0 引　言

随着科技的发展，单体作战逐渐无法满足现代任务的需要，为能够提高任务成功率，多体协同作战成为一种更好的选择。多体协同导引是指多枚具备自主能力的智能体，通过个体之间的信息交流，基于一定协同策略，实现对目标的协同访问。

目前国内外已有很多学者对协同导引展开了研究。JEON等^[1]开创性地提出了带时间控制的导引律（Impact-time-control Guidance，ITCG），实现了多个飞行器能以设定的时间命中目标。赵世钰等^[2]提出双层协同导引策略，以时间约束导引律为底层导引控制、以包含协调变量的集中式或分布式协调策略为上层控制，实现了多飞行器的时间协同导引。毛昱天等^[3]研究了领-从通信拓扑结构的多导弹协同导引问题，将经典比例导引律与非线性分散化一致性控制策略结合，提出了领-从通信拓扑结构的多导弹协同制导律设计方法，实现了多导弹对于运动目标的协同导引。

上述文献均只考虑了基于时间约束的协同导引，针对角度约束的时间协同导引问题，吕腾等^[4]在视线方向基于多智能体协同控制理论和积分滑模控制理论设计时间协同导引律，在视线法向方向基于有限时间滑模控制理论设计了带视线角约束的导引律。赵久奋等^[5]针对机动目标，同样从视线方向和视线法向方向进行分析设计，视线方向上基于多智能体一致性理论和超螺旋控制算法控制导弹剩余时间在有限时间内趋于一致，视线法向方向上则运用滑模控制理论进行设计。SONG等^[6]将导引律扩展到三维空间，基于有限时间一致性理论和滑模控制理论，同样在视线方向和法向分别设计了导引律。以上研究均是考虑导弹速度可变情况进行研究，从视线角度和视线法向角度进行设计，然而当航速不可控时这种设计思想不再适用。

通信是实现协同的基础，以上研究都是在理想通信条件下进行讨论，在实际情况中，往往需要考虑通信周期、延迟以及因丢包导致的通信限制问题。SUN等^[7]针对通信拓扑随机切换和通信延迟问题，将一致性问题转化为误差稳定问题，基于反馈线性化方法设计了协同导引律。叶鹏鹏等^[8]针对通信丢包及时延等问题，基于通信采样数据设计一种线性控制律，通过构造误差系统并使其稳定来保证导弹相关协调变量达到渐近一致状态，但其只考虑了时间协同，并未实现角度约束。由于水下通信技术的限制，目前水下多UUV协同导引相关研究仍然稀少。岳玲等^[9]对多UUV协同导引体系进行了初步设计，并通过调研现有水声通信技术水平，认为基于水声通信技术实现多UUV协同导引是可行的。张壹等^[10]在考虑水声实时通信延迟与通信周期的基础上研究了多AUV协同导引问题，但并未考虑角度约束的问题。

本文同时考虑通信周期、丢包和延迟的水声通信限制问题，设计一种协同信息处理机制，提出一种角度约束导引律和时间协同导引律切换思想，可用于通信约束情况下仅以法向加速度为控制量的多UUV系统，以期望完成不同角度约束的导引任务。同时考虑到水下通信的限制，设计了一种协同信息处理机制，在UUV无法通信时可以利用历史协同信息继续进行协同，从而降低了对通信能力的要求。

1 问题描述

通常情况下，三维空间的多UUV导引问题可解耦为俯仰和偏航2个平面上的运动，为研究方便，本文考虑二维平面内多UUV协同导引，作如下假设：

1）UUV和目标均视为平面内质点；

2）UUV运动加速度垂直于其速度方向，不改变其速度大小，只改速度方向；

3）UUV运动速度为常量。

根据以上假设，UUV与目标的相对运动模型如图1所示。

可知以二维平面作为参考，r_i为UUV与目标之间的相对距离，${q_i}$为视线角，即UUV与目标之间的相对视线与水平面之间的夹角；${\theta _i}$为UUV的航向角；${\theta _T}$为目标的航向角；${\eta _i}$和${\eta _T}$分别为UUV和目标的前置角；${a_i}$和${a_T}$分别为UUV和目标的法向加速度；${v_i}$和${v_T}$分别为UUV和目标的速度。因此，UUV与目标的相对运动关系可描述为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{r_i}{{\dot q}_i} = {v_i}\sin \left( {{q_i} - {\theta _i}} \right) - {v_T}\sin \left( {{q_i} - {\theta _T}} \right)} ，\\ {{{\dot r}_i} = - {v_i}\cos \left( {{q_i} - {\theta _i}} \right) + {v_T}\cos \left( {{q_i} - {\theta _T}} \right)} ，\\ {{{\dot \theta }_i} = {a_i}/{v_i}} 。\\ \end{array}} \right. $

