0 引　言

舰船在演习和作战时常受到爆炸冲击载荷的威胁，爆炸冲击波作用于舰船结构，会使结构产生损伤变形或破裂失效。钢质折叠式夹层板作为一种新型防护装置，其优点包括重量轻、强度高、抗冲击性好等，在飞机、船舶、汽车等行业的应用越来越广泛^[1]。针对爆炸冲击载荷作用下钢质夹层板的结构动态响应问题，Fleck等^[2]基于刚塑性材料模型建立了可用于分析冲击载荷作用下夹层梁变形的简化计算方法。刘均^[3]、梁军等^[4] 研究了爆炸冲击载荷作用下方形蜂窝夹芯夹层板的塑性响应，给出了其残余变形计算公式，并通过仿真软件对方形蜂窝夹芯夹层板进行有限元仿真计算，通过对比仿真计算结果和解析公式证明了理论公式的可靠性。Qiu等^[5]提出了一个简化的分析模型来分析四边刚固圆形多层板在冲击载荷下的位移响应。王自力^{[6 - 7]}、张延昌等^[8]利用试验和仿真方法研究了水下爆炸载荷作用下折叠式夹层板的防护性能，研究发现夹层板迎爆面和夹芯的塑性变形可以很好地吸收冲击波能量。Zhang等^{[9 − 11]}对折叠式夹层板在近距离空中爆炸载荷作用下的损伤机理进行了试验研究，研究了夹层板局部的大变形和失效模式，讨论了板厚、夹芯厚度、夹芯角度以及夹芯填充物对夹层板的抗冲击性能的影响。

然而，夹层板因其多样的夹芯结构给理论计算带来了困难，目前对于折叠式夹层板在受冲击载荷作用的响应分析方面的理论研究较少。折叠式夹层板是一种各向异性结构，而爆炸本身又是一种瞬态强非线性过程，两者的结合进一步增加了理论求解的难度，因此必须对夹层板的响应过程和变形方法进行相应的简化。本文以动能、能量守恒和结构塑性力学定理为基础，分析了钢制折叠式夹层板在冲击载荷下的结构变形特征。在此基础上，推导出折叠式夹层板的塑性变形解析计算方法，并通过有限元仿真计算进行验证。此外，通过改变夹层板几何参数讨论其对结构塑形响应的影响规律，进一步验证完善理论预报方法的可靠性。

1 夹层板理论解析预报方法 1.1 夹层板初始动能

爆炸冲击问题属于强非线性问题，在夹层板处于爆炸载荷下时，由于其实际的动态响应过程十分复杂，所以在进行理论分析时需对其进行适当的简化。当冲击波影响到夹层板时，其变形快速从弹性阶段过渡到塑性阶段。因此，在对其分析时忽略了其弹性效应，将夹层板视为理想刚塑性材料。

爆炸冲击载荷所产生的冲击波作用在夹层板面上时，其单位面积上对冲击波所产生的入射冲量（I₊）为^[12]：

$ {I_ + } = {A_i}\frac{{\sqrt[3]{{m_e^2}}}}{r}，$

(1)

$ I = 2{I_ + }。$

(2)

式中：A_i为系数，且$ {A_i} = 200 \sim 250 $；m_e为炸药TNT当量；r为爆距；I为反射冲量。

在冲击波作用到夹层板时，由于冲击波速度很快，作用时间很短，可把夹芯和背爆面面板看做处于静止，只有爆面面板在冲击波结束后具有初始速度，由动量定理可得上面板的初始速度v_i为：

$ {v_i} = \frac{I}{{{\rho _f}{t_f}}}。$

(3)

根据物体运动的动能定理，忽略其边界所产生的影响，夹层板获得的初始动能E_i为：

$ {E_i} = \frac{1}{2}S{\rho _f}{t_f}v_i^2 = \frac{{{I^2}S}}{{2{\rho _f}{t_f}}}。$

(4)

