0 引　言

近年来随着科学技术的飞速发展和对海洋认识的不断深化，水下空间已成为国际竞争的新焦点^{[1 − 3]}。未来海洋竞争将是系统与系统、体系与体系之间的对抗，逐步向信息化、网络化、智能化、自主化方向发展^{[4 − 5]}。水下无人航行器（UUV）作为一种海上力量倍增器，在水下侦察、水下通信和反潜、反水雷作战、信息作战等领域的应用得到空前发展^[6]，成为了海洋探索与水下作业的重要工具^{[7 − 11]}。通过构建多UUV编队集群，实施编队协同任务，并借助于水下网络共享信息，可克服单UUV探测、捕获目标能力有限、完成任务效能不高的弱点。

当前的大多数UUV集群搜索方法实在全局环境或局部环境已知的情况下进行的，但当UUV集群在陌生海域执行搜索任务时，由于水下环境造成的探通能力下降致使对目标信息的获取十分困难，UUV自身之间的通信因为水下环境导致信息传输不准确有延时，且UUV能力相较于目标存在较大的差距，这些方法的搜索效率就会降低，同时缺乏动态应变能力，Yang等^{[12 − 13]}提出一种在水下环境已知条件下的寻找最优路径的UUV路径规划方法，但这种方法只是找到满足低能耗的局部搜索最优路径；为提高全局搜索的效率与最优的全局搜索航迹，Cai等^{[14 − 15]}提出基于路径规划与目标搜索的PSO算法，Yang等^[16]将机器人系统的协作规则应用到势场函数中，并作为PSO的适应度函数应用于机器人协作搜索，Dadgar等^{[17 − 18]}提出一种基于PSO的分布式算法，在全局机制下达到整体最优的目的。但面对未知环境这些方法效率偏低，集群的灵活性大打折扣，面对突发状况无法及时应对。

本文基于弱联通条件，考虑UUV集群的动态目标搜索方法，基于累积概率最优规划UUV集群的搜索路径，通过对目标初始位置进行概率分布估计，建立初始概率地图，选取路线使目标出现累积概率最大化，并基于后验信息对目标分布进行更新，最后通过仿真确定方法的有效性。本文就UUV集群在不同信息条件下，进行了不同的目标初始概率分布估计，在此基础上根据搜索路线的概率最优为UUV集群中每个个体分配做为高效的搜索路线，具体流程图如图1所示。

1 目标初始状态概率分布估计

由于考虑到UUV搜索目标的初始位置未知，为了引导UUV集群以最优的轨迹快速搜索到目标，首先需要建立搜索目标初始状态的概率分布模型，包括对目标的位置、航速与航向的初始概率分布估计。根据有无先验搜索信息，可以将目标初始位置概率分布估计分为无先验信息下的位置概率估计和有先验信息下的位置概率估计2种模式。

1.1 无先验信息目标初始位置概率分布估计

在无先验信息的情况下，UUV集群无法获得关于目标的任何信息。在此情况下，目标出现在搜索区域的任何位置的概率都相同，因此目标的初始位置概率服从二维均匀分布。定义目标初始可能出现的区域为$D = \{ (x,y)\left| {0 \leqslant x \leqslant a,0 \leqslant y \leqslant b} \right.\}$，为了减小计算量在离散时空下估计目标位置的概率分布。设系统更新时间间隔为t，搜索区域D以栅格地图的形式表示，每个栅格的长宽为一个单位长度，则目标初始位置概率分布函数为：

$P(1,i)={f}_{i}(x,y)=\left\{\begin{split}&\dfrac{1}{ab}，(x,y)\in D，\\ &0，其他。\end{split} \right.$

(1)

式中：$P(1,i)$为目标在第1个离散时刻下位于第$i$个栅格的概率；$({x_i},{y_i})$为第$i$个栅格的中心点位置。

1.2 有先验信息目标初始位置概率分布估计

在UUV集群已知目标初始位置的先验信息条件下，由于探测误差和通信时延等干扰影响，UUV集群获取的目标初始位置也具有不确定性。根据中心极限定理，假设目标初始位置服从二维正态分布$N({x_0}, {y_0},\;{\sigma _{0x}},\;{\sigma _{0y}},\;\rho )$，其中，中心位置点为(x₀, y₀)，$\sigma_{0x}、\sigma_{0y}$为目标水平与竖直位置概率分布的方差，$\rho$为$x_0、y_0$的相关系数。由于，$x_0、y_0$二者独立，所以$\rho = 0$，又因为$x_0、y_0$同分布，所以${\sigma _{0x}} = {\sigma _{0y}} = {\sigma _0}$，则其联合概率密度函数为：

