMSE为0.00641，相较于前2种算法，IJCI-TMSBL的估计精度分别提升了93.34%和91.10%。JCI-TMSBL($ \beta $)算法由于利用TMSBL算法实现了脉冲噪声的抑制和先验知识的获取，能取得很好地估计精度，但其算法的性能受能量系数$ \beta $的取值影响较大。由此可知，IJCI-TMSBL有效地提升了信道估计的精度，相较于其他3种算法取得了较好的估计性能。

综上所述，通过仿真结果可知，当导频增益因子取值足够大时，IJCI-TMSBL算法相较于对比信道估计算法，在不同程度的脉冲噪声环境下，均能取得更高的估计精度。此外，相较于对比信道和脉冲噪声联合估计算法也能取得更高的估计精度。这验证了IJCI-TMSBL通过引入导频增益因子放大导频字典矩阵，能够有效提升信道估计的精度。

3.2 算法复杂度分析

IJCI-TMSBL算法引入导频增益因子，放大导频字典矩阵，提升接收导频信号的信噪比；信道和脉冲噪声更好分辨，使得TMSBL算法的收敛速度加快，降低算法的复杂度。接下来通过计算算法的运行时间，讨论IJCI-TMSBL算法的计算复杂度。仿真的硬件配置为：酷睿i5英特尔处理器2.3 GHz，运行内存为12 GB。

图11为在不同导频增益因子$ c $下，IJCI-TMSBL算法的运行时间其中JCI-TMSBL算法等效于$ c=1 $的IJCI-TMSBL算法。可知，随着$ c $值的增大，IJCI-TMSBL算法的运行时间均小于JCI-TMSBL算法，这表明放大导频字典矩阵能够降低计算复杂度。$ c=50 $时，JCI-TMSBL算法在信噪比较低时会出现其运行时间较高的问题，这是由于信噪比较低时，噪声的功率较大，放大系数取值不够，提高的信噪比增益有限，导致计算复杂度降低不明显。这进一步证明了引入$ c $能有效降低JCI-TMSBL算法的复杂度。

图12为不同信道估计方法的运行时间。可以看出，SBL-SBL的运行时间最长，因为其利用空子载波对所有子载波上的脉冲噪声进行了估计，导致其计算复杂度最高。JCI-SBL和JCI-TMSBL均对导频子载波上的脉冲噪声进行估计，所以运行时间相近。JCI-TMSBL$ \left(\beta \right) $算法由于先验知识获取的加入，减少了TMSBL算法的迭代次数，因此其运行时间低于JCI-TMSBL算法。IJCI-TMSBL算法由于放大了导频字典矩阵，提升了信噪比，增强了信道和脉冲噪声的分辨，减少了算法的迭代次数，仅使用一次TMSBL算法便可实现精准的信道估计，有效降低了算法的复杂度，IJCI-TMSBL算法的运行时间低于JCI-TMSBL$ \left(\beta \right) $算法；TMSBL算法由于只对信道进行估计，没有对脉冲噪声进行估计，所以TMSBL算法的运行时间最低。在信噪比为−10 dB时，JCI-TMSBL的运行时间为1.5170 s；JCI-TMSBL$ \left(\beta \right) $的运行时间为0.8363 s，IJCI-TMSBL的运行时间为0.5850 s，相较于前2种方法，IJCI-TMSBL运行时间分别下降了61.44%和30.05%。尽管IJCI-TMSBL算法的复杂度仍较高于TMSBL方法，但由图6可知，IJCI-TMSBL算法信道估计精度更高。总的来说，引入导频增益因子，放大导频字典矩阵，能有效地降低信道和脉冲噪声联合估计的复杂度。

4 结　语

针对脉冲噪声导致TMSBL算法在浅海环境中信道估计性能下降和收敛速度慢的问题，提出一种改进的TMSBL水声信道和脉冲噪声联合估计方法。仿真表明，IJCI-TMSBL算法在不同程度脉冲噪声环境下均表现出良好性能。通过将所提算法与不同的联合估计算法进行对比，验证了IJCI-TMSBL算法能有效地解决JCI-TMSBL(β)算法受能量系数影响较大的问题。在−10 dB强脉冲环境下，IJCI-TMSBL相较于传统的TMSBL联合估计方法，信道估计的NMSE降低了87.20%。验证了IJCI-TMSBL算法通过引入导频增益因子能够有效的提高脉冲噪声环境下OFDM通信系统信道估计的性能。IJCI-TMSBL算法相较于JCI-TMSBL，运行时间减少了61.44%，相较于JCI-TMSBL$ \left(\beta \right) $，运行时间减少了30.05%，验证了该算法能有效地减少信道和脉冲联合估计的计算复杂度。

因此，本文所提信道和脉冲噪声联合估计方法，通过引入导频增益因子来放大导频字典矩阵，能有效地提高信道估计精度和降低算法复杂度，为脉冲噪声环境下的水声OFDM通信系统信道估计提供了一种高精度、低复杂度且稳健性强的方法。