0 引　言

随着海洋勘探需求的不断增长，自主水下机器人（AUV）因其成本低、体积小、重量轻、灵活性高等特点，在海洋资源勘探和海底测绘等领域得到了广泛应用^[1]。为适应长距离、广覆盖、长时作业需求，现代AUV常采用细长回转体设计与尾部十字舵-螺旋桨组合控制（如REMUS系列^[2]），构成欠驱动系统，其控制自由度少于运动自由度。这一特性使得AUV在遭遇海流干扰时，面临控制输入受限的挑战，需通过间接调整策略（如航向或深度调整）来应对，而这种间接应对方式可能导致响应时间过长，且难以完全抵消干扰的影响。尤其在强海流干扰下，AUV更容易出现姿态失稳或控制失效的情况，这使得实现精确且稳健的运动控制变得更加困难。因此，探索高效自适应控制策略，对于保障欠驱动AUV在复杂海流环境中的安全稳定运行至关重要。

目前，许多研究者致力于探索AUV的先进控制方法。例如，Lei Qiao等^[3]、Lamraoui等^[4]、楼鉴路等^[5]、胡中惠等^[6]、吕厚权等^[7]国内外学者在航向控制、深度控制、路径跟踪和轨迹跟踪等方面提出了效果良好的控制方法。此外，An等^[8]针对AUV受外部环境干扰和误差收敛速度慢等问题，提出了一种结合反步控制和固定时间控制的控制方法，实现了固定时间内的自适应跟踪控制。Li等^[9]提出了一种无模型的自适应控制方法，旨在实现块速跟踪并补偿环境干扰的影响。Yan等^[10]设计了一种结合观测器的滑模运动控制方案，有效消除了洋流恒定速度未知的问题，使跟踪误差收敛到一个小范围内。在众多控制策略中，反步控制以其系统化的控制设计方法，特别适用于非线性系统。其独特优势在于能够逐级构建Lyapunov函数，保障系统稳定性，且不受系统阶数限制，尤其擅长处理高阶非线性系统，并消除相对阶为1的局限。这一方法在机械、电力、航空航天等多个领域得到了广泛应用。然而，面对实际应用中的挑战，特别是海流等复杂未知干扰，传统反步法因高度依赖精确模型进行设计，往往更聚焦于系统内部动态与稳定性，而在抑制外部干扰方面表现相对薄弱。这导致在复杂海洋环境下，反步法的控制效能可能受限。

近年来，一种结合了自适应方法和反步技术的新框架被广泛应用于欠驱动AUV的运动控制。例如，Che等^[11]针对未知动力学问题，设计了一种基于动作批评网络的自适应动态规划（ADP）方案，采用批评者神经网络和动作神经网络与反步控制相结合的方式实现自适应控制，并通过仿真实验验证了该控制方案的有效性。Kai等^[12]提出了一种基于反步方法的稳健跟踪控制算法，适用于具有动态不确定性的AUV，且无需对AUV的位置和方向进行严格界定。Chu等^[13]则开发了一种适用于受推进器动力学和饱和约束的AUV的自适应跟踪控制算法，确保跟踪误差收敛到原点的有界区域内。然而，上述方法虽能实现有界跟踪，却未能达到误差归零的理想状态。为此，Zhang等^[14]提出了面向未知外部干扰及输入限制的AUV轨迹跟踪设计方案，成功实现了跟踪误差的零收敛，显著提升了系统的鲁棒性和渐近跟踪性能。尽管这些研究在自适应控制方面取得了显著进展，但在应对未知环境干扰时仍面临挑战，尤其是干扰估计器或观测器的设计往往依赖于较大的比例增益系数，这可能引发控制初期的超调现象。此外，自适应反步控制在实际应用中还需克服“微分爆炸”的难题，这一问题源于高阶微分运算的需求，不仅增加了控制器的复杂度和计算负担，还可能因噪声放大而损害系统性能。因此，探索有效策略以解决或缓解“微分爆炸”问题，成为了推动自适应反步控制技术在AUV领域深入应用的关键所在。