$f(x,y) = \frac{1}{{2{\text{π}} \sigma _0^2}}\exp \left\{ - \frac{1}{2}\left[\frac{{{{(x - {x_0})}^2} + {{(y - {y_0})}^2}}}{{\sigma _0^2}}\right]\right\}。$

(2)

将直角坐标换为极坐标，目标初始位置概率分布函数表示为：

$\begin{gathered} \varphi (x,y) = f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\left| {\frac{{\partial (x,y)}}{{\partial (r,\theta )}}} \right| = \\ \frac{1}{{2{\text{π}} \sigma _0^2}}\exp \left( - \frac{1}{2}\left(\frac{{{{(r\cos \theta - {x_0})}^2} + {{(r\sin \theta - {y_0})}^2}}}{{\sigma _0^2}}\right)\right) 。\\ \end{gathered}$

(3)

为方便后续计算，设目标初始位置为(0,0)，$D = \{ (r,\theta )\left| {0 < r < \sqrt {{a^2} + {b^2}} /2,\theta \in [0,2{\text{π}} ]} \right.\}$为定义域，式(3)可简化为：

$\begin{split}P(1,i) =& {\varphi _i}(r,\theta ) = f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\left| {\frac{{\partial (x,y)}}{{\partial (r,\theta )}}} \right| =\\ &\frac{1}{{2{\text{π}} \sigma _0^2}}\exp \left( - \frac{{{r^2}}}{{2\sigma _0^2}}\right) 。\end{split}$

(4)

$r,\theta$的概率密度为：

$\left\{ \begin{gathered} {\varphi _R}(r) = \int_0^{2{\text{π}} } {\varphi (r,\theta ){\mathrm{d}}\theta = \frac{r}{{\sigma _0^2}}\exp \left( - \frac{{{r^2}}}{{2\sigma _0^2}}\right)}，\\ {\varphi _\theta }(r) = \int_0^{ + \infty } {\varphi (r,\theta ){\mathrm{d}}\theta = \frac{1}{{2{\text{π}} }}}。\\ \end{gathered} \right.$

(5)

根据式(6)与式(7)可得$\varphi (r,\theta ) = \varphi (r)\varphi (\theta )$，其中$r、\theta$二者独立，$r$服从瑞利分布，$\theta$服从$[0,2{\text{π}} ]$上的均匀分布。

在确立目标初始位置后，由于在我方UUV集群进行搜索任务的时间间隔期间，目标UUV同样在进行移动，因此需要在已知目标航向航速的情况下，对目标的初始位置概率分布进行修正：

假设目标初始位置散布服从$N(0,\sigma _0^2)$，初始位置为(0, 0)，目标移动方向设为$x$轴，单个任务时间内位移为${l_t}$，航向角误差为$\Delta \alpha$，则目标初始位置联合概率密度函数为：

$\begin{split} & P(1,i)=\varphi(r,\theta)=\varphi_r(r)\varphi_{\theta}(\theta)= \\ & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{r-l_t}{\sigma_0^2}\exp(- \dfrac{(r - l_t)^2}{2\sigma_0^2}) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2{\text{π}}}\sigma_{\theta}}\exp(- \dfrac{\theta^2}{2\sigma_{\theta}^2})，r \geqslant l_t，\\ & 0，r \leqslant l_t 。\end{aligned}\right. \end{split}$

(6)

1.3 目标初始航速及航向的概率分布估计

按照有无目标先验信息对目标航速航向进行概率分布估计。

无信息条件下，目标航向在$\left[ {0,\;2{\text{π}} } \right]$上均匀分布，目标航速在$[0,\;{v_{\max }}]$上均匀分布，其中，${v_{\max }}$为目标最大航速。

在已知目标移速${V_1}$与航向${C_1}$的情况下，此时目标的航向航速均采用三角分布估计：

${P_{{\mathrm{course}}}}(c) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2 \times (c - {a_1})}}{{({a_2} - {a_1}) \times ({C_1} - {a_1})}}}，& {{a_1} \leqslant c \leqslant {C_1}}，\\ {\dfrac{{2 \times ({a_2} - c)}}{{({a_2} - {a_1}) \times ({a_2} - {C_1})}}}，& {{C_1} \leqslant c \leqslant {a_2}} 。\end{array}} \right.$

