0 引　言

随着我国现代工业的迅速发展，各类工业特别是船舶行业得到了显著进步。但是船舶的工作环境导致船体受到的载荷情况非常复杂，船舶在行驶过程中，受到海浪冲击、船舶自身结构如柴油机高速运转等，其所处的振动环境更加复杂且严酷，其结构的振动疲劳问题也更加突出^{[1 − 3]}。

疲劳理论发展到现在，对于多轴疲劳，由于试验条件的限制，发展一直比较缓慢^[4]。实际工程结构在服役期间所受的疲劳载荷十分复杂，一般情况下单轴疲劳寿命的估计方法不再适用^{[5 − 6]}。多轴振动疲劳理论有3类^[7]：等效应力应变法、能量法、临界面法。其中临界损伤平面法假定材料的失效发生在某一给定的损伤参数达到最大的平面，同时认为裂纹发生的平面就是最危险的平面，更加符合疲劳裂纹的产生和扩展机理，因此，被广泛认为是分析多轴疲劳的有效方法。

高代阳^[8]提出一种随机振动载荷下金属材料的临界平面确定方法，将临界平面定义剪应力幅值的均方根值取得最大值所在的平面，剪应力幅值的均方根为平面上加载路径最小外接圆的期望半径，但是其研究内容对于多轴振动疲劳的研究仅限于定常高斯随机过程，并未涉及工程结构承受非定常或者非高斯振动载荷。詹浩^[9]通过对比现有的多轴随机振动疲劳寿命模型，研究平均应力对材料疲劳寿命的影响，新建了一种多轴随机振动疲劳寿命预测模型，并开展了强化路载荷谱下转向节疲劳寿命预测，但并未开展底盘构建随机振动工况下的疲劳试验。金南^[10]提出通过方向余弦和欧拉角2种方法去确定临界平面，并通过仿真与试验验证了方法的可行性，但其研究的载荷谱没有考虑载荷间的相干性与相位角。

贺光宗等^{[11 − 13]}对结构多轴随机振动疲劳失效的判定方法、多轴疲劳寿命的计算方法与多轴振动疲劳试验进行深入探讨，但其研究的试件为典型的线性结构，对于非线性结构在不同振动工况下，会导致结构出现不同的失效模式。斐晨晖^[14]基于临界面正应力提出一种新的多轴疲劳寿命预测方法，通过计算不同临界面下的疲劳损伤对结构疲劳寿命进行预测，非比例加载强化效应还有进一步的研究空间。

本文主要基于临界平面法对随机振动工况下的悬臂梁安装形式标准试验件进行疲劳寿命预测，并进行了锤击法模态试验和多种工况下的随机振动试验，将模型预测寿命与试验寿命进行对比分析，验证了该模型在目标工况下寿命预测的可行性，其对标准试验件的建模仿真以及试验验证，对同样处于多轴随机振动工况下的船舶增压管道及其他零部件的疲劳寿命预测具有一定的借鉴意义。

1 随机振动临界平面法疲劳寿命模型

随机振动临界平面法疲劳寿命预测模型主要包括临界平面准则、随机过程谱矩、频域法疲劳寿命预测3部分。基于临界平面法确定等效应力功率谱密度函数，通过随机过程谱矩计算得到相关参数，最终进行频域法疲劳寿命预测，得到试验件预测疲劳寿命。

1.1 临界平面准则

在临界平面准则中，主要通过对复合剪应力和法向应力进行建模得到等效应力，搜索给出等效应力的最高值或最高方差平面来确定临界平面。

多轴随机振动下危险点的应力状态一般为三向应力状态，其统计特性可由功率谱密度矩阵在频率下表达：

${\boldsymbol{G}}_{\sigma \sigma}(f)=H^{*}_{\sigma}(f) G(f) H^{\mathrm{T}}{ }_{\sigma}(f)。$

(1)

式中：${\boldsymbol{G}}_{\sigma \sigma}(f)$为多轴相应功率谱密度矩阵；$H_{\sigma}(f)$为应力的频响函数，表示危险点6个应力分量在3个方向上的频响函数，$H_{\sigma}(f)$表达式为：

$H_\sigma(f) = \begin{bmatrix} H_{\sigma x, x} & H_{\sigma y, x} & H_{\sigma z, x} & H_{\tau {xy}, x} & H_{\tau {yz}, x} & H_{\tau {xz}, x} \\ H_{\sigma x, y} & H_{\sigma y, y} & H_{\sigma z, y} & H_{\tau {xy}, y} & H_{\tau {yz}, y} & H_{\tau {xz}, y} \\ H_{\sigma x, z} & H_{\sigma y, z} & H_{\sigma z, z} & H_{\tau {xy}, z} & H_{\tau {yz}, z} & H_{\tau {xz}, z} \end{bmatrix}。$

(2)

$G(f)$为多轴激励：

$G(f)=\left(\begin{array}{lll} G_{xx}(f) & G_{xy}(f) & G_{xz}(f) \\ G_{yx}(f) & G_{yy}(f) & G_{yz}(f) \\ G_{zx}(f) & G_{zy}(f) & G_{zz}(f) \end{array}\right)。$