本文提出一种新的自适应反步控制策略，旨在提升欠驱动AUV在海流等干扰环境下的鲁棒性。同时，为了优化干扰估计精度并避免超调现象，本文设计了一种基于遗忘因子递推最小二乘法的海流干扰估计器，实现对海流模型的实时辨识与对反步控制器的精准补偿。此外，为解决“微分爆炸”问题，引入一阶非线性滤波器，通过生成期望指令的虚拟导数，进一步增强了运动控制的鲁棒性与稳定性。

1 AUV模型

为研究AUV运动的数学模型，确定水下运动时的速度和姿态，通常需要建立AUV运动坐标系{O}和惯性坐标系{E}（见图1）。根据刚体牛顿-欧拉方程和拉格朗日公式，得到五自由度欠驱动AUV的研究模型^[12]。

运动学方程：

${\left\{ \begin{gathered} \dot x = {u_r}\cos (\psi )\cos (\theta ) - {v_r}\sin (\psi ) + {w_r}\cos (\psi )\sin (\theta ) + {u_h} ，\\ \dot y = {u_r}\sin (\psi )\cos (\theta ) - {v_r}\cos (\psi ) + {w_r}\sin (\psi )\sin (\theta ) + {v_h}，\\ \dot z = - {u_r}\sin (\theta ) + {w_r}\cos (\theta ) + {w_h} \\ \dot \theta = q ，\\ \dot \psi = 1/\cos (\theta ) 。\\ \end{gathered} \right. }$

(1)

动力学方程：

${\left\{ \begin{split} &(m - {X_{\dot u}})\dot u = {X_{uu}}{u_r}\left| {{u_r}} \right| + {X_{wq}}{w_r}q + {X_{vr}}{v_r}r + {X_{qq}}qq +\\ &{X_{rr}}r\left| r \right| + m({v_r}r - {w_r}q) + T，\\ &(m - {Y_{\dot v}})\dot v = {Y_{rr}}r\left| r \right| + {Y_{vv}}{v_r}\left| {{v_r}} \right| + {Y_{uv}}{u_r}{v_r} + {Y_{ur}}{u_r}r - m({u_r}r) ，\\ &(m - {Z_{\dot w}})\dot w = {Z_{uq}}{u_r}q + {Z_{ww}}{w_r}\left| {{w_r}} \right| + {Z_{qq}}q\left| q \right| +\\ &{Z_{uw}}{u_r}{w_r} + m({u_r}q)，\\ &({I_{zz}} - {N_{\dot r}})\dot r = {N_{vv}}{v_r}\left| {{v_r}} \right| + {N_{uv}}{u_r}{v_r} + {N_{ur}}{u_r}r + {N_{rr}}r\left| r \right| + {\tau _r} ，\\ &({I_{yy}} - {M_{\dot q}})\dot q = {M_{uw}}{u_r}{w_r} + {M_{qq}}q\left| q \right| + {M_{ww}}{w_r}\left| {{w_r}} \right| + \\ &{M_{uq}}{u_r}q + {Z_B}B\sin (\theta ) + {\tau _q} 。\\ \end{split} \right. }$

(2)

式中：$x、y、z、\theta 、\psi$为AUV的位置和姿态；$u、v、w、q、r$为AUV在运动坐标系下的速度和角速度；${X_{**}}$、${Y_{**}}$、${Z_{**}}$、${N_{**}}$、${M_{**}}$为AUV的各项水动力系数；${I_{zz}}$、${I_{yy}}$分别为绕Z、Y轴的转动惯量；$m$为AUV质量；$B$为浮力大小；${Z_B}$为浮心相对重心的距离；$T$为螺旋桨产生的推力；${\tau }_{r}、{\tau }_{q}$分别为垂直舵和水平舵产生的控制力。

本文采用速度矢量合成的方法，该方法是在轨迹计算时，将绝对速度转化为考虑流速后的相对速度。一般情况下海水流速较慢，并且受深度、水域环境影响，根据文献[15]深水区水流速不超过0.5 m/s，且变化率较低，令流速的变化率${\dot U_c} = 0$，则海流变化符合一阶高斯-马尔科夫过程，海流模型变化规律为：

${\dot U_c} + \mu {U_c} = \omega 。$

(3)

