0 引　言

水下低频宽带声吸收是近年来声学领域的重要研究方向，旨在设计新型材料和结构来控制水下低频宽带噪声。这类研究对于提高水下航行器的隐身能力和保障海洋作业安全等方面具有重要意义^{[1 − 2]}。

传统的水下吸声材料在低频范围内的吸声效果较差，受质量作用和因果律的限制，难以实现小波长控制大尺寸，这极大地限制了其在实际应用中的推广^{[3 − 4]}。经过半个多世纪的研究，学者陆续提出了不同原理的吸声结构。Xu等^[5]将张拉膜、上腔框架、下腔框架、钢背衬和位于膜几何中心的圆柱形质量块组成膜形声学超表面，并联耦合吸声单元，实现250～750 Hz范围内吸声系数达0.6的优越吸声性能。Ma等^[6]将质量集中效应引入水下薄板型声学超表面，多单元结构实现了200～1000 Hz的宽带有效吸声。

为进一步提高吸声性能，一些研究集中于利用亚波长复合结构和局域共振现象。这些结构能够有效地匹配声阻抗，并在特定频率下发生共振，从而实现高效的声吸收^[7]。橡胶材料由于其粘弹性特性以及与海水相近的声阻抗特性，成为研究的热点^[8]。Zhou等^[8]提出了一种带有橡胶涂层的盘绕水通道形成的超薄声学超表面，在181 Hz处实现了完美的吸声，具有深亚波长厚度。Feng等^[9]提出一种具有低频、宽带、高效吸收的超薄水下超表面，在 32 mm 的厚度下，500～10000 Hz 的频带范围内的平均吸声系数达 92.3%。本文在传统的亥姆霍兹谐振腔中引入橡胶涂层和内嵌粗糙弯曲颈部以实现低频准完美声吸收，采用COMSOL有限元仿真软件验证了理论模型的准确性，基于参数分析，将4个吸声单元平行排列形成共面式复合声学超表面，该复合超表面可实现75～201 Hz内的宽带吸声。

1 理论模型 1.1 单元建模

内嵌颈部的吸声超表面示意图如图1所示。该超表面单元为六边形圆柱形状，将传统的赫姆霍兹颈部弯折后嵌入腔体内部，颈部具有一定粗糙度，同时在赫姆霍兹谐振腔内引入橡胶层。图1中，H为厚度，a为边长，h为腔体厚度，t₁为上下底板的厚度，t₂为侧壁厚度，t₃为橡胶涂层厚度，t_n为颈部壁厚，r_n为颈部半径，$ \delta $为颈部最凸到最凹一半的距离，b为颈部一个粗糙波形长度，r_i为颈部最凸到中心线的距离，l₁和l₂为两段粗糙的颈部长度，r为弯曲颈部曲率半径（l_r = πr），弯折颈部总长度为L = l₁+l₂+l_r。

1.2 理论建模

该超表面底部为刚性材料，基于Li等^[10]的研究，超表面的吸声系数和反射系数的计算公式可以表示为：

$ \alpha=1-|r|^2\ ，r=\frac{Z_s-1}{Z_s+1}。$

(1)

式中：$ {Z_s} $为超表面的表面声阻抗比，可以表示为

$ Z_s=Z/Z_0=\frac{\xi(Z_c+Z_n/\varphi)}{Z_0}。$

(2)

式中：$ \xi = A/{S_c} $为考虑蜂窝厚度的声校正系数；$ A = 1.5\sqrt 3 {a^2} $为考虑蜂窝壁厚的单位蜂窝横截面积，$ \varphi = {S_m}/{S_c} $为顶板的穿孔率；$ {S_m} = {\text{π}} r_n^2 $为颈部的等效横截面积；$ {S_c} = 1.5\sqrt 3 {(a - 2{t_2}/\sqrt 3 )^2} $为谐振腔的横截面积；$ {Z_0} = {\rho _0}{c_0} $为流体的特性阻抗，水的声速和密度分别为c₀=1500 m/s和$ \rho_0=1\,000\ \mathrm{kg/m^3} $。

