0 引　言

船用起重机广泛应用于海上吊装作业中，由于起重机系统本身的欠驱动特性加之船舶非线性激励的耦合作用，吊重摆动不可避免，相比于陆用起重机，船用起重机系统中吊重的摆动更加难以控制。同时风电塔筒以及海底管线等细长杆件的单点吊装作业一直是实际工程中应用较为广泛的一种吊装方式，对于吊装过程中的控制以及减摇问题也是国内外学者和技术人员关注和研究的重点问题之一^{[1 − 3]}。而近年来相关研究大多数都针对于桥式起重机，通过控制行车的移动来抑制细长杆件吊重的摆动，针对海上细长杆件吊重从地面被单点吊起直至自由悬挂阶段整个吊装过程的研究还相对较少。

国内外针对起重机吊重减摇控制的问题已经有许多较为成熟的控制方法，包括采用开环控制的输入整形控制^[4]、轨迹规划控制^[5]等，采用闭环控制的线性控制^[6]、滑模控制^[7]和模糊控制^[8]等控制方法。O′Connor和Habibi^[9]研究了具有六自由度的起重机对细长杆件进行吊装过程的问题，推导出动力学模型并采用一种基于波形控制（WBC）的方法，可以实现对细长杆件吊重的运动控制。Wang等^[10]针对细长杆件下放阶段细长杆件与地面之间发生滑动的问题进行了动力学分析，最后通过物理实验验证了理论的正确性。Manning等^[11]针对细长杆件吊装过程中产生的双摆运动，分析了双摆效应与负载参数和起重机配置的关系，并提出一种整形控制方法抑制双摆运动，并在10 t的桥式起重机上进行实验验证。Wu等^[12]针对船用起重机双摆吊重系统中存在未知参数的问题，提出了基于起重机双摆吊重的自适应动态输出反馈控制方法，该控制方法不需要速度量，并且能够同时消除稳态误差、抑制吊重摆动并且实现精准补偿，最后通过实验验证了所提方法的有效性。在机械式减摇装置研究方面，王生海等^[13]在机械式减摇装置的基础上，提出了一种针对细长杆件的多柔索吊装减摇系统，将细长杆件简化为多柔索约束二级摆进行动力学建模，并通过仿真和实验验证了吊装减摇装置的有效性。Yuan等^[14]提出了马里兰索具（Maryland rigging），采用一种滑轮和刹车机构消耗吊重摆动的能量，进而实现吊重的摆动抑制。Parker等^[15]提出了RBTS（Rider Block Tagline System），通过2根同向布置减摇索拖拽吊重，进而实现吊重的摆动抑制。近年来，随着海洋资源的不断开发。海上风电设备的安装以及海底管线的吊装等作业越发频繁，这常涉及海上细长杆件的吊装作业，这类吊装作业方式往往效率低、风险大。然而目前针对船舶运动激励下细长杆件吊装的动力学以及控制研究还相对较少。

在机械式减摇研究的基础上^{[16 - 17]}，本文对细长杆件海上吊装的全过程进行动力学建模，其中包括单点起吊阶段和多柔索约束吊装阶段，并在多柔索约束吊装阶段提出张力设定方法，通过硬件实验证明了动力学模型的准确性和张力设定方法的有效性。

