0 引　言

随着人口逐渐增加，陆上可利用资源越来越少的问题日渐突出，地球上71%面积覆盖海洋^[1]，海洋中蕴藏了大量海底石油、天然气等资源，故利用水下潜航器进行海洋探索已经成为一种重要方法。水下潜航器具备很多执行复杂任务的能力^[2]，包括海洋科学调查和水下目标搜索等。其面临的环境未知且复杂，还受到其自身的状态量，如速度和角速度会受到物理极限值的限制。

所有这些实际问题共同影响着水下潜航器在控制性能方面的轨迹跟踪，甚至可能导致运行不稳定的情况发生。轨迹跟踪控制作为AUV水平面运动的主要控制技术要求，在完成作业任务中扮演着关键角色。然而，外界干扰增加了AUV水平面控制的难度，尤其在欠驱动的AUV工作环境中，由于复杂而恶劣的条件，轨迹跟踪变得更加困难，很容易导致跟踪不精确^[3]，从而无法顺利完成期望的任务。随着AUV的广泛应用和智能程度的不断提高^[4]，AUV的运动控制技术取得了快速发展，使其在工程应用方面逐渐成熟。然而，由于AUV模型具有非完整性和耦合性，外界环境的干扰以及在复杂场景中的应用需求，AUV运动跟踪控制技术仍有很大的改进和提升空间^[5]。

水下潜航器运动控制系统是一个活跃的研究领域。许多开创性的工作和论文已经在会议和期刊上发表。郑宇鑫等^[4]针对三维轨迹跟踪提出一种基于微分几何的精确反馈线性化的滑模控制方法，减少了非线性航行器带来的系统误差。但欠驱动AUV模型存在高阶速度量积分问题，对于精确线性化是有难度的。刘丽萍等^[6]研究了水平面跟踪问题，提出将海流速度引入水下潜航器的数学模型中，在此基础上建立误差方程。陈浩华等^[7]同样针对三维轨迹跟踪，设计非奇异终端滑模控制器，保证在有限时间内将误差收敛至0。于浩淼等^[8]提出利用粒子群优化非奇异终端滑模控制器参数，使其获得更好的控制性能，可以有效完成在有限时间内的直线跟踪任务，同时能克服海流的恒定干扰。潘伟等^[9]对于水平面艏向角采用滑模控制，将其带来的抖振问题利用模糊控制解决，只是控制策略大多数是基于模型设计的，需要详细了解潜航器的各种参数。GONZALEZ等^[10]提出了一种在预定时间内收敛的无模型高阶滑模控制器，通过时基参数的简单变化引入了收敛时间。上述设计观测器的方法能够为控制器提供有效的干扰估计值，便于扰动补偿设计，这在欠驱动水下机器人的推进器直驱自由度上取得了较好的控制效果，但对于横荡这类不存在有效控制输入的自由度，如何补偿欠驱动方向的扰动仍然需要进一步讨论。为了使水下机器人运动控制的相关方法在实际应用中达到预期目标，关于轨迹跟踪问题的研究不仅需要考虑未知环境的干扰因素、推进器输出的饱和限制^[11]，还需要结合推进器自身的推力特性及布局，为欠驱动水下机器人在各运动自由度提供具有补偿功能的运动控制器，使其能够稳定、快速且准确地跟踪目标轨迹。

因此，本研究提出了一种带有预设性能的固定时间收敛的轨迹跟踪方法，以实现具有集总不确定性、受约束的稳态响应精确收敛，与传统的水下潜航器跟踪控制方案相比，本研究的主要工作以及创新性总结如下：1）提出了一种固定时间收敛的扰动观测器（FISMDO），实现了对包含外部扰动和未知系统动态的集总非线性的快速精确重构和补偿，实现了与初始条件无关的固定时间收敛；2）将预设性能控制、固定时间方法和改进趋近律的积分滑模控制相结合，提出了一种预设性能固定时间滑模控制方案（PPFTSM）。该控制器保证了闭环系统的稳态响应始终保持在预定义区域内。