(1)

当目标处于静止状态时，得出更为简单的相对运动关系：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{r_i}{{\dot q}_i} = {v_i}\sin \left( {{q_i} - {\theta _i}} \right)} ，\\ {{{\dot r}_i} = - {v_i}\cos \left( {{q_i} - {\theta _i}} \right)} ，\\ {{{\dot \theta }_i} = {a_i}/{v_i}}。\\ \end{array}} \right. $

(2)

2 导引律设计 2.1 角度约束导引律

采用最优控制理论，将脱靶量和控制能量作为优化指标，且在终端时间t_f要求满足脱靶量为0且终端视线角q_f为期望值$\varphi $的约束条件，即：

$ \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_f}} q = \varphi ，\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_f}} \dot q = 0 ，\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_f}} r = 0 。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

设${x_1} = q - \varphi $，${x_2} = \dot q$，$ \dot V \approx 0 $，由式(2)可得：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = {x_2}} ，\\ {{{\dot x}_2} = - 2\displaystyle\frac{{\dot r}}{r}\dot q + \displaystyle\frac{{\dot r}}{r}\theta } 。\end{array}} \right. $

(4)

选用如下二次型性能指标：

$ J = \frac{1}{2}{x^{\mathrm{T}}}\left( {{t_f}} \right)Fx\left( {{t_f}} \right) + \frac{1}{2}\displaystyle\int_{{t_0}}^{{t_f}} R {\dot \theta _t}^2{\rm d}t 。$

(5)

式中：$R\left( t \right) = 1 $，F为对称正半定常值矩阵。性能指标中第1项为终端约束，第2项为控制能量最小。令${t_{go}} = - r/\dot r$，求解析解并适当简化，得到角度约束导引律：

$ a = Nv\dot q + \frac{{Kv}}{{{t_{go}}}}\left( {q - \varphi } \right) 。$

(6)

式中：N为比例导引系数。

2.2 时间协同导引律与剩余航行时间估计

1）时间协同导引律

文献[1]提出的控制导弹在预定时刻命中目标的时间约束导引律（ITCG），以比例导引律（PNG）为基础，将导弹的法向加速度设计为2个部分，即

$ {a_{{\text{ITCG}}}} = {a_{\text{P}}} + \zeta ({t_{go}} - {T_{go}}) 。$

(7)

式中：$ {a_{\text{P}}} = Nv\dot q $为PNG控制量；$\zeta = 60{v^5}/{a_{\text{p}}}{r^3}$为时间系数；t_go为剩余时间；T_go为期望剩余时间。

值得注意的是，ITCG实际上是一种开环的协同导引控制方法，它无需各单位的信息交流，通过预先设定各导弹的终端时间来完成协同任务，并不是真正意义上的协同导引算法。因此，将如图2的双层协同导引架构用于水下多UUV协同导引，将期望剩余航行时间$ {T_{go}} $作为协调变量，利用一致性算法得到：

$ {T_{g{o_i}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\zeta _i}^2} {t_{g{o_i}}}/\sum\limits_{i = 1}^n {{\zeta _i}^2} 。$

(8)

式中：时间系数${\zeta _i} = 60{v^5}/{a_{\text{p}}}{r^3}$。

协调变量$ {T_{g{o_i}}} $的物理意义很明显，即各UUV接受到相邻成员的信息后，计算得到各UUV剩余航行时间的加权平均值，并将其作为各UUV的期望剩余航行时间。因此，时间协同导引律可表示为：

$ a = Nv\dot q + \frac{{60{v^5}}}{{Nv\dot q{r^3}}}({t_{g{o_i}}} - {T_{g{o_i}}}) 。$

(9)

2）剩余航行时间估计

由式(6)和式(9)不难看出，UUV的剩余航行时间${t_{go}}$的计算精度会直接影响UUV的角度约束效果，且同时会影响时间协同效果，因此剩余航行时间的估算精度至关重要，这里介绍一种基于比例导引律剩余航行时间的计算方法^[11]。

考虑如图3所示的坐标系，UUV于坐标原点发射，初始航向角为${\theta _0}$；速度为$v$；法向加速度为a；目标位置为$({x_f},0)$。

由图3可得运动关系方程为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot x = v\cos \theta } ，\\ {\dot y = v\sin \theta } ，\\ {\dot \theta = a/v} 。\\ \end{array}} \right. $

