0 引　言

浅海波导简正波是描述声场的一种重要方法。根据简正波理论，浅海声场可表示为一系列简正波的叠加，每阶简正波都包含丰富的目标和环境信息，通过简正波模态分离提取单号简正波是解决目标距离估计、目标深度参数获取、海洋环境反演等重要水声问题前提。因此，简正波模态分离在军事和民用领域均具有重要意义。

简正波模态信息提取可利用覆盖整个水体深度的垂直阵，对接收数据矩阵进行奇异值分解的方法去提取简正波的垂直模态函数从而进行模态分离和信息提取。Neilsen等^{[1 - 2]}利用垂直线列阵从单频信号中提取了简正波的垂直模态函数，并在交叉光谱密度矩阵（CSDM）上进行奇异值分解，得到了简正波的本征向量和本征值，杨怡青^[3]基于快速迭代方法利用短垂直阵分离了各阶简正波，提高了声源定位的精度的同时减少了垂直阵的长度，在青岛海域的实测实验验证了该方法的有效性。然而，垂直阵这种方式在实际操作中很难实现，阵列受实际环境影响，很难保持垂直，对垂直模态函数的估计也尤为困难。利用时频分析分离简正波是主要方法之一，时频分析方法可以正向利用简正波的频散特征从而在时频域内分离各阶简正波，且仅需单个水听器即可完成。传统的时频分析方法包括短时傅里叶变换、希尔伯特黄变换、压缩小波变换等。Yang^{[4 - 5]}基于简正波理论，利用时频分析从接收信号中提取不同模态声信号，提出了模态匹配定位法。张德明等^[6]给出了一种自适应时频分析方法，通过实验对海水深度、沉积层深度、声速和密度等参数给出了可靠的反演结果。李宁等^[7]通过对时频分析分布图进行哈希技术与匹配，提出了一种基于时频分析的水下目标深度距离估计方法。但传统时频分析的方法受制于其自身分辨率的限制，时域和频域分辨率的乘积为一定值而相互制约，因此在此传统时频分析方法的基础之上，Warping变换这一概念被引入并被学者们广泛研究。LU等^[8]分析了海洋波导中的频散特性，验证了Warping变换分离频散曲线的可行性。牛海强等^[9]给出了适用于典型浅海波导的对应的Warping算子，更加适用于浅海波导的简正模态的分离。鹿力成等^[10]基于波导不变量，给出了一种具有普遍意义的Warping变换，数值仿真和实际海域均验证了此方法提取频散曲线的可行性。梁玉权等^[11]在Warping变换的基础之上，提出了一种水平阵列信号压缩感知分离简正波的方法。基于波导不变量估计的消频散变换也是简正波分离的热点方法之一，其本质依旧是一种时频分析方法，GAO等^[12]给出了一种浅海波导消频散变换的处理方法，该方法可同时抵消多阶简正波的频散，使每阶模态均得到了增强，在仿真和海洋实验数据验证中均可将简正波各阶模态分离。随后，郭晓乐等^[13]提出了一种基于波导不变量对接收信号消频散处理的方法，并通过模态匹配实现了目标深度估计。F-K变换广泛应用于地声测量和探伤领域，祝捍皓等^[14]将F-K变换运用于水下领域，给出了一种分离近场简正波的方法，并通过水池实验进行了验证，方法通过F-K变换解决了近场信号模态混叠，但其在频域波-数域内得到的依旧是瞬态信号的各阶简正波，未对接收信号进行时间修正，当阵列接收信号为连续信号时，通过该方法处理连续信号依然存在模态混叠。魏尚飞等^[15]同样利用F-K变换分离了脉冲瞬态信号的各阶简正波，并实现了声源深度估计。上述时频分析、F-K变换等方法所处理的接收信号均为宽带脉冲瞬态信号，而当接收信号为连续信号时，均存在不同程度的模态混叠，各阶模态难以清晰有效分离，限制了对连续信号各阶模态信息的提取。

本文以简正波理论为基础，讨论了简正波模型的模态分布以及频散特性，对比分析了时频分析方法处理连续声信号的局限性，提出了一种基于F-K变换的对连续声信号各阶模态进行分离的方法。

