0 引　言

随着“工业4.0”的热潮从德国涌向全球，以及“中国制造2025”的实施，人类对海洋领域的开发，提出了更高的要求。美国作为水下机器人领域的先驱^[1]，在水下机器人研究和开发方面一直处于领先地位。美国的国家海洋和大气管理局（NOAA）、海军研究实验室（ONR）以及私营公司如Woods Hole Oceanographic Institution等都在水下机器人技术的研究和应用方面有着重要贡献。哈尔滨工业大学在水下机器人研究方面也有着较为突出的成果^[2]，涉及到水下机器人的设计、控制、仿真等多个方面。国内外在水下机器人领域的研究，涉及机械设计、控制算法、通信技术等多个方面。

近年来，人们对水下机器人在三维空间的应用逐渐加深，粒子群算法作为通用性强^[3]、易操作、算例简单等特点被广泛使用。陈旭东等^[4]对粒子群算法进行了权重改进，在路径规划中提高路径搜索能力，但搜索后期由于种群多样性降低，容易陷入局部停滞等问题；宋智等^[5]提出了一种结合卡尔曼滤波的改进粒子群优化算法，提高了粒子群的寻优能力，但是对全局搜索均有一定的局限性；孔鹏飞^[6]为改善机器人寻优能力，提出多种算法混合的改进方式，并在传统粒子群算法中采用Tent混沌映射来初始化粒子种群，从而提高算法的整体寻优能力。但以上算法在寻优过程中存在易陷入局部最优和全局最优解，因此作者基于以上机理，针对传统粒子群算法的特点，提出了一种针对惯性权重系数、个体学习因子、种群学习因子的改进。惯性权重体现的是全局搜索和局部搜索的能力，为平衡前期全局最优解和后期局部最优解，通过改进传统惯性权重，提出一种周期函数的惯性权重公式。通过改进个体学习因子，防止丧失群体多样性，容易陷入局部最优解。改进种群学习因子，增加信息共享提高收敛速度。

1 传统粒子群算法及其缺陷 1.1 传统粒子群算法

传统粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是由美国的James Kennedy^[7]和Russell Eberhart^[8]在1995年提出的一种优化算法。在PSO中候选解被表示为“粒子”，在解空间中移动，并根据其个体经验和群体经验调整其位置。PSO的基本思想是通过模拟群体协作和信息共享来搜索解空间，以寻找最优解。

PSO的核心是通过更新每个粒子的速度和位置来实现搜索。具体而言，每个粒子根据其个体最佳位置（p_best）和整个群体的最佳位置（g_best）来调整其速度和位置。如图1所示。

粒子位置更新表达式：

$\mathop X\nolimits_{i,j} = \mathop X\nolimits_{i - 1,j} + \mathop V\nolimits_{i - 1,j}。$

(1)

粒子群速度更新表达式：

$V_{i,j} = {wv}_{i - 1,j} + c_1 r_1 ({p_{{\rm{best}}_i}} - x_{i - 1,j} ) + c_2 r_2 ( {g}_{{\mathrm{best}}_i} - x_{i - 1,j} )。$

(2)

式中：$w$为惯性权重，表征对当前速度方向的信任程度；$\mathop c\nolimits_1、\mathop c\nolimits_2$为个体学习因子与种群学习因子；${{\displaystyle r}}_{1},{{\displaystyle r}}_{2}$为[0，1] 的随机值，以增加搜索随机性。

1.2 传统粒子群算法的缺陷 1.2.1 全局最优与局部最优的失衡

传统粒子群算法w为固定值，当w值较大时，较大的惯性因子会使粒子在搜索过程中保持较大的速度，导致粒子越过全局最优解并最终陷入局部最优解中，影响算法的全局搜索能力。较大的惯性因子会增加粒子的移动速度，使粒子在解空间中移动的距离增大，将导致算法的收敛速度减慢，需要更多的迭代次数才能达到收敛。

当w值较小时，惯性因子过小会使粒子的速度变化较小，导致粒子在搜索过程中只在局部区域内移动，无法有效地探索整个解空间，将影响算法的全局搜索能力。惯性因子过小会使粒子在搜索过程中的速度变化较小，导致算法的收敛速度过快，以至于过早收敛到局部最优解无法找到全局最优解。如图2所示。