1 预备知识和问题表述 1.1 水下潜航器模型

为了建立欠驱动AUV的运动模型，引入了2个参考坐标系，一个是惯性坐标系，另一个是固定坐标系。如图1所示，惯性坐标系位于地球上，坐标为O-X_IY_IZ_I固定坐标系在AUV的质心处为O-X_BY_BZ_B。AUV的轨迹跟踪涉及惯性坐标系中的6个自由度，分别描述了AUV的所在位置$x,y,z \in \Re$和姿态角向量$\phi ,\theta ,\psi \in \Re$（横滚角、俯仰角和偏航角），固定坐标系描述的AUV的线速度$u,v,w \in \Re$和角速度。

本文仅考虑横荡、纵倾和艏向3个方向的运动^[6]。通过坐标变换建立2个坐标系下物理量之间的关系：

$\dot {\boldsymbol{\eta}} = {\boldsymbol{J}}\left( \psi \right){\boldsymbol{v}} \leftrightarrow {\boldsymbol{v}} = {J^{ - 1}}\left( \psi \right)\dot{\boldsymbol{ \eta }}。$

(1)

式中：${\boldsymbol{\eta}} = {[x,y,\psi ]^{\rm T}}$，${\boldsymbol{v}} = {[u,v,r]^{\rm T}}$，${\boldsymbol{ J}}(\psi )$为旋转矩阵且具有${J^{ - 1}}(\psi )\;= \;{{\boldsymbol{J}}^{\text{T}}}(\psi )$和$\left\| {{\boldsymbol{J}}(\psi )} \right\|\; =\; 1$的性质，计算式为：

${\boldsymbol{J}}(\psi ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{ - \sin \psi }&0 \\ {\sin \psi }&{\cos \psi }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]。$

基于水下潜航器的数学模型，建立其动力学模型如下：

$\dot v = {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}({\boldsymbol{R}}(\eta ,v) + \boldsymbol{\tau} + d) 。$

(2)

式中：${\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\eta}} ,{\boldsymbol{v}}) = - {\boldsymbol{C}}(v)v - {\boldsymbol{D}}(v)v$；${\boldsymbol{M}} \in {\Re ^{{\text{3}} \times {\text{3}}}}$为包含附加质量的惯性对称正定矩阵^[12]；${\boldsymbol{C}}(v) \in {\Re ^{{\text{3}} \times {\text{3}}}}$为水动力参数组成的科里奥利向心力矩阵；${\boldsymbol{D}}(v) \in {\Re ^{3 \times 3}}$为阻尼系数矩阵；$d \in {\Re ^{3 \times 1}}$为海洋环境中产生的时变扰动和动态不确定性；$\boldsymbol{\tau} = {\left[ {{\tau _u},{\tau _v},{\tau _r}} \right]^{\rm T}}$为控制力和力矩。

假设AUV为刚体，且其外形关于水平面和纵平面对称，重量和浮力相等且浮心位于垂直面内，忽略非线性水动力阻尼项和横摇运动，AUV完全浸没在流体介质中，且处于全粘湿状态^[13]。为了便于后续控制器的设计，通过坐标变换将动力学模型映射到惯性坐标系^[14]，具体如下：

$\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{M}}(\eta ) = {{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm T}}}(\psi ){\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}(\psi ) ，\\ {\boldsymbol{C}}(v,\eta ) = {{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm T}}}(\psi )\left[ {{\boldsymbol{C}}(v) - {\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}(\psi ){\boldsymbol{J}}(\psi )} \right]{{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}(\psi ) ，\\ {\boldsymbol{D}}(\nu ,\eta ) = {{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm T}}}(\psi ){\boldsymbol{D}}(v){{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}(\psi ) ，\\ \tau (\eta ) = {{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm T}}}(\psi ){\tau _v} 。\\ \end{gathered} \right.$

(3)

故本文建立的惯性坐标系下的动力学模型为：

${\boldsymbol{M}}(\eta )\ddot \eta + {\boldsymbol{}}C(v,\eta )\dot \eta + {\boldsymbol{D}}(v,\eta )\dot \eta = {\tau _\eta } + {d_\eta } 。$

(4)