(10)

在UUV航向角$\theta $为小角度假设前提下，$x/v$可代替时间t，可得：

$ \left\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(v\mathrm{sin}\theta \cdot t\right)}^{\prime }=\theta ，\\ {\theta }^{\prime }={\left(\displaystyle\frac{a}{v}\cdot t\right)}^{\prime }={\left(\displaystyle\frac{a}{v}\cdot\displaystyle\frac{x}{v}\right)}^{\prime }=\displaystyle\frac{a}{{v}^{2}}。\end{array}\right. $

(11)

视线角$q$近似为：

$ q = - \frac{y}{{{x_f} - x}} 。$

(12)

因此比例导引律可表示为：

$ a = Nvq' = - \frac{{N{v^2}}}{{{{({x_f} - x)}^2}}}y - \frac{{N{v^2}}}{{{x_f} - x}}y' 。$

(13)

将式(13)代入式(11)得到：

$ y'' + \frac{N}{{{x_f} - x}}y' + \frac{N}{{{{({x_f} - x)}^2}}}y = 0 。$

(14)

假设初始条件$y(0) = 0$，$y'(0) = {\theta _0}$，求出式(14)的解为：

$ y(x) = \frac{{{\theta _0}}}{{N - 1}}({x_f} - x)\left[1 - {\left(1 - \frac{x}{{{x_f}}}\right)^{N - 1}}\right] 。$

(15)

对式(15)两边求导得：

$ y'\left( x \right) = \theta \left( x \right) = - \frac{{{\theta _0}}}{{N - 1}}\left[1 - N{\left(1 - \frac{x}{{{x_f}}}\right)^{N - 1}}\right] 。$

(16)

图3中轨迹L可表示为：

$ L = v{t_f} = \int_0^{{x_f}} {\sqrt {1 + {{y'}^2}} } {\rm d}x 。$

(17)

在UUV航向角$\theta $为小角度假设前提下，式(17)可简化为：

$ {t_f} \approx \frac{{{x_f}}}{v}\left(1 + \frac{{\theta _0^2}}{{2(2N - 1)}}\right) 。$

(18)

考虑一般情况，当目标不在x轴时，也就是将图3绕原点顺时针旋转角度q（视线角），则可得到剩余航行时间估计式：

$ {t_{go}} \approx \frac{r}{v}\left(1 + \frac{{{{\left( {q - \theta } \right)}^2}}}{{4N - 2}}\right) 。$

(19)

2.3 协同信息处理机制

假设各UUV时钟同步，通信周期为T。在通信周期$[mT,nT){\text ，}m \in N{\text ，}n \in N$内，若UUV没有收到通信网络中某UUV的协同信息，则认为在该周期内此通信链路的信息发生丢失，设丢包率为$\sigma $。这里对UUV之间的通信作如下假设:

1）通信链路为双向且相互独立；

2）通信链路的丢包过程符合伯努利分布；

3）UUV_i与UUV_j的传输时延为${\tau _{ij}}$只由通信距离决定：

$ {\tau _{ij}} = {d_{ij}}/{v_s} 。$

(20)

式中：${d_{ij}}$为UUV_i与UUV_j的相对距离；v_s为声波在水中的传播速度，即UUV_j在mT时刻发送的信息包会在$mT + {\tau _{ij}}$时刻到达邻居UUV_i，即UUV_j的剩余航行时间${t_{g{o_j}}}$、时间误差系数${\zeta _j}$以及信息发送时刻$mT$，则UUV_i的协调变量${T_{g{o_i}}}$可表示为：

$ {T_{g{o_i}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\zeta _i}^2} ({t_{g{o_i}}} - {\tau _{ij}})/\sum\limits_{i = 1}^n {{\zeta _i}^2} 。$

(21)

则从$ mT + {\tau _{ij}} $时刻到下次接受信息的时刻$ nT + {\tau _{ij}} $接受到信息，协调变量T_go(t)可表示为：

$ {T_{go}}(t) = - t + {T_{g{o_i}}} + mT + {\tau _{ij}} 。$

(22)

基于式(22)，各UUV能计算出未通信时间段的协调变量T_go。如图4所示，协调变量T_go整体上为分段直线，协调变量每次发生波动即代表此时UUV接受到协同信息并更新了协调变量；未收到信息时，协调变量则呈单调递减的变化趋势。利用式(9)则可以控制UUV的剩余航行时间t_go向协调变量T_go收敛，当各UUV的协调变量达成一致，同时各UUV的剩余航行时间能收敛至各自的协调变量时，各UUV的剩余航行时间就能收敛一致。

