0 引　言

被动条件下的目标跟踪大多数为纯方位目标跟踪，使用的相关算法通常设定目标恒速恒向航行的假设条件，公开文献中大多数研究也都是集中在目标匀速直航的场景下^[1]。这种设定在大多数情况下是合理的。但当目标进入敏感海区时，为摆脱可能的跟踪，目标通常会用机动方式进行航行。此时如何继续对目标进行隐蔽跟踪成为研究者关注的问题。解决此种问题的思路可以先对目标进行机动辨识，当辨识到目标机动时，估计目标机动时刻，重新对相关算法滤波器初始化，继续对机动后的目标运动参数进行解算，这样就可以对机动目标进行连续跟踪。在这种解决方式中，对目标的机动辨识成为关键，如何迅速、精确地辨识到目标机动并给出其时刻直接决定相关算法的跟踪性能^{[2 − 7]}。

统计学中的变点检测是一个热门的研究方向，广泛应用于工业质量控制、医学诊断、信号跟踪等各个领域^{[8 − 9]}。变点也成为异常点或孤立点，即模型中某个或某些量突然变化的点，这种变化反应事物的某种质的变化。变异数分析方法是变点检测领域的一种重要的方法，该方法主要用于2个或2个以上样本均数差别显著性检验，在工程实践中有着广泛的应用^{[10 − 12]}。

经过对纯方位目标机动前后的相关特征进行研究发现，当目标机动时，其方位序列的回归系数的变化规律会发生变化。利用这种变化，将纯方位目标机动辨识问题转变为统计学中的变点检测问题。然后引入数理统计的变异数分析方法来解决纯方位目标机动辨识问题，为传统的纯方位机动辨识提供新的思路。

针对纯方位目标机动前后方位序列的回归系数规律发生变化的特点，结合变异数分析的原理，将统计学中用于变点检测的变异数分析方法引入到纯方位目标机动辨识中，通过理论分析和仿真计算验证了该方法对纯方位目标机动检测的可行性与有效性，为纯方位目标机动辨识提供一种新的技术途径。

1 理论分析

在平面直角坐标系设定纯方位目标跟踪相对态势如图1所示，观测平台从初始位置$ \left( {{x_{w0}},{y_{w0}}} \right) $开始以速度$ {{{V}}_{{w}}}\left( {{t}} \right) $、航向$ {{{C}}_{{w}}}\left( {{t}} \right) $运动，目标从$ \left( {{{{x}}_{{{m}}0}},{{{y}}_{{{m}}0}}} \right) $开始以速度$ {{{V}}_{{m}}} $、航向$ {{{C}}_{{m}}} $匀速直线运动，$ \left( {{{{x}}_{{{mi}}}},{{{y}}_{{{mi}}}}} \right) $为$ {{i}} $时刻目标的坐标，$ {{{B}}_0} $为初始量测方位，$ {{{B}}_{{i}}} $为$ {{i}} $时刻的量测方位。

由图1中的相对态势可得目标运动方程如下：

$ {D_0} \sin {B_0} + ({t_j} - {t_0}){V_m} \sin {C_m} = \int_{{t_0}}^{{t _j}} {{V_w} \sin {C_w}{\mathrm{d}}t + {D _j} \sin {B_j}}，$

(1)

$ {D_0} \cos {B_0} + ({t _j} - {t_0}){V _m} \cos {C _m} = \int_{{t_0}}^{{t _j}} {{V_w} \cos {C_w}{\mathrm{d}}t + {D _j}\cos {B _j}}。$

(2)

式中：$ {{{D}}_0} $为初始距离；$ {{{B}}_0} $为初始量测方位；$ {{{V}}_{{m}}} $为目标速度；$ {{{C}}_{{m}}} $为目标航向；$ {{{V}}_{{w}}} $为观测平台速度；$ {{{C}}_{{w}}} $为观测平台航向；$ {{{t}}_0} $为开始时刻；$ {{{t}}_{{i}}} $为当前时刻。

对式(1)和式(2)进行变换、求导可得方位序列回归系数的理论表达式如下，

$ {K_j} = \frac{{{V_{wj}}\sin ({B_j} - {C_{wj}}) - {V_{mj}}\sin ({B_j} - {C_{mj}})}}{{{D_j}}}。$