假设1 AUV的参考轨迹目标向量$\eta = {\left[ {x,y,\psi } \right]^{\rm T}}$及其对时间的一阶导数为$\dot \eta = {\left[ {\dot x,\dot y,\dot \psi } \right]^{\rm T}}$，且每个相应的元素是连续光滑的函数。

假设2 不确定参数${\boldsymbol{C}}(v)$和${\boldsymbol{D}}(v)$有界，未知海洋参数扰动${d_\eta }$时变有界。

假设3 推进系统受物理约束的影响，只能提供有限的控制力或控制力矩$\tau = {sat} ({\tau _v})$

注1 假设2合理，因为在许多实际工程扰动中，如AUV中的波浪和海流扰动，扰动能量被认为有界。

1.2 非线性模型变换

为了方便后续预设性能函数、误差变换函数和终端滑模面的设计，规定AUV的轨迹跟踪系统的跟踪误差为：

$e = \eta - {\eta _d} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{e_x}}&{{e_y}}&{{e_\psi }} \end{array}} \right]^{\rm T}}。$

(5)

在水下潜航器稳定运行的过程中，其输出变量$\eta = {(x,y,\psi )^{\rm T}}$应该可以快速跟踪得到预定期望值${\eta _d} = {\left[ {{x_d},{y_d},{\psi _d}} \right]^{\rm T}}$，同时保证其跟踪误差$e = \eta - {\eta _d} = {\left[ {{e_x},{e_y},{e_\psi }} \right]^{\rm T}}$及误差对时间的导数$\dot e = \dot \eta - {\dot \eta _d} = {\left[ {{{\dot e}_x},{{\dot e}_y},{{\dot e}_\psi }} \right]^{\rm T}}$在规定的性能范围内波动，即满足：

$- {\rho _{{\text{a}}i}}(t) \lt {e_i}(t) \lt {\rho _{ai}}(t)，$

(6)

$- {\rho _{bi}}(t) \lt {\dot e_i}(t) \lt {\rho _{bi}}(t) 。$

(7)

定义1 光滑函数${\rho _i}(t)(i = x,y,\psi )$是规定的预设性能函数^[5]，具有如下形式：

${{\rho _i}(t) = \left\{ {\begin{aligned} &{\left( {{\rho _{i,0}} - {\rho _{i,\infty }}} \right)\exp \left( {1 - \dfrac{T}{{T - t}}} \right) + {\rho _{i,\infty }}，}{t \in \left[ {0,T} \right)} ，\\ &{{\rho _{i,\infty }},}{{\text{ }}t \in \left[ {T, + \infty } \right)} 。\end{aligned}} \right. }$

(8)

式中：$T \in {\Re ^ + }$为预定的时间；${\rho _{i,0}}$和${\rho _{i,\infty }}$为自定义函数。${\rho _{i,0}}$和${\rho _{i,\infty }}$具有如下性质：

1）${\rho _i}(t)$为单调递减的光滑函数；

2）$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\rho _i}(t) = {\rho _{i,\infty }}$为跟踪误差的最大稳态边界误差，$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\rho _i}(t) = {\rho _{i,0}}$为误差动态中最大超调的上界；

3）${\dot \rho _i}(t)$是有界的并为如下形式：

${{\dot \rho _i}(t) = \left\{ \begin{aligned} &\left( {{\rho _{i,0}} - {\rho _{i,\infty }}} \right)\exp \left( {\frac{t}{{t - T}}} \right)\left( {\frac{{ - T}}{{{{\left( {t - T} \right)}^2}}}} \right){\text{, }}t \in \left[ {0,T} \right)，\\ &0,{\text{ }}t \in \left[ {T, + \infty } \right)。\end{aligned} \right. }$

(9)

为了解决控制器推导中性能约束问题带来的复杂程度，引入误差映射函数将约束误差转换到无约束空间^[15]。将约束条件式(9)转为误差变换函数：

${e_i}(t) = \rho (t)S(\varepsilon )。$

(10)

式中：$\varepsilon$为新的转换误差，$S(\varepsilon )$具有光滑可逆且严格递增的性质，因此可将式(10)等效变化为：

$\varepsilon (t) = {S^{ - 1}}\left( {\frac{{{e_i}(t)}}{{\rho (t)}}} \right) = {\rm T}\left( {\frac{{{e_i}(t)}}{{\rho (t)}}} \right) 。$

