0 引　言

全球主流国家已普遍认同推动绿色转型的重要性。在交通运输领域，船运行业尤为重要，而实现船舶的绿色转型核心在于采用绿色动力技术。目前，船舶电机推进系统主要采用感应电机和永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM），而永磁同步电机凭借其体积小、重量轻、效率高、转动惯量小、可靠性高等优点，显著提升了船舶的性能^[1]。传统的PMSM控制策略通常需要机械编码器来获取转子位置信息，然而这种方式成本高、安装不便，且在船舶工作环境中容易受到高温和潮湿等因素影响，影响电机的控制效果^[2]。相比之下，无位置传感器的PMSM控制策略具有可靠性高、适应环境能力强等优势，因而在船舶领域具有广泛的应用前景^[3]。

在工业控制领域，传统的PI（Proportional-Integral）控制因其简单可靠而得到广泛应用。然而，由于PMSM是一个非线性、强耦合的复杂系统，PI控制的抗干扰能力不足，难以满足现代工业对PMSM控制的要求。为此，研究人员提出了多种先进的控制算法，包括自适应控制、模糊控制、滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）和神经网络控制等。滑模控制由于其简单实现和强鲁棒性而受到广泛关注。

滑模观测器法（Sliding Mode Observer, SMO）因其鲁棒性强、收敛速度快、调速范围广等优势而广泛应用于PMSM无位置传感器控制策略中。KANG等^[4]分析了传统SMO存在的抖振问题，主要源于符号函数的不连续性。此外，传统SMO方法对反电动势的估计容易受到高频噪声的干扰。REN等^[5]提出了一种无位置传感器的PMSM控制方法，利用了基于速度调整边界层宽度的S形函数的SMO，有效地解决了抖振问题。然而，该方法采用了低通滤波器，导致系统状态的相移和估计精度的降低。LU等^[6]和YANG等^[7]使用饱和函数和特殊函数替代符号函数，有效提升了对转子位置的估计性能。然而，这些控制方法主要关注于提高转子位置的估计性能。YIN等^[8]基于SMO构造了高阶滑模观测器（High-order Sliding Mode Observer, HSMO）对等效反电势进行处理，避免了低通滤波器的使用，从而提高了反电势的观测精度，然而，仍然存在谐波扰动的问题。

在目前的PMSM无传感器控制系统中，常采用锁相环（Phase-Locked Loop, PLL）控制来估计转子速度，但该方法存在负载能力弱、动态响应慢的问题。CHENG等^[9]提出了一种基于二阶广义积分器（Second-Order General Integrator, SOGI）的反电势观测器，利用其滤波特性来抑制抖振和谐波。

针对传统PMSM无位置传感器控制策略存在的问题，本文提出了一种对表贴式PMSM的控制策略。首先，采用滑模控制器替代PI控制器以提高鲁棒性。其次，引入新型趋近律以提升系统的趋近速度。针对高阶滑模观测器中反电势随转速变化的特性，设计了自适应的高阶滑模观测器。然后，结合SOGI和归一化正交锁相环实现对转子转速和位置信息的闭环观测。最后，通过仿真实验验证了所提算法的优越性。

1 PMSM数学模型及传统滑模观测器设计 1.1 永磁同步电机数学模型

本文选取表贴式永磁同步电机（Surface-mounted PMSM, SPMSM）作为研究对象。相对于内置式永磁同步电机，表贴式永磁同步电机在d轴和q轴上的电感相等，而内置式永磁同步电机d轴和q轴上的电感不等，具有凸极效应。SPMSM在两相静止坐标系(α，β)下的数学模型为^[10]：

$ \left\{\begin{aligned} & u_{\alpha}=R_si_{\alpha}+L_dpi_{\alpha}+e_{\alpha}, \\ & u_{\beta}=R_si_{\beta}+L_dpi_{\beta}+e_{\beta}。\end{aligned}\right. $

(1)