1 简正波频散特性及时频分析方法局限性 1.1 浅海波导简正波的频散特性

根据简正波理论，浅海波导声场可表示为各阶简正波模态的叠加：

$ p(r,z)\simeq \frac{j}{\rho \sqrt{8{\text π} }}{e}^{-j\rho /4}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }} {\psi }_{n}\left({z}_{s}\right){\psi }_{n}\left(z\right)\frac{{e}^{j{k}_{rm}r}}{\sqrt{{k}_{rm}r}}。$

(1)

式中：$ p $为声压；$ \rho $为波导密度；$ m $为简正波阶数；$ {\psi }_{n} $为简正波模态深度函数；$ {z}_{s} $为声源深度；$ z $为接收深度；$ {k}_{rm} $为第$ m $阶简正波的水平波数；$ r $为声源到接收点的水平距离。在Pekeris波导条件下，各阶模态分布变化如图1所示。

各阶模态的相速度$ {c_{pn}}(\omega ) $和群速度$ {c_{gn}}(\omega ) $可表示为：

$ {c}_{pm}\left(\omega \right)=\frac{\omega }{{k}_{rm}\left(\omega \right)}，$

(2)

$ {c}_{gm}\left(\omega \right)=\frac{d\omega }{d{k}_{rm}\left(\omega \right)}。$

(3)

式中：$ {k}_{rm}\left(\omega \right) $为频率为$ \omega $信号第$ m $阶模态的水平波数；相速度$ {c}_{pm}\left(\omega \right) $为第$ m $阶模态中某一特定相位的水平速度；$ {c}_{gm}\left(\omega \right) $为第$ m $阶模态的群速度。Pekeris波导中简正波各阶模态相速度和群速度如图2所示。

由式(2)和式(3)可知，相速度和群速度均体现了频率与波数之间的关系，这为后续F-K变换应用于水下简正波模态分离提供了思路。同频率的各阶模态，阶数越高，群速度越小，在传播过程中各阶模态会由于群速度不同逐渐分离开来，导致模间频散。同阶模态，频率越高，群速度越大，从而发生模内频散。

1.2 时频分析方法的局限

根据简正波的频散效应，可以通过时频分析方法将接收信号表示在时频域，从而正向利用频散特性，实现简正波各阶模态的分离。但时频分析方法具有自身局限性，且在处理连续信号时存在模态混叠。Warping变换本质上是对瞬态脉冲信号的相位进行处理，当其作用于连续信号时，依旧不能避免模态混叠。同样，消频散变换虽可同时抵消多个模态信号的模内频散，但随着信号持续时间的增长，模态依旧会出现混叠。因此，无论是短时傅里叶变换、希尔伯特黄变换、压缩小波变换等传统的时频分析方法或Warping变换、消频散变换等优秀时频分析方法，在处理连续信号时都难以消除信号在时频域的模态混叠，存在局限性。

2 连续声信号简正波模态分离方法

为解决连续声信号在时频域内的模态混叠问题，提出一种基于水听器阵列的目标方位估计和F-K变换相结合的连续声信号模态分离方法。由式(2)和式(3)可知，简正波各阶模态群速度和相速度均与信号频率与波数有关，因此简正波的频散特性与简正波各阶模态的频率和波数也紧密相关。利用水平线列阵接收连续信号，可将接收信号视为一个时空域函数，线列阵中每一个阵元接收信号均可看作一个时间函数，而在同一时刻上，各阵元接收数据则构成了一个空间函数。对水平线列阵接收的时间-距离二维数据分别沿时间方向和空间方向做傅里叶变换，便可将信号表示在频率-波数域从而消除时域延拓而带来的模态混叠，实现对声信号各阶简正波的分离。在工程实现中阵列需在时间采样和距离采样方向上均满足快速维傅里叶变换的要求，需根据目标声源频率特性设置阵元个数和阵元间距。

从时域到频域需满足分辨率：

$ {\mathrm{d}}t \leqslant \frac{1}{2f_{\max}}。$

(4)

从空间域到波数域需满足分辨率：

$ {\mathrm{d}}r\leqslant \frac{\lambda_{\min}}{2}。$

(5)