(7)

${P_{{\mathrm{speed}}}}(v) = \left\{ {\begin{aligned} &{\dfrac{{2 \times v}}{{{V_{\max }} \times {V_1}}}}，{0 \leqslant v \leqslant {V_1}} ，\\ &{\dfrac{{2 \times ({V_{\max }} - v)}}{{{V_{\max }} \times ({V_{\max }} - {V_1})}}}，{{V_1} < v < {V_{\max }}} 。\end{aligned}} \right.$

(8)

2 基于概率最优的UUV集群搜索方法 2.1 基于UUV搜索能力的搜索任务分配

对搜索区域进行网格划分，根据UUV探测能力分配搜索任务，设UUV集群节点数量为$n$，则将区域分为$n$份，任务分区计算公式为：

${s_i} = S{C_i}/\sum\nolimits_{i = 1}^n {{C_i}}。$

(9)

式中：${s_i}$为给第$i$号UUV分配的搜索区域面积；$S$为目标可能存在区域面积；${C_i}$为第$i$号UUV的搜索能力。在无先验信息情况下，$S$为整个任务区域，在有先验信息的情况下，目标区域为目标估计区域。

2.2 基于累计探测概率的最优航路规划

UUV集群中每个UUV的路径规划独立运行，根据UUV任务区域每个栅格的目标探测概率，以及UUV搜索速度，在搜索时间间隔$t$内，目标探测概率之和最大的路径$L$作为最优路径${L_{\max }}$，对此建立数学模型：

${L_{\max }} = \max (\sum\nolimits_{i = 1}^n {{k_i} \times {p_i}} ) ，$

(10)

$\sum\nolimits_{i = 1}^n {{p_i} \leqslant 1} ，$

(11)

$n = \left[\left(\dfrac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{v_i}} }}{n} \times t\right)/l\right] ，$

(12)

${k_i} = f(d) = \left\{ {\begin{aligned} &{\dfrac{{{d_i}}}{l}}，{\dfrac{d_i}{l} < 1}，\\ &1，{\dfrac{{{d_i}}}{l} \geqslant 1} 。\end{aligned}} \right.$

(13)

式中：$n$为栅格数量；${p_i}$为目标在栅格中的概率；${v_i}$为UUV在栅格$i$中的速度；$l$为栅格边长；${d_i}$为UUV在栅格$i$的扫描半径，考虑到声呐的探测模型，假设${k_i}$为成功搜索率修正系数，当声呐扫描半径大于栅格边长时，修正系数为1，否则为${d_i}/l$，UUV的探索能力与其速度正相关，其线性关系如下：

${d_i} = \left\{ {\begin{aligned} &{{w_1} \times {v_i} + {b_1}}，{v \in [0,{s_1}]}，\\ &{{w_2} \times {v_i} + {b_2}}，{v \in [{s_1},0.8 \times {v_{\max }}]} 。\end{aligned}} \right.$

(14)

式中：${w_1} = \dfrac{{{g_1} - {g_2}}}{{{s_1} - 0}}$；${b_1} = {g_1} - {w_1} \times {s_1}$；${w_2} = \dfrac{{{g_1} - {g_3}}}{{{s_1} - 0.8 \times {v_{\max }}}}$；${b_2} = {g_1} - {w_2} \times {s_1}$；${g_1}、{g_2}$与${g_3}$分别为UUV速度为${s_1}、0$和$0.8 \times {v_{\max }}$时的探测距离，${v_{\max }}$为UUV最大航速。

式(14)反映了UUV探测半径与速度的线性关系，${w_1}、{w_2}$为线性相关系数，${b_1}、{b_2}$保证函数的连续性，由此可为UUV集群中每个UUV规划累计目标出现概率最大的路径。

3 目标位置概率分布更新

在UUV集群执行完一个任务时间间隔$t$后，UUV集群内部进行信息交互，对目标位置、航速、航行等状态信息进行更新。为去报UUV集群搜索路线的有效性，本文通过目标的航向与航速概率分布估计重新估计目标位置概率分布。

3.1 基于搜索结果的概率估计修正

若任务时间间隔内UUV未在栅格内发现目标，则下一任务时间间隔内该栅格目标出现的概率应当下降，因此在单个时间间隔任务结束后，需要对任务区域目标探测概率进行修正。

已知${P_i}$为目标在栅格$i$出现的概率，$B$事件为未搜索到目标，UUV去栅格$i$执行搜索任务作为事件${A_i}$，则有$P(B\left| {{A_i}} \right.) = 1 - {P_i}$。