$ \left\{\begin{aligned} & e_{\alpha}=-\mathit{\Psi}_f\omega_e\mathrm{sin}\theta_e, \\ & e_{\beta}=\mathit{\Psi}_f\omega_e\mathrm{cos}\theta_e。\end{aligned}\right. $

(2)

式中：$ {u}_{\alpha } $、$ {u}_{\beta } $为静止坐标系下定子电压分量；$ {R}_{s} $为定子电阻；$ {i}_{\alpha } $、$ {i}_{\beta } $为静止坐标系下定子电流分量；$ {L}_{d} $为定子电感；$ p $为微分算子；$ {e}_{\alpha } $、$ {e}_{\beta } $为静止坐标系下扩展反电动势（Electromotive Force, EMF）；$ \mathit{\Psi}_f $为永磁体磁链；$ {\omega }_{e} $为电机转子电角速度；$ {\theta }_{e} $为电机转子的电角度。

SPMSM在(d，q)旋转坐标系下的电机运动方程及d轴和q轴上电压与电流的数学模型为：

$ \left\{\begin{aligned} & T_e=\frac{3P_n{\mathit{\Psi}}_fi_q}{2}, \\ & Jp\omega_m=T_e-T_L-B\omega_m, \\ & u_d=R_si_d+L_dpi_d-\omega_eL_di_q, \\ & u_q=R_si_q+L_dpi_q+\omega_e\left(L_di_d+\mathit{\Psi}_f\right)。\\ \end{aligned}\right. $

(3)

式中：$ {T}_{e} $为电磁转矩；$ {P}_{n} $为电机得极对数；$ {u}_{d} $、$ {u}_{q} $、$ {i}_{d} $、$ {i}_{q} $分别为旋转坐标系下定子电压与电流分量；$ J $为转动惯量；$ {\omega }_{m} $为电机转子机械角速度；$ {T}_{L} $为负载转矩；$ B $为阻尼系数；且$ {\omega }_{e}={P}_{n}{\omega }_{m} $。$ J $、$ B $均为电机固定参数，$ {T}_{L} $通常设定为一常量。

1.2 滑模控制器替换PI 控制器

由于PI控制器的鲁棒性和抗干扰能力不足，难以满足在现如今的PMSM系统的控制。本文采用SMC替代PI控制器，以提升控制系统的性能。本文采用$ {i}_{d}=0 $的转子磁场定向控制（Field-Oriented Control, FOC）方法即可获得较好的控制效果，同时为了简化数学模型，忽略影响较小的因素，式(3)可改写为如下的数学模型：

$ \left\{\begin{aligned} & pi_q=\frac{1}{L_d}\left(-R_si_q-p_n\mathit{\Psi}_f\omega_m+u_q\right), \\ & p\omega_m=\frac{1}{J}\left(\frac{3P_n\mathit{\Psi}_fi_q}{2}-T_L\right)。\end{aligned}\right. $

(4)

定义电机系统的状态变量为：

$ \left\{\begin{aligned} & x_1=\omega_{ref}-\omega_m, \\ & x_2=\dot{x}_1=-\dot{\omega}_m。\end{aligned}\right. $

(5)

式中：$ {\omega }_{ref} $为电机的参考转速，通常为一常量；$ {\dot{x}}_{1} $为$ {x}_{1} $取时间导数，后文符号皆同。

根据式(4)和式(5)可知：

$ \left\{\begin{aligned} & \dot{x}_1=\dot{\omega}_m=\frac{1}{J}\left(T_L-\frac{3P_n\mathit{\Psi}_fi_q}{2}\right), \\ & \dot{x}_2=-\ddot{\omega}_m=-\frac{3P_n\mathit{\Psi}_fpi_q}{2J}。\end{aligned}\right. $

(6)

定义SMO的滑模面函数为：

$ \begin{array}{c}s_1=cx_1+x_2。\end{array} $

(7)

式中：$ {c} $为大于0的常数。

对式(7)求导得：

$ \begin{array}{c}\dot{s}_1=c\dot{x}_1+\dot{x}_2=cx_2+\dot{x}_2=cx_2-\displaystyle\frac{3P_n\mathit{\Psi}_f}{2J}pi_q。\end{array} $