则可设计在动坐标系中海流的速度干扰模型为：

$\left\{\begin{array}{l} u_{h}=1 / \mu_{1}\left(\omega-\bar{u}_{h}\right)，\\ v_{h}=1 / \mu_{2}\left(\omega-\bar{v}_{h}\right)，\\ w_{h}=1 / \mu_{3}\left(\omega-\bar{w}_{h}\right)。\end{array}\right.$

(4)

式中：${\mu }_{1}、{\mu }_{2}、{\mu }_{3}$均为大于或等于0的调节系数；$\omega$为海流模型的输入，通过改变$\omega$来实现常值、时变和随机海流的生成。

AUV的速度加上海流速度可以得到受海流影响的相对速度${u}_{r}、{v}_{r}、{w}_{r}$为：

$\left\{\begin{gathered} {u_r} = u + {u_h} ，\\ {v_r} = v + {v_h}，\\ {w_r} = w + {w_h}。\\ \end{gathered}\right.$

(5)

2 自适应反步控制

本文提出的IABC控制策略主要航向控制器、深度控制器和海流干扰估计器组成。其运作机理在于，通过海流干扰估计器实时估计出海流的干扰速度，并计算出海流作用在AUV运动模型中的干扰项，并补偿到控制器上，实现欠驱动AUV的自适应控制。控制原理框图如图2所示。

2.1 海流干扰估计器

本文提出的海流干扰估计器由遗忘因子递推最小二乘估计器和非线性无源估计器组成。其中遗忘因子递推最小二乘估计器实现对海流参数信息的实时辨识，非线性无源滤波估计器实现对控制器进行前馈补偿。

2.1.1 非线性无源估计器

非线性无源估计器能将作用在AUV速度上的海流干扰速度估计出来，进而计算出航向角加速度和纵倾角加速度动力学公式上的干扰项，并对控制器进行一个前馈补偿，从而消除海流带来的干扰，使AUV的航向和深度能够更加精确地到达期望位置。建立非线性无源估计器模型如下：

${{\hat u}_r} = \hat u + {{\hat u}_h} ，{{\hat v}_r} = \hat v + {{\hat v}_h} ，{{\hat w}_r} = \hat w + {{\hat w}_h} 。$

(6)

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot{\hat{u}}}_h} = {\mu _1}{{\hat u}_h} - {J_1}({{\hat u}_r} - {u_r})，\\ {{\dot{\hat{v}}}_h} = {\mu _2}{{\hat v}_h} - {J_2}({{\hat v}_r} - {v_r})，\\ {{\dot{\hat{w}}}_h} = {\mu _3}{{\hat w}_h} - {J_3}({{\hat w}_r} - {w_r})。\\ \end{gathered}\right.$

(7)

${\left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{u}}=\left(X_{u u} \hat{u}_{r}\left|\hat{u}_{r}\right|+X_{w q} \hat{w}_{r} q+X_{v r} \hat{v}_{r} r+X_{q q} q q+X_{r r} r|r|+ \right.\\ \left. m\left(\hat{v}_{r} r-\hat{w}_{r} q\right)+T-K_{1}\left(\hat{u}_{r}-u_{r}\right)\right) /\left(m-X_{\dot{u}}\right) ，\\ \dot{\hat{v}}=\left(Y_{r r} r|r|+Y_{v v} \hat{v}_{r}\left|\hat{v}_{r}\right|+Y_{u v} \hat{u}_{r} \hat{v}_{r}+Y_{u r} \hat{u}_{r} r-m\left(\hat{u}_{r} r\right)- \right. \\ \left. K_{2}\left(\hat{v}_{r}-v_{r}\right)\right) /\left(m-Y_{\dot{v}}\right) ，\\ \dot{\hat{w}}=\left(Z_{u q} \hat{u}_{r} q+Z_{w w} \hat{w}_{r}\left|\hat{w}_{r}\right|+Z_{q q} q|q|+Z_{u w} \hat{u}_{r} \hat{w}_{r}+\right.\\ \left. m\left(\hat{u}_{r} q\right)- K_{3}\left(\hat{w}_{r}-w_{r}\right)\right) /\left(m-Z_{\dot{w}}\right)。\end{array}\right. }$

(8)