式中：S为夹层板的面积；ρ_f为夹层板材料密度；t_f为夹层板面板厚度。

1.2 夹层板夹芯压缩

当迎爆面面板获得初始动能以后，夹层板夹芯在初始动能的作用下开始发生压缩变形，同时在夹芯的反作用力下，迎爆面面板的速度减小，而夹芯和背爆面面板则开始加速。最终整个夹层板会变为同一速度，根据动量守恒定律可得此时整个夹层板的速度v_k为：

$ {v_k} = \frac{I}{{2{\rho _f}{t_f} + {\rho _c}{h_c}}} 。$

(5)

式中：ρ_c为夹芯的等效密度，$ {\rho _c} = \bar \rho {\rho _f} $，$ \bar \rho $为夹芯与材料的相对密度系数；h_c为夹芯高度。

参考图1，对于I型折叠式夹层板，相对密度系数$ \bar \rho = {\text{2}}{{{t_c}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{t_c}} {{d_p}}}} \right. } {{d_p}}} $；对于U型折叠式夹层板，相对密度系数$ \bar \rho = 2{{{t_c}\left( {{d_p} - 2{d_f}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{t_c}\left( {{d_p} - 2{d_f}} \right)} {\left( {{h_c}{d_p}\cos \theta } \right)}}} \right. } {\left( {{h_c}{d_p}\cos \theta } \right)}} $。

则根据动能定理可知整个夹层板的动能为：

$ {E_k} = \frac{{{I^2}S}}{{2\left( {2{\rho _f}{t_f} + {\rho _c}{h_c}} \right)}}。$

(6)

夹层板的夹芯在受到压缩时会发生能量的转化，夹层板芯层会吸收掉夹层板初始动能的一部分，将其转化为夹芯塑性变形能。

夹芯压缩吸能量为：

$ {E_a} = {E_i} - {E_k}。$

(7)

对于坐标原点位于结构中心的矩形夹层板，夹芯压缩后夹层板的变形可由三角函数表示为：

$ w\left( {x,y} \right) = {w_c}\sin \left( {\frac{ {\text{π}} }{2} + \frac{{ {\text{π}} x}}{a}} \right)\sin \left( {\frac{ {\text{π}} }{2} + \frac{{ {\text{π}} y}}{b}} \right)。$

(8)

则在压缩过程中夹层板吸收的能量与压缩变形之间的关系为：

$ \begin{split} {E_a} = &{\sigma _c}\int_{{{ - a} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - a} 2}} \right. } 2}}^{{a \mathord{\left/ {\vphantom {a 2}} \right. } 2}} {\int_{{{ - b} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - b} 2}} \right. } 2}}^{{b \mathord{\left/ {\vphantom {b 2}} \right. } 2}} {{w_c}\sin \left( {\frac{ {\text{π}} }{2} + \frac{{ {\text{π}} x}}{a}} \right)\sin \left( {\frac{ {\text{π}} }{2} + \frac{{ {\text{π}} y}}{b}} \right)} } {\mathrm{d}}x{\mathrm{d}}y =\\ &{w_c}\frac{{4ab}}{{{ {\text{π}} ^2}}}{\sigma _c} 。\\[-1pt] \end{split} $

(9)

式中：σ_c为夹芯等效横向抗压强度，可近似取为$ {\sigma _c} = \bar \rho {\sigma _f} $，σ_f为材料屈服强度^[2]。

由式(7)和式(9)联立可得：

$ {w_c} = \frac{{{ {\text{π}} ^2}}}{{4ab{\sigma _c}}}\left( {{E_i} - {E_a}} \right)。$

(10)

1.3 夹层板整体变形

上述分析确定了夹层板在冲击载荷下的变形和吸能情况，然后将分析整个夹层板的动态响应。当夹层板芯的压缩停止时，夹层板的面板和夹芯逐渐变为同一速度，之后夹层板继续变形。在这段时间内，夹层板发生了塑性弯曲和拉伸，其动能主要转化为弯曲应变能和拉伸应变能。对于矩形夹层板在爆炸冲击载荷下的总变形的分析，假定总的塑性变形如图2所示^[13]。