(8)

尽管初期SMC使用等速趋近律能够提供相对较快的趋近速度，但在滑模面上的收敛速度较慢，无法保证系统状态在有限时间内精确到达平衡点^[11]。为确保PMSM控制系统具有良好的动态品质，本文采用指数趋近律方法替代传统的等速趋近律。传统等速趋近律的表达式为：

$ \begin{array}{c}\dot{s}_1=-\varepsilon \mathrm{sign}\left(s_1\right),\varepsilon > 0。\end{array} $

(9)

式中：$ \varepsilon $为系统的运动点趋近切换面的速率；$ \mathrm{s\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}}\left(s_1\right) $为符号函数。

指数趋近律表达式为：

$ \begin{array}{c}\dot{s}_1=-\varepsilon \mathrm{sign}\left(s_1\right)-qs_1,\varepsilon > 0,q > 0。\end{array} $

(10)

式中：q为指数衰减因子。

为了提高滑模控制器的控制性能，本文采用饱和函数sat($ {{s}}_{1} $)代替传统的符号函数sign($ {{s}}_{1} $)，饱和函数作为连续函数，与符号函数相比，控制量不会产生突变，能够明显的削弱抖振^[12]。其表达式为：

$ \begin{array}{c}\mathrm{sat}\left(s_1\right)=\left\{\begin{aligned} & 1,s_1 > \Delta, \\ & as_1,\left|s_1\right|\leqslant \Delta, \\ & -1,s_1 < -\Delta。\end{aligned}\right.\end{array} $

(11)

式中：$ \Delta $为边界层，$ a={1}/{\Delta } $。

因此，控制器的表达式为：

$ \begin{array}{c}\dot{i}_q=\displaystyle\frac{2J}{3P_n\mathit{\Psi}_f}\left[cx_2+\varepsilon\mathrm{sat}\left(s_1\right)+qs_1\right]。\end{array} $

(12)

由式(12)可得q轴的参考电流为：

$ \begin{array}{c}i_{qref}=\displaystyle\frac{2J}{3P_n\mathit{\Psi}_f}\int_0^t\left[cx_2+\varepsilon\mathrm{sat}\left(s_1\right)+qs_1\right]\mathrm{d}\tau。\end{array} $

(13)

式(13)表明，参考电流具有积分项，同时采用饱和函数，可减弱抖振并消除系统的稳态误差，从而提高系统的控制性能^[10]。

1.3 传统滑模观测器的设计

为了便于SMO观测扩展反电动势，将式(1)的电压方程改写为电流的状态方程形式，即：

$ \left\{\begin{aligned} & pi_{\alpha}=-\frac{R_s}{L_d}i_{\alpha}+\frac{1}{L_d}u_{\alpha}-\frac{1}{L_d}e_{\alpha}, \\ & pi_{\beta}=-\frac{R_s}{L_d}i_{\beta}+\frac{1}{L_d}u_{\beta}-\frac{1}{L_d}e_{\beta}。\end{aligned}\right. $

(14)

传统SMO设计通常如下，以获得EMF的估计值：

$ \left\{\begin{aligned} & p\hat{i}_{\alpha}=-\frac{R_s}{L_d}\hat{i}_{\alpha}+\frac{1}{L_d}u_{\alpha}-\frac{1}{L_d}k\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha}\right), \\ & p\hat{i}_{\beta}=-\frac{R_s}{L_d}\hat{i}_{\beta}+\frac{1}{L_d}u_{\beta}-\frac{1}{L_d}k\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\beta}-i_{\beta}\right)。\end{aligned}\right. $

(15)

式中：$ {\hat{i}}_{\alpha } $、$ {\hat{i}}_{\beta } $分别为$ {i}_{\alpha } $、$ {i}_{\beta } $的观测值；$ k $为滑模增益，滑模面为电流的误差值，即$ s_2=\left[\hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha},\hat{i}_{\beta}-i_{\beta}\right]^{\mathrm{T}} $。

