0 引　言

声多普勒测速技术利用了声学多普勒原理，对不同水层流速进行测量，即通过测量发射信号与回波信号之间的频率差异得到水体剖面流速。选择合适的发射信号波形是进行声多普勒测流的关键步骤，发射信号的形式对声多普勒测速的精度和距离有至关重要的影响^[1]。

发射信号波形设计的传统思路是基于模糊函数对波形进行分析，在传统发射信号形式中进行优选，选取标准主要跟多普勒测流的距离、分辨率、精度等有关^[2]。就作用距离而言，宽带信号已被证明了具有更高的距离分辨力^[3]。考虑到应用难度和发展状况，目前常用的宽带编码相干测流方式是利用高分辨力的编码信号对码元进行相位调制，得到具有较高距离分辨力和测频精度的编码调相信号。实际常用的编码形式有小m序列、Barker码、Frank码等^[4]。近年来提升声多普勒测速精度的思路主要是通过调整发射信号波形参数进行优化。通过制定参数优化方法得到的信号虽然具有性能优势^[5]，但只在现有编码形式中进行选择的波形设计方法仍有一定局限性。赵新伟^[6]通过推导测频方差上限与波形自相关性能之间的定量关系建立了一类波形优化设计准则，使直接设计最优发射信号具有可行性。本文从信号的相位编码形式出发，将编码序列自相关函数的尖锐程度作为适应度，利用遗传算法设计了最优相位编码信号，相较于传统调相信号减小了测频误差，为使用智能算法对声多普勒测流波形设计提供参考。

1 发射信号波形模糊函数

宽带信号由于具有较大能量，相比窄带信号拥有更强的距离分辨力。而在对分层水体进行测流时，发射信号的分辨能力需要对其模糊函数进行研究。发射信号的模糊函数 $ \chi (\tau ,\xi ) $ 通常定义为信号与其自身经过时间延迟和多普勒频移后信号的互相关函数。若信号的复包络为$ x(t) $，则模糊函数的定义为：

$ \chi (\tau ,\xi ) = \int_{ - \infty }^\infty x (s){x^*}(s - \tau ){{\text{e}}^{j2{\text{π}} \xi s}}{\text{d}}s。$

(1)

式中：$ {x^*}(t) $为$ x(t) $的复共轭；$ \tau $和$ \xi $分别为目标信号的时延和频移。

回波信号的均方差与其关系为：

$ {\varepsilon ^2} \geqslant 2\{ 2E - \chi (\tau ,\xi )\}。$

(2)

$ E $为信号的能量，当$ E $确定时，式(2)代表了发射信号在时间和频率上的分辨能力，随着$ \tau $和$ \xi $的增大，$ \chi (\tau ,\xi ) $的值变小的越快，$ {\varepsilon ^2} $越大，该信号的时间和频率分辨能力越强。考虑到遗传算法的适用性，本文仅考虑当$ \xi = 0 $时的情况，而在模糊函数在零多普勒频移处的截面为：

$ \chi (\tau ,0) = \int_{ - \infty }^\infty x (s){x^*}(s - \tau ){\text{d}}s = R(\tau )。$

(3)

式中，$ R(\tau ) $为发射信号的自相关函数，描述了其在时间上的分辨能力。自相关函数越尖锐，信号就越能分辨出在时间上接近的2个目标，本文将朝着这一主要目标进行参数优化。

2 遗传算法 2.1 基于遗传算法的相位编码序列优化方法

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一类模拟自然选择和遗传机制的优化算法，由约翰·霍普金斯大学的约翰·霍兰德（John Holland）于1960年代首次提出^[7]。遗传算法的核心思想是通过模拟生物进化中的选择、交叉、变异等机制来逐步改进解的质量，从而寻找优化问题的最优解^[8]。

如图1所示，利用遗传算法优化相位编码序列的过程包括以下步骤：首先，生成以不同相位编码序列为个体的初始种群；定义个体的适应度值，该值通过适应度函数评估；通过选择操作从当前种群中挑选出适应度较高的个体，形成新种群；执行交叉操作，交换2个相位编码序列中的部分序列产生新的个体；执行变异操作，对个别序列的某些相位进行随机改变，以实现种群的多样性和局部最优解的跳出。经过多次迭代，种群中的个体将不断优化，逐渐趋近于问题的全局最优解，迭代次数达到最大时停止算法。

