0 引　言

随着全球贸易的快速发展，集装箱运输在国际贸易中扮演着至关重要的角色^[1]。为了提升运输效率和降低运营成本，超大型集装箱船已成为现代海运行业的主流^[2]。然而，随着船舶尺寸的增大，其水动力性能，特别是阻力性能，成为影响船舶设计和运营的关键因素。阻力性能的研究主要通过模型试验和数值计算2种方法进行。尽管模型试验具有较高的精确度，但其成本高、周期长，并不适合在早期设计阶段进行多方案筛选。相比之下，数值预报方法凭借其灵活性强、成本低和速度快的优势，已成为阻力性能研究的主要手段。然而，由于船模和实船之间雷诺数的不同，导致二者之间存在显著的尺度效应，且随着尺度的增大这种差异愈发明显^[3]。因此，在不同尺度下准确预报超大型集装箱船的阻力性能，仍然是具有挑战性的课题。鉴于此，针对超大型集装箱船，开展包含模型尺度、中尺度及实尺度的数值模拟策略研究显得尤为必要。

近年来，采用CFD数值模拟方法计算船舶阻力已逐渐成为一项重要的研究手段。赵大刚等^[4]基于STAR-CCM+软件，采用VOF方法及SST k-ω湍流模型对KCS集装箱船进行了包含自由液面的阻力计算。Abdelkhalek等^[5]利用Ansys Fluent软件对某集装箱船模型进行阻力模拟，并研究了不同湍流模型对船舶阻力的影响。李鹏^[6]利用CFD方法对某集装箱船及KCS船模的水动力性能进行了验证。张恒等^[7]通过CFD软件Fine/Marine对KCS船型在不同雷诺数下的阻力进行了计算。涂海文^[8]采用CFD方法对4250TEU集装箱船进行阻力数值模拟，并得到了较为理想的结果。Elkafas等^[9]通过Ansys-CFX软件包对某集装箱船模型进行了阻力数值研究，仿真结果显示良好。杨其雷等^[10]利用STAR-CCM+软件，采用RANS方法对KCS船在不同首倾和尾倾情况下的阻力进行了计算。马忠鑫等^[11]通过RANS方程及VOF方法，对KCS集装箱船的模型尺度和实尺度水动力特性进行了计算研究。

本文将针对14500 TEU超大型集装箱船，开展不同尺度下的阻力数值预报方法研究。研究内容包括不同网格划分、边界层处理、不同网格数目、湍流模型及时间步长等计算参数对阻力数值计算的影响，并进行网格划分及模型尺度下的阻力计算收敛性分析，最终提出适用于不同尺度下的阻力计算策略。

1 基础理论 1.1 基本控制方程

在计算流体力学中，基本控制方程是基于RANS湍流模型，其不可压缩流体连续性方程和动量方程如下。

连续性方程：

$ \frac{{\partial {U_i}}}{{\partial {x_{_i}}}} = 0 。$

(1)

动量方程：

$ \frac{\partial {U}_{i}}{\partial t}＋{U}_{j}\frac{\partial {U}_{i}}{\partial {X}_{{}_{i}}}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial {x}_{i}}＋\frac{\mu }{\rho }\frac{{\partial }^{2}{U}_{i}}{\partial {x}_{j}\partial {x}_{j}}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\rho \overline{{u}_{i}{u}_{j}})}{\partial {x}_{ij}}。$

(2)

式中：$ {U_i} $为流体平均速度分量；$ {x_i} $和$ {x_j} $为坐标分量；$ \rho $为流体密度；$ p $为静压力；$ \mu $为流体动力黏度；$ \rho \overline {{u_i}{u_j}} $为雷诺应力项。

1.2 体积分数（VOF）方法

为了捕捉自由液面的动态，采用了体积分数（Volume of Fluid，VOF）方法。该方法的核心原理是在计算域的网格单元内，通过分析流体占据的体积比例函数来确定自由表面的位置。

将整个计算区域定义为，主相流体区域记为，副相流体区域记为。VOF定义这样一个函数：

$ \omega \left( {\vec x,t} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\begin{array}{*{20}{c}} {\vec x \in {\Omega _1}} ，\end{array}} \\ {0,\begin{array}{*{20}{c}} {\vec x \in {\Omega _2}} 。\end{array}} \end{array}} \right. $