(11)

定义误差变换函数为：

$\varepsilon (t) = \frac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{\dfrac{{{e_i}(t)}}{{\rho (t)}} + 1}}{{1 - \dfrac{{{e_i}(t)}}{{\rho (t)}}}}} \right)。$

(12)

该变换保证了变换前后系统状态具有相同的单调性，因此基于这种转换，只要转换后的系统是稳定的，就保证原系统也满足性能要求。

对式(13)进行求导可得：

$\dot \varepsilon (t) = \frac{1}{{2{\rho _i}}}\left( {\frac{1}{{{e_i}/{\rho _i} + 1}} - \frac{1}{{{e_i}/{\rho _i} - 1}}} \right)\left( {{{\dot e}_i} - \frac{{{e_i}{{\dot \rho }_i}}}{{{\rho _i}}}} \right)。$

(13)

化简上式：

${\alpha _i} = \frac{1}{{2\rho }}\left( {\frac{1}{{{e_i}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_i}/\rho - 1}}} \right) ，$

(14)

${\beta _i} = \frac{{\dot \rho }}{{2{\rho ^2}}}\left( {\frac{1}{{{e_i}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_i}/\rho - 1}}} \right)。$

(15)

可得：

${\dot \varepsilon _i}(t) \triangleq {\alpha _i}{\dot e_i} - {\beta _i}{e_i} 。$

(16)

结合式(5)和式(16)可得到如下变换后的系统模型：

$\left\{\begin{array}{l} \dot{\varepsilon}_{1}=\alpha_{1}\left(u \cos (\psi)-v \sin (\psi)-\dot{x}_{d}\right)-\beta_{1} e_{1} ，\\ \dot{\varepsilon}_{2}=\alpha_{2}\left(u \sin (\psi)+v \cos (\psi)-\dot{y}_{d}\right)-\beta_{2} e_{2}，\\ \dot{\varepsilon}_{3}=\alpha_{3}\left(r-\dot{\psi}_{d}\right)-\beta_{3} e_{3}。\end{array}\right.$

(17)

式中：

$\left\{ \begin{gathered} {\alpha _1} = \frac{1}{{2\rho }}\left( {\frac{1}{{{e_1}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_1}/\rho - 1}}} \right) ，\\ {\alpha _2} = \frac{1}{{2\rho }}\left( {\frac{1}{{{e_2}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_2}/\rho - 1}}} \right) ，\\ {\alpha _3} = \frac{1}{{2\rho }}\left( {\frac{1}{{{e_3}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_3}/\rho - 1}}} \right)。\\ \end{gathered} \right.$

(18)

$\left\{ \begin{gathered} {\beta _1} = \frac{{\dot \rho }}{{2{\rho ^2}}}\left( {\frac{1}{{{e_1}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_1}/\rho - 1}}} \right) ，\\ {\beta _2} = \frac{{\dot \rho }}{{2{\rho ^2}}}\left( {\frac{1}{{{e_2}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_2}/\rho - 1}}} \right) ，\\ {\beta _3} = \frac{{\dot \rho }}{{2{\rho ^2}}}\left( {\frac{1}{{{e_3}/\rho + 1}} - \frac{1}{{{e_3}/\rho - 1}}} \right)。\\ \end{gathered} \right.$

(19)

2 提出的方法

引理1 有限时间定理^[16]：考虑以下非线性系统：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot x(t) = f(x(t),t)} ，\\ {x(0) = {x_0}} 。\end{array}} \right.$

(20)

式中：$V(x):{R^m} \to R,V(x) \geqslant 0,\forall x \in {R^m}$为状态向量；$V(x):{R^m} \to R,V(x) \geqslant 0,\forall x \in {R^m}$为非线性函数，且满足$V(x):{R^m} \to R,V(x) \geqslant 0,\forall x \in {R^m}$。如果存在连续可微的正定函数$V(x):{R^m} \to R,V(x) \geqslant 0,\forall x \in {R^m}$或者满足$x\left( t \right)$，则有：

1）对于所有$x\left( t \right)$，满足

$\dot V(x) \leqslant - a{V^p}(x) - b{V^q}(x)。$

(21)