此时，反电动势的观测值为：

$ \left\{\begin{aligned} & \hat{e}_{\alpha}=k\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha}\right), \\ & \hat{e}_{\beta}=k\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\beta}-i_{\beta}\right)。\end{aligned}\right. $

(16)

式中：$ {\hat{e}}_{\alpha } $、$ {\hat{e}}_{\beta } $分别为$ {e}_{\alpha } $、$ {e}_{\beta } $的观测值。

转子位置和速度可以通过反正切函数计算得到，表达式为：

$ \left\{\begin{aligned} & \hat{\theta}_e=-\mathrm{arctan}\left(\frac{\hat{e}_{\alpha}}{\hat{e}_{\beta}}\right), \\ & \hat{\omega}_e=\frac{\sqrt{\hat{e}_{\alpha}^2+\hat{e}_{\beta}^2}}{\Psi_f}。\end{aligned}\right. $

(17)

式中：$ {\hat{\omega }}_{e} $为$ {\omega }_{e} $的观测值。

传统的SMO使用不连续的开关函数，容易导致在滑动模态下的高频抖振，进而在估算反电动势时产生高频抖振。而基于反正切函数的估计方法会将这种抖振引入到运算中，可能导致误差放大，产生较大的角度误差^[13]。针对这些问题，本文提出了改进的观测方法。

2 改进的滑模观测器 2.1 趋近律改进

在实际应用中，通常机械时间常数会远大于电气时间常数，因此认为转速在一个估算周期内不变，即$ p{\omega }_{e}=0 $，由此可得反电动势满足以下关系：

$ \left\{\begin{aligned} & pe_{\alpha}=-\omega_ee_{\beta}, \\ & pe_{\beta}=\omega_ee_{\alpha}。\end{aligned}\right. $

(18)

根据电机电流状态方程，可构建以定子电流和反电动势为状态变量的高阶滑模观测器：

$ \left\{\begin{aligned} & p\hat{i}_{\alpha}=-\frac{R_s}{L_d}\hat{i}_{\alpha}-\frac{1}{L_d}\hat{e}_{\alpha}+\frac{1}{L_d}u_{\alpha}-\frac{k}{L_d}\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha}\right), \\ & p\hat{i}_{\beta}=-\frac{R_s}{L_d}\hat{i}_{\beta}-\frac{1}{L_d}\hat{e}_{\beta}+\frac{1}{L_d}u_{\beta}-\frac{k}{L_d}\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\beta}-i_{\beta}\right), \\ & p\hat{e}_{\alpha}=-\hat{\omega}_e\hat{e}_{\beta}+\frac{m}{L_d}\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\alpha}-i_{\alpha}\right), \\ & p\hat{e}_{\beta}=\hat{\omega}_e\hat{e}_{\alpha}+\frac{m}{L_d}\mathrm{sign}\left(\hat{i}_{\beta}-i_{\beta}\right)。\end{aligned}\right. $

(19)

为保证正常运动阶段的品质，改进型HSMO采用鲁棒性更强、自适应性更好的幂次指数趋近律，并采用饱和函数sat($ {{s}}_{2} $)^[12]。改进后的幂次指数趋近律的表达式如下：

$ \begin{array}{c}{\dot{s}}_{2}=-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2}, 0 < \gamma \leqslant 1,q > 0。\end{array} $

(20)

式中：$ \left|s_2\right|^{\gamma}\mathrm{sat}\left(s_2\right) $为幂次趋近项；$ q{s}_{2} $为指数趋近项。指数趋近项确保当$ {s}_{2} $较大时，系统状态能以较快的速度趋近于稳定滑动模态；然而，当$ {s}_{2} $较小时，指数趋近项会导致运动点到达切换面时的速度很小，不能保证在有限时间内到达，此时，幂次趋近项能确保在$ {s}_{2} $接近于0时趋近速度不为0，从而保证在有限时间内到达切换面。