夹层板被4周刚性固定，在冲击载荷下变形为4个刚性区域，其中2个为刚度区域I，2个为刚度区域II，每个刚性区域之间以及每个刚性区域与边界之间都有塑性铰线。同时假设在变形过程中，夹层板的变形模态不随时间变化。根据夹层板变形后的几何形状，各刚性区域的位移场可以用以下公式表示。

刚性区域Ⅰ：

$ {w_i} = \frac{{\displaystyle\frac{b}{2}\tan \varphi - x'}}{{\displaystyle\frac{b}{2}\tan \varphi }}w = \frac{{b\tan \varphi - 2x'}}{{b\tan \varphi }}w。$

(11)

刚性区域Ⅱ：

$ {w_i} = \frac{{\displaystyle\frac{b}{2} - y}}{{\displaystyle\frac{b}{2}}}w = \frac{{b - 2y}}{b}w 。$

(12)

式中：a、b分别为夹层板的长宽；w为夹层板的最大位移；角度φ由下式确定^[14]：

$ \mathrm{tan}\phi =\sqrt{3+{\xi }^{2}}-\xi \text{，}\xi =b/a 。$

(13)

考虑到弯矩和膜力产生的影响，单位长度铰线的内能耗散率为^[15]：

$ D = \left( {{\boldsymbol{M}} + N{w_i}} \right){\theta _i} 。$

(14)

夹层板在变形中的动力塑性变形的内力总虚功为：

$ {E_p} = \sum\limits_{i = 1}^n {\int_{{l_i}} {\left( {{\boldsymbol{M}} + N{w_i}} \right)} } {\theta _i}{\mathrm{d}}{l_i} 。$

(15)

式中：M为夹层板的弯矩；N为夹层板的膜力；w_i为铰线处的横向位移；θ为第$ i $根铰线的转角率；l_i为第$ i $根铰线的长度；n为铰线个数。

矩形夹层板结构在变形过程中，处于铰线处消耗的总能量表达为：

$ \begin{split} {{E_p} =}& {2 \displaystyle\int_{{l_{AB}}} {\left( {M + N{w_i}} \right)} {\theta _{AB}}{\rm{d}}{l_{AB}} + 2 \int_{{l_{AD}}} {\left( {M + N{w_i}} \right)} {\theta _{AD}}{\rm{d}}{l_{AD}} + }\\ &{4\displaystyle\int_{{l_{AE}}} {\left( {M + N{w_i}} \right)} {\theta _{AE}}{\rm{d}}{l_{AE}} + \int_{{l_{EF}}} {\left( {M + N{w_i}} \right)} {\theta _{EF}}{\rm{d}}{l_{EF}}。} \end{split} $

(16)

根据变形后夹层板的几何关系，铰线转角率θ_AB、θ_AD、θ_EF和θ_AE的值近似取为：

$ {\theta _{AB}} = \frac{w}{{b\tan \varphi }}，$

(17)

$ {\theta _{AD}} = \frac{w}{b} ，$

(18)

$ {\theta _{EF}} = \frac{{2w}}{b}，$

(19)

$ {\theta _{AE}} = {\theta _{AB}}\cos \varphi + {\theta _{AD}}\sin \varphi = \frac{w}{{b\sin \varphi }} 。$

(20)

将式(17)～式(20)代入到式(16)，得到在夹层板变形过程中铰线处总耗散能为：

$ {{E_p} = \left( {\displaystyle\frac{{2a}}{b} + \displaystyle\frac{{2\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} - \displaystyle\frac{{\tan \varphi }}{2}} \right)N{w^2} + \left( {\displaystyle\frac{{4a}}{b} + \displaystyle\frac{{4\cos \varphi }}{{\sin \varphi }}} \right){\boldsymbol{M}}w }。$

(21)

用膜力N和弯矩M来描述板的屈服函数。可以发现，横截面的形状和面板与夹芯的相对强度和厚度影响了夹层板屈服面的形式；所以夹层板和一般平板的计算有所差别，可写成^[2]：

$ \frac{{\left| {\boldsymbol{M}} \right|}}{{{{\boldsymbol{M}}_0}}} + \frac{{\left| {\boldsymbol{N}} \right|}}{{{{\boldsymbol{N}}_0}}} = 1 。$