为了确定$ {Z_s} $的值，首先需要确定由橡胶涂层和水腔组成的谐振腔的声阻抗以及内嵌颈部的声阻抗。根据Duan等^[11]的研究，把橡胶涂层和水腔看作并联，谐振腔的声阻抗计算公式为：

$ Z_c=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Z_r}+\displaystyle\frac{1}{Z_w}}。$

(3)

式中：$ {Z_r} $为橡胶涂层的声阻抗；$ {Z_w} $为水腔的声阻抗。橡胶涂层的声阻抗为^[11]：

$ Z_r=-jS_c\rho_rc_r^2/(\omega V_r)。$

(4)

式中：$ j $为虚部单位；$ \omega = 2{\text{π}} f $为角频率；f为频率；$ {V_r} = {S_c}h - {S_w}(h - {t_3}) $为橡胶涂层的体积；$ {S_w} = 1.5\sqrt 3 \times $$ {(a - 2{t_2}/\sqrt 3 - 2{t_3}/\sqrt 3 )^2} $为水腔的横截面积；$ {\rho _r} $和$ {c_r} $分别为橡胶涂层的密度和纵波速度。基于文献 [12]，通常采用线性粘弹性理论来描述水声吸收器中橡胶材料的弹性和阻尼特性，橡胶涂层的密度为$ \rho_r=1\,100\ \mathrm{kg/m^3} $，损失因子为$ {\eta _r} = 0.3 $，泊松比为$ {\nu _r} = 0.49 $，杨氏模量为E_r = 10 MPa。引入复体积模量$ {\widetilde K_r} = (1 + j{\eta _r}){K_r} $来表示纵波速度$ {c_r} = \sqrt {\widetilde {{K_r}}/{\rho _r}} $和体积模量$ {K_r} = \displaystyle\frac{{{E_r}(1 - {\nu _r})}}{{(1 + {\nu _r})(1 - 2{\nu _r})}} $。

水腔的声阻抗可以表示为^[14]：

$ Z_w=-jS_c\rho_0c_0^2/(\omega V_w)。$

(5)

式中：$ {V_w} = {S_w}(h - {t_3}) - {S_n}({l_1} - {t_1}) $为水腔的体积；$ {S_n} = {\text{π}} {({r_n} + {t_n})^2} $为颈部的横截面积。

颈部粗糙壁遵循余弦函数，表示为：

$ \Gamma ({x_{{l_l}}}) = {r_n}\left[ {1 + 2\varepsilon \cos \left( {\frac{{\beta {x_{{l_1}}}}}{{2{r_n}}}} \right)} \right]。$

(6)

式中：$ {x_{{l_1}}} $为颈部由顶板向下延伸的位置坐标，范围为$ 0 - {l_1} $；$ \beta = 4{\text{π}} {r_n}/b $和$ \varepsilon = \delta /2{r_n} $分别为相对波数和相对粗糙度。

根据文献[13]，颈部的弯曲度和静流阻率表示如下：

$ \alpha_{\infty}=1+\varepsilon^2\beta^2\frac{J_0^2(\beta/2)-J_1^2(\beta/2)}{2J_1^2(\beta/2)}，$

(7)

$ {\sigma _r} = {\sigma _s}\left\{ {\left. {\frac{1}{{{{(1 - 2\varepsilon )}^4}}} + \frac{{2{e^{ - \beta /(5{\text{π}} )}}}}{{1 + {e^{ - \beta /(5{\text{π}} )}}}}\left[ {\frac{{6{\varepsilon ^2} + 1}}{{{{(1 - 4{\varepsilon ^2})}^{3.5}}}} - \frac{1}{{{{(1 - 2\varepsilon )}^4}}}} \right]} \right\}} 。\right. $

(8)

式中：J_n为第一类n阶贝塞尔函数；$ {\sigma _s} = 8{\mu _0}/r_n^2 $为平滑颈部的静流阻率。若$ \varepsilon = 0 $时，式(7)和式(8)则为平滑颈部的弯曲度和静流阻率。颈部的声阻抗表示为^[13]：

${Z_n^* = j\omega {\rho _0}{l_1} \left\{ {\left. {{\alpha _\infty } + \frac{{{\nu _0}}}{{j\omega {q_0}}} \left[ {1 - \chi + \chi \sqrt {1 + \frac{{j\omega }}{{{\nu _0}}}{{\left( {\frac{{8{\alpha _\infty }{q_0}}}{{3\Lambda }}} \right)}^2}} } \right]} \right\}}。\right.}$

