0 引　言

低频噪声控制一直是当前噪声领域普遍关注的热点和难点。多孔材料和微穿孔板等传统声学材料和结构可以实现中高频宽带高效声吸收，而低频区域的吸声性能较差，主要因为这些材料受质量作用定律和因果律限制，难以实现小尺寸控制大波长，而大尺寸吸隔声结构极大限制了其在实际工程上的应用^{[1 − 2]}。以薄膜^{[3 − 4]}和赫姆霍兹谐振器^[5]为主体的声学超材料虽在低频吸声上表现出了极大优势，但受局域共振机理的影响，此类声学超材料大多表现为单峰特性或者多个离散窄带的吸声特性，难以实现低频宽带的声吸收。

近年来，盘绕空间概念和迷宫结构实现了将超材料的物理厚度减小到深度亚波长尺度^[6]。2012年，Li等^[7]首次提出了该类声学超材料的研究，随后引起了学者的广泛关注。Prasetiyo 等^[8]提出了在多孔材料中嵌入迷宫结构的声学超材料，能够有效提高多孔材料在1000～3000 Hz范围内的高效吸声。Ren等^[9]证明了将多孔材料与盘绕空间的结合，能够实现中低频的高效吸声。以上研究工作为实现低频宽带吸声的设计提供了理论参考，同时验证了多孔材料与盘绕空间的复合在低频宽带吸声方面具有一定的潜力。基于以上研究，本文提出基于弯折通道的内嵌多孔型声学超材料，该结构结合了多孔材料和弯折空间结构的吸声优势，实现了中低频的高效吸声，通过并联的方式进行耦合，实现了中低频超宽带的高效吸声。为进一步探究该声学超材料结构的吸声机理，本文建立有限元模型对其能量耗散形式进行分析，最后通过实验验证所建立的理论模型和有限元模型的准确性，同时验证所提出的变截面弯折超材料复合结构具有中低频宽带高效吸声效果。

1 理论模型 1.1 变截面弯折超材料单元结构建模

内嵌多孔的等截面弯折声学超材料单元如图1(a)所示，内嵌多孔的变截面弯折声学超材料单元如图1(b)所示，单元外部结构尺寸为W×H×L，内壁面尺寸为W₀×H₀×L₀，空腔区域为内嵌多孔材料。图1(c)为变截面弯折超材料单元沿xoy平面的几何剖面示意图，图1(d)为变截面弯折超材料单元沿xoy平面的等效路径和等效截面示意图。

弯折超表面单元壁厚为t=2 mm，隔板的厚度为t₁=1 mm，声波进入弯折空间的第1个通道的入射宽度为l₁，第1个通道的宽度为h₁；第2个通道的入射宽度为l₂，第2个通道的宽度h₂；第3个通道的入射宽度为l₃，第3个通道的宽度为h₃。声波在单元的等效路径为${L_{eff}}_i$，${L_{eff1}} = {L_0} - {{{l_3}} / 2}$，${L_{eff2}} = {t_1} + {{\left( {{h_2} + {h_3}} \right)} / 2} ，$${L_{eff3}} = {L_0} - {{\left( {{l_2} + {l_3}} \right)}/ 2} ，$ ${L_{eff4}} = {t_1} + {{\left( {{h_1} + {h_2}} \right)}/ 2}$，${L_{eff5}} = {L_0} - ( {l_1} + {l_2} )/ 2$，${L_{eff6}} = t + {{{h_1}} / 2}$。声波在单元中传播的等效路径的横截面积可以表示为：${S_1} = {h_3} \times {W_0}$，${S_2} = {l_3} \times {W_0}$，${S_3} = {h_2} \times {W_0}$，${S_4} = {l_2} \times {W_0}$，${S_5} = {h_1} \times {W_0}$，${S_6} = {l_1} \times {W_0}$，${S_0} = L \times W$。

1.2 变截面弯折超材料单元理论建模

变截面弯折超材料单元的反射系数和吸声系数可以表示为^[10]：

$r=\frac{Z_s-z_0}{Z_s+z_0}\text{ }\alpha\text{ = 1 - }\left|r\right|^2。$

(1)