${\left\{\begin{split} &d_{\psi}=\left(N_{w} \hat{v}_{h}\left|\hat{v}_{h}\right|+N_{u v} \hat{u}_{h} \hat{v}_{h}+N_{u z} \hat{u}_{h} r+N_{r r} r|r| /\left(I_{z z}-N_{i}\right)\right. \\ &d_{\theta} = \left( M_{u w} \hat{u}_{h} \hat{w}_{h} + M_{q q} q|q| + M_{w w} \hat{w}_{h} \left|\hat{w}_{h}\right| + M_{u q q} \hat{v}_{h} q\right) / \left(I_{u y} - M_{\dot{q}}\right) \end{split}\right. }$

(9)

式中：$\widehat{u}、\widehat{v}、\widehat{w}$为AUV自身的估计速度；${\widehat{u}}_{h}、{\widehat{v}}_{h}、{\widehat{w}}_{h}$为海流的估计速度；${J}_{1}、{J}_{2}、{J}_{3}$和${K}_{1}、{K}_{2}、{K}_{3}$为大于0的正常数；${d_\psi }$和${d_\theta }$为控制器的补偿值。

令估计误差表达如下：

$\left\{ \begin{gathered} {{\tilde u}_h} = {u_h} - {{\hat u}_h}，\\ {{\tilde v}_h} = {v_h} - {{\hat v}_h}，\\ {{\tilde w}_h} = {w_h} - {{\hat w}_h}，\\ \end{gathered} \right. \begin{gathered} \tilde u = u - \hat u，\\ \tilde v = v - \hat v，\\ \tilde w = w - \hat w，\\ \end{gathered} \begin{gathered} {{\tilde u}_r} = {u_r} - {{\hat u}_r}，\\ {{\tilde v}_r} = {v_r} - {{\hat v}_r}，\\ {{\tilde w}_r} = {w_r} - {{\hat w}_r}。\\ \end{gathered}$

(10)

构造Lyapunov函数：

$\begin{array}{c}V = \dfrac{{{K_1}}}{{2J_1^2}}\tilde u_h^2 + \dfrac{{(m - {X_{\dot u}})}}{{2{J_1}}}{\tilde u^2} + \dfrac{{{K_2}}}{{2J_2^2}}\tilde v_h^2 + \dfrac{{(m - {Y_{\dot v}})}}{{2{J_2}}}{\tilde v^2} + \\ \dfrac{{{K_3}}}{{2J_3^2}}\tilde w_h^2 + \dfrac{{(m - {Z_{\dot w}})}}{{2{J_3}}}{\tilde w^2}。\end{array}$

(11)

由表1的AUV仿真参数可知：$(m - {X_{\dot u}}) = 0.1 > 0，(m - {Y_{\dot v}}) = 0.1 > 0，(m - {Z_{\dot w}}) = 0.1 > 0$。

所以构造的Lyapunov函数满足$V > 0$的条件。

对$V$求导可得：

$\begin{split} &\dot V =\frac{{{K_1}\omega {{\tilde u}_h}}}{{J_1^2}} - \frac{{{K_1}{\mu _1}}}{{J_1^2}}\tilde u_h^2 + \frac{{{X_{uu}}\tilde u({u_r}\left| {{u_r}} \right| - {{\hat u}_r}\left| {{{\hat u}_r}} \right|)}}{{{J_1}}} + \frac{{{X_{wq}}q\tilde u{{\tilde w}_r}}}{{{J_1}}} + \\ &\frac{{{X_{vr}}r\tilde u{{\tilde v}_r}}}{{{J_1}}} + \frac{{mr\tilde u{{\tilde v}_r}}}{{{J_1}}} + {\text{ }}\frac{{mq\tilde u{{\tilde w}_r}}}{{{J_1}}} - \frac{{{K_1}}}{{{J_1}}}\tilde u_r^2 {\text{ }} + \frac{{{K_2}\omega {{\tilde v}_h}}}{{{J_2}}} - \\ &\frac{{{K_2}{\mu _2}}}{{{J_2}}}\tilde v_h^2 + \frac{{{Y_{vv}}\tilde v({v_r}\left| {{v_r}} \right| - {{\hat v}_r}\left| {{{\hat v}_r}} \right|)}}{{{J_2}}} + \frac{{{Y_{uv}}\tilde v({u_r}{v_r} - {{\hat u}_r}{{\hat v}_r})}}{{{J_2}}} + \\ &\frac{{{Y_{ur}}r\tilde v{{\tilde u}_r}}}{{{J_2}}} - {\text{ }}\frac{{mr\tilde v{{\tilde u}_r}}}{{{J_2}}} - \frac{{{K_2}}}{{{J_2}}}\tilde v_r^2 {\text{ }} + \frac{{{K_3}\omega {{\tilde w}_h}}}{{{J_3}}} - \frac{{{K_3}{\mu _3}}}{{{J_3}}}\tilde w_h^2 + \\ &\frac{{{Z_{uq}}q\tilde w{{\tilde u}_r}}}{{{J_3}}} + \frac{{{Z_{ww}}\tilde w({w_r}\left| {{w_r}} \right| - {{\hat w}_r}\left| {{{\hat w}_r}} \right|)}}{{{J_3}}} + \frac{{{Z_{ww}}\tilde w({u_r}{w_r} - {{\hat u}_r}\hat w)}}{{{J_3}}} + \\ &{\text{ }}\frac{{mq\tilde w{{\tilde u}_r}}}{{{J_3}}} - {\text{ }}\frac{{{K_3}}}{{{J_3}}}\tilde w_r^2。\\[-1pt] \end{split}$