结合式(19)、式(20)得到改进的HSMO：

$ {\left\{\begin{aligned} &{p{\hat{i}}_{\alpha }=-\frac{{R}_{s}}{{L}_{d}}{\hat{i}}_{\alpha }-\frac{1}{{L}_{d}}{\hat{e}}_{\alpha }+\frac{1}{{L}_{d}}{u}_{\alpha }-\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)+q{s}_{2}\right),}\\ &{p{\hat{i}}_{\beta }=-\frac{{R}_{s}}{{L}_{d}}{\hat{i}}_{\beta }-\frac{1}{{L}_{d}}{\hat{e}}_{\beta }+\frac{1}{{L}_{d}}{u}_{\beta }-\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)+q{s}_{2}\right),}\\ &{p{\hat{e}}_{\alpha }=-{\hat{\omega }}_{e}{\hat{e}}_{\beta }+\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)+m{s}_{2}\right),}\\ &{p{\hat{e}}_{\beta }={\hat{\omega }}_{e}{\hat{e}}_{\alpha }+\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)+m{s}_{2}\right)。} \end{aligned}\right.} $

(21)

将式(21)与式(14)、式(18)做差可得电机的电子电流误差估算方程：

$ \left\{\begin{aligned} &{p\tilde{i}_{\alpha }=-\frac{{R}_{s}}{{L}_{d}}\tilde{i}_{\alpha }-\frac{1}{{L}_{d}}\tilde{e}_{\alpha }-\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|\tilde{i}_{\alpha }\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left(\tilde{i}_{\alpha }\right)+q\tilde{i}_{\alpha }\right),}\\ &{p\tilde{i}_{\beta }=-\frac{{R}_{s}}{{L}_{d}}\tilde{i}_{\beta }-\frac{1}{{L}_{d}}\tilde{e}_{\beta }-\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|\tilde{i}_{\beta }\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left(\tilde{i}_{\beta }\right)+q\tilde{i}_{\beta }\right),}\\ &{p\tilde{e}_{\alpha }=-{\hat{\omega }}_{e}\tilde{e}_{\beta }+\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|\tilde{i}_{\alpha }\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left(\tilde{i}_{\alpha }\right)+m\tilde{i}_{\alpha }\right),}\\ &{p\tilde{e}_{\beta }={\hat{\omega }}_{e}\tilde{e}_{\alpha }+\frac{1}{{L}_{d}}\left({\left|\tilde{i}_{\beta }\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left(\tilde{i}_{\beta }\right)+m\tilde{i}_{\beta }\right)。} \end{aligned}\right. $

(22)

式中：$ \tilde{i}_{\alpha }={\hat{i}}_{\alpha }-{i}_{\alpha } $、$ \tilde{i}_{\beta }={\hat{i}}_{\beta }-{i}_{\beta } $为定子电流观测值与实际值的误差，$ \tilde{e}_{\alpha }={\hat{e}}_{\alpha }-{e}_{\alpha } $、$ \tilde{e}_{\beta }={\hat{e}}_{\beta }-{e}_{\beta } $为观测扩展反电动势与实际扩展反电动势的误差。

对该HSMO进行滑动模态存在条件和到达条件验证：

1）滑动模态存在条件验证

在滑模面区域内，系统状态若要在有限时间内抵达滑模面，需要满足滑动模态存在的条件^[14]：

$ \left\{\begin{aligned} &\underset{{s}_{2}\to {0}^+}{\mathrm{lim}}{\dot{s}}_{2} < 0,\\ &\underset{{s}_{2}\to {0}^-}{\mathrm{lim}}{\dot{s}}_{2} > 0。\end{aligned}\right. $

(23)

验证改进趋近律是否满足式(23)：

$ \left\{\begin{aligned} &\underset{{s}_{2}\to {0}^+}{\mathrm{lim}}{\dot{s}}_{2}=\underset{{s}_{2}\to {0}^+}{\mathrm{lim}}\left(-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2}\right),\\ &\underset{{s}_{2}\to {0}^-}{\mathrm{lim}}{\dot{s}}_{2}=\underset{{s}_{2}\to {0}^-}{\mathrm{lim}}\left(-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2}\right)。\end{aligned}\right. $

