0 引　言

轴套一般采用过盈配合装配于轴上，来增加耐磨性和耐腐蚀性，起到密封的效果，而过盈联接会导致配合面边缘处产生应力集中导致轴套损坏^[1]，进而减少对螺旋桨轴的支撑和保护作用^[2]，2020年某散货船在东海域航行时发生艉轴断裂事件^[3]，经调查事故根本原因是轴套保护密封性丧失叠加应力集中，接触边缘区域由于应力集中产生裂纹并逐渐扩展导致艉轴断裂。而卸荷槽可以有效减少轴套的高应力集中^{[4 − 6]}，提高轴的承载能力和使用寿命，由此可见卸荷槽对于轴的重要性不言而喻。秦大同等^[7]对卸荷槽的开设尺寸给出了参考建议，提供了一套理论上的卸荷槽开设方法。同时，在优化卸荷槽尺寸的方法上，一些学者根据仿真手段展开了系统研究：张磊等^[8]为降低铰制孔螺栓剪切面的应力集中，对剪切面开卸荷槽，在剪切面找了多个点进行应力的测试，找到了使最大应力值降低最多，而且其他点处的应力变化均在许用范围内的最佳卸荷槽尺寸。史丽婷等^[9]对具有不同卸荷槽深度的平板封头与筒体连接结构进行了弹性及弹塑性有限元分析，探讨了槽深对结构应力、安定性以及局部塑形垮塌的影响，进一步对卸荷槽的尺寸进行了分析与优化，采用参数扫描及函数逼近法，以应力释放槽横截面积最小为优化目标，对卸荷槽的圆弧半径以及深度进行了优化计算，得到了最优的开槽尺寸，供此类结构的设计参考。林金华等^[10]对圆锥面桨轴过盈联接中圆弧形卸荷槽对桨毂应力释放效果的影响进行研究，确定开设卸荷槽能降低桨毂内表面应力峰值，而槽型参数合理的卸荷槽才具有降低桨毂体应力峰值的效果，而小端开槽应力释放效果更好。因此卸荷槽的尺寸优化是一项极其重要的工作，具备实际工作价值。

本文针对现有问题提出一套系统的优化设计方法，在建立优化模型后，利用COMSOL和Matlab联合仿真，采用遗传模拟退火优化算法^{[11 − 13]}对卸荷槽尺寸进行优化，并运用此方法分析实际案例，实现提升卸荷槽卸荷效果的目的。

1 优化模型的建立 1.1 卸荷效果评价方法

目前有多种过盈联接时卸荷槽卸荷作用的评价方法：体最大应力值评价方法、关键点面应力峰值评价方法、联接件疲劳强度评价方法。其中，体最大应力值评价方法是直接比较整个装配体有无卸荷槽时体最大应力值的变化情况，特别是对装配体的体最大应力值接近或者超过了材料的强度极限情况下来评价卸荷槽引起的应力下降幅度的方法；关键点面应力峰值评价方法适用于应力集中处的应力值没有超过联接件材料的强度极限，但是联接件中可能会存在一些不规则的地方，如尺寸突变处、拐角处及特殊受力面等，因此针对些特定区域选取某些固定点或者固定面的应力变化来分析卸荷槽的效果；疲劳强度评价方法适用于过盈联接件在承受交变载荷时的情况，通过仿真计算联接件疲劳强度的变化情况来评价卸荷槽的效果。因此不同案例需根据实际情况选择不同的评价指标，来达到优化卸荷效果的目的。本文选择轴套内表面应力作为评价方法。

1.2 圆弧槽的表征

卸荷槽常见的形状有矩形槽、V形槽、半圆槽和圆弧槽等，矩形槽与V形槽由于自身所引起的形状突变比较严重，导致其卸荷效果不如半圆槽和圆弧槽，而圆弧形槽相对于半圆形槽来说槽形更加平滑，因此被大多数安装工艺手册推荐使用。同时，对于包容件内表面应力突出情况下一般将卸荷槽的位置选择开在包容件的端面^[7]。综上所述选择在轴套端面开设圆弧形卸荷槽。

表征圆弧形卸荷槽形状的参数是卸荷槽半径和深度，如图1所示。当深度和卸荷槽半径确定后，卸荷槽的宽度$W$和切入角度$\theta $为：

$ W = 2r\sin \theta ，$

(1)

$ d = r(1 - \cos \theta ) 。$

(2)

式中：r为卸荷槽半径，mm；d为深度，mm；W为卸荷槽宽度，mm；$\theta $为切入角度，rad。在卸荷槽形状得到确定后，表征卸荷槽开设位置的参数为$L$，$ L $为卸荷槽圆心到轴套内径端点的距离，mm。因此，卸荷槽的尺寸由半径$r$、深度$d$与距离$L$来确定。