遗传算法的优势在于其全局搜索能力和适应性强，能有效处理复杂、多峰值的优化问题，不容易陷入局部最优^[9]。在本文的背景中，发射信号的最优相位编码序列的求解是一个复杂问题，以32位二相编码信号为例，若要计算所有可能的结果来对比，需要2³²次自相关运算，这对计算机的计算能力提出了较高要求。通过在遗传算法的初始种群中加入精英个体，如已被证明的拥有良好自相关特性的m序列，可以提高整个系统的性能和效率。

2.2 初始种群的生成方法

使用遗传算法的目的是得到足够优秀的相位编码信号作为发射信号，而相位编码信号的性能主要是由其相位调制序列决定的，问题就转化为得到一串最优相位调制序列。因此设定种群中的个体为在（0~2 pi）之间取值的相位序列，序列长度根据实际情况选取。考虑到计算复杂度，本文采用随机生成的方式得到种群大小为100的初始种群中的大部分个体，并在其中加入精英个体（m序列）。

2.3 定义适应度函数

在遗传算法中，适应度函数被描述为用来评估个体在当前环境中的表现或优越性的函数。主要的作用是衡量一个解的质量，以便能够优选出表现更好的个体。适应度函数的返回值通常用来指导遗传算法中的选择操作。例如，选择优秀的个体用来繁殖下一代，或是哪些个体可能被淘汰，其设计与具体的优化问题密切相关。在声多普勒测流的背景下，本文将相位编码信号的调制序列作为个体，其自相关函数图像尖锐程度是判断分辨力的关键指标^{[10 − 11]}。自相关函数越“陡峭”的个体，应被判断为适应度更高的个体。然而，仅用“尖锐”“陡峭”这样的词并不足以判断个体的适应程度，因此引入峰度的概念。

峰度（Kurtosis）是一个描述概率分布形态的概念，如图2所示，可以衡量数据分布的尖锐程度。峰度的数学定义基于标准化矩（Standardized Moment）。对于一组数据X，其峰度可表示为：

$ {\text{Kurt}}(X) = \frac{{E[{{(X - \mu )}^4}]}}{{{{(E[{{(X - \mu )}^2}])}^2}}} - 3。$

(4)

式中：$ \mu $为数据的期望值；$ E $为期望运算；$ (X - \mu ) $为样本点与均值的偏差。

针对本文的情况，优化对象为相位编码序列的模糊函数，离散数据的峰度计算方式略有不同，离散峰度的数学表达式为：

$ {\text{Kurt}}(X) = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n p ({x_i}){{({x_i} - \mu )}^4}}}{{{{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n p ({x_i}){{({x_i} - \mu )}^2}} \right)}^2}}} - 3。$

(5)

式中：$ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n p ({x_i}){x_i} $为离散随机变量的期望；$ {\sigma ^2} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n p ({x_i})\cdot {({x_i} - \mu )^2} $为方差。

离散数据的峰度度量了分布的峰值和尾部的特征。式(5)中，峰度的值与均值、方差以及四阶中心矩有关。通过式(5)，可对离散数据的分布形态进行详细分析。但直接使用峰度作为适应度函数是不够的，本文希望最优相位编码序列的自相关函数能够尽可能地随着时延的增大而显著下降，峰度高的自相关函数虽极大降低了旁瓣，但其效果在零时延附近不够理想，因此为了进一步提高效能，对临近零时延处的点引入一定的惩罚系数。得到最终的适应度函数。在遗传迭代的过程中，适应度高的个体将被保留，适应度低的个体将被淘汰，并保留每一代的最优个体，以便在整个算法结束后进行挑选。

3 回波处理算法 3.1 复自相关算法推导

本文采用复自相关算法处理回波信号进行流速估计。复自相关算法基于时间相位的思想，其优势在于能够同时考虑信号的幅度和相位变化，从而提高测量的准确性和灵活性，适合发射信号形式为相位编码信号的情形，下面进行算法的推导。

设观测到的复数信号为：

$ x(t) = s(t) + n(t),0 < t < T。$

(6)

此处的$ s(t) $为包含多普勒信息的回波信号；$ n(t) $为零均值独立平稳的复高斯噪声信号。观测信号的协方差函数和功率谱密度为：$R(\tau ) = {R_s}(\tau ) + {R_n}(\tau )$，$S(\tau ) = {S_s}(f) + {S_n}(f)$。多普勒频率${\mu _s}(f)$可由$s(t)$功率谱密度的一阶矩表示：

$ {\mu _s}(f) = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {f{S_s}(f){\mathrm{d}}f} }}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {{S_s}(f){\mathrm{d}}f} }}。$

(7)

将自相关函数表示为极坐标形式：

$ R(\tau ) = \left| {R(\tau )} \right|\exp \left( {j\phi (\tau )} \right), $

(8)