式中：f_max为信号频率上限，λ_min为信号最小波长。在声源深度和接收深度一定时，对线列阵各阵元同时采集的多道声压信号$ \mathit{p}\left(\mathit{r},\mathit{z},\mathit{t}\right) $进行F-K变换，再对其取模得到频率-波数域的声压：

$ \begin{split} & P_fk_rm(k_rm,z,f)=\left|\int_r^{ }\int_t^{ }p\left(r,z,t\right)\right.\\& \left.\mathrm\mathit{\mathrm{exp}} \left(-2{\text π} {\mathrm{i}}\left(\mathit{ft}-\mathit{k}_{\mathit{r}}\mathit{mr}\right)\right)\mathrm{d}t\mathrm{d}r\right|。\end{split} $

(6)

真实海洋环境模型种，水平线列阵各阵元接收信号数据时是存在时延而并非同时刻的，因此在进行F-K变换前，需要先行对二维信号矩阵进行时间修正。如图3所示，远场条件下各阵元接收信号的时延与目标方位有关，因此需利用阵列先行对目标进行方位估计计算时延，对线列阵每一阵元接收信号时间进行修正。

$ p(r,z,t_r) = p\left( r,z,t+\frac{nd \sin \theta}{c_z} \right) 。$

(7)

式中：n为水听器号数；c_z为线列阵所处深度的声速；$ \theta$为目标方位角；d为阵元间间隔；得到修正后的频率-波数域的声压为：

$ \begin{split} & P_f k_r m (k_r m, z,f)= \\ & \left|\int_r \int_t p\left(r,z,t+ \frac{nd \sin \theta}{c_z}\right){\rm exp} (-2{\text π} i(ft-k_r mr)){\mathrm{d}}t{\mathrm{d}}r\right| 。\end{split}$

(8)

由式(2)和式(8)可知，$ p(r,z) $的相位变化量主要由水平波数决定，经时间修正和F-K变换后，连续信号在时间和距离方向上均被积分。简正波不同阶模态水平波数不同，因此脉冲瞬态信号和连续声信号的各阶模态，经修正后的F-K变换均可在频率-波数域中分离开来，域中的各曲线即对应着各阶模态，方法流程如图4所示。

3 仿真实验与分析 3.1 Pekeris波导仿真

仿真环境模型如图5所示，水深50 m，水体密度为$ \rho =1.0\;{\mathrm{kg}}/{\mathrm{cm}}^{3} $，水下声速为1500 m/s，海底为刚性硬底，海洋顶部以上为真空。仿真信号方位角为45°，信号的中心频率为150 Hz，信号频率为100～200 Hz，声源深度为25 m，水平阵列放置在海底，第一个阵元距离声源为20 km，阵元数设置为150个，阵元间隔为2 m。

在上述仿真海洋环境的基础上，分别用单水听器（线列阵第一个阵元视为单水听器）和海底线列阵接收不同声源信号进行分析，因浅海波导条件下高阶模态对声场计算结果影响较小，取接收信号的前四阶模态进行仿真。实验结果如图6～图7所示。

如图6(a)、图6(b)所示，当接收信号为瞬态脉冲信号时，经短时傅里叶变换后信号的各阶模态在可以在时频域内被分离，而在图6(c)、图6(d)中，当接收信号为连续信号时，信号在时域上发生延拓，各阶模态在时频域上发生模态混叠，单号简正波不能被分离出来。

如图7(a)、图7(b)所示，当声源辐射信号为瞬态脉冲信号时，经Warping变换后信号的各阶模态在时频域内被压缩为近似于单频信号，模态分离较短时傅里叶变换更加清晰，而在图7(c)、图7(d)中，当声源辐射信号为连续信号时，经Warping变换后的各阶模态依旧在时频域上发生严重的模态混叠，单号简正波同样不能被分离出来。

如图8所示，无论声源辐射信号为瞬态脉冲信号还是连续信号，经本文提出的方法处理变换后，信号的各阶模态均可以在频率-波数域内被清晰的分离。

3.2 不同时长接收信号仿真实验 3.2.1 浅海声速恒定波导仿真

仿真环境模型如图9所示，海底沉积层密度ρ = 1.8 kg/cm³，海底声速为1800 m/s，信噪比SNR = 5，海洋顶部以上为真空，海底为声学弹性半空间，其余条件与3.1节中一致。