(9)

式中：$ {\nu _0} = {\mu _0}/{\rho _0} $为流体的运动粘度；$ \mu_0 = 1.01 \times 10^{-3}\ \mathrm{Pa \cdot s} $为流体的动力粘度；$ \chi = 3/4 $为颈部的粗糙扭曲度；$ {q_0} = {\mu _0}/{\sigma _r} $为在颈部流动的流体粘性渗透率；$ \Lambda = \sqrt {8{\mu _0}{\alpha _\infty }/{\sigma _r}} $为流体的粘性特征长度。若考虑颈部的末端效应，则颈部的声阻抗修正为：

$ {Z_n} = Z_n^* + \frac{{2\sqrt 2 {\mu _0}\eta }}{{{r_i}}} + 1.7\omega {\rho _0}{r_i}。$

(10)

式中：$ \eta = {r_i}\sqrt {\omega {\rho _0}/{\mu _0}} $为颈部的起始段和末端半径；$ {r_i} = {r_n}(1 + 2\varepsilon ) $为颈部末端半径和粘性边界层厚度之比。

传统的赫姆霍兹结构颈部长度受结构的限制，本文将颈部的长度进行弯折以实现更低频的高效吸声，其颈部的声阻抗和水腔的声阻抗将分别修正为:

$ {Z_{nb}} = {Z_b} + {Z_p} ，$

(11)

$ {Z_{wb}} = - j{S_c}{\rho _0}c_0^2/(\omega V_w^*) 。$

(12)

式中：$ {Z_b} $为颈部弯折通道的声阻抗，$ {Z_p} $为颈部的声阻抗，当颈部为光滑平面时$ \varepsilon = 0 $，$ {\alpha _\infty } = 1 $。由于引进弯折颈部,水腔的体积修正为$ V_w^* = {S_w}(h - {t_3}) - {S_n}({l_2} + {l_2} + {l_n} - {t_1}) $，颈部的声阻抗修正为：

$ \begin{split} Z_p^* = &j\omega {\rho _0}({l_1} + {l_2})\times \\ &\left\{ {\left. {{\alpha _\infty } + \frac{{{\nu _0}}}{{j\omega {q_0}}}\left[ {1 - \chi + \chi \sqrt {1 + \frac{{j\omega }}{{{\nu _0}}}{{\left(\frac{{8{\alpha _\infty }{q_0}}}{{3\Lambda }}\right)}^2}} } \right]} \right\}} \right. ，\end{split}$

(13)

$ Z_b=j\omega\rho_0l_r\left[\alpha_{\infty b}+\frac{\nu_0}{j\omega q_b}\sqrt{1+\frac{j\omega}{\nu_0}\left(\frac{8\alpha_{\infty b}q_b}{3\Lambda_b}\right)^2}\right]。$

(14)

弯折通道为光滑表面，弯折通道的弯曲度为$ {\alpha _{\infty b}} = 1 $，流体流过光滑弯折通道的粘性渗透率为$ {q_b} = {\mu _0}/{\sigma _s} $，粘性特征长度为$ {\Lambda _b} = \sqrt {8{\mu _0}{\alpha _{\infty b}}/{\sigma _s}} $，若考虑颈部的末端效应，则内嵌颈部的声阻抗修正为：

$ Z_p=Z_p^*+\frac{2\sqrt{2}\mu_0\eta}{r_i}+1.7\omega\rho_0r_i。$

(15)

谐振腔的声阻抗修正为：

$ Z_{cb}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Z_p}+\displaystyle\frac{1}{Z_{wb}}}。$

(16)

该超表面的表面声阻抗比表示为：

$ Z_{ps}=Z/Z_0=\frac{\xi(Z_{cb}+Z_{nb}/\varphi)}{Z_0}。$

(17)