则称系统(17)是全局固定时间稳定，其中$a$，$b$为正数，${{0 \lt p \lt 1}}$且${{q \gt 1}}$。收敛时间$T$满足：

$T \leqslant \frac{1}{{a(1 - p)}} + \frac{1}{{b(q - 1)}} 。$

(22)

2）对于所有$x(t)$，满足

$\dot V(x) \lt - a{V^p}(x) - b{V^q}(x) + \vartheta 。$

(23)

则称系统(17)固定时间稳定，其中$a$、$b$为正数，${{0 \lt p \lt 1}}$且${{q \gt 1}}$，$0 \lt \theta \lt 1$，收敛时间$T$满足：

$T \leqslant \frac{1}{{a\theta (1 - p)}} + \frac{1}{{b\theta (q - 1)}} 。$

(24)

引理2 对于${\omega _1},{\omega _2}, \cdots ,{\omega _n} \geqslant 0$^[17]，则有：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\omega _i^k} \geqslant {{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _i}} } \right)}^k},0 \lt k \lt 1} ，\\ {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\omega _i^k} \geqslant {n^{1 - k}}{{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _i}} } \right)}^k},0 \lt k \lt \infty }。\end{array}} \right.$

(25)

引理3 考虑如下系统^[18]：

$\dot x = - {l_1}{{\rm{sig}} ^{{k_1}}}x - {l_2}{{\rm{sig}} ^{{k_2}}}x,\quad x(0) = {x_0}。$

(26)

式中：$\text{sig}^k(x) = |x| \cdot {\rm{sign}}(x){\text ，} l_1 \gt 0{\text ，} l_2 \gt 0$，${k_1} = \left( {{m_1} + 1} \right)/ 2 \,+ \,{\rm{sign}} (x\,-\, 1)\left( {{m_1} - 1} \right)/2$，$k_2\;=\;\left(m_2+1\right)/2\;-\;{\rm{sign}}(x-1) \left(m_2-1\right)/2$，且${m_1} \gt 0$，$1/2 \lt {m_2} \lt 1$该系统是一个固定时间稳定系统，收敛时间与系统的初始状态无关，且收敛时间满足：

$T \leqslant \frac{1}{{{l_1}\left( {{m_1} - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{{l_1} + {l_2}}}{{{l_1}}}} \right) + \frac{1}{{{l_2}\left( {1 - {m_2}} \right)}}\ln \left( {\frac{{{l_1} + {l_2}}}{{{l_2}}}} \right)。$

(27)

3 轨迹跟踪控制器设计

本文考虑水下潜航器存在未知外部扰动的情况，将引入固定时间扰动观测器估计和校正系统中的集总扰动情况并结合带有预设性能的误差滑模面设计轨迹跟踪控制器。

3.1 固定时间扰动观测器设计

为了有效地估计和校正系统中的集总扰动，本文设计了一个固定时间的集总扰动观测器（F），以减轻其影响。将固定时间控制理论与干扰观测器技术相结合，创建了具有固定时间收敛性能的集总干扰观测器，得到系统设定总扰动的准确估计。

引入辅助变量$\varpi (t)$为AUV的状态估计值，定义状态误差变量为$\Xi (t) = \left[ {{\Xi _u}{\text{ }}{\Xi _v}{\text{ }}{\Xi _r}} \right]$：

$\Xi (t) = v(t) - \varpi (t) 。$

(28)

构造积分滑模面如下：

$\begin{gathered} s = m\dot \Xi + a\Theta = m(\dot v - \dot \varpi ) + a\Theta ，\\ \dot \Theta = {b_1}{{\dot \Xi }^{[\alpha ]}} + {b_2}{{\dot \Xi }^{[\beta ]}} 。\\ \end{gathered}$

(29)

式中：$a$、${b_1}$、${b_2}$、$\alpha$、$\beta$均大于0，且满足$0 \lt \alpha \lt 1$，$\beta \gt 1$。

对滑模面求取导数：

$\dot s = \dot d - \dot{\hat{d}} + a \dot \Theta 。$

(30)