$ {R_s}( \tau ) = \left| {{R_s}( \tau )} \right|\exp \left( {j{\phi _s}( \tau )} \right),{R_n}( \tau ) = \left| {{R_n}( \tau )} \right|\exp \left( {j{\phi _n}( \tau )} \right)。$

(9)

噪声是零均值独立平稳的高斯信号，因此有：

$ {R_n}\left( \tau \right) = \left\{ \begin{aligned} &{R_n}\left( 0 \right),\tau = 0, \\ &0,\tau \ne 0。\\ \end{aligned} \right. $

(10)

当$\tau \ne 0$时，可以用$R\left( \tau \right)$来代替${R_s}\left( \tau \right)$。

对${R_s}\left( \tau \right)$求导可得：

$ {{R_s}^\prime \left( \tau \right) = \displaystyle\frac{{{\mathrm{d}}{R_s}(\tau )}}{{{\mathrm{d}}\tau }} = \left[ {\left| {{R_s}^\prime \left( \tau \right)} \right| + j\left| {{R_s}(\tau )} \right|{\phi _s}^\prime (\tau )} \right]\exp (j{\phi _s}(\tau )) }。$

(11)

式中：$\left| {{R_s}(\tau )} \right|$为偶函数；$\left| {{R_s}^\prime (\tau )} \right|$为奇函数；故$\left| {{R_s}^\prime (0)} \right| = 0$。因此有：

$ {R_s}^\prime (0) = j{R_s}(0){\phi _s}^\prime (0)。$

(12)

根据维纳-辛钦定理得：

$ {R_s}(\tau ) = \int_{ - \infty }^\infty {{S_s}(f)\exp (j2{\text{π}} \tau f)} {\mathrm{d}}f, $

(13)

$ {S_s}(f) = \int_{ - \infty }^\infty {{R_s}(\tau )\exp ( - j2{\text{π}} f\tau )} {\mathrm{d}}\tau。$

(14)

对式求导：

$ {R_s}^\prime \left( \tau \right) = j2{\text{π}} \int_{ - \infty }^\infty {f{S_s}(f)\exp (j2{\text{π}} \tau f)} {\mathrm{d}}f。$

(15)

当$\tau = 0$时，式(13)和式(15)变为：

$ {R_s}^\prime (0) = j2{\text{π}} \int_{ - \infty }^\infty {f{S_s}(f){\mathrm{d}}f}, $

(16)

$ {R_s}(0) = \int_{ - \infty }^\infty {{S_s}(f){\mathrm{d}}f}。$

(17)

把式(12)、式(16)与式(17)代入式(7)得：

$ {\mu _s}(f) = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {f{S_s}(f){\mathrm{d}}f} }}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {{S_s}(f){\mathrm{d}}f} }} = \frac{{ - j{R_s}^\prime (0)}}{{2{\text{π}} {R_s}(0)}} = \frac{1}{{2{\text{π}} }}{\phi _s}^\prime (0)。$

(18)

由式(18)可得，多普勒频率的均值与观测信号自相关函数的相位导数成正比。对于线性相位的情况：

$ {\mu _s}(f) = \displaystyle\frac{{\phi (\tau )}}{{2{\text{π}} \tau }}。$

(19)

结合复自相关函数及其相位的关系：

$ {R\left( \tau \right) = \displaystyle\frac{1}{{T - \left| \tau \right|}}\int_0^{T - \left| \tau \right|} {x(t + \tau )} {x^*}(t){\mathrm{d}}t,\phi (\tau ) = \arctan \displaystyle\frac{{{\mathrm {Im}} \left\{ {R(\tau )} \right\}}}{{{\mathrm {Re}} \left\{ {R(\tau )} \right\}}} }。$

(20)

对于复观测信号$x(t) = {x_r}(t) + j{x_i}(t)$，$\phi (\tau )$可表示为：

$ \phi (\tau ) = \arctan \frac{{\displaystyle\int_0^{T - \left| \tau \right|} [{{x_r}(t){x_i}(t + \tau ) - {x_i}(t){x_r}(t + \tau )]{\mathrm{d}}t} }}{{\displaystyle\int_0^{T - \left| \tau \right|} [{{x_r}(t){x_r}(t + \tau ) + {x_i}(t){x_i}(t + \tau )]{\mathrm{d}}t} }}。$

(21)