根据复平面频率分析法和上述理论模型推导得到3种超表面单元的几何参数分别为：$ H = 50\ {\text{mm}} $，$ h = 48\ {\text{mm}} $，$ a = 20\ {\text{mm}} $，$ {t_1} = 1\ {\text{mm}} $，$ {t_2} = 1\ {\text{mm}} $，$ {t_3} = 9\ {\text{mm}} $，$ {t_n} = 0.045\ {\text{mm}} $，$ {r_n} = 2.2\ {\text{mm}} $，$ {l_1} = 28\ {\text{mm}} $，$ {l_2} = 25\ {\text{mm}} $，$ r = 3.5\ {\text{mm}} $，$ \varepsilon = 0.2 $，$ \beta = 2{\text{π}} $。采用理论模型计算得到对应超表面单元的吸声系数。

从图2(a)中可以得到，弯折粗糙颈部超表面的反射系数的对数的零点无限接近于频率实轴，且零点对应的频率为151 Hz，这说明了该超表面单元在频率为151 Hz处接近临界损耗状态，实现了准完美吸声。图2(b)中光滑颈部的超表面单元在230 Hz处吸声峰值为0.9606，高效吸声系数的频率带宽为80 Hz，粗糙颈部的超表面单元在215 Hz处吸声峰值为0.9802，高效吸声系数的频率带宽为76 Hz，弯折粗糙颈部的超表面单元在151 Hz处吸声峰值为0.9976，高效吸声带宽的频率范围为46 Hz，引入粗糙颈部有效提高超表面单元的吸声系数，弯折颈部，增加颈部有效长度，获得了更低频的高效超表面单元。

1.3 有限元仿真

为了探究所提出的声学超表面单元的吸声机理，本文基于COMSOL6.2有限元仿真软件对声学超表面进行有限元建模，图3(a)采用压力声学模块模拟入射场，热粘性声学模块模拟水域，固体力学模块模拟橡胶涂层域，蜂窝壁为刚性结构。图3(b)为弯折的内嵌颈部超表面单元在吸声峰值处所对应的声压场，箭头为速度场分布图，图3(c)为理论和仿真吸声系数曲线对比图。

从图3(b)中可以看到声能量进入内嵌孔洞后，孔洞的半径较小，热粘损耗效应较强，使得部分入射能量损耗，剩余声能量在孔洞末端位置处完成抵消，实现完美吸声。从图3(c)中可以看到，理论和仿真计算的吸声系数曲线基本一致，验证了理论模型的准确性。

2 几何参数对声学超表面吸声性能的影响

为满足实际应用场景中声学超表面工作频率的可调性需求，采用控制单一变量的方法，改变任意一个几何参数，以获得不同频率下的完美吸声效果。本文将对声学超表面的a、t₃、l₂、r_n、$ \varepsilon $和$ \beta $等6个灵敏性较高的几何参数进行分析，改变其中任一几何参数，其他的几何参数均和图2(b)中完美超表面单元参数保持一致。

由图4(a)可知，随着超表面单元的六边形边长a增大，腔体的等效声容变大，等效声阻抗变大，在声学超表面的边长a为20 mm时，吸声系数为0.9976，超表面单元处于临界耦合状态，声学超表面的六边形边长a从20 mm增加到40 mm，超表面单元从临界耦合状态向过阻状态转移，吸声峰值从0.9976减小至0.8107，吸声峰值对应的频率从151 Hz向低频方向移动到87 Hz。

由图4(b)可知，当橡胶涂层的厚度t₃为9 mm时，声学超表面单元接近于临界耦合状态，橡胶涂层的厚度t₃从9 mm减小到1 mm，声损耗作用削弱，超表面单元从临界耦合状向着欠阻状态转变，吸声峰值从0.9976减小至0.9558，峰值对应的频率向高频方向移动。

由图4(c)可知，当颈部弯折后的有效长度l₂从14 mm增加到20 mm和26 mm，声学超表面的等效声阻抗变化较小，吸声峰值分别为0.9991和0.9972，峰值对应的频率向着低频方向移动为157 Hz和165 Hz，当颈部弯折后的有效长度l₂从14 mm减小至8 mm和2 mm时，等效声阻抗无明显变化，吸声峰值分别为0.9992和0.9961，峰值对应的频率向着高频方向移动。