(3)

此外，在2种互不相溶流体构成的流场中，流体的速度场记为，函数满足：

$ \frac{{\partial \omega }}{{\partial t}} + u\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} + v\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}} = 0 。$

(4)

在每个网格上定义在网格上的积分为，可以得到VOF函数：

$ {C_{ij}} = \frac{1}{{\Delta {V_{ij}}}}\int_{{I_{ij}}} {\omega (\vec x} ,t){\rm d}V 。$

(5)

VOF函数也满足方程式：

$ \frac{{\partial C}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial C}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial C}}{{\partial y}} = 0 。$

(6)

显然，当C = 0时，网格中全为副相流体；当C = 1时，网格充满主相流体；当0 < C < 1时，则是含有流体界面的网格，成为界面网格。

2 数值方法建立与验证 2.1 计算模型

选取某14500 TEU超大型集装箱船模型作为研究对象（见图1），船体设计的主要参数见表1。为深入探讨尺度效应问题，本研究将基于模型尺度计算模型数据，扩展至包括实船尺度在内的6个不同尺度计算模型进行阻力计算分析。

2.2 边界条件设置

由于船舶在静水中的直线航行具有对称性，因此本文使用半船进行仿真，构建用于船体水动力数值模拟的计算域，计算域的边界位置：流入边界、流出边界、对称面、顶面、底面以及侧面，船体表面施加无滑移壁面条件，各边界分别设定了流速、体积分数和压力的具体数值。为了防止可能发生的流体回流，边界处还采用了阻尼消波措施。

采用了湍流模型和多相流理论，并辅以体积分数（VOF）方法精确捕捉自由表面的动态变化。同时，使用隐式非定常求解器以提高时间分辨率。

2.3 模型尺度的计算网格划分

为了在静止域内实现精确的数值模拟，借助STAR-CCM+软件的内置网格生成工具对计算域进行网格划分，围绕船体模型中心采取体控制策略实施三级体网格加密，其中，该船体的船首和船尾部分具有较大的几何曲率变化，并且考虑到船行波及流场在靠近船体的区域发生显著变化，并伴随频繁的数据交互，因此在船首尾、自由液面、Kelvin波形面及贴近船体处进行细化加密，以确保能够精确模拟这些复杂几何区域的流动特性，具体如图2所示。

为了准确捕捉边界层内的水流特性，需沿船体表面施以精细的网格划分。依据相应的理论公式计算确定初始网格高度，并结合所采用的边界层网格层数与增长率进行配置，模型尺度计算模型设置4～6层边界层，如图3所示。

通过所述的网格划分与细化策略所生成的网格体系，使得网格在自由液面、Kelvin波形区域以及艏艉部位相较于其他区域更为精细。这种递进式的网格层次从静止域逐步过渡到船体表面，确保了船体模型在网格化后的几何结构维持不变，并保证了与周围流场的精确数据交互。

2.4 不同尺度计算模型网格划分策略

在执行大尺度及实船尺度的数值模拟时，网格生成的精确性成为成功计算的决定性因素。基于模型尺度计算的经验，网格细化策略如几何位置的加密区域、自由液面及波的加密可按比例扩展至大尺度模型。然而，边界层网格的处理需考虑雷诺数的放大效应，高雷诺数会导致更薄的边界层，要求更细致的网格来准确捕捉该区域的流体行为。因此，本研究深入探讨了工程壁面Y+值，以优化实船尺度模拟的壁面精度。

经过详尽的参数研究，针对该实尺度模型采用10～15层的边界层网格，并设定1.1的延伸率。将第1层Y+值保持在200～300，可以取得较佳的阻力计算结果，同时妥善捕捉边界层内的流动特性，并正确模拟波形。不同尺度几何模型的计算参数如表2所示。

