0 引　言

在海洋、湖泊、水库等环境复杂水域，水下航行器（AUV）结合行为决策、路径规划、运动控制等相关技术，具备开展海洋科学研究、环境资源勘查、水下设施检测等任务的自主作业能力^[1]。AUV由于巨大的商业和军事应用潜力，AUV轨迹跟踪控制引起了人们的极大关注^{[2 − 4]}。然而，AUV自主运动易受到多重因素影响，包括未建模动态、外界水流扰动、速度不可测等。为了在复杂环境中精确执行任务，AUV高精度轨迹跟踪控制变得尤为关键。

近年来，先进控制方法已应用到AUV运动控制中，包括反馈线性化控制^[5]、自适应控制^[6]、滑模控制^[7]和反步控制^[8]等。值得强调的是，滑模控制通过引入滑模面和相应的控制律，实现了控制器的系统化和结构化设计过程，使得控制器设计更加灵活和可控，因而被广泛应用^[9]。

文献[10]信息可以通过有限时间观测器准确估计，这对速度信息的准确性非常敏感，并且未完全考虑实际环境中噪声和干扰对控制性能的影响。GUERRERO等^[11]使用滑模控制理论改进PD控制器，并引入自适应有限时间扰动观测器来实现AUV深度和偏航的轨迹跟踪控制，该方法需要准确的初始参数估计，以便进行自适应调整。如果初始参数估计不准确，则会导致控制性能下降。ZHENG等^[12]提出了一种固定时间滑模控制器与扰动观测器相结合的方法，其目的是在考虑到时变外部扰动的情况下，实现AUV的轨迹跟踪控制，该方法中的收敛时间依赖于初始状态，一旦初始状态无法提前得知，就无法准确估计收敛时间。WANG等^[13]设计了一种基于非奇异终端滑模方法的名义精确跟踪控制方案，以实现在没有外部干扰情况下的精确轨迹跟踪控制。然后，研究开发了一种有限时间扰动观测器（DO）来提供对未知干扰的精确抵消。此外，为了在面对未知系统动态和外部干扰的情况下实现精确轨迹跟踪，创造性地提出了一种基于有限时间未知观测器的精确跟踪控制方案（UO-ATC），以实现精确跟踪和精确识别。最终，通过所提出的DO-ATC和UO-ATC方案，轨迹跟踪误差和扰动可以在短时间内稳定，从而在复杂未知情况下实现精确轨迹跟踪。

本研究聚焦于AUV的轨迹跟踪控制，旨在设计一种固定时间扩张状态观测器FESO能对速度和集总扰动进行综合估计，且估计误差能在固定时间内收敛到0，并引入固定时间非奇异终端滑模控制器，以实现AUV的固定时间轨迹跟踪控制。与文献[10 − 13]有限时间观测器相比，所提出的FESO的收敛时间不依赖于初始值。与文献[10 − 13]相比，所提出的观测器是一种扩展状态观测器，它能以综合的方式估计速度和集总扰动。

1 模型建立与问题描述 1.1 重要引理

引理1^[14]　对于非线性系统：

$ \stackrel{.}{x}(t)=f(x(t))\text{，}f(0)=0\text{，}x(0)=0 。$

(1)

式中：$x \in {R^n}$；$ f(·) $为连续非线性函数。对于系统，假设存在正定、连续函数$V(x)$满足：

1）当$x = 0$时，$V(x) = 0$；

2）$\mathop V\limits^. (x) \leqslant - \alpha {V^p}(x) - \beta {V^q}(x)$，其中$\alpha 、\beta 、p、q $均大于0以及$0 < p < 1,q > 1$；

则系统是全局固定时间稳定的，并且收敛时间T满足：

$ T \leqslant \frac{1}{{\alpha (1 - p)}} + \frac{1}{{\beta (q - 1)}} 。$

1.2 AUV数学模型

为了便于描述AUV运动模型，如图1所示，按照右手定则建立大地坐标系E-XYZ和AUV附体坐标系O-xyz，则AUV在E-XYZ下的位姿向量表示为$ \eta = {[x，y，z，\varphi ，\theta ，\psi ]}^{\rm T} $，其中$x$、$y$、$z$为位置坐标，$\phi $、$\theta $、$\psi $为姿态坐标。$ \vartheta ={[u，v，w，p，q，r]}^{\rm T} $为AUV在附体坐标系中的速度；$u$、$v$、$w$分别为线速度，即纵荡速度、横荡速度、垂荡速度；$p$、$q$、$r$分别为角速度，即横摇角速度、纵摇角速度、艏摇角速度。