(3)

临界平面法选取最大剪应力准则，通过搜寻给出等效应力最大方差的平面作为临界平面，其中等效应力$G_{m}(\omega)$用临界平面上的多轴准则来定义：

$G_{eq}(\omega)=a G_{\sigma \sigma}(\omega) a^{\rm T} 。$

(4)

式中：$a=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\right]$，具体取值如表1所示。

1.2 随机过程谱矩

谱矩法是一种数值模型，对于多轴随机振动过程，定义$m_0$为随机振动过程的第0个谱矩，有：

$m_{0}=E\left[x^{2}(t)\right]=\int_{0}^{\infty} G_{xx}(\omega) {\rm{d}} \omega 。$

(5)

第i个谱矩$m_{i}$的一般表达式可以写成以下形式：

$m_{i}=\int_{0}^{\infty} \omega^{i} G_{X}(\omega) {\rm{d}} \omega 。$

(6)

对于高斯随机过程，它的峰值期望率$v_{p}$（单位时间内的峰值数）和均值正穿越期望率$\nu^{+}$（单位时间对于平均值的正斜率的穿越数）已知：

$\left\{ \begin{array}{l} v_{p}=\dfrac{1}{2 {\text{π}}} \sqrt{\dfrac{m_{4}}{m_{2}}}，\\ v^+=\dfrac{1}{2 {\text{π}}} \sqrt{\dfrac{m_{2}}{m_{0}}}。\end{array}\right.$

(7)

式中：$m_0$为该随机过程的第0个谱矩；$m_{2}$为该随机过程的第2个谱矩；$m_4$为该随机过程的第4个谱矩。

1.3 频域法随机振动疲劳寿命预测

已知某结构的应力响应幅值概率密度函数为$P(S)$，则某应力幅值S在时间$T$内落在区间$(S-{\mathrm{d}} S_{i}, S+ {\mathrm{d}} S_{i})$的次数　${n}_{1}$为：

$n_{i}=v_{p} T p\left(S_{i}\right) {\rm{d}} S 。$

(8)

式中：$v_{p}$为峰值期望率；T为随机振动整个时间过程。

因此，在区间$\left(S-{\mathrm{d}} S_{i}, S+{\mathrm{d}} S_{i}\right)$中应力对结构产生的疲劳损伤量为：

$D_{i}=\frac{n_{i}}{N_{i}}=\frac{v T_{p}\left(S_{i}\right) {\mathrm{d}} S}{N_{i}}。$

(9)

由Minner线性疲劳累积理论得：

$D=v_{p} T \int_{0}^{\infty} \frac{p(S)}{N(S)} {\mathrm{d}} S 。$

(10)

当损伤值达到1时结构发生疲劳破坏，令式(10)中D = 1得：

$T=\frac{1}{v_p\int_0^{\infty}\dfrac{p(S)}{N(S)}{\mathrm{d}} S}。$

(11)

对于式(11)中$p(S)$的获取，本文采取Dirlik公式，其表达式为：

$p_{a, D K}(S) = \frac{1}{\sqrt{m_{0}}} \cdot\left[\frac{G_{1}}{Q} e^{\frac{-{Z}}{Q}} + \frac{G_{2} Z}{R^{2}} e^{\frac{-Z^{2}}{2 R^{2}}} + G_{3} Z e^{\frac{-Z^{2}}{2}}\right]。$

(12)

式中：Z代表归一化振幅：

$Z=\frac{S}{\sqrt{m_0}}。$

(13)

参数G₁～G₃，R以及Q被定义为：

$G_1=\frac{2\left(x_m-\alpha_2^2\right)}{1+\alpha_2^2},　G_2=\frac{1-\alpha_2-G_1+G_1^2}{1-R}，$

(14)

$G_{3} = 1 - G_{1} - G_{2}, \quad R = \frac{\alpha_{2} - x_{m} - G_{1}^{\, 2}}{1 - \alpha_{2} - G_{1} + G_{1}^{\, 2}}，$

(15)

$Q=\frac{1.25\left(\alpha_2-G_3-G_2R\right)}{G_1},　x_m=\frac{m_1}{m_0}\left(\frac{m_2}{m_4}\right)^{\frac{1}{2}}。$

(16)

1.4 基于临界平面法的试验件随机振动疲劳寿命预测流程

基于临界平面法对随机振动工况下的试验件进行疲劳寿命预测，预测流程如图1所示。试验件疲劳寿命预测流程主要包括：

1）基于von-mises应力分析得到试验件危险点；基于临界平面准则，结合频响函数，得到危险点多轴随机振动工况下等效应力功率谱密度函数，与随机过程谱矩相结合，得到多轴随机振动频域法疲劳寿命预测相关参数；