在上述仿真海洋环境的基础上，声源持续时间分别为$ t=0.1\ \mathrm{s}、t=1\ \mathrm{s}、t=5\ \mathrm{s} $和$ t=10\ \mathrm{s} $，对接收信号进行短时傅里叶变换将其表示在时频域内，实验结果如图10所示。

当声源为持续时间$ t=0.1\ \mathrm{s} $时的脉冲瞬态信号时，经短时傅里叶变换后信号的各阶模态还可以在时频域内被分离出来，而当声源持续时间$ t=1\ \mathrm{s} $时，模态已经发生混叠，$ t=5\ \mathrm{s} $和$ t=10\ \mathrm{s} $时中，模态混叠更为严重，难以仅从时频域上对单号简正波进行分离。

由图11可得，声源持续时间$ t=0.1\ \mathrm{s}、t=1\mathrm{\ s}、t=5\ \mathrm{s} $和$ t=10\ \mathrm{s} $的接收信号，经本文方法变换到频率-波数域中均为4条曲线，分别对应着前四阶模态，因此无论是瞬态信号还是连续信号，在声速恒定波导条件下，方法可消除模态混叠，在频率-波数域实现各阶简正波模态分离。

为了探索本方法对连续信号模态分离的稳定性，在信噪比−15～15 dB 这一区间内以 1 dB为间隔，每一间隔点对$ t=10\ \mathrm{s} $的信号进行 100 次仿真实验。模态分离失败记值为0，分离成功计值为1，取100次实验结果平均值定义为分离成功率，成功率大于90%视为稳定分离，实验结果如图12所示。

可知，方法受信噪比影响较大，在声速恒定波导信噪比较小时成功率较低，当信噪比为3 dB，方法分离成功率趋于90%，当信噪比为5 dB时成功率达到94%，且随着信噪比的提高，模态分离成功率也随之提高。

3.2.2 青岛海域实测浅海波导仿真

青岛海域声速剖面实测数据如图13所示，在海深15～42 m处存在声速跃层，海底衰减为0.2 dB/λ，海底声速为1600 m/s，其他参数与3.2.1节波导参数一致。

同样在上述仿真海洋环境的条件下，用单水听器接收声源信号，声源持续时间分别为t=0.1 s、t=1 s、t=5 s和t=10 s，对接收信号进行短时傅里叶变换将其表示在时频域内，实验结果如图14所示。

可知，在实测浅海海洋波导条件下，信号的第3、第4阶模态经远场传播后相比于声速恒定波导中有着明显的衰减，接收信号经短时傅里叶变换后在时频域内各阶简正波均无法分离，并随着信号在时域的延拓混叠越严重。

与3.2.1节相同，依旧使用海底水平线列阵对声源信号进行接收，并取信号的前四阶模态进行仿真，结果如图15所示。

可以看出，在实测浅海波导条件下，用海底线列阵接收的二维接收信号矩阵经本文方法处理后依旧可在频率-波数域内实现各阶简正波模态分离，且随着时间的延长，模态在频率-波数域分离的更加清晰。

同3.2.1节相同，在实测浅海波导条件下方法稳定性实验结果如图16所示。

在青岛海域浅海实测波导信噪比大于5 dB条件下，方法分离成功率大于92%，方法依然随着信噪比的提高而趋于稳定。

4 结　语

1）时频分析具有局限性，除其自身分辨率局限性外，无论是传统时频分析法还是Warping变换等改进时频分析方法，都难以分离连续声信号的各阶简正波。

2）与时频分析方法相比，本文提出的方法能够分离连续声信号的各阶简正波，且方法对脉冲瞬态信号在满足分辨率条件下同样适用，且方法在满足一定信噪比的条件下具有一定的稳定性。

3）仿真结果表明，在浅海声速恒定波导及浅海海域实测波导信噪比大于5 dB的条件下，方法能够有效的化解由频散特性和时域延拓带来的模态混叠，利用满足分辨率条件的水平线列阵，在信号持续10 s内的条件下，能够较好地分离100～200 Hz宽带声信号的各阶简正波。