基于上述定义和文献[15]的描述，AUV的运动学方程可以描述为：

$ \dot \eta = {\boldsymbol{J}}(\eta )\vartheta 。$

(2)

其中，旋转矩阵

$ {\boldsymbol{J}}(\eta ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{J}}_1}(\eta )}&{{0^{3 \times 3}}} \\ {{0^{3 \times 3}}}&{{{\boldsymbol{J}}_2}(\eta )} \end{array}} \right)，$

(3)

${{\boldsymbol{J}}_1}(\eta )$和${{\boldsymbol{J}}_2}(\eta )$为：

$ {{{\boldsymbol{J}}_1}(\eta ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ( \psi )\cos ( \theta )} &{ - \sin ( \psi )\cos ( \phi ) + \cos ( \psi )\sin (\theta )\sin ( \phi )} \\ &{\sin ( \psi )\sin ( \phi ) + \cos ( \psi )\cos ( \phi )\sin ( \theta )} \\ {\sin ( \psi )\cos (\theta )} &{\cos ( \psi )\cos ( \phi ) + \sin ( \psi )\sin ( \theta )\sin ( \phi )} \\ &{ - \cos ( \psi )\sin ( \phi ) + \sin ( \psi )\cos ( \phi )\sin (\theta )} \\ { - \sin ( \theta )}&{\cos ( \theta )\sin ( \phi )}\\ &{\cos ( \theta )\cos ( \phi )} \end{array}} \right) ，}$

(4)

$ {{\boldsymbol{J}}_2}(\eta ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\sin (\phi )\tan (\theta )}&{\cos (\phi )\tan (\theta )} \\ 0&{\cos (\phi )}&{ - \sin (\phi )} \\ 0&{\dfrac{{\sin (\phi )}}{{\cos (\theta )}}}&{\dfrac{{\cos (\phi )}}{{\cos (\theta )}}} \end{array}} \right)。$

(5)

AUV的动力学方程可以描述为：

$ {\boldsymbol{M}}\mathop \vartheta \limits^. {\text{ + }}{\boldsymbol{C}}(\vartheta )\vartheta + {\boldsymbol{D}}(\vartheta )\vartheta {\text{ + }} {\boldsymbol{g}}(\eta ) = {{\boldsymbol{\tau}} _\vartheta } + {{\boldsymbol{\tau}} _d} 。$

(6)

式中：${\boldsymbol{M}} \in {R^{6 \times 6}}$为质量矩阵；${\boldsymbol{C}}(\vartheta )$为科里奥利矩阵；${\boldsymbol{D}}(\vartheta )$为阻尼矩阵；${\boldsymbol{g}}(\eta )$为恢复力和力矩向量；${{\boldsymbol{\tau}} _\vartheta }$为AUV的控制力（力矩）向量；${{\boldsymbol{\tau}} _d}$为外界干扰力（力矩）向量。给定系统期望跟踪轨迹为$ {\eta }_{d}=[{x}_{d}，{y}_{d}，{z}_{d}，{\varphi }_{d}，{\theta }_{d}，{\psi }_{d}]^{\text{T}} $，而$ {\vartheta _d} = {J^{ - 1}}({\eta _d}){\dot \eta _d} $。

针对式(2)和式(6)，在速度不可用和未知集总干扰（包括不确定性和外部干扰）的限制下，提出了一种固定时间输出反馈控制方案，使得在固定时间内精确跟踪参考位置、姿态和速度。

2 基于FESO的固定时间轨迹跟踪控制 2.1 坐标变换

引入一个在大地坐标系中的辅助速度矢量$ \omega $。令

$ \omega = {\boldsymbol{J}}(\eta )\vartheta ，$

(7)

$ \mathop \omega \limits^. = {\boldsymbol{J}}(\eta ){{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}\tau + \chi ，$

(8)

$ {{\mathop \eta \limits^.}_d} = {\omega _d} 。$

(9)

其中，

$ {{\boldsymbol{\chi}} = \mathop {\boldsymbol{J}}\limits^. (\eta )\vartheta - {\boldsymbol{J}}(\eta ){{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{\boldsymbol{C}}(\vartheta )\vartheta - {\boldsymbol{J}}(\eta ){{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{\boldsymbol{D}}(\vartheta )\vartheta + {\boldsymbol{J}}(\eta ){{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{\tau}} _d}。} $