1 细长杆件海上吊装过程动力学建模

对起重机以及多柔索约束系统进行动力学建模，需做以下假设：

1）船用起重机的各减摇臂及主吊臂均为刚性结构。

2）忽略细长杆件双摆减摇系统中各处的干摩擦。

3）吊钩为空间中的质点同时细长杆件吊重为质量均匀分布的刚体。

1.1 单点起吊阶段动力学建模

海上细长杆件单点起吊过程受约束阶段的动力学模型如图1所示。T为吊索的拉力，m₁为吊钩的质量，m₂为细长杆件的质量，g为重力加速度，N为地面对细长杆件的支持力，f为细长杆件与地面间的摩擦力。D点为吊臂头位置，P点为细长杆件与吊索的连接点，G点为细长杆件质心位置，O点为细长杆件与地面的接触点，θ为细长杆件与地面间的夹角，ϕ为吊索与水平方向的夹角。x₀y₀z₀为惯性坐标系，x₁y₁z₁为船舶坐标系，x₂y₂z₂为起重机坐标系。L_O2D为起重机吊臂的长度，L_PD为吊索的长度，L_OP为细长杆件的长度，θ_1x为船舶纵摇，θ_1y为船舶横摇角度，θ_2y为起重机吊臂变幅角度，θ_2z为起重机吊臂的回转角度。

假设细长杆件、吊索和起重机吊臂均在一个平面内，定义⁰P_D = [x_D y_D z_D]^T为D点在惯性坐标系中的坐标，其中D在起重机坐标系x₂y₂z₂的坐标为：

$ {\boldsymbol{P}}_D = \left[\begin{array}{*{20}{c}}L_{O_2D}\mathrm{\cos}\theta_{2y} & 0 & L_{O_2D}\sin\theta_{2y}\end{array}\right]\mathrm{^T} 。$

(1)

定义R_x、R_y和R_z分别为绕x轴、y轴和z轴的旋转矩阵，表示为：

$ \left\{\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol{R}_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&{\cos {\theta _x}}&{\sin {\theta _x}} \\ 0&{ - \sin {\theta _x}}&{\cos {\theta _x}} \end{array}} \right] ，\\ \\ {\boldsymbol{R}_y} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _y}}&0&{ - \sin {\theta _y}} \\ 0&1&0 \\ {\sin {\theta _y}}&0&{\cos {\theta _y}} \end{array}}\right] ，\\ \\ {\boldsymbol{R}_z} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _z}}&{\sin {\theta _z}}&0 \\ { - \sin {\theta _z}}&{\cos {\theta _z}}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right] 。\end{array}\right.$

(2)

定义${}_n^m$R为从x_ny_nz_n到x_my_mz_m的旋转矩阵，从惯性坐标系到船坐标系的旋转矩阵为：

$ {}_0^1\boldsymbol{R} = {\boldsymbol{R}_x}\left( {{\theta _{1x}}} \right){\boldsymbol{R}_y}\left( {{\theta _{1y}}} \right) 。$

(3)

从惯性坐标系到起重机坐标系的旋转矩阵为：

$ {}_0^2\boldsymbol{R} = {\boldsymbol{R}_x}\left( {{\theta _{1x}}} \right){\boldsymbol{R}_y}\left( {{\theta _{1y}}} \right){\boldsymbol{R}_z}\left( {{\theta _{2z}}} \right) 。$

(4)

可以得到D点在惯性坐标系中的坐标为：

$ {}^0{\boldsymbol{P}_D} = {}^0{\boldsymbol{P}_1} + {}_0^1{\boldsymbol{R}^T}{}^1{\boldsymbol{P}_2} + {}_0^2{\boldsymbol{R}^T}{}^2{\boldsymbol{P}_D} 。$

(5)

式中：⁰P₁ = [0 0 0]^T为O₁在惯性坐标系中的坐标，¹P₂=[L_x L_y L_z]^T为O₂在船舶坐标系中的坐标。将式(1) ~式 (4)代入式(5)，可以得到D点的坐标。定义O点在惯性坐标系中的坐标为⁰P_O = [x_O y_O z_O]^T，可以得到P点在惯性坐标系中的坐标为：

$ ^0\boldsymbol{P}_P=\left[\begin{array}{*{20}{c}}x_O+L_{OP}\sin\theta & y_O & z_O+L_{OP}\cos\theta\end{array}\right]\mathrm{^T} 。$

(6)

由图1可以得到如下几何关系：

$ {L_{OP}}\sin \theta + {L_{PD}}\sin \phi = {z_{OD}} ，$

(7)