(12)

其中，海流模型的输入$\omega$存在上界，使得$|\omega | \leqslant \bar \omega$，并根据文献[16−18]中的化简方法，当取${J}_{1}、{J}_{2}、{J}_{3}$为较大值，${K}_{1}、{K}_{2}、{K}_{3}$为较小值时，可以将公式进一步简化为：

$\begin{split}{\dot{V}} =& - \dfrac{{{K_1}{\mu _1}}}{{J_1^2}}\tilde u_h^2 - \dfrac{{{K_1}}}{{{J_1}}}\tilde u_r^2 - \dfrac{{{K_2}{\mu _2}}}{{{J_2}}}\tilde v_h^2 - \dfrac{{{K_2}}}{{{J_2}}}\tilde v_r^2 - \\ &\dfrac{{{K_3}{\mu _3}}}{{{J_3}}}\tilde w_h^2 -{\text{ }}\dfrac{{{K_3}}}{{{J_3}}}\tilde w_r^2 \leqslant 0。\end{split}$

(13)

所以，存在满足${{\dot{V}} < 0}$的情况，令海流估计误差最终可以收敛到0，证明非线性无源估计器稳定。

2.1.2 遗忘因子递推最小二乘法估计器

为了实现对海流信息参数$\mu 、\omega$的实时观测，首先对海流模型式(4)进行Z变换转换成式(14)的形式；然后利用遗忘因子递推最小二乘法迭代式(16)估计出式(15)的当前时刻参数；最后，将实时观测到的海流参数信息传递到非线性无源估计器。

将(4)式离散化为最小二乘回归模型：

${\boldsymbol{z}}(k + 1) = {h^{\text{T}}}(k){\boldsymbol{\theta}} 。$

(14)

式中：${\boldsymbol{z}}(k)$为系统输出向量；${\boldsymbol{\theta}} = [{a_1}{\text{ }}{a_2}]$为待估计的模型参数向量。对于一般离散非线性时变系统，式(14)可以表示为：

$z(k + 1) = {a_1}h(k) + {a_2}h(k)。$

(15)

式中：$h(k)$为系统输入向量。遗忘因子递推最小二乘法的递推公式为：

$\left\{\begin{gathered} {\boldsymbol{K}}(k + 1) ={\boldsymbol{ P}}(k)h(k){[{h^{\text{T}}}(k){\boldsymbol{P}}(k)h(k) + \lambda ]^{ - 1}} , \\ \hat {\boldsymbol{\theta}} (k + 1) = \hat{\boldsymbol{ \theta}} (k) + K(k + 1)[{\boldsymbol{z}}(k + 1) - {{\boldsymbol{h}}^{\text{T}}}(k)\hat {\boldsymbol{\theta}} (k)], \\ {\boldsymbol{P}}(k + 1) = {\lambda ^{ - 1}}[I - {\boldsymbol{K}}(k + 1){h^{\text{T}}}(k)]{\boldsymbol{P}}(k)。\\ \end{gathered}\right.$

(16)