(10)

${\boldsymbol{\chi}} $为包含模型不确定性和外部干扰的集总干扰。根据文献[14]给出如下假设。假设存在一个有界常数${h_0}$满足$\left| {\mathop \chi \limits^. } \right| \leqslant {h_0}$。

跟踪误差向量的定义：

$ {\eta _e} = \eta - {\eta _d} ，$

(11)

$ {\omega _e} = \omega - {\omega _d} 。$

(12)

式(11)和式(12)的时间导数为：

$ {{\mathop \eta \limits^.}_e} = \mathop \eta \limits^. - \mathop {{\eta _d}}\limits^. = \omega - {\omega _d} = {\omega _e}，$

(13)

$ {{\mathop \omega \limits^.}_e} = \mathop \omega \limits^. - {{\mathop \omega \limits^.}_d} = J(\eta ){M^{ - 1}}\tau + \chi - {{\mathop \omega \limits^.}_d} 。$

(14)

2.2 FESO设计

固定时间扩张状态观测器的作用在于通过实时观测、估计和调整系统状态，提高水下航行器在复杂、动态的海洋环境中的性能和适应能力。FESO的目的是利用已知的系统模型，输入和输出数据，以及观测器设计技术，对动态系统中不可直接观测的状态变量进行估计，以实现更好的控制。固定时间控制系统的示意图如图2所示。因此，FESO由下式给出：

$ {\left\{ \begin{gathered} \mathop {\hat \eta }\limits^. = \hat \omega + {m_1}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{\alpha _1}}}(\eta - \hat \eta ) + {n_1}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{\beta _1}}}(\eta - \hat \eta ) ，\\ \mathop {\hat \omega }\limits^. = {\boldsymbol{J}}(\eta ){{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{\boldsymbol{\tau }} + \hat \chi + {m_2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{\alpha _2}}}(\eta - \hat \eta ) + {n_2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{\beta _2}}}(\eta - \hat \eta )，\\ \mathop {\hat \chi }\limits^. = {m_3}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{\alpha _3}}}(\eta - \hat \eta ) + {n_3}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{\beta _3}}}(\eta - \hat \eta ) + {l_1}{\mathrm{sign}}(\eta - \hat \eta )。\end{gathered} \right.} $

(15)

式中：$ \hat \eta、\hat \omega、\hat \chi $为$ \eta $、$ \omega $、$ \chi $的估计值；参数${\alpha _i} \in (0,1)$；${\beta _i} > 1$。调整FESO的增益${m_i}$和${n_i}$($i = 1$，2，3)以确保以下矩阵是Hurwitz矩阵：

$ {{\boldsymbol{P}}}_{1}=\left[\begin{array}{ccc}-{m}_{1}& 1& 0\\ -{m}_{2}& 0& 1\\ -{m}_{3}& 0& 0\end{array}\right]，{{\boldsymbol{P}}}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}-{n}_{1}& 1& 0\\ -{n}_{2}& 0& 1\\ -{n}_{3}& 0& 0\end{array}\right]。$

根据文献[16]可知，观测器误差在经过一段固定时间后将趋近于0。

2.3 FTTTC设计及稳定性分析

基于观测器输出值，设计如下固定时间非奇异终端滑模面：

$ s = H({\eta _e}){\eta _e} +{\mathrm{ si}}{{\mathrm{g}}^{{r_2}}}({\omega _e}) 。$

(16)

式中：$1 < {r_2} < 2$；$ {\mathrm{sig}}^{r_2}( \omega_e ) = [\left|\omega_{e1}\right|^{r2}{\mathrm{sign}}( \omega_{e1} )，\left|\omega_{e2}\right|^{r2} {\mathrm{ sign}} (\omega_{e2})，\mathrm{...}，\left|\omega_{e6}\right|^{r2}{\mathrm{sign}}(\omega_{e6})]^{\text{T}} $；$ H( {\eta }_{e} ) = {\mathrm{diag}} \{{h}_{1}( {\eta }_{e1} )，\mathrm{...}，{h}_{6}({\eta }_{e6})\} $且$h_i(\eta_{ei}) = ( \alpha |\eta_{ei}|^{r_i - \frac{1}{r_2}} + \beta +\gamma |\eta_{ei}|^{1 - \frac{1}{r_2}} )^{r_2}$；$ \alpha >0，\beta > 0，$$ \gamma > 0，{r}_{1} > 1 $。