式中：${z_0} = {\rho _0}{c_0}$为背景介质空气的特性阻抗，其中，${\rho _0} = 1.29\;\;{{{\text{kg}}} {/ {\vphantom {{{\text{kg}}} {{{\text{m}}^{\text{3}}}}}} } {{{\text{m}}^{\text{3}}}}}$为空气密度，${c_0} = 343\;\;{{\text{m}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{m}} {\text{s}}}} \right. } {\text{s}}}$为空气声速。${Z_S} = {{Z_6^l} \mathord{/ {\vphantom {{Z_6^l} {{\varphi _6}}}} } {{\varphi _6}}}$为变截面超材料单元顶部入口的表面阻抗，$Z_6^l$可以通过相邻通道间的阻抗转移公式来计算^[11]：

$Z_i^l=Z_{eq}\frac{-jZ_{i-1}\cot\left(k_{eq}L_{effi}\right)+Z_{eq}}{Z_{i-1}-jZ_{eq}\cot\left(k_{eq}L_{effi}\right)} ，(i=2,3,4,5,6)。$

(2)

式中：${Z_i} = \frac{{Z_i^l}}{{{\varphi _i}}}$，${\varphi _i} = \frac{{{S_i}}}{{{S_{i + 1}}}}$为面积校正因子；${L_{effi}}$和${S_i}$分别为各通道的有效路径长度和对应通道的有效横截面积。刚性壁的声阻抗可以表示为$Z_1^l = - j{Z_{eq}}\cot ({k_{eq}}{L_{eff1}})$，其中，${\varphi _1} = {{{s_1}}}/{{{s_2}}}$；${k_{eq}}$和${Z_{eq}}$分别为弯折通道中填充的多孔材料等效波数和等效特性阻抗。

多孔材料吸声性能的物理采用Johnson-Champoux-Allard（JCA）模型进行等效，饱和空气的多孔材料可以视为等效流体，等效密度可以表示为^[12]：

$\rho_{eq}(\omega)=\frac{\rho_0\alpha_{\infty}}{\phi}\left(1-i\frac{\omega_c}{\omega}F(\omega)\right)，$

(3)

$F(\omega)=\sqrt{1-\frac{1}{i}\eta\rho_0\omega\left(\frac{2\alpha_{\infty}}{\sigma\phi\mathit{\Lambda}}\right)^2}。$

(4)

等效体积模量可以表示为：

$K_{eq}(\omega)=\dfrac{\gamma p_0}{\phi\left(\gamma-(\gamma-1)\left(1-i\dfrac{\omega_c^*}{P_r\omega}G(P_r\omega)\right)^{-1}\right)}，$

(5)

$\omega_c=\frac{\sigma\varphi}{\rho_0\alpha_{\infty}},\omega_c^*=\frac{\sigma^*\varphi}{\rho_0\alpha_{\infty}},\sigma^*=\frac{8\alpha_{\infty}\eta}{\phi\mathit{\Lambda}^{'2}}，$

(6)

$G({P_r}\omega ) = \sqrt {1 - \frac{1}{i}\eta {\rho _0}{P_r}\omega {{(\frac{{2{\alpha _\infty }}}{{{\sigma ^*}\varphi {\Lambda ^{'}}}})}^2}} 。$

(7)

由此可以得到弯折通道中多孔材料的等效特性阻抗和等效波数分别为：

$Z_{eq}=\sqrt{\rho_{eq}(\omega)K_{eq}(\omega)}，$

(8)

$k_{eq}=\omega\sqrt{\frac{\rho_{eq}(\omega)}{K_{eq}(\omega)}}。$

(9)

式中：$\eta$为空气的运动粘度，$\eta =1.79\times {10}^{-5}\;\;\text{Pa}\cdot \text{s}$；${\rho _0}$为空气密度，${\rho _0} = 1.21\;\;{{{\text{kg}}} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{kg}}} {{{\text{m}}^{\text{3}}}}}} } {{{\text{m}}^{\text{3}}}}}$；$c_0$为空气声速，${c_0} = 343\;\;{\text{m/s}}$；$\gamma$为比热容比，$\gamma = 1.4$；$\omega$为分析角频率；$P_r$为普朗特数，${P_r} = 0.71$；${P_0}$为1个标准大气压；${\alpha _\infty }$为多孔材料的弯曲度；$\sigma$为多孔材料的流阻；$\Phi$为多孔材料的孔隙率；$\mathit{\Lambda}$为多孔材料的粘性特征长度；$\mathit{\Lambda}'$为多孔材料的热特征长度。