1.2.2 陷入局部最优

当个体因子为常数时，无法根据问题的特性动态调整。可能导致算法倾向于局部搜索，而缺乏全局搜索的能力。

个体因子过大会使粒子更加受到个体历史最佳位置的吸引，而忽略群体在全局最优解中的重要性。将导致粒子过度集中在个体历史最佳位置附近，无法进行有效的全局搜索，从而导致算法陷入局部最优解无法找到全局最优解。

个体因子过小会导致粒子更加受到全局最优解的吸引，而忽略个体历史最佳位置的重要性。这可能使得粒子更陷入局部最优解，无法进行全局搜索。

1.2.3 陷入全局最优

种群因子过大会使得粒子在搜索空间中移动的范围减小，导致粒子之间的差异性降低，可能会使得算法过早陷入全局最优解而无法进行有效的局部搜索，从而影响算法的搜索性能。

种群因子过小会使得粒子在搜索空间中移动的范围增大，导致粒子之间的差异性增加，但也会降低对群体最优解的吸引力。粒子难以有效地收敛到全局最优解附近，从而影响算法的搜索性能。

2 改进粒子群算法 2.1 改进惯性权重系数

为解决惯性系数是常数时，带来的全局最优与局部最优的失衡。得出以下结论：惯性权重系数前期越大，全局寻优越强，后期惯性权重系数越大，局部寻优越强，易提高收敛精度。针对以上情况，改进惯性权重函数^[9]为：

$w = \frac{{\mathop w\nolimits_{\max } + \mathop w\nolimits_{\min } }}{2} + \cos \left[ {\left( {\frac{t}{T}} \right){\text π} } \right] \times \left( {\frac{{\mathop w\nolimits_{\max } - \mathop w\nolimits_{\min } }}{2}} \right)。$

(3)

式中：$\mathop w\nolimits_{\max }$为最大惯性权重；$\mathop w\nolimits_{\min }$为最小惯性权重；$t$为当前迭代次数；$T$为总迭代次数。

根据式(3)得出，当前期粒子群算法全局寻优时，惯性权重系数逐渐增大，全局寻优^[10]较强，局部寻优较弱，当后期粒子群算法局部寻优时，惯性权重系数逐渐减小，局部寻优较强，提高收敛精度。使得粒子群算法满足前期收敛速度快，后期收敛精度高的特点。

2.2 改进个体学习因子

为克服个体学习因子是常数时，易陷入局部最优，导致算法倾向于局部搜索，而缺乏全局搜索的能力。改进后的个体学习因子^[11]为：

$\mathop c\nolimits_1 = \mathop c\nolimits_{\min } + \left( {\mathop c\nolimits_{\max } - \mathop c\nolimits_{\min } } \right) \times \cos \left[ {\left( {\frac{t}{{2T}}} \right){\text π} } \right] 。$

(4)

可知，随着迭代次数的增加，个体学习因子系数逐渐变大，粒子接近局部最优解的吸引，从而达到局部寻优的特点。随着个体学习因子变大，粒子的局部寻优越强。

2.3 改进种群学习因子

为解决种群学习因子过大，忽略粒子之间的差异性，导致算法过早的进入全局最优解，无法有效进行局部搜索。改进后的种群学习因子为：

$\mathop c\nolimits_2 = \mathop c\nolimits_{\max } - \left( {\mathop c\nolimits_{\max } - \mathop c\nolimits_{\min } } \right) \times \cos \left[ {\left( {\frac{t}{{2T}}} \right){\text π} } \right]。$

(5)

式中：$\mathop c\nolimits_{\max }$为最大学习因子；$\mathop c\nolimits_{\min }$为最小学习因子。

可知，随着迭代次数的增加，种群学习因子逐渐减小，粒子被全局最优解所吸引，无限接近全局最优解，寻优则增强。

2.4 改进粒子群速度函数

将式(3)～式(5)代入式(2)得出改进后的粒子群函数^[12]，使惯性权重系数达到全局最优与局部最优的平衡，个体学习因子系数逐渐增加，种群学习因子逐渐减小，满足前期全局寻优强，后期局部收敛精度高。此函数解决了传统粒子群算法：因惯性权重系数为固定值，造成全局最优与局部最优的失衡；因个体学习因子的数量，受个体历史最佳位置以及全局最优解的吸引，易陷入局部最优；因种群学习因子的数量，造成粒子的差异性变化，易陷入全局最优的缺点。