式中：${\boldsymbol{K}}(k)$为增益矩阵；${\boldsymbol{P}}(k)$为协方差矩阵；${\boldsymbol{I}}$为单位矩阵；$\lambda$为遗忘因子。

2.2 航向控制器设计

令期望航向角为${\psi _d}$，那么航向控制误差${\psi _e}$和其导数${\dot \psi _e}$表达式为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _e} = {\psi _d} - \psi }，\\ {{\psi _e} = {\psi _d} - r} 。\end{array}} \right.$

(17)

对${\psi _e}$进行镇定，使航向控制误差${\psi _e} \to 0$，定义Lyapunov函数为：

$L_{1}=\frac{1}{2} c_{1} \psi_{e}^{2} 。$

(18)

式中：${c_1}$为大于0的常数。

联立式(17)和(18)可以得到${L_1}$的导数为：

$\dot{L}_{1}=c_{1} \psi_{e} \dot{\psi}_{e}=c_{1} \psi_{e}\left({\dot{\psi}}_{d}-r\right)。$

(19)

令航向角速度误差${r_e}$为：

$r_{\theta}=r_{d}-r。$

(20)

则

${\dot L_1} = {\psi _e}({\dot \psi _d} + {r_e} - {r_d})。$

(21)

在传统反步法设计中，如果取${r_d} = {k_1}{\psi _e} + {\dot \psi _{\text{d}}}$，将可能导致在求${\dot r_d}$时出现微分爆炸，通过采用动态面的控制方法，利用一阶积分滤波器来计算虚拟控制导数，可以克服这一缺点。取${r_d}$为${a_1}$的低通滤波器$1/(\tau s + 1)$的输出，设计：

$a_{1}=k_{1} \psi_{e}+\dot{\psi}_{d}。$

(22)

式中：${k_1}$为0的正常数。

且${a_1}$满足：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tau {{\dot r}_d} + {r_d} = {a_1}}，\\ {{r_d}(0) = {a_1}(0)}。\end{array}} \right.$

(23)

式中：$\tau$为正常数，产生的滤波误差为${e_1} = {r_d} - {a_1}$。

为了使全局镇定，设计Lyapunov函数为：

${L_2} = {L_1} + \frac{1}{2}{c_2}r_e^2 + \frac{1}{2}e_1^2。$

(24)

式中：${c_2}$为大于0的常数。联立式(21)、式(23)和式(24)，则${L_2}$的导数为：

${\begin{split} &{L_2} = {L_1} + {c_2}{r_e}{{\dot r}_e} + {e_1}{{\dot e}_1} = \\ &{c_1}\psi _e^2( - {e_1} - {k_1}{\psi _e}) + {c_2}{r_e}({{\dot a}_1} - \dot r + {c_1}{\psi _e}) + {e_1}( - \frac{{{e_1}}}{\tau } - {C_1})。\end{split} }$

(25)

式中：${C_1} = {k_1}{\dot \psi _e} + {\ddot \psi _d} = {k_1}({r_e} - {e_1} - {k_1}{\psi _e}) - {\ddot \psi _d}$。

为了满足${\dot L_2} < 0$的情况，结合干扰估计器的${d_\psi }$，联立式(2)，设计航向控制的控制律为：

$\begin{split}{\tau _r} =& ({I_{zz}} - {N_{\dot r}})\left( {{k_2}{r_e} + {{\dot a}_1} + {c_1}{\psi _e}} \right) - {N_{vv}}v\left| v \right| + {N_{uv}}uv +\\ & {N_{ur}}ur + {N_{rr}}r\left| r \right| - {d_\psi } 。\end{split}$

(26)

式中：${k_2}$为大于0的常数。

2.3 深度控制器设计

令期望的深度、期望的俯仰角和期望的俯仰角速度分别为${\xi _d}$、${\theta _d}$和${q_d}$，那么深度控制误差${\xi _e}$，纵倾角误差${\theta _e}$，纵倾角速度误差${q_e}$可以表示为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\zeta _e} = {\zeta _d} - \zeta } ，\\ {{\theta _e} = {\theta _d} - \theta } ，\\ {{q_e} = {q_d} - q} 。\end{array}} \right.$

(27)

设计Lyapunov函数为：

${V_1} = \frac{1}{2}{p_1}{\zeta _e}^2。$

(28)