假定本文提出的变截面弯折超材料单元、等截面弯折超材料单元和多孔材料的几何参数如表1所示，多孔材料的物理参数如表2所示，那么联立式(1)～式(9)，建立等截面和变截面超材料单元的吸声系数理论模型，得到多孔材料、等截面弯折超材料单元、变截面弯折超材料单元的吸声系数如图2 所示。

可知，等截面弯折超材料单元在523 Hz处出现吸声峰，峰值为0.8425，且高效吸声带宽为127 Hz，相对带宽为24.3%，而变截面弯折超材料单元在736 Hz处实现了0.9799的准完美吸声，且高效吸声带宽为392 Hz，相对带宽为53.3%，变截面超材料的高效吸声带宽是等截面超材料的3倍，具有中低频宽带高效吸声特性。此外，该结构的厚度为48 mm，是吸声峰值对应频率处波长的1/10，表现处亚波长尺度下低频宽带优越的吸声性能。此外，从图中可以看到多孔材料的有效吸声频率范围为877～1500 Hz，等截面弯折超材料单元的有效吸声频率范围为341～842 Hz，变截面超材料的有效吸声频率范围443～1500 Hz，三者对比发现，同高度下多孔材料在低频范围的吸声性能较差，等截面超材料对于低频噪声控制领域具有一定优势，变截面超材料在中低频宽带的吸声性能表现出显著优势。

1.3 变截面弯折超材料吸声机理分析

基于求解变截面弯折超材料单元的理论模型，代入变截面超材料单元的几何参数和多孔材料的物理参数求解对应单元的吸声系数，假定变截面超材料单元、等截面超材料单元和多孔材料的几何参见表1，多孔材料物理参数见表2，采用构建的理论模型得到的变截面超材料单元零极点分布如图3(a)所示。

为了验证理论模型的准确性，同时进一步阐明变截面超材料单元的吸声机理，本文采用了商业有限元软件COMSOL Multiphysics 6.2a中压力声学模块建立了变截面超材料单元吸声系数求解的有限元模型，通过提取有限元模型中空气域内2个位置处的复声压信号，基于传递函数法计算了变截面超材料单元的吸声系数，与理论模型计算的吸声系数进行了对比，如图3(b)所示。有限元模型中的网格划分图如图3(c)所示，为了保证有限元求解的收敛性，划分的最大网格尺寸为求解最高频率对应波长的1/6。仿真得到的变截面超材料单元吸声峰值处对应的声压场分布云图和声能量损耗云图分别如图3(d)和图3(e)所示。

可知，变截面超材料单元的反射系数对数的零点无限接近频率实轴，对应频率为736 Hz，这表明该单元接近临界损耗状态，在736 Hz处实现了准完美吸声。从图3(b)中理论和仿真计算的变截面超材料单元的吸声系数对比中可以看到，等截面和变截面超材料单元的理论和仿真吸声系数分别在523 Hz和736 Hz出现了吸声峰值，且理论和仿真计算的吸声系数基本一致，验证了理论模型的准确性。图3(c)为采用COMSOL有限元软件计算吸声系数时网络划分示意图，该有限元模型主要划分为3个区域，其中第1个域为完美匹配层，主要模拟全吸声边界条件，防止声波的多次反射。声波从空气域进入到超材料单元，超材料末端为刚性硬声场边界。图3(d)为变截面超材料单元吸声峰值处声压场分布云图，声波进入结构内部首先通过局域共振机理耗散部分声能量，在第3个通道的狭缝中产生相干抵消使得第3通道狭缝的入口处声压无限接近于0，从而实现了准完美吸声。图3(e)为变截面超材料单元能量损耗图，声能量进入变截面超材料单元中，第1个入射宽度较小，热粘损耗效应较强；第2个入射宽度较宽，在隔板处与壁面发生摩擦，存在较小的热粘损耗；而第3个入射通道较小且与底部形成狭小缝隙，热粘损耗效应加强，从而实现较大的声能量损耗，使得单元底部的声能量接近为0，实现了准完美吸声效果。

2 变截面超材料复合结构设计及机理分析

为进一步实现中低频超宽带吸声结构的设计，本文分别将2个变截面超材料单元以并联的方式耦合形成变截面超材料复合结构，2个变截面超材料单元的几何参数（见表3）。当多个变截面超材料单元以并联的形式形成变截面超材料复合结构时，其声阻抗可以表示为^[9]：