(3)

式中：$ {{{K}}_{{j}}} $为$ {{j}} $时刻方位序列的回归系数；$ {{{V}}_{{w}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻观测平台的速度；$ {{{C}}_{{w}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻观测平台的航向；$ {{{B}}_{{j}}} $为$ {{j}} $时刻的量测方位；$ {{{V}}_{{m}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻目标的速度；$ {{{C}}_{{m}}}_{{j}} $为$ {{j}} $时刻目标的航向；$ {{{D}}_{{j}}} $为$ {{j}} $时刻的目标的速度。

由式(3)可知当目标或观测平台的航向或航速发生变化时，即当目标或观测平台发生机动时，方位序列的回归系数变化规律会相应的发生变化。由于观测平台发生机动时可以被获知，则可通过检测目标方位序列的回归系数变化规律的改变来判定目标是否机动，将方位序列的回归系数作为纯方位目标机动辨识的检测量。

为直观地展示目标方位序列的回归系数变化规律适用于作为纯方位目标机动辨识的检测量，不失一般性的设定一组态势，观察目标机动时，检测量的变化。

设定目标初始距离为30 km，航速为24 kn，航向为30°；在第300 s时，目标发生转向机动，航向增加90°，观察方位序列与方位序列的回归系数变化规律。

利用计算机仿真可得该组态势的方位序列及方位序列的回归系数的变化如图2～图3所示。

由图2可知，当目标机动前，方位序列缓慢增加；当目标机动时，方位序列出现平缓的变化；当目标机动后，方位序列缓慢在减小。由图3可知，当目标机动前，方位序列回归系数基本维持在某一定值不变；当目标机动时，方位序列回归系数出现阶跃式的剧烈变化；当目标机动后，方位序列回归系数在基本维持在某一定值不变。由此可知，当纯方位目标发生机动时，方位序列回归系数的变化更加明显，因此把方位序列回归系数当做检测量相较于方位序列更易于检测。

2 变异数分析原理

变异数分析，又称方差齐性检验，用于2个及2个以上样本均数差别的显著性检验，其基本思想是：通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定变量对研究结果影响力的大小。通过变异数分析，分析不同的水平变量是否随结果产生了影响。在具体应用中变异数分析有单因素变异数分析和多因素变异数分析，单因素变异数分析因为只考虑单一因素对指标的影响是否显著，计算过程相对简单，操作方便，因此应用更加广泛，在这里主要介绍该种类型的变异数分析方法。单因素变异数分析实质是采用统计推断的方法，其目的是通过样本数据研究该因素的观测值在试验指标的不同水平下，其各个总体在分布上是否存在显著差异^{[11 − 12]}。

在变异数分析应用于纯方位目标机动辨识问题中，纯方位目标是否发生机动作为影响方位序列回归系数的因素，通过单因素变异数分析目标机动对方位回归系数的影响是否显著。单因素变异数分析即对成组设计的多个样本均值比较，采用完全随机设计的变异数分析，其主要步骤如下：

首先，计算3种变异及其自由度。计算试验的$ N = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^a {{n_i}} $个数据的总变异。

$ {S_T} = {\sum\limits_{i = 1}^a \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {{x_{ij}} - \overline x } \right)} ^2} {f_T} = n - 1 。$

(4)

式中：f_T为S_T的自由度。可以将S_T分解：

1）单因素A不同水平下的样本均值与总平均值间的变异，用S_A表示，叫做因素A的效应和。

2）在A_i水平下的样本均值与样本值x_ij之间的变异，用S_E表示，它是由随机误差引起的，叫做误差平方和。S_A与S_E的表达式为：

$ {S_{ A}} = {\sum\limits_{i = 1}^a \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {\overline {{x_i}} - \overline x } \right)} ^2} {f_A} = a - 1 ，$

(5)

$ {S_{ E}} = {\sum\limits_{i = 1}^a \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {{x_{ij}} - \overline {{x_i}} } \right)} ^2} {f_E} = n - a 。$

(6)

在式(5)和式(6)中，f_A、f_E分别为S_A和S_E的自由度。则有

$ \left\{\begin{array}{l} {S_T} = {S_A} + {S_E} ，\\ {f_T} = {f_A} + {f_E}。\end{array}\right. $