$ {L_{OP}}\cos \theta + {L_{PD}}\cos \phi = {x_{OD}} 。$

(8)

对式(7)和式(8)求微分，可得：

$ \dot \theta = - \frac{{{{\dot L}_{PD}}}}{{{L_{OP}}}}\frac{1}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} + \frac{{{{\dot z}_{OD}}}}{{{L_{OP}}}}\frac{{\sin \phi }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} + \frac{{{{\dot x}_{OD}}}}{{{L_{OP}}}}\frac{{\cos \phi }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} ，$

(9)

$ \dot \phi = \frac{{{{\dot L}_{PD}}}}{{{L_{PD}}}}\frac{{\cos \left( {\phi - \theta } \right)}}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} - \frac{{{{\dot z}_{OD}}}}{{{L_{PD}}}}\frac{{\sin \theta }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} - \frac{{{{\dot x}_{OD}}}}{{{L_{PD}}}}\frac{{\cos \theta }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} 。$

(10)

O点到细长杆件质心G的位置矢量为：

$ {r_{OG}} = \frac{1}{2}{L_{OP}}\left( {\cos \theta i + {\text{sin}}\theta j} \right) 。$

(11)

对式(11)求二次微分，可以得到：

$ {a_G} = \frac{1}{2}{L_{OP}}\left( {\left( { - \ddot \theta \sin \theta - {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)i + \left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2} \sin \theta } \right)j} \right) 。$

(12)

其中，a_G为G点的加速度。对i和j方向上的力分别求和，可以得到：

$ \sum {Fi} = m{a_G}i = T \cos \phi + f = \frac{1}{2}{m_2}{L_{OP}} \left( { - \ddot \theta \sin \theta - {{\dot \theta }^2} \cos \theta } \right)，$

(13)

$ \begin{split}\sum {Fj} & = m{a_G}j = T\sin \phi + N - {m_1}g - {m_2}g =\\ & \frac{1}{2}{m_2}{L_{OP}}\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)。\end{split} $

(14)

定义θ在逆时针方向为正，对O点的力矩求和，可以得到：

$ \begin{aligned} \sum {{M_O} = I\ddot \theta } = T{L_{OP}}\sin \left( {\phi - \theta } \right) - \\ {m_1}g{L_{OP}}\cos \theta - \frac{1}{2}{m_2}g{L_{OP}}\cos \theta = I\ddot \theta 。\\ \end{aligned} $

(15)

由此可得：

$ T = \frac{{\left( {2{m_1} + {m_2}} \right)g\cos \theta }}{{2\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} + \frac{{{m_2}{L_{OP}}\ddot \theta }}{{3\sin \left( {\phi - \theta } \right)}}，$

(16)

$ N = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g - T\sin \phi + \frac{1}{2}{m_2}{L_{OP}}\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2} \sin \theta } \right)，$

(17)

$ f = - T\cos \phi - \frac{1}{2}{m_2}{L_{OP}}\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right) 。$

(18)

1.2 多柔索约束阶段动力学建模

离地后多柔索约束阶段的分析如图2所示。其中，H_L和H_R为左右减摇臂，E_F为前减摇吊臂，δ为前减摇吊臂变幅角度，P_F为减摇索Ⅰ，P_L为减摇索Ⅱ，P_R为减摇索Ⅲ，P_B为减摇索Ⅳ。定义L_PF为P点到F点的空间距离。α和β分别为主吊索和细长杆件在面内方向的摆角。

定义减摇索Ⅰ的拉力F₁在x₀和z₀方向上的分量为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{{\boldsymbol{F}}_{1x}} = \left| {{{\boldsymbol{F}}_1}} \right|{i_{1x}}} ，\\ &{{{\boldsymbol{F}}_{1z}} = \left| {{{\boldsymbol{F}}_1}} \right|{i_{1z}}} ，\end{aligned}} \right. $

(19)