(22)

式中：M₀为夹层板的极限弯矩；N₀为夹层板的极限膜力。

夹层板为各向异性结构，极限弯矩和极限膜力在不同方向上有所区别，因此需要对各种情况分开求解。

如图3所示，对于折叠式夹层板，根据平板弯矩和膜力求解方法，结合夹层板结构特点，对于垂直于夹芯方向（x轴方向）的极限弯矩和极限膜力可表示为：

$ {{\boldsymbol{M}}_{0x}} = {\sigma _f}{t_f}\left[ {\left( {{h_c} - {w_c}} \right) + {t_f}} \right] ，$

(23)

$ {{\boldsymbol{N}}_{0x}} = 2{\sigma _f}{t_f} 。$

(24)

平行于夹芯方向（y轴方向）的极限弯矩和极限膜力可表示为：

$ {{\boldsymbol{M}}_{0y}} = {\sigma _f}{t_f}\left[ {\left( {{h_c} - {w_c}} \right) + {t_f}} \right] + {\sigma _c}{{{{\left( {{h_c} - {w_c}} \right)}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\left( {{h_c} - {w_c}} \right)}^2}} 4}} \right. } 4} ，$

(25)

$ {{\boldsymbol{N}}_{0y}} = 2{\sigma _f}{t_f} + {\sigma _c}\left( {{h_c} - {w_c}} \right)。$

(26)

在夹层板的动态响应问题中，其极限变形的闭式解通常较难求得。为了使得到的变形量尽量真实，其屈服面选用函数的外接和内接方形进行计算^[2]，具体如图4所示。

外接方形屈服面：

$ \left| {\boldsymbol{N}} \right| = {{\boldsymbol{N}}_0} \text{，} \left| {\boldsymbol{M}} \right| = {{\boldsymbol{M}}_0}。$

(27)

内接方形屈服面：

$ \left| {\boldsymbol{N}} \right| = 0.5{{\boldsymbol{N}}_0} \text{，} \left| {\boldsymbol{M}} \right| = 0.5{{\boldsymbol{M}}_0} 。$

(28)

采用外接方形作为屈服函数，求得的最终变形量会小于实际的最终变形量；而采用内接方形作为屈服函数，求得的最终变形量会大于实际的最终变形量。所以为了尽量缩小结果误差值，本文在计算夹层板最终变形量时将采用公式所求结果的平均值。

当屈服曲面为外接方形时，总耗散能为：

$ {{E_p} = \left( {\displaystyle\frac{{4a}}{b} + \displaystyle\frac{{2\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} - \tan \varphi } \right){{\boldsymbol{N}}_0}{w^2} + \left( {\displaystyle\frac{{8a}}{b} + \displaystyle\frac{{8\cos \varphi }}{{\sin \varphi }}} \right){{\boldsymbol{M}}_0}w} 。$

(29)

当屈服曲面为内接方形时，总耗散能为：

$ {{E_p} = \left( {\displaystyle\frac{{2a}}{b} + \displaystyle\frac{{\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} - \displaystyle\frac{{\tan \varphi }}{2}} \right){{\boldsymbol{N}}_0}{w^2} + \left( {\displaystyle\frac{{4a}}{b} + \displaystyle\frac{{4\cos \varphi }}{{\sin \varphi }}} \right){{\boldsymbol{M}}_0}w}。$

(30)

在夹芯结束压缩变形之后，其塑性变形能会在进行整体变形时耗散其初始动能，因此：

$ {E_p} = {E_k}。$

(31)

将式(31)分别代入式(29)和式(30)，得：

$ {\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{b} + \displaystyle\frac{{2\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} - \tan \varphi } \right){{\boldsymbol{N}}_0}{w^2} + \left( {\displaystyle\frac{{8a}}{b} + \displaystyle\frac{{8\cos \varphi }}{{\sin \varphi }}} \right){{\boldsymbol{M}}_0}w = {E_k}} 。$

(32)