第$j$时段目标初始出现概率为${P_{{\mathrm{before}}}}(j,i)$，UUV集群搜索区域共$m$个栅格，标号表示为$D = \{ {d_1},{d_2},{d_3}, \cdots , {d_m}\}$，目标概率分布修正函数为：

$P(j,i) = {K_i} \times {P_{{\mathrm{before}}}}(j,i)。$

(15)

式中：${K_i}$为修正系数，运用在未搜索到目标的情况下各个栅格被探测的概率$P({A_i}\left| B \right.)$来修正$P(j,i)$，所以${K_i} = P({A_i}| B) = {{P(B\left| {{A_i}} \right.) \times P({A_i})}}/{{P(B)}}$，$P({A_i}) = {P_i}/\sum\nolimits_{i = 1}^m {{P_i}}$，$P(B) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {P({A_i})P(B\left| {{A_i}} \right.)} ，$$i \in D$。

设任务海域共有$n$个栅格，标号为$I = \{ {I_1},{I_2},{I_3} \cdots ,{I_n}\}$，第j时段剩余栅格数量为$n - m$，则未被搜索栅格的目标概率分布修正函数为：

$P(j,i) = {K_i} \times {P_{{\mathrm{before}}}}(j,i) + \frac{{\sum\nolimits_{k \in D} {(1 - {K_k}) \times {P_{{\mathrm{before}}}}(j,k)} }}{{n - m}} 。$

(16)

式中：$i \in I - D$，根据式(15)和式(16)实现对目标分布概率的修正。

3.2 基于马尔科夫的后续目标概率分布估计

UUV集群在进行航路重规划及概率修正时，仅考虑上一时段的目标状态，符合马尔科夫运动的特性，因此基于马尔科夫进行下一时间间隔目标位置的概率分布估计。

在无目标先验信息的情况下，每隔一个时间间隔可得到一次搜索结果，因此每次目标位置分布更新可根据目标修正的位置分布与航速航向分布进行计算。

在有目标先验信息的情况下，目标在$j$时段出现在$i$栅格的概率$P(j,i)$、航向概率密度函数${P_{{\mathrm{course}}}}(c)$、航速概率密度函数${P_{{\mathrm{speed}}}}(v)$已知，若在第$j + 1$时段内目标从栅格$m$移动到栅格$n$，所需速度与航向为${v_0}$与${c_0}$，则目标从栅格$m$移动到栅格$n$的概率为：

${t_{j + 1}}(m,n) = {P_{{\mathrm{speed}}}}({v_0}) \times {P_{{\mathrm{course}}}}({c_0})。$

(17)

式中：$i \in [1,M \times N]$，$M \times N$为任务区域分割的总栅格数量。

目标在栅格$m$的概率为$P(j,m)$，则目标离开栅格$m$的概率为目标从栅格$m$到达任意栅格的概率之和：

${P_{{\mathrm{out}}}}(j,m) = \sum\nolimits_{n = 1}^{N \times M} {P(j,m) \times {t_{j + 1}}(m,n)}。$

(18)

目标到达$m$栅格的概率为目标从其他栅格到达$m$栅格的概率之和：

${P_{in}}(j,m) = \sum\nolimits_{n = 1}^{N \times M} {P(j,m) \times {t_{j + 1}}(m,n)}。$

(19)

目标在$j + 1$时段出现在$m$栅格的概率为：

$P(j + 1,m) = {P_{in}}(j,m) + P(j,m) - {P_{{\mathrm{out}}}}(j,m)。$

(20)

设${f_{j \to j + 1}}$为$j$时段到$j + 1$时段的概率转移矩阵，则目标探测概率表示为：

$P(j + 1,i) = {f_{j \to j + 1}} \times P(j,i) 。$

(21)

由此完成对目标的位置概率分布更新，从而修改我方UUV集群的搜索路径，重复以上方法直到搜索任务结束。

4 实验仿真

按照有先验信息及无先验信息2种情况进行仿真分析，验证本文提出方法的有效性和可行性。设定任务区域为13 n mile×25 n mile，作业UUV集群节点数量为6艘，目标UUV数量为1艘，概率更新时间间隔为10 min，沿纵轴正方向运动0°，沿横轴正方向运动90°，仿真实验总时长为60 min，以作业UUV追逐到目标UUV或者仿真时长等于仿真实验总时长判定仿真实验结束。