式中：${i_{1x}} = \dfrac{{{x_F} - {x_P}}}{{{L_{PF}}}}，\;{i_{1z}} = \dfrac{{{z_F} - {z_P}}}{{{L_{PF}}}} $。

同理可得F₂、F₃和F₄在x₀和z₀方向上的分量。吊索拉力T在x₀和z₀方向的分量分别为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{{\boldsymbol{F}}_{Gx}} = {m_2}{{\ddot x}_G}} ，\\ &{{{\boldsymbol{F}}_{Gz}} = {m_2}{{\ddot z}_G} - {m_2}g} 。\end{aligned}} \right. $

(20)

进一步地，可以得到吊钩P点在x₀O₀z₀平面内的动力学方程为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{m_1}{{\ddot x}_P} = - {{\boldsymbol{T}}_x} + {{\boldsymbol{F}}_{Gx}}} ，\\ &{{m_1}{{\ddot z}_P} = {{\boldsymbol{T}}_z} - {m_1}g - {{\boldsymbol{F}}_{Gz}}} 。\end{aligned}} \right. $

(21)

根据牛顿第二定律可以得到吊钩P点在x₀O₀z₀平面内的动力学方程为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{m_1}{{\ddot x}_P} = {{\boldsymbol{F}}_{1x}} - {{\boldsymbol{F}}_{2x}} - {{\boldsymbol{F}}_{3x}} - {{\boldsymbol{F}}_{4x}} - {{\boldsymbol{T}}_x} + {{\boldsymbol{F}}_{Gx}}} ，\\ &{{m_1}{{\ddot z}_P} = {{\boldsymbol{F}}_{1x}} - {{\boldsymbol{F}}_{2x}} - {{\boldsymbol{F}}_{3x}} - {{\boldsymbol{F}}_{4x}} + {{\boldsymbol{T}}_x} - {m_1}g - {{\boldsymbol{F}}_{Gx}}} 。\end{aligned}} \right. $

(22)

定义f_x = F_1x-F_2x-F_3x-F_4x和f_z = F_1z-F_2z-F_3z-F_4z为4根减摇索在x₀和z₀方向上的合力。经过计算整理可以得到吊钩和细长杆件在x₀O₀z₀平面内摆动的角加速度：

$\begin{split} & {\ddot \alpha = - 3{L_{OP}}^2{m_2}^2\sec \alpha \cos \left( {\alpha - \beta } \right)\cos \beta {{\ddot x}_D} + 3{L_{OP}}^2{m_2}^2{\rm{ \times }}}\\ & {\sec \alpha \cos \left( {\alpha - \beta } \right)\sin \beta \left( {g + {{\ddot z}_D}} \right) - 2{L_{OP}}^2{m_2}^2{\rm{ \times }}}\\ & {\left( {{{\boldsymbol{f}}_x} + \left( {{{\boldsymbol{f}}_z} - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g\tan \alpha } \right)} \right) + 3{L_{OP}}^2{L_{PD}}{m_2}^2{\rm{ \times }}}\\ & {\sec \alpha \cos \left( {\alpha - \beta } \right){{\dot \alpha }^2}\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + 2{L_{OP}}^2{m_2}^2\sec \alpha {\rm{ \times }}}\\ & {\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{{\ddot x}_D}\cos \alpha + {{\ddot z}_D}\sin \alpha } \right) + \frac{1}{2}{L_{OP}}{m_2}{{\dot \beta }^2}\sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \end{array}} \right)/}\\ & {3{L_{OP}}^2{L_{PD}}{m_2}^2{{\cos }^2}\left( {\alpha - \beta } \right)\sec \alpha - }\\ & {2{L_{OP}}^2{L_{PD}}{m_2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\sec \alpha }，\\[-1pt] \end{split} $

(23)