对$\hat d$的估计值为：

$\dot {\hat {\zeta}} = a \dot \Theta + {k_0}{{\mathrm{sign}}} (s) + {k_1}{s^{[\alpha ]}} + {k_2}{s^{[\beta ]}}。$

(31)

式中：${k_0}$，${k_1}$，${k_2}$均为大于0的常数且${k_0}$满足${k_0} \geqslant \left| {\dot \zeta } \right|$。

定理1 对于一阶非线性系统来说，如果采用设计扰动观测器，则扰动误差将在固定时间收敛到0^[19]。

证明 考虑以下李雅普诺夫函数：

$V = \frac{1}{2}{s^2} 。$

(32)

将式(32)对时间求导并带入式(29)和(30)，可得

$\begin{split} \dot V = & s\dot s = s(\dot h - \dot \hat h + a\dot \Theta ) \leqslant\\ & |s|\left( {|\dot h| - {k_0}} \right) - {k_0}|s| - {k_1}|s{|^{\alpha + 1}} - {k_2}|s{|^{\beta + 1}} \leqslant \\ &- {2^{\frac{{\alpha + 1}}{2}}}{k_1}{\left( {\dfrac{1}{2}{s^2}} \right)^{\frac{{\alpha + 1}}{2}}} - {2^{\frac{{\beta + 1}}{2}}}{k_2}\left( {\dfrac{1}{2}{s^2}} \right)^{\frac{{\beta + 1}}{2}} \leqslant \\ & - {\Omega _1}V_0^{\frac{{\alpha + 1}}{2}} - {\Omega _2}V_0^{\frac{{\beta + 1}}{2}} \end{split}$

(33)

式中：${\Omega _1} = 2^{\frac{\alpha {\text{ + 1}}}{\text{2}}}{k_1}$，${\Omega _2} = 2^{\frac{\beta {\text{ + 1}}}{{\text{2}}}}{k_2}$，则基于引理1推出该滑模面可以在固定时间内稳定，其稳定时间如下：

${T_s} = \frac{2}{{{\Omega _1}(1 - \alpha )}} + \frac{2}{{{\Omega _2}(\beta - 1)}}。$

(34)

3.2 轨迹跟踪控制器设计

在本文中，根据AUV动力学方程，采用扰动观测器对由模型不确定性与未知外界扰动组成的总的不确定性$d(t)$进行补偿，采用改进趋近律的固定时间滑模面设计控制器使AUV 能够实时跟踪期望轨迹${\eta _d}$，并使用Lyapunov理论证明了AUV的轨迹跟踪误差能够实现固定时间收敛。

定义如下误差函数：

$\left\{\begin{gathered} {z_1} = {\varepsilon _1} = {\left[ {{z_{1,u}},{z_{1,v}},{z_{1,r}}} \right]^{\rm T}} ，\\ {z_2} = {{\dot \varepsilon }_1} = {\left[ {{z_{2,u}},{z_{2,v}},{z_{2,r}}} \right]^{\rm T}}。\end{gathered} \right.$

(35)

式中：${\varepsilon _2} = {\dot \varepsilon _1}$。

根据引理3构造了一个固定时间非奇异终端滑模：

$s = {z_2} + {\mu _1}{\left| {{z_1}} \right|^\gamma }{{\mathrm{sign}}} \left( {{z_1}} \right) + {\mu _2}{\left| {{z_1}} \right|^\lambda }{{\mathrm{sign}}} \left( {{z_1}} \right) 。$

(36)

式中：${\mu_1} \gt {0}，{\mu_2} \gt {0}$，$\gamma \gt \lambda$，$1 \lt \lambda \lt 2$。

求导得：

$\dot s = {\dot z_2} + {\mu _1}\gamma {\left| {{z_1}} \right|^{\gamma - 1}}{\dot z_1} + {\mu _2}\lambda {\left| {{z_1}} \right|^{\lambda - 1}}{\dot z_1}。$

(37)

为了提高滑模变量的收敛速度和抑制抖振，设计了基于双曲正切函数$\tanh (s/{\sigma _1})$作为切换项代替符号函数，改进后的特殊趋近律为：

$\mathop s\limits^. = - {\rho _1}{\left| s \right|^{\frac{1}{2}}}\tanh \left( {s/{\sigma _1}} \right) - ks。$