2.5 建立地图建模

水下环境复杂多变，光线暗淡，无法直接观察到周围的环境。通过建立水下三维模型，便于理解水下环境特征。本文建立一个1000 m×1000 m×800 m的水下地形环境。环境建模中，障碍物山体的数学模型^[13]为：

$z\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\mathop h\nolimits_i } \exp \left[ { - \mathop {\left( {\frac{{x - \mathop x\nolimits_i }}{{\mathop x\nolimits_{si} }}} \right)}\nolimits^2 - \mathop {\left( {\frac{{y - \mathop y\nolimits_i }}{{\mathop y\nolimits_{si} }}} \right)}\nolimits^2 } \right]。$

(6)

式中：$n$为山峰总个数；$\left( {\mathop x\nolimits_i ,\left. {\mathop y\nolimits_i } \right)} \right.$为第 i个山峰的中心坐标；$\mathop h\nolimits_i$为地形参数，控制高度；$\mathop x\nolimits_{si}$和$\mathop y\nolimits_{si}$分别为第i个山峰沿x轴和y轴方向的衰减量、控制坡度。

2.6 算法流程

本文具体算法流程（见图3）如下：

步骤1　读取改进权重函数，获得个体最优与全局最优解^[14]，采用改进惯性权重函数式(3)计算粒子适应度，采用改进个体学习因子函数式(4)使得粒子个数逐渐增加，提高粒子群局部寻优能力，采用改进种群学习因子函数式(5)使得粒子个数逐渐减小，提高粒子群全局寻优能力。

步骤2　采用改进粒子群速度更新函数式(2)计算粒子群速度，并根据式(2)～式(5)，完成加和计算。

步骤3　根据对当前种群迭代更新判断机器人是否停止迭代，若停止迭代则保存全局最优值，反之重新判断。

步骤4　停止迭代后，使用贝塞尔曲线形成路径规划。

步骤5　结束规划。

3 仿真分析

为了验证本文改进的有效性，在同一台设备上进行仿真实验。实验设备为安装64位Windows 11的笔记本（Core i5处理器，主频2.50 GHz，内存4 GB），软件版本为Matlab R2022a。在Matlab仿真软件上设置起点、目标点、海底场景^[15]。初始仿真参数设置，如表1所示。

3.1 只改进惯性权重函数仿真

为验证本文所提出的改进惯性权重函数的收敛曲线，容易在迭代8次时陷入全局最优解。设水下机器人的起点为（0, 0, 0），目标点坐标为（1000, 1000, 800），海底障碍物礁石个数12个。仿真路径^[16]如图4所示，其中最优适应度表示算法的寻优范围，最优适应度越大说明算法搜索范围越广。与传统粒子群算法相比只满足前期寻优能力强，收敛速度快，不满足后期寻优能力强，且最优适应度搜索范围过小，水下机器人易陷入全局最优解，从而无法有效进行局部寻优。

3.2 只改进个体学习因子函数仿真

为验证改进个体学习因子函数在解决水下机器人路径规划，容易在迭代4次时陷入局部最优解，仿真路径如图5所示。根据迭代次数的增加，最优适应度变化，可以看出与传统粒子群算法相比前期收敛速度快，最优适应度搜索范围相对广，但后期收敛速度同样收敛快，不满足后期寻优精度高的特点。水下机器人易陷入局部最优解，从而无法有效进行全局寻优。

3.3 只改进种群学习因子函数仿真

为验证改进种群学习因子函数在迭代21次后迅速进入局部最优解，迭代28次后，又迅速进入全局最优解，迭代60次后，逐渐陷入局部最优解，仿真路径如图6所示，可以看出与传统粒子群算法相比最优适应度搜索范围小，前期收敛速度慢，并且后期寻优能力时快时慢，水下机器人寻优不够稳定，从而无法对周边环境进行整体寻优。