上式是关于以外接方形为屈服函数的夹层板的最终塑性变形方程，解此方程可得：

$ {w_1} = \frac{{ - {C_1}{{\boldsymbol{N}}_{0i}} + \sqrt {{{({C_2}{{\boldsymbol{M}}_{0i}})}^2} + 4{E_k}{C_1}{N_i}} }}{{2{C_1}{{\boldsymbol{N}}_{0i}}}} 。$

(33)

式中：$ {C_1} = \displaystyle\frac{{4a}}{b}+ \displaystyle\frac{{2\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} - 2\tan \varphi $，$ {C_2} =\displaystyle\frac{{8a}}{b} + \displaystyle\frac{{8\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} $,i=x，y。

$ {\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{b} + \displaystyle\frac{{\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} - \displaystyle\frac{{\tan \varphi }}{2}} \right){{\boldsymbol{N}}_0}{w^2} + \left( {\displaystyle\frac{{4a}}{b} + \frac{{4\cos \varphi }}{{\sin \varphi }}} \right){{\boldsymbol{M}}_0}w = {E_k} }。$

(34)

此式是关于以内接方形为屈服函数的夹层板的最终塑性变形方程，解此方程可得：

$ {w_2} = \frac{{ - 0.5{C_1}{{\boldsymbol{N}}_{0i}} + \sqrt {{{(0.5{C_2}{{\boldsymbol{M}}_{0i}})}^2} + 2{E_k}{C_1}{{\boldsymbol{N}}_{0i}}} }}{{{C_1}{{\boldsymbol{N}}_{0i}}}}。$

(35)

式中：C₁、C_2,的值同上，i=x,y。

把M_0x、N_0x、M_0y、N_0y分别代入到式(33)和式(35)，对2个公式进行求解，舍去不符合的负值解，得到w_1x、w_2x、w_1y、w_2y等4个解。然后将结果取平均值，便可算得折叠式夹层板在爆炸冲击载荷作用下最终塑性变形量：

$ w = \frac{1}{4}\left( {{w_{1x}} + {w_{2x}} + {w_{1y}} + {w_{2y}}} \right) 。$

(36)

2 理论仿真结果对比分析

为了考察以上分析方法的可靠性，分别以I型和U型折叠式夹层板为研究对象，对其进行不同冲击载荷作用并计算分析其动态响应。此外，通过改变长宽比、夹芯高度、夹芯角度和材料厚度等参数，讨论爆炸载荷和结构参数对结构响应的影响规律，并开展数值仿真计算，修正完善理论计算方法。

2.1 折叠式夹层板在不同冲量下的塑性响应

首先研究不同冲量作用下钢质折叠式夹层板的塑性动力响应，通过多种冲量大小来验证本文方法对于不同冲量作用下夹层板塑性响应的求解精度。

为了便于分析和比较，冲量用无量纲参数表示：

$ \underline I = \frac{I}{{M\sqrt {{{{\sigma _f}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\sigma _f}} {{\rho _f}}}} \right. } {{\rho _f}}}} }} 。$

(37)

其中：$ M = 2{\rho _f}{t_c} + {h_c}{\rho _c} $，表示单位面积夹层板的质量。

对于图1所示的2种折叠式夹层板，根据夹层板的结构特点选取合理的尺寸，其几何参数如表1所示。

用有限元数值法建模时，材料类型为理想的弹塑性材料（仿真计算所需）。材料参数如下：弹性模量$ E=2.10\times10^5\; \mathrm{MPa} $，泊松比$ \mu = 0.3 $，材料密度$ \rho_f= 7\;85 0\; \mathrm{kg/m^3} $，材料屈服强度$ \sigma_f=235\; \mathrm{MPa} $，最大等效塑性应变取为0.3。夹层板建模使用壳单元，选择4节点的缩减积分四边形单元（S4R），板周围的边界条件和夹层板的夹芯边界约束条件是刚性固定。计算不同冲量作用下折叠式夹层板的最大塑性变形。背爆面中心点可以反应最大塑性变形情况，故当进行有限元分析时选择该点进行数值分析。