3 角度约束与时间协同切换策略

式(6)实现了UUV对终端角度的约束，而式(9)则满足了多UUV的时间协同，二者均是对法向加速度控制指令的设计，因此产生的控制量会产生冲突。为解决这个问题，实现角度约束和时间协同的同时兼顾，本文提出以下导引律切换策略：

步骤1　根据式(19)计算剩余航行时间t_go，并向邻居发送该信息；

步骤2　若接受到协同信息，由式(8)计算协调变量T_go，并计算剩余航行时间误差$ e = {T _{go}} - {t _{go}} $，跳转到步骤4；

步骤3　若未接受到协同信息，则由式(21)更新协调变量T_go，并计算剩余航行时间误差$e$；

步骤4　判断$e$与时间误差参数${\varepsilon _1}$和${\varepsilon _2}$的大小，当剩余航行时间误差的绝对值$\left| e \right|$<${\varepsilon _2}$时，采用角度约束导引律；当$\left| e \right|$>${\varepsilon _1}$时，切换为时间协同导引律；当${\varepsilon _1}$<$\left| e \right|$<${\varepsilon _2}$时，导引律保持不变。

导引律切换策略的思想为：当剩余航行时间误差较大时，需要利用时间协同导引律进行控制，使各UUV的剩余航行时间${t_{go}}$向各自的协调变量T_go收敛，以达到各UUV剩余航行时间的一致；反之则无需进行时间协同，并进行视线角的独立控制。但根据现有研究^[12]，若只采用一个参数$\varepsilon $，当剩余航行时间误差e在时间误差参数$\varepsilon $上下来回波动时，将会导致导引律来回切换，进而导致控制量震荡，影响UUV系统的稳定性。因此本文引入由2个时间误差参数${\varepsilon _1}$和${\varepsilon _2}$组成的导引律切换缓冲区域（${\varepsilon _1} > {\varepsilon _2} > 0$），假设剩余航行时间误差e从$ \left| e \right| > {\varepsilon _1} $收敛至$ {\varepsilon _2} < \left| e \right| < {\varepsilon _1} $，导引律不会立刻切换，而是当e收敛至$ \left| e \right| < {\varepsilon _2} $时才会进行切换；当e从$ \left| e \right| < {\varepsilon _2} $变化至$ {\varepsilon _2} < \left| e \right| < {\varepsilon _1} $时，导引律同样不会立刻切换，而是当$ \left| e \right| > {\varepsilon _1} $时才会进行切换。相较于单参数切换，由${\varepsilon _1}$和${\varepsilon _2}$组成的导引律切换“缓冲区域”就能避免导引律过快切换而带来的控制量震荡问题。

因此，在设定时间误差参数${\varepsilon _1}$和${\varepsilon _2}$时，$\left| {{\varepsilon _1} - {\varepsilon _2}} \right|$不宜过小，导引律切换的“缓冲区域”过小会导致导引律切换过快，削弱双参数切换策略的效果。同时，应根据实际任务对各UUV攻击时间一致程度的要求，合理设定${\varepsilon _1}$，${\varepsilon _1}$过大将导致各UUV不易切换至时间协同导引，最终导致各UUV攻击时间一致程度不满足任务要求。

基于以上流程，我们能得出以下最终的协同导引律：

$ a=\left\{\begin{array}{l}Nv\dot{q}+\displaystyle\frac{Kv}{{t}_{go}}(q-\phi ),\left|e\right| < {\varepsilon }_{2} ，\\ 与上一阶段保持一致\text{，}{\varepsilon }_{2}\leqslant \left|e\right|\leqslant {\varepsilon }_{1} ，\\ Nv\dot{q}+\displaystyle\frac{60{v}^{5}}{Nv\dot{q}{r}^{3}}({t}_{go}-{T}_{go}),\left|e\right| > {\varepsilon }_{1} 。\end{array} \right.$

(23)

4 仿　真

假设4枚UUV对固定目标进行协同任务，各UUV参数信息以及期望终端角度$\varphi $的设定如表1所示，航行过程中速度大小保持不变，目标的坐标为（3000,0）。在实际任务中，考虑多UUV系统成一字型队伍对目标展开访问，且弱通信条件令更远节点间的通信不可靠，因此设定通信拓扑如图5所示。