式(21)中存在的反正切导致$\phi \left( \tau \right)$的取值范围为$\left[ { - {\text{π}} ,{\text{π}} } \right]$，然而实际上该值并不只局限于这个区间，这就导致了复自相关算法的相位模糊现象，使得频偏的估计结果发生较大误差。为了解决相位模糊，比较简单的办法是改变$ \tau $的值直到估计结果在误差内与实际吻合。本文所采用的方法是通过FFT法对频率偏移值进行大致估计，再根据频移与相位的对应关系反向推导出相位的大致区间，如下式：

$ \phi = 2A{\text{π}} + \phi (\tau )。$

(22)

通过大致推算得到$A$的值，再结合式(21)得到的$\phi (\tau )$即可得到较为精确的相位估计值。

由以上推导可知，与发射信号的形式无关，只要接收到的回波信号满足相干性，就能够使用复自相关算法处理回波信号从而得到多普勒频移，基于这一点，复自相关算法的使用具有很强的灵活性和便捷性。并且由于复自相关算法具有计算量小的特点，信号形式较为复杂的相位编码信号更加适合使用该方法进行信号处理。

3.2 回波处理过程

对采集到的回波信号进行匹配滤波以提高信噪比，由于接受到的信号为实信号，为了得到适用于复自相关算法的复数信号，需要对处理过的信号正交解调，即与两路正交的正余弦信号相乘并进行低通滤波，设置时延等参数进行相关运算得到频移估计。流程如图3所示。

4 计算机仿真 4.1 用遗传算法得到最优相位编码序列

以127位相位编码序列为例，为了使用遗传算法得到一个具有尖锐自相关特性的相位序列，可以使用Python的DEAP库实现。基本的实现框架包括初始化种群、定义适应度函数、执行遗传操作和运行遗传算法的主循环。因为编码序列最终要对载波信号进行相位调制，本文使用了余弦变换来处理相位值，并且尝试最小化除自相关主峰外的自相关值，以达到尽可能使自相关函数更尖锐的效果。遗传算法的参数设置为：种群大小为100，遗传代数为200代，突变率mutation rate=0.1，交叉率crossover rate=0.4，惩罚因子alpha=0.5（用于降低零时延附近的自相关值）。得到的最优相位编码序列如表1所示。

4.2 自相关函数对比

通过Matlab仿真计算最优序列与127位m序列的自相关函数进行对比，如图4所示，m序列自相关函数的峰度值为132.64，最优序列自相关函数的峰度值为209.26，结合对图像的观察可得出结论：用遗传算法得到的最优相位编码序列相比m序列具有更加尖锐的自相关函数。即用其对载波信号（余弦信号）进行相位调制得到的发射信号具有更好的时间分辨力。

5 声多普勒测速仿真

仿真条件：信号载波频率f₀ = 300 kHz，采样率fs = 2000 kHz，信号持续时间T约为3.81 ms（T = NΔtNr，N为码元个数；Δt为单个码元持续时间；Nr为编码信号重复次数。）水中声速c = 1500 m/s。蒙特卡洛试验的次数L = 100。图5(a)表示不同信噪比SNR下，目标速度为1 m/s时，最佳相位编码信号OPC（Optimized Phase Coded）与m序列相位编码信号的测频标准误差对比。可看到在信噪比不同时，OPC信号的测频误差均比m序列相位编码信号小，且较低信噪比（10 dB）与高信噪比（30 dB）的情况无明显差异，这是由于声多普勒测流的误差主要是由自噪声引起的。在高信噪比的条件下，OPC信号的测频误差约为7.5 Hz，m序列相位编码信号的测频误差约为6.7 Hz，OPC信号的测频误差减小了约10%。图5(b)表示在SNR = 25 dB的条件下，2种信号在目标速度不同时的仿真效果，可以看到测频误差随速度变化不大，这说明目标速度不影响声多普勒测流的自噪声，而针对相位进行优化的OPC信号在目标速度不同时均能取得较好效果，验证了遗传算法优化相位编码序列的有效性。

6 结　语

本文以声多普勒测速为背景，从发射信号波形设计的角度出发，推导了发射信号自相关函数与其时间分辨率的关系。在此基础上研究相位编码信号，利用遗传算法优化其编码序列，将峰度的概念加入适应度函数，得出了最佳相位编码序列。通过仿真求得了最佳相位编码序列比常用的m序列减小了约10%的测频误差，验证了遗传算法优化发射信号波形的有效性，为利用智能算法进行声多普勒测速发射信号波形设计提供参考。出于复杂性的考虑，本文只研究了相位编码信号，在后面的工作中可以频率编码信号为目标进行优化。且仅考虑了将发射信号的自相关函数作为遗传算法中适应度的参考，在未来可直接将测频误差或测速精度作为适应度函数的参考指标或考虑其他的智能算法。