(38)

式中：${\rho _1} \gt 0$、$k \gt 0$和${\sigma _1} \gt 0$均为正增益数，其中${\sigma _1}$大小决定了双曲正切光滑函数拐点的变化快慢。

结合式(4)～式(39)，可得滑模控制律为

$\begin{gathered} \tau = \left[ \begin{gathered} - {\rho _1}{\left| s \right|^{\frac{1}{2}}}\tanh \left( {s/{\sigma _1}} \right) - ks - {\mu _1}\gamma {\left| {{z_1}} \right|^{\gamma - 1}}{{\dot e}_1} \\ - {\mu _2}\lambda {\left| {{z_1}} \right|^{\lambda - 1}}{{\dot z}_1} + \dot \beta e + \beta \dot e - \dot \alpha \dot e \\ \end{gathered} \right]\frac{M}{\alpha } + \\ M{{\ddot \eta }_d} + C(v,\eta )\dot \eta + D(v,\eta )\dot \eta - \hat d 。\\ \end{gathered}$

(39)

式中：$\hat d$为扰动观测器的估计值。

定理2 对于式(17)所描述的系统，在满足假设条件的情况下，式(40)中的控制方案可以确保AUV在满足稳态和瞬态响应的同时快速精确跟踪期望轨迹。保证了实际轨迹在固定时间内稳定在平衡点小领域内，且收敛时间与系统初始状态无关。

为了验证期望轨迹在所设计控制器下的收敛性，证明包含2个阶段：滑模到达阶段和滑动阶段。

步骤1 选择如下李亚普诺夫方程

${V_{\text{2}}} = \frac{1}{2}{s^{\rm T}}s 。$

(40)

对式(40)求导得：

${\begin{aligned}\dot{V}={s}^{\rm T}({\dot{z}}_{2}+{\mu }_{1}\gamma {\left|{z}_{1}\right|}^{\gamma -1}{\dot{z}}_{1}+{\mu }_{2}\lambda {\left|{z}_{1}\right|}^{\lambda -1}{\dot{z}}_{1})={s}^{\rm T} (\dot{\alpha }\dot{e}+ \\ \alpha \ddot{e}-\dot{\beta }e-\beta \dot{e}+J{M}^{-1}\Delta \tau +{\mu }_{1}\gamma {\left|{z}_{1}\right|}^{\gamma -1}{\dot{z}}_{1}+{\mu }_{2}\lambda {\left|{z}_{1}\right|}^{\lambda -1}{\dot{z}}_{1}) =\\{s}^{\rm T}[\dot{\alpha }\dot{e}+\alpha {M}^{-1}\left(\tau +\widehat{d}-C(v,\eta )\dot{\eta }-D(v,\eta )\dot{\eta }\right)-{\ddot{\eta }}_{d}-\\ \dot{\beta }e-\beta \dot{e}+{\mu }_{1}\gamma {\left|{z}_{1}\right|}^{\gamma -1}{\dot{z}}_{1}+{\mu }_{2}\lambda {\left|{z}_{1}\right|}^{\lambda -1}{\dot{z}}_{1}]。\end{aligned} }$

(41)

将控制律代入式(42)得：

$\begin{array}{c}\dot{V}=-{s}^{T}({\rho }_{1}{\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}\mathrm{tanh}\left(s/{\sigma }_{1}\right)+ks)=\\ -{s}^{T}\left[\begin{array}{c}{\rho }_{1}\left(s/{\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}\right)+\mathrm{sign}\left(s\right)\cdot \\ \mathrm{tanh}\left(s/{\sigma }_{1}\right)+ks\end{array}\right] \leqslant -(u+k){\Vert s\Vert }^{2}。\end{array}$

(42)

式中：$u={\rho }_{1}{\left[\mathrm{sign}\left(s\right)\mathrm{tanh}\left(s/{\sigma }_{1}\right)\right]}_{\mathrm{min}}{\left(\sqrt{\left|s\right|}\right)}_{\mathrm{max}}\geqslant 0$。