4.1 仿真验证

首先单独采用角度约束导引律和时间协同导引律进行仿真，设置导航比N=3.5，仿真结果如表2以及图6所示。由仿真结果可知，采用角度约束时各UUV能以预定角度到达目标，但时间均不相同，差值$\Delta {t_{go}}$最大达到40 s；单独采用时间协同，尽管能够以相同时间到达目标，但终端角度离理想角度还有很大距离。因此，单独采用角度约束导引律或时间协同导引律，4枚UUV不能完成在相同时间以预定角度到达目标点的任务，所以采用角度约束结合时间协同的导引律是有必要的。

采用本文设计的协同导引律进行仿真，设置各UUV通信周期T=1 s，丢包率$\sigma $=0.1，设置水声传播速度为v_s =1500 m/s。设置导航参数N=3.5，时间误差参数为${\varepsilon _1} = 2$，${\varepsilon _2} = 0.5$，K=−6，限制各UUV法向加速度不超过3 m/s²。仿真结果如表2以及图7、图8所示。图7为各UUV之间的通信情况，各UUV每隔1 s向邻居发送一次协同信息，每一点代表着链路成功通信一次，由于通信丢包的影响，各链路均存在随机通信中断的情况，说明通信并非持续联通。

由表3和图8(a)可知，4枚UUV在本文设置的通信约束条件下能够完成协同任务，均能在同一时间以期望的终端角度到达目标。图8(b)为各UUV与目标的相对距离变化曲线，在t≈184 s时，各UUV的剩余距离变化至0，说明各UUV在t≈184 s时同时到达目标。图8(c)～图8(e)为各UUV的协调变量、剩余航行时间变化曲线和视线角变化曲线，其中图8(c)结果说明各协调变量能够收敛一致；图8(d)为各UUV的剩余航行时间变化曲线，各UUV的剩余航行时间在140 s左右能够收敛一致；图8(e)结果表明各UUV能在终端时刻之前将视线角控制在期望值，且最大误差不超过0.3°。

图9为各UUV的剩余航行时间误差e的变化情况，整体上各UUV的剩余航行时间误差不断减小。图10为法向加速度曲线以及导引律切换情况，整体上各UUV的法向加速度较小且导引律切换次数较少，同时可见每一次导引律切换都会导致UUV法向加速度指令发生突变。结合图9，以UUV₄为例，剩余航行时间误差会在时间误差参数$ \varepsilon $上下波动，若仅采用一个时间误差参数$ \varepsilon $，导引律将以较高频率来回切换，给UUV机动能力带来更大压力，但由于本文引入由时间误差参数$ {\varepsilon _1} $和$ \varepsilon {}_2 $构成的双参数导引律切换“缓冲区域”，避免了该问题，进而减小了法向加速度指令的波动次数，降低了对机动能力的要求。在后半段中，各UUV均采用角度约束导引律进行控制，结合图9分析，各UUV在导引末段的剩余航行时间误差较小，各UUV无需时间协同。

4.2 不同通信条件的仿真研究

降低水声通信的频次（提高通信周期）有助于提高多UUV系统的隐蔽性，降低协同系统工程实现难度，但会影响多UUV系统的协同性能。为研究不同通信周期对本文协同制导方法的影响，设定通信周期T=4 s、丢包率$\sigma $=0.1以及通信周期T=8 s，丢包率$\sigma $=0.1这2种通信条件，设定与4.1节相同的导引参数进行仿真。表4和图11～图13展示了不同通信周期下的仿真结果。

图11为不同通信周期下的通信情况，随着通信周期的增大，各UUV之间的通信次数减少，通信条件限制更加严苛。对比图12中不同通信周期的各UUV剩余航行时间误差变化情况，由于随着通信周期增大，各UUV之间通信次数随之减少，各UUV的协调变量将无法及时更新，剩余航行时间误差波动明显增大。在图13中，相较于图10的法向加速度指令变化情况，由于剩余航行时间误差增大，在协同导引初期，各UUV的法向加速度指令明显增大，且波动频率明显增加。表3结果表明，在2种通信条件下，各UUV在本文所提出的协同导引律下都能完成协同任务，验证了本文方法的工程实践潜力。

5 结　语

本文针对水下多UUV协同导引问题，考虑了时变延迟、通信周期以及通信丢包问题以及基于剩余航行时间误差的双参数导引律切换策略，设计了一种多UUV角度约束的时间协同导引方法。仿真实验结果表明，在同时存在通信周期、丢包和延迟的情况下，本文提出的多UUV协同导引方法，能够使各UUV以预定角度同时到达固定目标。本文所提出的多UUV协同导引方法考虑了实际工程中的水声通信约束，对多UUV协同导引的实际工程应用具有一定参考意义。