定理1　式(2)和式(6)在FTTTC

$ \begin{gathered}\tau = - M{J^{ - 1}}\{ \frac{1}{{{r_2}}}(\tilde H({\eta _e}) + H({\eta _e})){\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{2 - {r_2}}}({\omega _e}) + \\ \hat \chi + {\xi _1}{\mathrm{sign}}(s) + {\xi _2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^l}(s) - \mathop {{\omega _d}}\limits^. \} 。\end{gathered}$

(17)

作用下能够在固定时间内跟踪期望轨迹${\eta _d}$，其中$ {\xi _1}{\text{ = }} {l_2} + \delta $，$ \delta > 0 $，$ {\xi _2} > 0 $，$ l > 0 $。

证明：1）到达阶段，即当$s \ne 0$时，对式(16)求导得：

$ {\begin{gathered}\dot{s} = \left[ H(\eta_e) \eta_e + \text{sig}''(\omega_e) \right]'=\\ \left( \tilde{H}(\eta_e) + H(\eta_e) \right) \omega_e + r_2 \text{diag} \left\{ \left| \omega_e \right|^{r_2 - 1} \right\} \left( J M^{-1} \tau + \chi - \dot{\omega}_d \right)。\end{gathered} }$

(18)

其中：$ \tilde{H}({\eta }_{e}) = {\mathrm{diag}}\{{\tilde{h}}_{e1}({\eta }_{e1})，\mathrm{...}，{\tilde{h}}_{e6}({\eta }_{e6})\}$；${\tilde{h}}_{ei}({\eta }_{e}) = {r}_{2} \times {(\alpha {\left|{\eta }_{ei}\right|}^{{r}_{1}-\frac{1}{{r}_{2}}}+\beta +\gamma {\left|{\eta }_{ei}\right|}^{1-\frac{1}{{r}_{2}}})}^{{r}_{2}-1}\times (\alpha ({r}_{1}-\frac{1}{{r}_{2}}) $${\left| {{\eta _{ei}}} \right|^{{r_1} - \frac{1}{{{r_2}}}}}\gamma (1 - \dfrac{1}{{r2}}) {\left| {{\eta _{ei}}} \right|^{1 - \frac{1}{{{r_2}}}}})。$

选取Lyapunov函数$V$：

$ V = \frac{1}{2}{s^{\text{T}}}s 。$

(19)

对式(19)求导后代入式(18)得：

$ \begin{split} \dot{V}=& {s^{\rm T}}\dot{s} = {s^{\rm T}}[(\tilde H({\eta _e}) + H({\eta _e})){\omega _e} +\\& {r_2}{\mathrm{diag}}\{ {| {{\omega _e}} |^{{r_2} - 1}}\} J{M^{ - 1}}\tau + \chi - {\dot{\omega} _d}] 。\end{split} $

(20)

将控制输入式(17)代入式(20)，得到：

$ \mathop V\limits^. \leqslant {s^{\text{T}}}[{r_2}{\mathrm{diag}}\{ {\left| {{\omega _e}} \right|^{{r_2} - 1}}\} (\hat \chi - {\xi _1}{\mathrm{sign}}(s) - {\xi _2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^l}(s))] 。$

(21)

下面分2种情况讨论：

①当${\omega _e} \ne 0$时，$ {r_2}{\mathrm{diag}}\{ {\left| {{\omega _e}} \right|^{{r_2} - 1}}\} > 0 $，则

$\begin{gathered} \mathop V\limits^. \leqslant {r_2}{\mathrm{diag}}\{ {\left| {{\omega _e}} \right|^{{r_2} - 1}}\} ({l_2}\left\| s \right\| - ({l_2} + \delta )\left\| s \right\| - {\xi _2}{\left\| s \right\|^{l + 1}}) \leqslant \\ {r_2}{\mathrm{diag}}\{ {\left| {{\omega _e}} \right|^{{r_2} - 1}}\} ( - {2^{\frac{1}{2}}}\delta {V^{\frac{1}{2}}} - {2^{\frac{{l + 1}}{2}}}{\xi _2}{V^{\frac{{l + 1}}{2}}}) 。\\ \end{gathered} $

根据引理1可以得出误差系统状态在固定时间内能够到达滑模面。

②由式(18)可以得到

$ \begin{split} \mathop {{\omega _e}}\limits^. =& - \frac{1}{{{r_2}}}(\tilde H({\eta _e}) + H({\eta _e}){\mathrm{si}}{\mathrm{{g}}^{2 - {r_2}}}({\omega _e}) -\\& {\xi _1}{\mathrm{sign}}(s) - {\xi _2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^l}(s)) 。\end{split}$