(24)

由式(20)可知，其中$ 1 > \gamma > 0 ,q > 0 $，因此当$ {s}_{2}\to {0}^{+} $，$ -{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2} < 0 $，则$ \underset{{s}_{2}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)- q{s}_{2}\right) < 0 $；当$ {s}_{2}\to {0}^{-} $，$ -{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2} > 0 $，则$ \underset{{s}_{2}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}} \left(-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma } {\rm sat}\left ({s}_{2}\right)-q{s}_{2}\right) > 0 $。因此，本文幂次指数趋近律满足滑动模态存在条件^[15]。

2）到达条件验证

为验证系统是否满足滑模动态到达条件，定义Lyapunov函数为：

$ \begin{array}{c}V=\displaystyle\frac{1}{2}{{s}_{2}}^{2}。\end{array} $

(25)

$ V $的导数$ \dot{V} $为：

$ \begin{array}{c}\dot{V}={s}_{2}{\dot{s}}_{2}={s}_{2}\left[-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2}\right]。\end{array} $

(26)

$ {s}_{2} > 0 $时，

$ \dot{V}=-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma +1}{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{{s}_{2}}^{2} < 0。$

(27)

$ {s}_{2}\leqslant 0 $时，

$ \dot{V}={\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma +1}{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{{s}_{2}}^{2} < 0。$

(28)

由式(27)和(28)可知$ \dot{V} $负定，系统满足滑动模态可达性和Lyapunov稳定条件，因此是渐进稳定的。

通过对所设计趋近律的滑动模态存在条件和到达条件的验证，该趋近律符合设计要求。

2.2 反电动势自适应设计

由于系统进入滑模面后，即有$ p{\stackrel{~}{i}}_{{s}_{2}}={\stackrel{~}{i}}_{{s}_{2}}=0 $，因此由式(22)可得：

$ \begin{array}{c} \tilde{e}_{{s}_{2}}=-{\left|{s}_{2}\right|}^{\gamma }{\rm sat}\left({s}_{2}\right)-q{s}_{2}。\end{array} $

(29)

反电动势的自适应律设计^[16]为：

$ \left\{\begin{aligned} & p\hat{e}_{\alpha}=-\hat{\omega}_e\hat{e}_{\beta}-h\tilde{e}_{\alpha}, \\ & p\hat{e}_{\beta}=\hat{\omega}_e\hat{e}_{\alpha}-h\tilde{e}_{\beta}, \\ & p\hat{\omega}_e=\tilde{e}_{\alpha}\hat{e}_{\beta}-\hat{e}_{\alpha}\tilde{e}_{\beta}。\end{aligned}\right. $

(30)

式中：$ h $为大于0的常数。

为确保HSMO满足可达性和稳定性，并使系统在到达滑模面后稳定于滑模面上，对观测器进行稳定性分析，并定义Lyapunov函数为：

$ \begin{array}{c}V=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\tilde{e}_{\alpha}^2+\tilde{e}_{\beta}^2+\tilde{\omega}_e^2\right)。\end{array} $

(31)

结合式(18)和式(30)可得：

$ \left\{\begin{aligned} & p\tilde{e}_{\alpha}=-\hat{\omega}_e\hat{e}_{\beta}+\omega_ee_{\beta}-h\tilde{e}_{\alpha}, \\ & p\tilde{e}_{\beta}=\hat{\omega}_e\hat{e}_{\alpha}-\omega_ee_{\alpha}-h\tilde{e}_{\beta}, \\ & p\tilde{\omega}_e=\tilde{e}_{\alpha}\hat{e}_{\beta}-\hat{e}_{\alpha}\tilde{e}_{\beta}。\end{aligned}\right. $

(32)