3.4 整体改进3种权重函数仿真

为验证整体改进3种权重函数，满足改进后粒子群算法的前期全局寻优能力强^[17]，易得到合适的种子，后期局部寻优能力强，易提高收敛精度，仿真路径如图7所示。可以看出与传统粒子群算法相比满足前期收敛速度快，最优适应度搜索范围广，后期寻优精度高的特点。水下机器人在改进3种学习因子后，寻优能力满足上文所述，可得到理想寻优路径。

3.5 整体改进3种权重函数效率

分别对整体改进3种权重函数和传统粒子群算法做了对比，在改进3种不同权重函数下的最优适应度统计，可得表2所示的统计数据。可知，在迭代10次时，改进算法比原始算法的最优适应度高出1231，收敛速度提高44%；在迭代20次时，改进算法比原始算法的最优适应度高出296，收敛速度提高15%；在迭代30次时，改进算法比原始算法的最优适应度高出49，收敛速度提高2%。故得出结论，满足以上本文假设条件，前期全局寻优能力强，后期局部寻优能力强。

3.6 融合贝塞尔曲线仿真

上述改进算法弥补了传统粒子群算法的缺点，改善了路径规划的效率和稳定性，实现了前期整体寻优强，易得到合适的粒子，后期局部寻优强，提升了机器人路径收敛精度。同时改进个体学习因子函数，使个体学习因子函数呈现单调递增趋势；改进种群学习因子函数，使种群学习因子函数呈现单调递减趋势，二者函数相结合，可提高机器人的稳定性。但机器人运行时路径规划曲线可能会出现不够平滑的现象，因此，为了提高机器人路径的平滑程度，融合了贝塞尔曲线^[18]。贝塞尔曲线数学建模如下式：

$Bezier\left( {n,\left. t \right)} \right. = \sum\limits_{i = 0}^n {\underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n}} \\ {{i}} \end{array}} \right)}_{{\text{binomial term}}}} .\underbrace {\mathop {\left( {1 - t} \right)}\nolimits^{n - i} .\mathop t\nolimits^i }_{{\text{polynomial term}}} 。$

(7)

式中：$0 < t < 1$。对于水下机器人路径规划曲线问题，采用3次贝塞尔曲线方式进行控制，其中使用4个控制点来确定。具体递推式如下式：

${B\left( t \right) = \mathop {\left( {1 - t} \right)}\nolimits^3 \mathop p\nolimits_0 + 3t\mathop {\left( {1 - t} \right)}\nolimits^2 \mathop p\nolimits_1 + 3\mathop t\nolimits^2 \left( {1 - t} \right)\mathop p\nolimits_2 + \mathop t\nolimits^3 \mathop p\nolimits_3 。}$

(8)

式中：$\mathop p\nolimits_0$为机器人的起点位置；$\mathop p\nolimits_3$为机器人的终点位置；$\mathop p\nolimits_1$、$\mathop p\nolimits_2$为中间控制点，调整中间控制点可以使曲线呈现不同的弯曲程度。融合贝塞尔曲线算法的改进粒子群算法运动仿真图如图8所示。

对比可以看出，融合贝塞尔曲线算法后路径更加平滑，由于水下环境复杂，贝塞尔曲线具有较强的适应性，贝塞尔曲线的形状可以根据实际情况进行调整，可以应对各种复杂环境和场景下的导航需求。贝塞尔曲线还可以通过优化算法进行路径规划和轨迹优化^[19]，使得机器人的运动更加高效和节能，更便于机器人进行水下运动。

4 结　语

本文提出一种改进粒子群算法，主要体现在以下4个方面：

1）通过改进惯性权重函数，解决了全局最优与局部最优的失衡。使得改进粒子群算法与传统粒子群算法相比前期收敛速度快，最优适应度搜索范围相对广的特点。

2）通过改进个体学习因子函数，解决了算法易陷入局部最优，从而导致算法倾向于局部搜索，而缺乏全局搜索的能力。

3）通过改进种群学习因子函数，解决了算法过早的进入全局最优解，无法有效进行局部搜索，易陷入全局最优解及寻优震荡的问题。

4）通过改进3种权重函数，解决了水下机器人路径规划的全局最优与局部最优的失衡、陷入局部最优、寻优震荡、过早的进入全局最优解等问题。最后融合贝塞尔曲线算法，使机器人路径更加平滑、行驶更加稳定适合机器人水下循迹。