(7)

然后计算均方和及其F值。因素A和误差E的均方和为

$ M{S_{ A}} = {S_{ A}}/{f_A} ，$

(8)

$ M{S_{ E}} = {S_{ E}}/{f_E}，$

(9)

$ F = \frac{{M{S_A}}}{{M{S_E}}}\thicksim F({f_A},{f_E})。$

(10)

最后通过假设检验的方法来检验因素作用的显著性，实质就是检验以下假设：

原假设H₀：目标未发生机动；

备选假设H₁：目标发生机动。

选择合适的显著性水平α，对原假设进行检验。当F值越大时，说明在总方差波动中，主要来源于组间方差，这时拒绝原假设，接受备选假设；反之，如果F值越小，方差来源于随机误差，这时接受原假设，说明检验的因素对总体波动有显著影响。在一定显著水平α条件下，通过查F分布表，可以得到临界值$ {F_\alpha }({f_A},{f_E}) $，若$ F \gt {F_\alpha }({f_A},{f_E}) $，则拒绝原假设，说明目标发生机动；若$ F \lt {F_\alpha }({f_A},{f_E}) $，则接受原假设，说明目标未发生机动。

3 仿真计算与分析 3.1 方位序列回归系数的计算

设定传感器获取的一组方位序列为$ \left\{ {{B_i}} \right\} $，则其一元$ {{n}} $次回归方程可表示为：

$ {{{Y}}_{{{i}} \times 1}} = \left( {{1_{{{i}} \times 1}}{{ }}{{{X}}_{{{i}} \times {{n}}}}} \right)\left( \begin{gathered} {{{A}}_0} \\ {{{{\boldsymbol{A}}}}_{{{{\boldsymbol{n}}}} \times {\boldsymbol{1}}}} \\ \end{gathered} \right) + {{{Z}}_{{{i}} \times 1}}。$

(11)

式中：$ {{{Y}}_{{{i}} \times 1}} $为方位序列，$ {{{Y}}_{{{i}} \times 1}} = {\left[ {{{{B}}_1}{{ }}{{{B}}_2}{{ }}...{{ }}{{{B}}_{{i}}}} \right]^{\mathrm{T}}} $，$ {{{B}}_{{i}}} $为方位值，$ {{{X}}_{{{i}} \times n}} $为量测方位对应的时间序列，$ {{{X}}_{{{i}} \times {{n}}}} = {\left( {{{{t}}_{{{ij}}}}} \right)_{{{i}} \times {{n}}}} $，$ {{{t}}_{{{ij}}}} $为量测方位对应的时间；$ {{{{\boldsymbol{A}}}}_{{{{\boldsymbol{n}}}} \times {\boldsymbol{1}}}} $为回归系数矩阵，$ {{{{\boldsymbol{A}}}}_{{{{\boldsymbol{n}}}} \times {\boldsymbol{1}}}} = {\left( {{{{k}}_{{j}}}} \right)_{{{n}} \times 1}} $，$ {{{k}}_{{j}}} $为回归系数；$ {{{Z}}_{{{i}} \times 1}} $为量测方位序列对应的随机扰动误差项，$ {{{Z}}_{{{i}} \times 1}} = {\left( {{\varepsilon _{{i}}}} \right)_{{{i}} \times 1}} $，$ {\varepsilon _{{i}}} $为随机扰动项；$ {{{A}}_0} $为回归常数；$ j=1，2，\mathrm{...}，n $$ i=1，2，...，N $；$ {{N}} $为方位序列的长度；$ {{n}} $为回归方程的阶数。

可利用最小二乘法求解回归系数：

$ \mathop {{\mathrm{min}} }\limits_A {\left\| {{Y} - {\text{X}}A} \right\|^2} ，$

(12)

$ {{A}} = {\left( {{{{X}}^{\mathrm{T}}}{{X}}} \right)^{ - 1}}{{{X}}^{\mathrm{T}}}{{Y}} 。$

(13)

在计算回归系数时，可根据实际情况选择适当的阶数。当n=1时，n次回归方程变为线性回归方程，利用最小二乘法求解回归系数k₁：

$ {\mathrm{min}} {\sum\limits_{{\mathrm{j}} = 1}^{{N}} {\left( {{{{B}}_{{j}}} - {{ {{B}}}_{_{{j}}}}} \right)} ^2}，$