根据滑模运动可达性条件和Lyapunov稳定性证明定理，$ V $导数$ \dot{V} $需满足负定：

$ \begin{array}{c}\dot{V}=\tilde{e}_{\alpha}\dot{\tilde{e}}_{\alpha}+\tilde{e}_{\beta}\dot{\tilde{e}}_{\beta}+\tilde{\omega}_e\dot{\tilde{\omega}}_e。\end{array} $

(33)

式中：$ {\dot{\tilde{e}}}_{\alpha } $为$ {\tilde{e}}_{\alpha } $的导数；$ {\dot{\tilde{e}}}_{\beta } $为$ {\tilde{e}}_{\beta } $的导数；$ {\dot{\tilde{\omega }}}_{e} $为$ {\tilde{\omega }}_{e} $的导数。

由于$ p{\omega }_{e}=0 $，结合式(32)和式(33)化简可得：

$ \begin{array}{c}\dot{V}=-h\left(\tilde{e}_{\alpha }^{2}+\tilde{e}_{\beta }^{2}\right)\leqslant 0。\end{array} $

(34)

算法满足Lyapunov稳定性定理，因此该算法是稳定的。

2.3 基于SOGI-PLL的转子信息提取方法

由于通过HSMO获得的转子信息受到谐波和逆变器死区效应等的影响，常规的锁相环只能提供幅值、相位和频率等信息，无法调制和减少这些影响。相比之下，SOGI不仅可以实现对电压信号的90°相位偏移，获得两路正交信号，还能过滤掉高次谐波。因此，本文采用SOGI-PLL的方法从反电动势中提取转子信息。SOGI的结构框图如图1所示。

该滤波器的传递函数为：

$ \left\{\begin{aligned} &D\left({s}_{2}\right)=\frac{{\hat{E}}_{\alpha \beta }}{{\hat{e}}_{\alpha \beta }}=\frac{{k}_{s}{\hat{\omega }}_{e}{s}_{2}}{{{s}_{2}}^{2}+{k}_{s}{\hat{\omega }}_{e}{s}_{2}+{\hat{\omega }}_{e}^{2}},\\ &Q\left({s}_{2}\right)=\frac{q{\hat{E}}_{\alpha \beta }}{{\hat{e}}_{\alpha \beta }}=\frac{{k}_{s}{\hat{\omega }}_{e}^{2}}{{{s}_{2}}^{2}+{k}_{s}{\hat{\omega }}_{e}{s}_{2}+{\hat{\omega }}_{e}^{2}}。\end{aligned}\right. $

(35)

式中：$ D\left({s}_{2}\right) $为一个二阶带通滤波器；$ Q\left({s}_{2}\right) $为一个二阶低通滤波器；$ {\hat{E}}_{\alpha \beta } $为经过SOGI滤波的反电动势；$ q={e}^{- {\text{π}} /2j} $；$ {k}_{s} $为闭环系数，主要影响系统的带宽；$ {\hat{\omega }}_{e} $为电机转子角频率。其中$ {k}_{s} $值越大，响应速度越快，但滤波效果越差，为满足系统响应速度和滤波效果的要求，本文选取$ {k}_{s}=\sqrt{2} $作为谐振系数^[3]。

由于反正切函数可能放大误差，导致估计的转子信息偏差较大，本文采用归一化正交锁相环获取转子信息。锁相环的结构框图如图2所示。

当$ \left|{\hat{\theta }}_{e}-{\theta }_{e}\right| < \mathrm{{\text{π}}}/6 $时，认为$ \mathrm{\mathit{\mathrm{sin}}}\left(\theta_e-\hat{\theta}_e\right)=\theta_e-\hat{\theta}_e $成立，根据图2可得锁相环的误差函数：