1）折叠式夹层板中心位移对比分析

将解析计算结果结合有限元计算汇总得到图5所示的冲量-位移曲线。可以看出，2种折叠式夹层板的位移曲线呈现出一样的，伴随载荷冲量的增大，夹层板的最大塑性变形会逐渐增加。理论解与有限元解在数值大小和整体趋势上均吻合较好，误差基本不超过10%，在可接受的范围。

2）折叠式夹层板变形模式对比分析

总体来说，如图6～图7所示，在夹层板的整体变形方面，理论值所得趋势与仿真值基本一致，沿长边方向均存在一定程度的平台区，而沿短边方向则并不明显，两者峰值吻合较好，但在边缘区域仿真值略大于理论值。由此得出，本文提出的理论预报方法具有一定的可行性。

2.2 几何参数对折叠式夹层板塑性响应的影响规律

1）不同长宽比对折叠式夹层板塑性响应的影响

在分析过程中冲量大小保持不变，选取$ \underline I = 0.185 $，以保证所考察范围内的夹层板都能够进入塑性阶段而又不至于产生破裂失效，后续分析也均采用此冲量。固定夹层板的宽度不变，取宽度$ b=2\; 000\; \mathrm{mm} $；改变夹层板的长度，分别选取a为2000、$ 2\; 500 $、$ 3\; 000 $、$ 3\; 500 $、$ 4\; 000\; \mathrm{mm} $这5种长度进行分析，长宽比分别为1∶1、1.25∶1、1.5∶1、1.75∶1和2∶1。下面分别对I型和U型折叠式夹层板塑性动力响应进行分析。

引入无量纲参数：

$ {\text{λ }} = \frac{a}{b} 。$

(38)

式中：$ {\text{λ }} $为长边与短边的比值。

把本文计算结果与有限元仿真结果进行对比，如图8所示。可以看出，2种位移曲线趋势相同，随着夹层板长宽比的增加，塑性变形也会逐渐增大。因为夹层板宽度不变，长宽比越大，夹层板的受冲击面积就越大，则位移越大。对于这2种折叠式夹层板，在选取的比例范围内，理论解和有限元解之间的误差均随着长宽比的增大而逐渐减小。从曲线的最终趋势来看，可以预见当长宽比增大到一定程度时，夹层板的塑性变形不会随长宽比的变化而改变。总体来说，虽然有限元解略大于理论解，但两者整体来说较为接近。

2）不同夹芯高度折叠式夹层板的塑性响应

为了便于充分描述夹芯高度对于夹层板弯曲性能的影响，引入无量纲参数：

$ \delta = \frac{{{h_c}}}{b} 。$

(39)

式中：$ \delta $为夹芯高度与夹层板短边的比值。

对于I型折叠式夹层板，由于其特殊的结构形式，接下来采取2种方式进行分析计算：

1）保持夹层板板格为方形，也就是让夹芯高度与夹芯间距保持相同。为了保证夹层板板格的完整性，对部分夹层板长边的尺寸作了微调。参考图1(a)中的尺寸标注，其尺寸参数如表2所示。

2）夹层板板格中夹芯间距不变，仅改变I型折叠式夹层板夹芯的高度，夹层板的截面尺寸如表3所示。

计算所得位移曲线如图9所示。从中可以发现，2种I型夹层板的位移趋势整体来说一致，在相同冲量作用下，夹层板的位移均随着夹层板高度的增加逐渐减小。因为高度越大，抵抗变形的能力越强。

对于不同夹芯间距夹层板（见图9(a)），由于保持了夹层板的板格形式始终为方形，而夹层板的主尺度又不发生变化，所以在夹层板夹芯较高时，夹层板内的夹芯数量就会减少，导致位移减小幅度较低。相比之下，对于固定夹芯间距的I型夹层板（见图9(b)），夹芯数量没有变化，只是改变了夹芯高度，所以在所选算例范围内夹层板的位移值跨度较大，夹层板高度对位移的影响明显增强。

对于U型折叠式夹层板，依据图1(b)所示截面图，表4为5种不同夹芯高度U型折叠式夹层板的具体尺寸。为了保证夹层板夹芯结构的合理性，根据不同高度选取的d_f和d_p的值有所不同。