1.3 优化模型

以轴套内表面应力最小为目标函数：

$ \min (F) = f(r,d,L) 。$

(3)

式中：$F$为1.1中所选评价方法所表征的物理量，即轴套内表面最大应力${\sigma _s}$，MPa；$f$为${\sigma _s}$与$r$、$d$、$L$三者之间的函数关系。同时需满足约束条件：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{r \geqslant d}，\\ &{b + L + W > c} 。\end{aligned}} \right. $

(4)

式中：$b$为螺旋桨轴外圆半径和轴套内圆半径；$c$为轴套外圆半径，mm。

2 优化模型的求解 2.1 起始条件

在优化模型中的目标函数和设计变量确定后，在优化模型的求解前需确定寻优起始条件，以此得到设计变量的寻优范围。针对不同被包容件的尺寸，文献[7]中提出一种理论上开设圆弧形基础卸荷槽的方法：当被包容件半径${d_f}$确定时，根据式(5)确定${d^{'}}$后再根据式(6)、式(7)槽的半径$r$和深度$d$。其中，$ {d_f} $和${d^{'}}$的单位为mm。由此方法开设的卸荷槽定义为基础卸荷槽。

$ {d_f}/{d^{'}} \geqslant 1.05，$

(5)

$ r \geqslant 0.1\thicksim 0.2{d_f}，$

(6)

$ d = {d_f} - {d^{'}} 。$

(7)

根据基础卸荷槽尺寸，以此尺寸值的大小为基准，寻优范围的上下限确定式为：

$ r_{下限}=r-d,r_{上限}=r+2d，$

(8)

$ {d}_{下限}\text=d-d/2,{d}_{上限}=2d，$

(9)

$ {L}_{下限}=L-d,{L}_{上限}=L+d 。$

(10)

2.2 数值模型建立与Matlab的联合仿真

利用COMSOL与Matlab联合仿真的原理是将COMSOL的仿真结果作为Matlab的优化目标进行求解计算，因此需实现两者之间数据的相互传递。在COMSOL中完成轴套端面开设圆弧形卸荷槽的建模与计算，先定义相关材料的弹性模量、泊松比及密度；使用接触对来定义过盈联接，将螺旋桨轴外表面表面设置为源面，轴套内表面设置为目标面，根据装配过盈量对模型设置过盈量；设定接触之间的摩擦系数；根据案例设置合理的边界条件。仿真模型如图2所示。然后运用Matlab强大的数据处理能力写入、读取、保存和应用COMSOL计算结果中与优化目标相关的数据。以此模型建立COMSOL与Matlab联合仿真，建立COMSOL与Matlab连接程序。

在此基础上，在目标函数模块定义所优化参数后，Matlab会基于遗传模拟退火算法定义的参数范围和变化方式，将参数传递给COMSOL进行仿真计算并不断更新；由于$r$、$d$、$ L $与$ {\sigma _s} $之间的函数关系$ f $较为复杂，难以通过理论计算或简单的经验公式难以得到$ {\sigma _s} $，所以通过COMSOL建立有限元模型得到应力结果，而COMSOL则将结果传递回Matlab作为优化目标，如图3所示。

2.3 求解算法

本文基于Matlab仿真平台，采用遗传模拟退火算法进行求解，该算法具有较强的全局搜索能力，同时可以避免局部最优解。其核心思想在于，在遗传算法的基础上引入了模拟退火算法以一定概率接受较差解的思想即Metropolis准则，以及降温函数${T_{i + 1}} = \alpha {T_i}$，在遗传算法生成初始种群后并进行选择、交叉、变异操作后，引入马尔科夫链${g_{\max }}$，对种群中的每个个体进行退火处理，整体步骤如下：

步骤1　初始化遗传算法相关参数；

步骤2　初始化退火算法相关参数；

步骤3　初始化种群；

步骤4　设置当前循环次数；

步骤5　计算当前种群适应度；

步骤6　对种群个体进行选择、交叉、变异，生成新种群；

步骤7　以Metropolis准则进行退火操作更新种群；

步骤8　计算新种群适应度，根据当前循环次数判断是否跳回步骤7；

步骤9　降低温度，若当前温度小于最小温度，则输出结果；若不满足则跳回步骤4。

算法流程如图4所示，其中$F$为初始种群适应度，${F^{'}}$为新种群计算适应度，$g$为当前计算次数下马尔科夫链大小，${g_{\max }}$为马尔科夫链最大长度。