(22)

当${\omega _e} = 0$时，式(22)化为

$ \mathop {{\omega _e}}\limits^. = - {\xi _1}{\mathrm{sign}}(s) - {\xi _2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^l}(s)。$

(23)

由式(23)得出，不论$s > 0$或$s < 0$，${\omega _e} = 0$都不是吸引子。综上所述，系统在到达阶段是固定时间稳定的。

2）滑动阶段，即系统位于滑模面$s = 0$上时，

$ H({\eta _e}){\eta _e} + {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{r_2}}}({\omega _e}) = 0。$

那么有，

$ {h_i}({\eta _{ei}}){\eta _{ei}} + {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{r_2}}}({\omega _{ei}}) = 0。$

即：

$ \begin{split} {\omega _{ei}} = &- {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{\frac{1}{{{r_2}}}}}({h_i}({\eta _{ei}}){\eta _{ei}})= \\& - {\left| {{h_i}({\eta _{ei}}){\eta _{ei}}} \right|^{\frac{1}{{{r_2}}}}}sign({h_i}({\eta _{ei}}){\eta _{ei}}) = \\& - \alpha {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{r_1}}}({\eta _{ei}}) - \beta {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{\frac{1}{{{r_2}}}}}({\eta _{ei}}) - \gamma {\eta _{ei}} 。\end{split} $

(24)

构造Lyapunov函数：

$ {V_s} = \frac{1}{2}{\eta _e}^{\text{T}}{\eta _e}。$

(25)

对式(25)求导后将式(24)代入得

$ \begin{split} \mathop {{V_s}}\limits^. =& \eta _e^{\text{T}}\mathop {{\eta _e}}\limits^. = \eta _e^{\text{T}}({\omega _e}) = - \eta _e^{\text{T}}(\alpha {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{{r_1}}}({\eta _e}) + \\& \beta {\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{\frac{1}{{{r_2}}}}}({\eta _e}) + \gamma {\eta _e}) \leqslant - \alpha {\left| {{\eta _e}} \right|^{{r_1} + 1}} -\beta {\left| {{\eta _e}} \right|^{1 + \frac{1}{{{r_2}}}}} - \\& \gamma \eta _e^{\text{T}}{\eta _e} = - \bar \alpha V_s^{\frac{{1{\text{ + }}{r_1}}}{2}} - \bar \beta V_s^{\frac{{1{\text{ + }}{r_2}}}{{2{r_2}}}} - \bar \gamma {V_S} 。\end{split} $

(26)

根据引理1，系统状态能够在固定时间内沿着滑模面收敛至原点。

3 仿真研究

为了直观验证控制策略的有效性，使用Matlab/Simulink平台进行仿真实验。分2种情况对AUV进行仿真，在方案1中系统的初始状态为$ \eta (0)={[0,0,0, 0,0,0]}^{\text{T}}$，$ \vartheta (0)={[0,0,0,0,0,0]}^{\text{T}}，$方案2假设系统的初始状态为η(0)=[0.5, 0.5, π/3, 0.5, 0.5, π/3]^T，$ \vartheta (0)={[0,0,0,0,0,0]}^{\text{T}}，$期望轨迹设置为η_d=[5sin(t/20);cos(t/20);0.05t+1;0;arctan(1/π);0.5]。FESO的设计参数和FTTTC的参数分别在表1和表2中列出。

本节采用AUV，其详细型号信息可参考文献[15]。时变外部干扰被视为：

$ {\left\{ \begin{split} &{\tau _{d1}} = - 1.5\sin (0.6t)N,{\tau _{d2}} = - \sin (0.5t)N, \\ &{\tau _{d3}} = - 2\sin (0.4t) - 5\cos (0.2t)N, \\ &{\tau _{d4}} = - 1.5\cos (0.2t)N,{\tau _{d5}} = - \sin (0.3t) - 3\cos (0.3t)N, \\ &{\tau _{d6}} = - 2\sin (0.1t)N 。\end{split} \right.} $

(27)