式中：${p_1}$为大于0的常数，考虑到AUV为固定螺旋桨转速，当运动到达平衡时，纵向速度$u$保持不变，为了降低控制公式的推导难度，将$u$近似当作常数处理，所以由式(27)、式(28)可得：

${\dot V_1} = {p_1}{\zeta _e}{\dot \zeta _e} = {p_1}{\zeta _e}\left( {{{\dot \zeta }_d} - u\theta } \right) = {p_1}{\zeta _e}\left( {{{\dot \zeta }_d} - u{\theta _d} + u{\theta _e}} \right)。$

(29)

取${\theta _d}$为${a_2}$的低通滤波器$1/(\tau s + 1)$的输出，定义：

${a_2} = ({h_1}{\xi _e} + {\dot \xi _{\text{d}}})/u 。$

(30)

式中：${k_1}$为0正常数。

且${a_2}$满足：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tau {{\dot \theta }_d} + {\theta _d} = {a_2}}，\\ {{\theta _d}(0) = {a_2}(0)} 。\end{array}} \right.$

(31)

式中：$\tau$为正常数，产生的滤波误差为${e_2} = {\theta _d} - {a_2}$。

设计Lyapunov函数为：

${V_2} = {V_1} + \frac{1}{2}{p_2}{\theta _e}^2 。$

(32)

式中：${p_2}$为大于0的常数。

联立公式、和，我们可以得到${V_2}$的导数为：

$\begin{gathered} {{\dot V}_2} = {{\dot V}_1} + {p_2}{\theta _e}{{\dot \theta }_e}= \\ {\text{ }} - {p_1}{h_1}\zeta _e^2 + {p_2}{\theta _e}({{\dot \theta }_d} - q + u - (u{e_1})/{\theta _e}) 。\\ \end{gathered}$

(33)

为了使${\dot V_2} < 0$，令

${\dot \theta _d} - q + u - (u{e_2})/{\theta _e} = - {h_2}{\theta _e}。$

(34)

则存在${q_d}$满足等式，得到${q_d}$的表达式为：

${q_d} = {\dot \theta _d} + {h_2}{\theta _e} + u - (u{e_2})/{\theta _e}。$

(35)

为了使全局镇定，设计Lyapunov函数为：

${V_3} = {V_1} + {V_2} + \frac{1}{2}{p_3}{q_e}^2 。$

(36)

式中：${p_3}$为大于0的常数。

联立式(29)、式(33)和式(36)可以得到：

$\begin{gathered} {{\dot V}_3} = {{\dot V}_1} + {{\dot V}_2} + {p_3}{q_e}{{\dot q}_e} {\text{ }} = - {p_1}{h_1}\zeta _e^2 - \\ {p_2}{h_2}\theta _e^2 + {p_3}{q_e}({{\ddot \theta }_d} + {h_2}{{\dot \theta }_e} - (u{{\dot e}_1}{\theta _e} - u{e_1}{{\dot \theta }_e})/\theta _e^2 - \dot q + {p_2}{\theta _e}) 。\\ \end{gathered}$

(37)

为了让${\dot V_3} < 0$，设计：

${\ddot \theta _d} + {h_2}{\dot \theta _e} - (u{\dot e_1}{\theta _e} - u{e_1}{\dot \theta _e})/\theta _e^2 - \dot q + {p_2}{\theta _e} = - {h_3}{q_e}。$

(38)

其中，${h_3}$为大于0的常数。

结合干扰估计器的${d_\theta }$，联立式(2)，设计深度控制的控制律为：

$\begin{gathered} {\tau _q} = \left( {{I_{yy}} - {M_{\dot q}}} \right)({{\ddot \theta }_d} + {h_2}{{\dot \theta }_e} + {p_2}{\theta _e} + {h_3}{q_e} - (u{{\dot e}_1}{\theta _e} - u{e_1}{{\dot \theta }_e})/\theta _e^2) - \\ {M_{\iota nv}}uw + {M_{qq}}q\left| q \right| + {M_{ww}}w\left| w \right| + {M_{uq}}uq + {Z_B}B\sin (\theta ) - {d_\theta } 。\\ \end{gathered}$

(39)