由图4(d)可知，当颈部有效半径r_n为2.2 mm时，吸声峰值为0.9969，对应的频率为152 Hz，声学超表面处于临界耦合状态，随着颈部的半径r_n从2.2 mm减小至1 mm，颈部的等效阻抗增大，吸声从临界耦合状态转变为过阻状态，吸声峰值从0.9969减小至0.7395，峰值对应的频率从152 Hz移动到67 Hz。

由图4(e)可知，当颈部的相对粗糙度$ \varepsilon $为0.08时，声学超表面在157 Hz实现了0.9997的完美吸声，超表面单元处于临界耦合状态，随着颈部的相对粗糙度$ \varepsilon $从0.08增加至0.4，颈部的等效声阻抗增加，超表面单元从临界耦合状态变为过阻状态，吸声峰值从0.9997减小0.8598，峰值对应的频率从157 Hz向着低频方向移动到127 Hz。

由图4(f)可知，当颈部的相对波数β为$ 1.9{{\text{π}}} $时，声学超表面在180 Hz的吸声峰值为0.9985，超表面单元为临界耦合状态，当颈部的相对波数从$ 1.9{\text{π}} $减小到$ 1.8{\text{π}} $，颈部的等效声阻抗减小，超表面单元从临界耦合状态变为欠阻状态，吸声峰值从0.9985减小至0.9934，峰值对应的频率从180 Hz向着高频移动到197Hz。当颈部的相对波数β从$ 1.9{\text{π}} $增加到$ 2.2{\text{π}} $，颈部的等效声阻抗增加，超表面单元从临界耦合状态变为过阻状态，吸声峰值从0.9985减小至0.8660，峰值对应的频率从180 Hz移动到75 Hz。

3 复合宽带声学超表面设计和吸声机理分析

为了扩大吸声带宽，满足实际工程应用中的宽带声学性能，本文由4个超表面单元耦合形成的复合声学超表面结构，4个超表面单元的几何参数如表1所示。该复合声学超表面结构的声阻抗应该表示为：

$ Z_{\mathrm{total}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Z_{s1}}+\displaystyle\frac{1}{Z_{s2}}+\displaystyle\frac{1}{Z_{s3}}+\displaystyle\frac{1}{Z_{s4}}}。$

(18)

从而得到宽带超表面单元的吸声系数和反射系数分别为：

$ \alpha\mathrm{_{totol}}=1-|r\mathrm{_{totol}}|^2\ ，\ r\mathrm{_{totol}}=\frac{Z\mathrm{_{totol}}-1}{Z\mathrm{_{totol}}+1}。$

(19)

联立方程得到表1中4个单元耦合的复合声学超表面结构的吸声系数曲线，如图5(a)所示，其中插图为复合声学超表面的结构图。引入复频率分析法得到复合吸声结构的零极点分布如图5(b)所示。

从图5(a)看到，复合结构在57～232 Hz内实现了吸声系数大于0.5的有效吸声，在75～232 Hz频率范围内实现了吸声系数大于0.8的高效吸声，且吸声带宽达126 Hz。其中4个单元耦合作用使得复合声学超材料的峰值相对于4个独立超表面单元所对应的峰值产生了一定的偏移。图5 (b)出现了4对零极点，4个零点均分布在频率实轴的正上方，说明4个超表面单元处于欠损耗状态，形成弱共振，整个吸声结构仍然具有准完美吸声的吸声性能。

4 结　语

本文提出的内嵌粗糙弯曲颈部的赫姆霍兹谐振器，可实现水下低频宽带，从理论和仿真2个角度对吸声单元进行了建模和分析。在相同的尺寸下，该超表面单元的吸声峰值对应的频率降低到151 Hz，能够实现更低频的高效吸声。通过参数分析和结构优化，提出了将4个超表面单元平行排列形成复合声学超表面，复合结构的厚度为50 mm，实现了75～201 Hz的频率范围内，带宽为126 Hz的低频宽带高效吸声。本文对内嵌颈部进行结构优化，引入粗糙颈部和弯折颈部，在保证吸声峰值向着低频移动的同时，峰值的吸声系数接近准完美吸声，实现了小尺寸控制大波长的水下低频宽带高效吸声。本文研究对水声超材料的设计和水下低频噪声控制有重要意义。