由图3可以看出，在x-y-z三维空间中则提供了AUV整体运动的完整图像，包括水平、垂直和侧向的运动。尽管存在外部干扰，AUV仍然成功地跟踪了期望轨迹，并具有良好的控制性能。为了更清楚地观察跟踪精度，AUV的位置和姿态跟踪误差由图4和图5所示。从图4可以看出，在初始跟踪阶段，实际轨迹和期望轨迹有一定的误差，通过观察这2幅图，可以明显看出位置跟踪误差和姿态跟踪误差在特定时间段内逐渐稳定，位置跟踪误差在35 s内稳定，表明控制系统在这段时间内逐渐调整并成功维持了AUV的期望位置。而姿态跟踪误差在15 s内趋于稳定，这表明控制系统对于姿态调整的效果非常良好。这些结果表明控制系统在初始跟踪阶段就能快速响应期望轨迹，随后在相对较短的时间内达到了稳定的状态。图5所示为方案2下的位置跟踪误差和姿态跟踪误差。可以看出输出跟踪误差可以收敛到0，与图4的方案一相似，可以从中得出所提出的控制方法的收敛时间与系统的初始状态无关。由图6可以观察到，控制器的输出在初始阶段急剧变化以稳定闭环系统，而在稳态阶段产生更小且更稳定的输出以抑制干扰。由图7可以观察到，实际干扰和观测器的估计干扰几乎重合，这表明观测器对系统状态的估计比较准确，良好的观测器性能对于控制系统至关重要，因为它提供了准确的状态信息，使控制器能够做出更精确的决策和调整。总的来说这些观察结果都是比较积极的。

为了显示FESO在集总干扰方面的性能，将通过仿真和FTESO^[17]和LESO^[18]进行比较，突出FESO的优势。FTESO由下式所示：

$ \left\{ \begin{gathered} \mathop {\hat \eta }\limits^. = \hat \omega - {k_1}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{(\frac{{\alpha + 1}}{2})}}(\hat \eta - \eta )，\\ \mathop {\hat \omega }\limits^. = \hat \chi - {k_2}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^{(\frac{{\alpha + 1}}{2})}}(\hat \eta - \eta ) + J(\eta ){M^{ - 1}}\tau，\\ \mathop {\hat \chi }\limits^. = - {k_3}{\mathrm{si}}{{\mathrm{g}}^\alpha }(\hat \eta - \eta ) 。\\ \end{gathered} \right. $

(28)

式中：${k_1} = 5$，${k_2} = 20$，${k_3} = 50$，$\alpha = 0.4$。

LESO由下式给出：

$ \left\{ \begin{gathered} \mathop {\hat \eta }\limits^. = \hat \omega + {\ell _1}(\eta - \hat \eta )，\\ \mathop {\hat \omega }\limits^. = \hat \chi + {\ell _2}(\eta - \hat \eta ) + J(\eta ){M^{ - 1}}\tau ，\\ \mathop {\hat \chi }\limits^. = {\ell _3}(\eta - \hat \eta )。\\ \end{gathered} \right. $

(29)

式中：${\ell _1} = 5$，${\ell _2} = 20$，${\ell _3} = 50$。

如图8所示，FESO在6个状态下的集总扰动估计误差总是可以在较快的时间内趋于0，明显优于FTESO和LESO观测器。与FTESO和LESO相比，FESO可以在固定时间内收敛到原点，而不是原点的邻域或渐近收敛，这意味着FESO在扰动估计方面能够更直接、更快速地达到期望状态，而不需要过多的时间或迭代，并且FESO的收敛精度也更高，能够更准确地估计速度和扰动，LESO和FTESO的收敛精度可能会受到初始值的影响，而FESO的收敛时间不依赖于初始值。

4 结　语

本研究致力于解决水下航行器在面对集总扰动时的航迹跟踪问题，并提出了一种创新的固定时间输出反馈控制方案。通过引入固定时间扩张状态观测器（FESO），成功实现对未知集总干扰的准确估计，从而确保观测误差能够在设定的时间内快速趋于0。基于FESO的估计结果，设计了一种新颖的固定时间轨迹跟踪控制器，使水下自主航行器能够高效地跟踪时变参考轨迹，并在固定时间内实现跟踪误差的迅速收敛至0。值得强调的是，本研究所提出的控制器及FESO的收敛时间与初始状态值无关，进一步增强了系统的鲁棒性。通过充分的仿真实验，证明所提出的方案在水下航行器的航迹跟踪任务中表现出显著的优越性。这一创新性的控制框架为解决水下航行器在复杂环境下的鲁棒轨迹跟踪问题提供了一种有效的解决方案，为相关领域的研究和应用提供了新的思路和启示。