$ \begin{split} & {\ddot \beta = - 6{L_{OP}}{L_{PD}}{m_2}\cos \left( {\alpha - \beta } \right){{\boldsymbol{f}}_x} + 6{L_{OP}}{L_{PD}}{m_2}{\rm{ \times }}}\\ & {\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\sec \alpha \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\cos \alpha {{\ddot x}_D} + 3{L_{OP}}^2{L_{PD}}{m_2}{\rm{ \times }}}\\ & {\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\sec \alpha {m_2}{{\dot \alpha }^2}\sin \left( {\alpha - \beta } \right) - 6{L_{OP}}{L_{PD}}{m_2}{\rm{ \times }}}\\ & {\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\tan \alpha \left( {{{\boldsymbol{f}}_z} - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g} \right) + 6{L_{OP}}{L_{PD}}{m_2}{\rm{ \times }}}\\ & {\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\sec \alpha \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\sin \alpha \left( {{{\ddot x}_D} + {{\ddot z}_D}} \right) - 6{L_{OP}}{L_{PD}}{m_2}{\rm{ \times }}}\\ & {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\sec \alpha \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \beta {{\ddot x}_D} - \sin \left( {\alpha - \beta } \right){{\dot \alpha }^2} + \left( {g + {{\ddot z}_D}} \right)\sin \beta } \end{array}} \right)/}\\ & {4{L_{OP}}{L_{PD}}{m_2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\sec \alpha - }\\ & {3{L_{OP}}^2{L_{PD}}{m_2}^2{{\cos }^2}\left( {\alpha - \beta } \right)\sec \alpha }。\\[-1pt] \end{split} $

(24)

根据前期的研究发现^[13]，为了实现4根减摇索对吊钩和细长杆件面内摆动的有效抑制，可将减摇索Ⅰ和减摇索Ⅳ的拉力设置为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{\left| {{{\boldsymbol{F}}_1}} \right| = {{\boldsymbol{F}}_{1s}}}, \\ &{\left| {{{\boldsymbol{F}}_4}} \right| = k{{\boldsymbol{F}}_{4s}}}, \end{aligned}} \right.{\text{ }}\dot \alpha > 0，\; \left\{ {\begin{aligned} &{\left| {{{\boldsymbol{F}}_1}} \right| = k{{\boldsymbol{F}}_{1s}}}, \\ &{\left| {{{\boldsymbol{F}}_4}} \right| = {{\boldsymbol{F}}_{4s}}}, \end{aligned}} \right.{\text{ }}\dot \alpha < 0 。$

(25)

式中：k为减摇索拉力系数，F_1s和F_4s为将减摇索Ⅰ和减摇索Ⅳ满足静平衡时的拉力设定值，减摇索II、减摇索III的张力采用同样的方法进行设置。最后通过Matlab/Simulink对吊钩和细长杆件组成的双摆系统进行仿真分析，求解器为ode45。

2 动力学仿真分析 2.1 单点起吊阶段仿真分析

为了研究细长杆件从水平放置直至被吊离地面这一过程中系统的动态特性，对其进行仿真分析。主要研究主吊索提升速度、船舶运动对起吊过程中细长杆件与地面间的夹角θ和吊索与水平方向的夹角ϕ的变化趋势，系统的参数为L_PD = 2.1 m，L_OP = 0.8 m，m₁ = 2 kg，m₂ = 9.1 kg，θ_1x= 0°，θ_2y = 45°，θ_2z = 0°。当船舶横摇运动为θ_1y = 1.3sin(πt/8)时，对于不同吊索提升速度的情况下，细长杆件起吊过程中θ和ϕ的变化情况如图3所示。可以看出，细长杆件与地面间的夹角θ逐渐增大，吊钩与水平方向的夹角ϕ逐渐减小，对于不同吊索提升速度，θ和ϕ的变化趋势相同，都随船舶运动激励而产生规则的波动。

当吊索提升速度为20 mm/s时，对于船舶不同运动激励，细长杆件起吊过程中θ和ϕ的变化情况如图4所示。可以看出，对于船舶不同运动激励，细长杆件与地面间的夹角θ与吊钩与水平方向的夹角ϕ的变化趋势均相同，当没有船舶运动激励时，θ和ϕ的变化曲线较为平稳，随着船舶运动激励增大时，θ和ϕ波动的幅值也逐渐增大。