(14)

$ {{{k}}_1}=\frac{{\sum {\left( {{{{B}}_{{j}}} - {\overline B}} \right)\left( {{{{x}}_{{j}}} - {{\overline x}}} \right)} }}{{\sum {{{\left( {{{{x}}_{{j}}} - {{\overline x}}} \right)}^2}} }} 。$

(15)

式中：$ {{{B}}_{{j}}} $为量测方位；$ {{{{B}}_{{j}}}} $为预测方位；$ \overline {{{{B}}_{{j}}}} $为量测方位均值；$ {{{x}}_{{j}}} $为量测方位对应的时间；$ \overline {{{{x}}_{{j}}}} $为时间的均值。

3.2 仿真分析

为验证所提算法对纯方位目标机动辨识的性能，统计不同距离、不同速度、不同舷角下的虚警率以及不同机动量（航向变化量）条件下的机动辨识率、机动辨识反应时间、机动时刻估计精度等指标，其中目标机动时刻估计精度用目标机动时刻估计误差表示。

设定纯方位目标机动辨识性能的评价指标定义如下：

1）机动辨识率。每组态势在不同机动条件下仿真n次，其中m次正确辨识到目标机动，该态势的机动辨识率为$ \dfrac{ m}{ n} \times 100\text% $。

2）机动辨识反应时间。目标机动时刻为$ {{{t}}_{{m}}} $；辨识到目标机动的时刻为$ {{{t}}_{{k}}} $；机动辨识反应时间为$ \Delta {{{t}}_{{m}}} = \left| {{{{t}}_{{m}}}{{ - }}{{{t}}_{{k}}}} \right| $。对于每个态势的机动反应时间，用其均值表示，即$ {{\mathrm{E}}_{\Delta {t_m}}}=\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{{n}} {\Delta {t_m}_i} /{{n}} $。

3）机动时刻估计误差。目标机动时刻为$ t_{{m}} $，估计目标机动的时刻为$ t_{{m}} $，机动时刻估计误差为$ \Delta t = \left| { {{t_m}}-t_m} \right| $，对于每个态势的机动反应时间，用其均值表示，即$ {{{E}}_{\Delta {{t}}}}=\displaystyle\sum\limits_{{{i}} = 1}^{{n}} {\Delta {{{t}}_{{i}}}} /{{n}} $。

4）虚警率。每个态势在目标不机动的条件下仿真N次，其中M次检测到目标机动，则该态势的机动检测虚警率为$ \dfrac{ M}{ N} \times 100 \text% $。

根据变异数分析原理及3.1节中方位序列回归系数的计算方式进行仿真计算，方位序列回归系数构成样本与总体。不失一般性的设定总变异样本的数据窗口为10，将其平均分组，则可计算得到总变异S_T则自由度9，组间变异S_A的自由度为1，组内变异S_E的自由度为8，通过查F分布表可得检测阈值为14.69。利用上述参数对所提算法的正确性及适用性进行验证并考察态势、误差、机动量（航向改变量）等因素对算法性能的影响，最后再考察数据计算窗口长度对所提算法性能的影响。

设定5个典型态势组成的态势题如表1所示进行仿真计算。通过在不同量测方位误差及不同机动条件下，对态势题进行1000次仿真计算来考察所提纯方位目标机动辨识方法的适应性、虚警率及辨识率等性能影响因素。

1）虚警率

不失一般性的设定方位量测误差为0.3°。在纯方位目标不机动的条件下，利用态势题中的5个态势考察所提算法的虚警率，计算结果如表2所示。

可知，在态势题中的5个态势下，所提算法的虚警率为8.8%～9.8%，平均虚警率为9.3%，低于10%。因此针对态势题中的5个典型态势，所提算法具有较低的虚警率。

2）适应性

不失一般性的设定方位量测误差为0.3°。在纯方位目标执行不同机动量（航行改变量为60°和90°）的条件下，利用态势题中的5个态势考察所提算法的适应性，计算结果如表3所示。