计算结果如图10所示，可以看出，对于U型夹层板，随着夹芯高度的增加，位移不断减小。理论解和有限元解趋势一致，有限元解略大于理论解，两者误差基本不超过7%。虽然$ {d_f} $和$ {d_p} $的值有所不同，但不同高度的U型夹层板夹芯的数量保持不变，因此夹层板的位移曲线近似呈线性分布，位移值跨度较大，这一特点与固定夹芯间距的I型折叠式夹层板的位移曲线较为相似。

3）不同夹芯角度折叠式夹层板的塑性响应

由于I型夹层板夹角始终不变，所以本节只研究U型夹层板。对于U型夹层板，考虑夹芯结构的合理性，角度的选取范围为60°～80°，共分为5种结构形式，每一种结构形式间隔5°，表5为U型夹层板的尺寸参数。

计算结果如图11所示，对于U型夹层板，不同夹角时的位移曲线较为平缓。说明当夹芯高度和夹芯数量相同时，改变夹芯角度对于U型夹层板在冲击载荷作用下的塑性变形影响不大。本文理论解呈现出缓慢上升趋势，有限元解有轻微波动，但总体趋势与理论解一致。

4）不同材料厚度折叠式夹层板的塑性响应

对于不同材料厚度的夹层板，接下来从2个方面进行分析：

1）面板与夹芯厚度相同

面板与夹芯厚度相同，依次取t为1、$ 1.5$、$ 2 $、$ 2.5 $、$ 3\ \mathrm{mm} $材料厚度分别进行分析验证。

引入无量纲参数：

$ \gamma = \frac{{2{t_f} + {t_c}}}{d} 。$

(40)

式中：$ \gamma $为上下面板厚度与夹芯厚度的总和相对于夹层板高度的比值。

从图12的位移曲线可以看出，2种类型折叠式夹层板的理论解和有限元解趋势一致，位移值吻合较好，两者误差均小于15%。随着夹层板材料厚度的增加，夹层板的抗冲击性能逐渐提高，塑性变形减少，但塑性变形的变化量逐渐降低，位移曲线呈指数衰减的趋势。

2）面板与夹芯厚度不同

对于I型和U型夹层板，选取夹芯厚度$ t_c= 2\ \mathrm{mm} $，上下面板厚度依次取$ t_f $为1、$1.5 $、$2$、$ 2.5 $、$3 $、$3.5 $、$4\ \mathrm{mm} $这7种工况进行分析验证。所选面板与芯材厚度的比值尽可能包括所有实际应用的范围。

引入无量纲参数：

$ \tau = \frac{{{t_f}}}{{{t_c}}}。$

(41)

式中：τ为面板厚度与芯材厚度的比值。

从图13可以看出，随着面板厚度的增加，夹层板的抗冲击能力逐渐增强。曲线趋势与第一种情况相同，材料厚度比值在增大的同时，位移曲线变化逐渐减小最终接近水平。在板厚比值较小时，理论结果大于有限元结果；随着板厚比值的增加，有限元解逐渐大于理论解。当夹层板面板厚度与夹芯厚度的比值在0.75～1.25时，计算精度相对较高，总体来说所得结果吻合较好。

3 结　语

本文提出了爆炸荷载作用下折叠式夹层板动力响应的理论解析公式，并利用Abaqus软件将数值模拟的计算结果与理论结果进行了比较，验证了理论方法的可行性。主要结论如下：

1）基于本文提出的理论公式计算得到的不同冲量作用下I型和U型夹层板的塑性变形与有限元计算结果基本一致，因此提出的理论解析方法具备一定的可靠性。

2）基于对夹层板进行参数敏感性分析发现，长宽比越大，折叠式夹层板塑性变形越大；夹芯高度越高，材料厚度越大，夹层板的塑性变形越小；在夹芯数量不变时，改变夹芯角度对夹层板塑性变形响应较小。

3）推导的计算公式可以用于基于折叠式夹层板的舰船结构的设计优化和抗冲击性能评估，减少舰船设计所消耗的时间，大幅提高设计效率，对于研究折叠式夹层板抗冲击性能具有一定的参考价值。