$ \begin{split} \Delta E= &-{\hat{e}}_{\alpha }\mathit{\mathrm{cos}}{\hat{\theta }}_{e}-{\hat{e}}_{\beta }\mathit{\mathrm{sin}}{\hat{\theta }}_{e}= \\ &\mu \mathit{\mathrm{sin}}{\theta }_{e}\mathit{\mathrm{cos}}{\hat{\theta }}_{e}-\mu \mathit{\mathrm{cos}}{\theta }_{e}\mathit{\mathrm{sin}}{\hat{\theta }}_{e}= \\ &\mu \mathit{\mathrm{sin}}\left({\theta }_{e}-{\hat{\theta }}_{e}\right)\approx \mu {\theta }_{e}-{\hat{\theta }}_{e}。\end{split} $

(36)

式中：$ \mu=\hat{\omega}_e\mathit{\Psi}_f=\sqrt{e_{\alpha}^2+e_{\beta}^2} $为反电动势的幅值。

由此，作出锁相环闭环控制图，如图3所示。

因此，由$ {\hat{\theta }}_{e} $到$ {\theta }_{e} $的传递函数为：

$ \begin{array}{c} G\left({s}_{2}\right)=\displaystyle\frac{{\hat{\theta }}_{e}}{{\theta }_{e}}=\frac{2\xi {\omega }_{n}{s}_{2}+{\omega }_{n}^{2}}{{{s}_{2}}^{2}+2\xi {\omega }_{n}{s}_{2}+{\omega }_{n}^{2}}。\end{array} $

(37)

式中：$ \xi =\sqrt{\mu {K}_{i}} $；$ {\omega }_{n}=\displaystyle\frac{{K}_{p}}{2}\sqrt{\frac{\mu }{{K}_{i}}} $决定PI调节器的带宽。

构建SOGI-PLL结构，对改进滑模观测器获得的估计反电动势进行分析和滤波处理。改进型结构框图如图4所示。

3 系统仿真与分析

本文采用$ {i}_{d}=0 $控制，建立转速、电流双闭环控制结构。通过改进型高阶滑模观测器（IHSMO），获取电机转子转速和位置信息。结构框图如图5所示。

3.1 系统仿真电机参数

为验证本文提出的改进滑模观测器的效果，通过Matlab/Simulink软件，对PMSM无位置传感器控制系统进行仿真。电机仿真参数如表1所示。

3.2 性能对比与分析

在空载情况下，设定电机转速为600 r/min，仿真时间为1s。对比了传统高阶滑模观测器（HSMO）、采用SOGI-PLL高阶滑模观测器（SHSMO）和改进型高阶滑模观测器（IHSMO）在电机转速、转子位置和反电动势观测效果上的差异。从图6可以看出，IHSMO的电机转速超调量和稳定性得到了明显提升。HSMO超调量为13.63%，到达稳定转速所需的时间为0.086 s；SHSMO的超调量为3.10%，到达稳定转速所需的时间为0.063 s；而IHSMO的超调量仅为1.40%，到达稳定转速的时间为0.027s；显著提高了电机系统的稳定性，并且到达稳定转速更快。对比图7可以看出，HSMO的转子位置初始最大误差为0.335 rad，且运行不平稳，不利于转子位置的观测，SHSMO的转子初始最大误差为0.241 rad，运行平稳性得到了一定提升，IHSMO的转子最大初始最大误差为0.151 rad，且运行平稳性显著提升。对比图8可知，HSMO的反电动势抖动明显，SHSMO的反电动势抖动有所改进，但波峰仍存在波形不平滑问题。而IHSMO不仅大幅改善了反电动势的抖动，还使反电动势波形更加平滑，从中提取的转子信息准确性也会明显提高。

4 结　语

本文提出了一种改进型高阶滑模观测器控制策略，有效解决了传统滑模观测器矢量控制系统中抖振和转子信息估计精度不足的问题。通过对传统滑模观测器控制系统中抖振等问题进行分析，采用了饱和函数和新型趋近律进行改进。同时，引入一种反电动势自适应律，并结合SOGI-PLL对反电动势进行滤波，以减少谐波对系统控制精度的影响，进一步提升了控制系统的性能。最后，通过仿真实验验证了本文所提方法对转子转速和位置信息提取的有效性。