2）基于Dirlik经验公式对概率密度函数进行求解，结合材料S-N曲线，对试验件危险点进行Minner线性疲劳累积，得到试验件多轴随机振动下仿真疲劳寿命；

3）对试验件分别进行锤击法模态试验以及随机振动试验，验证仿真寿命的准确性。

2 算例分析

由于试验条件及场地因素，直接以船舶实体结构及零部件为研究对象进行随机振动疲劳寿命分析存在一定限制。本文基于临界平面法以标准缺口试验件为研究对象进行随机振动工况下的疲劳寿命预测，其对船舶实体结构的疲劳寿命预测具有一定的参考价值。缺口试件由Q235钢加工制成，其材料参数见表2。

试验件疲劳寿命预测中选取的S-N曲线为双参数公式曲线，为$\log N=22\;088-7.829 \log S$。

试验件模型如图2所示，其中试验件有限元模型共绘制56842个网格单元，约束方式为固定约束，约束部位为试验件三维模型所示根部。

首先对试验件进行约束模态分析，前三阶模态分别为110.8、380.65、714.35 Hz；其中第一阶模态振型图如图3所示。

为了确保试验件能在预定时间内发生疲劳失效，一般需要激励信号的频带范围至少包括结构的第一阶固有频率，因此，取激励频段为70～150 Hz，x、y、z三轴取相同激励。共设置3种工况，峰值分别为0.15、0.25、0.35 g²/Hz。3种激励工况如图4所示。

以工况1为例，在多轴随机振动仿真分析中，将Von-Mises等效应力最大节点作为试验件的危险点，对试验件进行随机振动仿真分析得到试验件应力云图及应力集中区域如图5所示，其中危险点编号为35207。

对危险点进行频响分析，得到危险点6个应力分量在3个方向上的响应函数，结合式(1)～式(3)，利用Matlab中的fmincon函数，搜寻给出等效应力的最大方差的平面作为临界平面，根据式(4)得到临界平面上等效应力的功率谱密度函数如图6所示。

可知，危险点等效应力功率谱函数在110 Hz，即一阶共振频率处幅值最大，达到84855 MPa²/Hz，在非共振频段响应幅值基本处于0～1 MPa²/Hz。

根据式(5)～式(7)，结合等效应力功率谱密度函数，可以求得各阶谱矩及峰值期望率如表3所示。

结合式(11)～式(16)，求得工况1试验件疲劳寿命为129.3 min。

3 随机振动疲劳试验

试验以Q235钢为原材料设计缺口试件，试验件与算例模型相同，见图2。采用锤击法对其进行模态试验，测量其模态；通过振动台输入PSD激励对其进行单轴及随机振动疲劳实验，通过应变采集仪测量其寿命，对临界平面法寿命预测进行验证。首先对试验件进行模态试验，采集其前三阶模态及阵型图。

通过模态试验测得试验件前三阶约束模态为110.6、383.5、720.2 Hz，与仿真结果吻合较好。

随机振动试验激励共设置3种工况。随机振动试验系统主要由振动控制系统和应变采集系统组成，通过激励控制端输入PSD激励，经过功放控制之后由振动台对试验件进行激励，同时由应变采集装置采集试验件危险点应变。随机振动试验系统如图7所示。

为减小试验误差，在该工况下设置3个相同的试验件，其中工况1编号1-1～1-3，工况2编号2-1～2-3，工况3编号3-1～3-3。利用DH3820N应变采集仪采集危险点应变记录其疲劳寿命，其中3种工况下中间寿命试验件相对时间5 s内应变时域谱如图8所示。

对随机振动疲劳试验应变响应时域谱进行处理，得到试验件1-1～1-3循环寿命如表4所示。

试验件1-1～1-3循环寿命及每个工况试验件平均寿命如图9所示，由图可知试验件寿命随激励幅值变化明显。

将3组工况的试验寿命与临界平面法仿真寿命进行对比如表5所示。

上述缺口试验件试验寿命与预测寿命对比如图10所示。可知，对于悬臂梁安装形式随机振动工况下的标准试验件，临界平面法仿真预测寿命与试验寿命相比，仿真寿命偏保守，3种工况下的疲劳寿命预测均处于2.5倍误差带以内，说明了该预测模型在试验件悬臂梁安装形式随机振动工况下寿命预测的可行性。

4 结　语

1）在平直谱频段范围均为70～150 Hz，峰值分别0.15、0.25、0.35 g²/Hz三种工况下，试验件疲劳寿命试验值与预测值误差分别为1.83倍、1.70倍、1.89倍，均在2.5倍误差带以内，说明了该预测模型在试验件悬臂梁安装形式随机振动工况下寿命预测的可行性。

2）处于工况1的标准试验件，危险点等效应力功率谱函数在频率110 Hz时最大，达到84855 MPa²/Hz，其余频段响应幅值基本处于0～1 MPa²/Hz，与模态仿真与试验相对应，即在共振频率处应力响应幅值远大于其他频段。

3）在随机振动试验中，试验件寿命随激励幅值变化明显，并且激励幅值越小，每个试验件间的寿命差距越大。

4）基于临界平面法对标准试验件进行随机振动仿真并开展疲劳试验对模型进行验证，其数学模型的工况与与增压管道等船舶实体结构工况相似，对船舶实体结构的多轴疲劳寿命预测具有一定的借鉴意义。