3 应用案例

本文研究对象为轴套与船舶螺旋桨轴过盈联接模型，轴套与螺旋桨轴之间接触长度为3360 mm，螺旋桨轴为空心轴，直径为670 mm，螺旋桨轴长度为3400 mm。螺旋桨轴空心轴内径为280 mm，轴套厚度为30 mm，外径为730 mm，轴套和螺旋桨间的装配过盈量为0.79 mm。

本文使用COMSOL Multiphysics软件建立该结构模型，定义相关材料的弹性模量、泊松比及密度如表1所示；过盈量设置为0.79；由于在应力计算时不涉及两者之间的相对运动，因此两者之间的摩擦系数定义为0；本文研究的是轴套与螺旋桨轴安装完成后的应力状态，因此只需将两者固定即可，利用位移约束使螺旋桨轴和轴套在轴向的位移为0，从而使整个模型固定不动。同时在COMSOL中，轴套部分的网络划分采用自由三角形网络，固定单元数为20，最大单元大小为7.5；螺旋桨轴部分采用映射的方式，最大单元大小为2，固定单元数为320；模型总体网格单元数为12424。

根据式(5)～式(7)，计算得到基础卸荷槽尺寸如表2所示，以此建立轴套过盈配合数值模型求得该尺寸下轴套内表面最大应力为269.33 MPa。

根据式(8)～式(10)，确定设计变量寻优范围如表3所示。

遗传算法初始参数中种群规模为50，最大迭代次数为700，采用分组选择、交叉、变异，交叉概率和变异概率分别为0.7、0.005，退火算法中初始温度为100，降温函数为${T_{i + 1}} = \alpha {T_i}$，其中$ \alpha $取0.99，终止温度为0.01，马尔科夫链最大长度${g_{\max }}$取5。

本文在仿真计算时所使用计算机CPU为Intel Core i5-9300HF CPU 2.40 GHz，内存大小为16 GB，在此条件下进行优化，得到算法的适应度曲线如图5所示。仿真时长约8 h。可知，遗传模拟退火算法可在迭代到100次左右时收敛，得到优化结果。此时最优解的卸荷槽尺寸参数为：$r$ = 15.43 mm，$ d $ = 7.03 mm，$ L $ = 16.89 mm，最大应力值$ {\sigma _s} $ = 258.55 MPa。

4 分析与讨论

1）算法能在较少迭代次数内得到优化结果，能保证搜索到最优解，如图5所示。为验证算法的有效性，在表2的设计范围内随机计算100组不同半径、深度和距离的轴套内表面最大应力，如图6所示，随机计算数据的应力值均大于最优值，即卸荷槽的卸荷效果弱于优化后的卸荷槽，说明遗传模拟退火算法能将结果精确到最优解附近，满足优化目的。

2）将所得到的优化结果与未开槽时轴套内表面最大应力与开基础槽时最大应力进行对比，如表4所示。

可知，所开设的基础卸荷槽在理论上虽然能在一定程度上使轴套内表面最大应力得到下降，但其对$ \mathit{\sigma _{{s}}} $的降低程度较少，卸荷效果较差；通过遗传模拟退火算法优化能找到比基础卸荷槽卸荷效果更好的尺寸，其卸荷效果较好，在此尺寸下轴套内表面最大应力$ {\sigma _{{s}}} $得到充分降低，算法搜索到目标函数及$ {\sigma _{{s}}} $的全局最小值258.55 MPa，此时卸荷槽的半径为15.43 mm，深度为7.03 mm，距离为16.89 mm。卸荷槽尺寸经过优化后，轴套内表面最大应力与未开槽相比下降了4.53%；同时其卸荷效果与开基础卸荷槽相比，增加了4%，优化效果较为理想。

3）本文中所得数据均为仿真计算结果，由于仿真模型通常是基于简化的假设和理想化的条件，所得到的结果可能会存在些许误差。实际效果卸荷效果受到数值模型精度的影响。

5 结　语

本文设计了一套优化设计方法，该方法在确定卸荷效果评价指标和表征卸荷槽的尺寸参数后，建立优化模型，在优化模型的基础上利用COMSOL Multiphysics与Matlab联合仿真，运用遗传模拟退火算法对优化模型进行求解，并以此优化设计方法分析实际案例，计算得到了卸荷效果较好的尺寸。结果表明，使用本文方法能使卸荷槽的卸荷效果得到提升，优化结果较好，可为以后不同案例下的卸荷槽设计提供参考。然而，该设计方法的局限性在于其简化的假设和理想化的条件，未来可针对此问题提出合理的经验公式来得到卸荷槽最优尺寸。