3 结果讨论与分析 3.1 不同计算参数对阻力数值结果的影响分析

为了评估网格数量、湍流模型和时间步长对数值计算结果的影响，采用船体在中高速航行状态下的静水阻力及波形图作为收敛性判断的依据。以固定湍流模型和时间步长为基准，针对不同网格数量进行收敛性分析；继而依据最优化网格方案，对湍流模型进行收敛性分析；最后基于最优化网格方案及湍流模型，分析时间步长的收敛性。仿真工况为缩尺比65的模型尺度计算模型，航速为1.436 m/s，傅汝德数Fr为0.196（对应实船航速22.5 kN）。

1）网格数量收敛性分析

沿用上述网格划分策略，通过改变基础网格尺寸来生成粗网格、中等网格和细网格3种不同密度的网格系统。这一方法不改变网格的拓扑结构，旨在调整网格密度，以最大程度减少由网格划分差异所导致的计算误差，网格参数如表3所示。

采用时间步长0.03 s，并选定SST $k - \omega $湍流模型进行模拟。3种网格密度下阻力模拟结果的对比见表4，结果显示3种网格的计算结果差别不大，表明所使用的网格恰当。从计算时长来看，在时间步长相同的条件下，网格数量越大计算时间越长。

2）湍流模型影响分析

采用中等密度网格，时间步长0.03 s，进一步探讨湍流模型对静水阻力模拟的影响。表5比较了不同湍流模型所得静水阻力计算结果，可以看出SST $k - \omega $湍流模型计算结果更加准确。图4所示为使用不同湍流模型计算时船体周围的速度场云图。可知，船首均出现了驻点现象，而船尾部位形成了涡旋，这与实际水动力学现象相符。然而，$k - \varepsilon $模型能够更精确地捕捉到船尾的流动分离现象。而SST $k - \omega $模型则呈现出较为稳定的流场分布。

3）时间步长的影响分析

采用中尺度网格和SST $k - \omega $湍流模型，对比0.005Lpp/V 、0.01Lpp/V、0.02Lpp/V等3种不同的时间步长对静水阻力计算结果的影响。如表6所示，可以发现，前2种较小的时间步长对阻力计算结果的影响较小，但随着时间步长的减小，计算所需时间显著增加。因此，对于模型尺度的阻力计算，建议采用0.01Lpp/V的时间步长来进行静水阻力模拟。

3.2 不同航速模型尺度与实尺度计算模型阻力计算验证

由表7和表8可知，模型尺度与实尺度的计算结果误差均在3%以内，数值计算方法与实验值及实尺度换算值展现出的高度一致性，进而验证了所采用数值计算方法的有效性及其在水动力性能数值计算中的可信度。

3.3 不同尺度计算模型阻力计算结果

本文开展了不同尺度下超大型集装箱船的阻力数值模拟。仿真工况为实尺度23 kn航速，根据傅汝德数相似，换算得到不同尺度下对应的航速，并基于数值计算方法开展不同尺度下的船舶航行阻力的数值计算，如表9所示。

由图5可知，各尺度模型均成功捕捉到了开尔文波形的特征，并且所得的Y+值在所有模型尺度下均保持在推荐的合理区间内，确保了边界层内流动特性的准确模拟。

4 结　语

1）在对此类集装箱船进行阻力计算时，需要对船体网格、自由液面、Klevin波、近壁面网格进行加密，以精确捕捉流体域内压力、摩擦力的梯度变化，提高阻力计算的准确性。

2）通过模型尺度下的船舵阻力计算影响因素分析，对网格独立性、湍流模型、时间步长进行研究，推荐采用SST $k - \omega $湍流模型、0.01Lpp/V的时间步长进行计算。

3）经由对不同尺度下的边界层进行精细处理与模拟，本研究成功捕捉了雷诺数变化下的流体动力特性，并准确仿真了开尔文波形以及合适的Y+值分布，这些成果显著提升了模拟结果的可靠性。

4）本文中模型尺度船舵阻力数值模拟结果与实验数据高度吻合，误差率维持在3%以内。实尺度船舵阻力计算结果与实验换算值的误差也控制在3%以内，这验证了本文所采用数值计算方法在模拟船舶阻力方面的精确性和有效性，从而建立了一套适用于多尺度的超大型集装箱船舶阻力数值计算方法。