3 仿真实验 3.1 欠驱动AUV参数

为了验证所提出的运动控制器的有效性和鲁棒性，本文使用Matlab R2022b软件搭建仿真环境。欠驱动AUV的仿真模型基于实体机器人“精灵200”的相关实体数据建立，具体实体数据如表1所示。

本次仿真设计包含2个案例，分别是时变海流干扰和随机海流干扰，通过这2个案例旨在验证所提出控制方案在面对低频干扰和高频干扰的抗干扰能力。同时，为了更清晰、定量地分析AUV运动控制性能，对航向、深度误差进行了数据分析。计算了3种参数来评估控制精度和稳定性，即1）IAE(Integral of absolute error)公式表达为$I A E=\int_{0}^{t}|e(t)| {\mathrm{d}} t$；2）AVE(Average value of the absolute errors)公式表达为$AVE= (1/t){\displaystyle \int {}_{0}^{t}}\left|e(t)\right|{\mathrm{d}}t$；3）ITAE(Integrated time absolute error)公式表达为$\operatorname{ITAE}=\int_{0}^{t} t|e(t)| {\mathrm{d}} t$。控制器和估计器的参数设置如表2所示。

3.2 案例1

AUV跟踪航向[0、20、50、10]时间间隔30 s，跟踪深度[0、−10 m、−30 m、−20 m] 时间间隔30 s；AUV初始位置和初始速度为[x y z ψ θ]^T=[0 0 0 0 0]^T，${[u{\text{ }}v{\text{ }}w{\text{ }}r{\text{ }}q]^{\rm T}} = {[0{\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}0]^{\rm T}}$；螺旋桨转速设置为1200，达到平衡后的纵向速度稳定在2.5 m/s；时变海流的调节系数设置为${\mu }_{1}=2、{\mu }_{2}=6、{\mu }_{3}=3$，海流的输入$\omega = \sin (0.25t)$。海流干扰在30 s后引入的AUV模型中。

图3所示为本文提出的海流干扰估计器能够有效地估计出时变海流干扰，其估计误差小于0.01；从图4和表3中可以明显看出，在面临时变海流干扰时，IABC方法相较于传统反步法，在航向和深度控制上能有效克服海流引起的稳态误差。IABC在各项误差指标上也表现出明显优势，与BC方法相比，航向上的误差平均降低了32.9%，深度误差则平均减少了36.2%。从图5可以看出，海流干扰估计器能够准确补偿海流对AUV的干扰，使控制器能够输出精确的舵角指令，持续对抗波动干扰，从而保持航行方向和深度的稳定。

3.3 案例2

为了进一步测试本文提出的海流干扰估计器对高频变化的海流是否能够有效估计，在案例1的基础上将时变海流干扰换成随机海流干扰。海流的输入$\omega$由simulink的高斯白噪声模块生成，其功率密度谱服从均匀分布，瞬时振幅分布无关^[19]。按照峰值海流不超过0.5 m/s设计海流的输入，设高斯白噪声均值为0，方差为0.2，采样时间为0.1 s。随机海流的调节系数设置为μ₁ = 1.5、μ₂ = 8、μ₃ = 4。

由图6可见，面对由高斯白噪声模拟的随机海流干扰，本文所设计的海流干扰估计器也能够快速精准地跟踪上，估计误差均控制在0.1 s以内。进一步观察图7和图8，经过估计器补偿后，IABC的控制表现十分明显，相较于BC方法展现出更强的抗干扰能力。从表4的性能指标可以看出，与BC方法相比，IABC在航向上的误差平均降低了3.5%，在深度控制上的误差平均降低了5%。

4 结　语

本文提出一种自适应反步控制（IABC）的策略，基于该策略设计了航向控制器和深度控制器。在理论层面，基于李雅普诺夫稳定性理论，通过构造适当的Lyapunov函数，使整个IABC控制系统的全局一致渐近稳定性，确保了控制系统的长期稳定运行。仿真实验的结果显示，IABC策略在航向和深度控制方面表现出色，海流干扰估计器能够快速精确地跟踪海流的变化。与传统的BC方法相比，IABC展现出了更高的鲁棒性和更强的抗干扰能力。整体而言，仿真实验充分验证了IABC策略在理论上的可行性，为进一步的实体验证和改进奠定了坚实基础。