$Z\mathrm{_{total}}=\sum\limits_{n=1}^n\dfrac{1}{\dfrac{1}{Z_{s_1}}+\dfrac{1}{Z_{s_2}}+\ldots+\dfrac{1}{Z_{s_n}}}。$

(10)

由此可以得到变截面超材料复合结构的反射系数和吸声系数分别为：

$r\mathrm{_{total}}=\frac{Z\mathrm{_{total}}-Z_0}{Z\mathrm{_{total}}+Z_0}\alpha=1-\left|r\mathrm{_{total}}\right|^2。$

(11)

联立式(2)～式(11)，可以得到表3中几何参数组成的变截面超材料复合结构的吸声系数如图4(b)所示，其几何尺寸为W×L×H=99 mm×99 mm×48 mm，采用复频率分析法得到变截面超材料复合结构的零极点分布如图4(a)所示，插图为变截面超材料复合结构的截面图。

从图4(a)可知，变截面超材料复合结构在频率为664 Hz和1265 Hz出现了2个零点，且十分接近频率实轴，说明变截面超材料复合结构在频率664 Hz和1265 Hz处接近完美吸声。从图4(b)中变截面超材料复合结构理论计算的吸声系数中可以看到，该并联复合结构在424～1500 Hz频率范围内实现了高效吸声，在664 Hz和1265 Hz处有2个吸声峰值分别为0.9929和0.9989，证明了图4(a)中的结论。同时，从图4(b)中可以看到变截面超材料复合结构仿真吸声系数的2个峰值分别为0.9839和0.9800，对应频率为678 Hz和1215 Hz，在436～1500 Hz频带范围内实现了高效吸声，有限元仿真计算的吸声曲线与理论模型求解结果基本重合，验证了理论模型的准确性。

3 变截面超材料复合结构实验验证

为了证明变截面超材料复合结构的中低频超宽带吸声性能，同时验证上述理论模型和有限元仿真结果，本节基于传递函数法，采用阻抗管实验测试系统对变截面超材料复合结构的吸声性能进行了实验验证。实验测试系统包括：1套内径为99 mm的阻抗管方形管、2个B&K4957型1/4寸传声器、1台2716c型功率放大器、3560c型Pulse采集前端和1台电脑。采用3D打印技术制备了变截面超材料测试样品，外部几何尺寸为W×L×H=99 mm×99 mm×48 mm，组成单元的几何参数见表3。

图5(a)为吸声系数测试系统，图5(b)为表3中对应几何参数的变截面超材料复合结构的理论、仿真和实验测试的吸声系数，插图中为3D打印的变截面超材料实验测试样品。从图5(b)可知，变截面超材料复合结构理论求解的2个吸声峰值分别为0.9929和0.9989，对应频率分别为664 Hz和1265 Hz，高效吸声带宽频率范围为424～1500 Hz，实验测试的吸声峰值分别为0.9594和0.9978，对应的频率分别为652 Hz和1252 Hz，高效吸声频率带宽的范围为440～1500 Hz。从吸声峰值对应的频率来看，理论结果和实验测试结果基本一致，理论求解与实验测试的吸声系数曲线基本吻合。其中在吸声峰值上，理论求解结果优于实验测试结果，这是因为结构填充了足够的多孔材料，而理论求解和实验中采用的多孔材料物理参数存在一定偏差，造成实验测试的结构比理论求解的效果略差。

4 结　语

本文基于弯折通道结构，将多孔材料内嵌于弯折空间，形成了等截面和变截面弯折声学超材料结构，并建立计算该结构吸声系数的理论模型，通过理论和有限元仿真计算，证明了填充多孔的弯折超材料可实现中低频高效吸声。为实现中低频超宽带的高效吸声，基于复频率分析法，设计了2个变截面弯折超材料单元以并联的方式形成变截面超材料复合结构，结构厚度为48 mm，实现了424～1500 Hz范围内的高效吸声。采用有限元仿真和实验证明了变截面超材料复合结构在中低频宽带上优越的吸声性能。本文的研究对于基于多单元复合声学超材料结构设计方法实现中低频宽带高效吸声方面具有一定参考价值，同时本文提出的声学超材料具有吸声带宽宽，加工难度小等优势，在工程应用上有广阔前景。