可知，在量测方位误差为0.3°的条件下，随着机动量（航向改变量）的增大，设定态势题中的5个态势的机动辨识率均增大，反应时间均在2 min之内，目标机动时刻估计误差均在1 min之内。设定的各态势中的平均机动辨识率为94.73%；平均反应时间为1.457 min；平均精度为0.457 min。由此可知，所提算法在不同态势、不同转向角均具有较高的机动辨识率和较快的机动辨识反应时间以及较高的目标机动时刻估计精度，因此所提算法具有较好的适应性。

3）量测误差对所提算法的检测性能的影响

不失一般性地设定航向改变量为增加60°，考察不同态势下量测方位误差对算法机动辨识性能的影响，仿真结果如图4～图6所示。

可知，在机动量一定的条件下，随着量测方位误差的增大，设定态势题中的5个态势机动辨识率从97.6%～100%降低到19.3%～42.9%。机动辨识反应时间从1.364～1.409 min升高至1.767～1.922 min。目标机动时刻估计误差从0.364～0.409 min升高至0.767～0.922 min。由此可知，机动量一定时，随着量测方位误差的增大，在不同态势下所提算法的机动辨识率均降低、机动辨识反应时间增大、机动时刻估计精度降低。

4）机动量对所提算法的检测性能的影响，

不失一般性地设定量测方位误差为0.3°，机动量（航向改变量）为增加10°～100°，考察量测方位误差对所提算法机动辨识性能的影响，计算结果如图7～ 图9所示。

可知，在量测方位误差一定的条件下，随着目标机动量从10°增大至100°，设定态势题中的5个态势的机动辨识率从9.5%～10.3%升高到97.6%～99.8%。机动辨识反应时间从2.851～3.076 min降低至1.433～1.512 min。目标机动时刻估计误差从2.076～2.851 min降低至0.433～0.512 min。由此可知，量测方位误差一定时，随着机动量的增大，在不同态势下所提算法的机动辨识率均升高、机动辨识反应时间降低、机动时刻估计精度升高。

5）算法窗口长度对检测性能的影响

不失一般性地设置量测方位误差为0.3°，且以态势1作为测试态势，考察所提算法数据计算窗口的长度对检测性能的影响。采用平均分组的方式将总样本分成2组，分别计算各组样本及总样本的自由度。通过计算的自由度进行查表可知不同窗口长度对应的检测阈值如表4所示。

以表4中的检测阈值为标准，考察不同窗口长度对所提算法机动辨识率和虚警率的影响。仿真计算结果如图10～图11所示。

可知，随着窗口长度从4增加至24，机动辨识率从48.8%升高至100%；机动辨识虚警率从35.7%降低至0%。其中当窗口长度为6时，机动辨识率升高至为89.2%，但此时的虚警率为32.6%；当窗口长度为10时，机动辨识率为92.7%，虚警率降低至8.8%。由此可知，随着算法窗口长度的增加，机动辨识率升高，机动辨识虚警率降低，当窗口长度为10时，具有较高的机动辨识率和较低的机动辨识虚警率。但由算法原理可知随着窗口长度的增加，计算量也随之增加，因此在实际应用时为使算法获得最佳机动辨识效果，应综合考虑算法性能与计算量等因素来确定窗口长度。

4 结　语

本文从工程实际需求出发，提出一种基于方位序列回归系数变异数分析的纯方位目标机动辨识算法，为工程应用提供一种新的技术途径。研究了不同态势、不同量测方位误差、不同目标机动量及不同算法计算窗口长度下所提算法的虚警率、机动辨识率、机动辨识反应时间及机动时刻估计精度等性能。仿真计算结果表明，在测试态势下，所提算法对纯方位目标机动具有较好的适用性且具有较好的辨识性能。通过进一步地仿真分析可知所提算法的虚警率、机动辨识率、机动辨识反应时间及机动时刻估计精度等性能随着目标机动量（10°～100°）的增加而升高，随着量测方位误差（0.1°～1°）的增大而降低，因此在工程应用中降低目标量测方位误差，提高目标量测方位估计精度有利于提高所提算法的机动辨识性能。后续将继续优化算法，使其在量测方位误差较大时具有较好的性能，进而提高隐蔽跟踪条件下相关跟踪算法的适用性。