2.2 多柔索约束阶段仿真分析

工况1的船舶运动激励设定为θ_1y = 5sin(πt/8)，工况2船舶运动激励设定为θ_1y = 10sin(πt/8)，如图5和图6所示，分别在此2种工况下对有无多柔索约束减摇系统进行仿真对比分析，重新整理仿真数据如表1所示。在工况1下，多柔索约束减摇系统对吊钩和细长杆件的平均减摇比为83.35%，而在工况2下多柔索约束减摇系统对吊钩和细长杆件的平均减摇比为70.45%。仿真分析证明，多柔索约束减摇系统在设定工况下可以有效的抑制吊钩和细长杆件的摆动。

3 海上吊装细长杆件实验研究

如图7所示，细长杆件海上吊装实验台主要由起重机缩比样机、多柔索约束减摇系统、六自由度运动平台、电气控制柜、工控机和上位机等部分组成。其中，六自由度运动平台可模拟船舶的六自由度运动，包括横荡、纵荡、垂荡、横摇、纵摇和艏摇。各类传感器用于实时测量吊索长度信号、吊索张力信号以及吊钩摆角信号等参数，并经过数据采集系统将信号反馈到控制器中，控制器对信号进行分析和处理，并对电机进行相应的控制动作，上位机与电气控制柜使用PLC进行通讯。实验原型起重机的尺寸参数与仿真时保持一致。

3.1 单点起吊实验

在有无船舶运动激励下分别进行单点起吊实验，实验和仿真的对比结果如图8和图9所示，船舶运动的激励为θ_1y = 1.3sin(πt/8)。图中θ为细长杆件与地面间的夹角，ϕ为吊索与水平方向的夹角。实验过程中地面对细长杆件吊重的支持力N和细长杆件吊与地面之间的摩擦力f不易测得，采用易于测量的吊索拉力T验证动力学模型。在无船舶激励下实验曲线和仿真曲线趋势基本相同，角度整体误差在 ± 3°之内，主吊索张力的整体误差在 ± 5 N之内。当有船舶运动激励时，仿真曲线和实际的实际曲线会随着船舶运动激励产生规则波动，但波动的趋势周期以及幅度大致相同，通过实验验证了细长杆件单点起吊动力学模型的准确性。

3.2 细长杆件悬挂实验

当细长杆件吊重离开地面时细长杆件处于自由悬挂状态，此时受到船舶运动激励不可避免的产生摆动，此时将六自由度运动平台的激励设置为θ_1y = 1.3sin(πt/8)。由图10和图11可知，实验仿真与实验曲线趋势基本相同，且摆动的周期变化大致相同，均能在10 s左右内将吊钩和细长杆件的摆动抑制在2°范围内。分析相关数据表明仿真曲线和实验曲线的偏差较小，多柔索约束系统对吊钩和细长杆件摆动的减摇抑制效果达75%。由于系统中存在振动，导致吊钩和细长杆件的变化存在一定的波动，但摆角的总体误差在 ± 3°内。

4 结　语

针对细长杆件海上吊装转运过程中作业效率低、风险高以及作业强度大等问题，将细长杆件吊装作业过程分为单点起吊和多柔索约束2个阶段，并分别对单点起吊阶段和多柔索约束阶段进行动力学建模。在单点起吊阶段研究了主吊索提升速度、船舶运动激励对细长杆件动力学特性的影响，在多柔索约束阶段仿真分析了多根柔索对吊钩和细长杆件所组成双摆系统的减摇效果，通过搭建的实验样机验证了单点起吊和多柔索约束阶段的动力学模型的准确性，多柔索约束减摇系统对吊钩和细长杆件的平均减摇效果达75%，研究成果可为海上细长杆件的吊装过程的优化以及多柔索减摇策略提供一定的理论基础。