4.1 无目标先验信息

当目标UUV的信息未知时，目标UUV在栅格上的出现概率服从均匀分布，航向范围为$[0,{360^ \circ }]$，航速范围为$[0,8\;{\rm{kn}}]$，目标UUV正常巡航速度为$3\;{\rm{kn}}$，逃逸速度为$8\;{\rm{kn}}$，作业UUV集群搜索速度为$3\;{\rm{kn}}$，追逐速度为$8\;{\rm{kn}}$，目标UUV探测距离为$4\;{\rm{km}}$，作业UUV探测距离为$1.4\;{\rm{km}}$。

假设目标UUV初始运动方向为135°，当目标UUV探测到作业UUV时，按照目标UUV与距离最近的作业UUV连线的反方向逃逸，当作业UUV探测到目标UUV时，以$8\;{\rm{kn}}$的追逐速度向目标UUV运动。

单次实验后，作业UUV集群各任务阶段的航速与航向如表1所示，仿真结果如图2所示。

图中，以红色代表作业UUV集群，蓝色代表目标UUV，右下角为作业UUV移动方向栅格进行标注，如图2所示。由于目标UUV探测距离远大于作业UUV集群，且作业UUV不具备速度优势，所以作业UUV集群极难搜索到目标，但依旧阻挡了目标UUV的行动，使目标UUV后退逃逸，其中5号作业UUV能够大致围绕目标UUV进行移动，对其位置进行较为精准的预测。

4.2 目标位置信息航速航向均已知

目标UUV初始位置与航向已知，航向225°，预估会在225°左右45°浮动，当前航速$3\;{\rm{kn}}$，航速范围为$[0,\;8\;{\rm{kn}}]$，$3\;{\rm{kn}}$可能性最大，目标UUV正常巡航速度为$3\;{\rm{kn}}$，逃逸速度为$8\;{\rm{kn}}$，作业UUV集群搜索速度为$3\;{\rm{kn}}$，追逐速度为$8\;{\rm{kn}}$，作业UUV集群搜索距离为$1.4\;{\rm{km}}$，不随速度变化，目标UUV探测距离为$4\;{\rm{km}}$，实验总时长50 min，当作业UUV追逐到目标UUV或者任务时间结束，实验停止，实验中作业UUV集群航速与航向如表2所示。仿真结果如图3所示。

根据图3，在拥有先验信息的条件下，作业UUV集群能够在最初排除掉大量栅格，直接对目标进行追逐，相比无先验信息的情况，在有先验信息的条件下，能够较为精确的跟随目标UUV移动的作业UUV为4号、5号、6号，但在第2个时段的路径规划中，由于1号与2号作业UUV前方路径被5号与6号作业UUV走过，所以不在向前前进，开始向其他方向进行搜索，在0～50 min任务时间内，由于目标总是处于逃逸状态，速度长时间为$8\;{\rm{kn}}$，不符合目标的航速概率分布，且逃逸方向与目标的航向概率分布相反，使得作业UUV在50～60 min任务时间间隔对目标的位置概率分布估计出现偏差，做出折返行动；总体来说，作业UUV集群逼迫目标UUV后退，虽然由于探测距离劣势无法探测到目标UUV，但同时目标UUV也无法逃脱，在有限海域中，终会被作业UUV集群围捕。

4.3 实验对比分析

在无先验信息、有先验信息2种情况下，利用随机搜索方法与本文提出的概率最优搜索方法进行对比实验分析，验证本方法在区域搜素方面的优势，选择不同方法中UUV集群与目标间的平均距离作为衡量指标。

由图4可知，概率最优的搜索方法在作业UUV集群与目标的平均距离方面提升较大，作业UUV集群能够不断接近目标UUV，在搜索过程中，即使在无目标先验信息的情况下作业UUV集群也可以在较短时间内确定目标UUV所在的大致区域，在有目标先验信息的情况下，作业UUV集群能够更快速接近目标，同时半包围目标附近区域，搜索效率显著提升。

5 结　语

本文设计了在弱联通环境下，UUV集群在有无先验信息的不同条件里对目标的搜索方法，通过估计目标位置信息，确定目标出现的概率分布图，对UUV集群中的每个个体实时确定一条发现目标概率累计最大的路径，最后通过仿真实验确定了方法的可行性，具有一定科研意义。