步骤2 当滑动模态到达滑模面时：

$s \equiv 0,\dot s \equiv 0。$

(43)

联立式(37)和式(43)可知：

${z_2} + {\mu _1}{\left| {{z_1}} \right|^\gamma }{\rm{sign}} \left( {{z_1}} \right) + {\mu _2}{\left| {{z_1}} \right|^\lambda }{\rm{sign}} \left( {{z_1}} \right) = 0 。$

(44)

即：

${\dot z_1} = - {\mu _1}{{\rm{sig}} ^\gamma }\left( {{z_1}} \right) - {\mu _2}{{\rm{sig}} ^\lambda }\left( {{z_1}} \right)。$

(45)

满足固定时间引理。

综上所述，文中由固定时间扰动观测器和预设性能轨迹跟踪滑模控制组成的系统全局渐进稳定。

4 数值仿真验证

本部分提出了一系列仿真实验来评估所提出控制方案的优越性，以文献[14]中的模型参数作为仿真对象进行试验，水动力参数选取如表1所示。

仿真时间总时长300 s，分别采用传统固定时间预设性能滑模控制方法（PPFTSM）和带有固定时间扰动观测器的积分滑模控制（FISMDO-PPFTSM）做对比。分别采用水下潜航器的初始状态为${\eta _0} = {\left[ {1.5{\text{ }}1.4{\text{ }}0.5} \right]^{\rm{T}}}$，${\mu _1} = 0.5$，${\mu _2} = 0.4$，$\lambda = 2.5$，$\gamma = 0.5$，${\rho _1} = {\left[ {2{\text{00 200 50}}} \right]^{\rm T}}$，${\sigma _1} = {\left[ {0.01{\text{ 0}}{\text{.01 0}}{\text{.9}}} \right]^{\rm T}}$，$k = {\left[ {10{\text{ 10 5}}} \right]^{\rm{T}}}$。

设AUV参考轨迹为：

$\left\{ \begin{gathered} {x_d} = 2\sin (0.025{\text{π}} t){\text{ + 1}}{\text{.5}} ，\\ {y_d} = {\text{2}}\sin {(0.0{\text{1}}{\text{π}} t)^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{\text{.4}} ，\\ {\psi _d} = 0.5。\\ \end{gathered} \right.$

(46)

情况1 将动力学参数不确定性和外部洋流干扰值设为：

$\left\{\begin{gathered} {d_1} = 200\cos (0.1{\text{π}} t) + 20\sin (1.2{\text{π}} t)，\\ {d_2} = 200\sin (0.5{\text{π}} t) + 400\sin (0.1{\text{π}} t)，\\ {d_3} = 100\cos (0.2{\text{π}} t) + 100\sin (0.1{\text{π}} t) + {\text{30}} 。\\ \end{gathered} \right.$

(47)

仿真结果展示了AUV固定时间控制器的控制效果如图2～图6所示。图2所示为在二维空间中的轨迹跟踪控制曲线。本文设计基于固定时间扰动观测器的积分滑模控制（FISMDO-PPFTSM）位置跟踪效果优于传统PPFTSM，误差明显更小，可以精确跟踪参考轨迹。图3所示为2种控制方案下对x轴、y轴以及艏向角的跟踪响应曲线，角度偏差最高可达0.56 rad，在上下12％范围内浮动。图4是各位置跟踪误差，FISMDO-PPFTSM位置误差${e_x}$在1 s内收敛到0，并可保持300 s。传统PPFTSM的${e_x}$误差在上下0.03 m内波动，而y方向的位置偏差最高可达0.17 m，${e_y}$，${e_\varphi }$均可以在1 s左右收敛为0，在控制器参数和初始状态条件一样的情况下，带有观测器的控制收敛速度更快，并以较小的误差超调获得瞬时响应并不再超出预设的稳定误差带。图5所示为输入力和力矩的变化，可以看出，传统PPFTSMC控制器产生的输入波动较大，特别在50、75、116、145 s等峰值差异明显，抖振较大，FISMDO-PPFTSMC控制器得到的控制输入比较平稳。图6表明构造的固定时间扰动观测器能够实时估计AUV不确定动态和未知时变海洋构成的总扰动。

情况2 AUVs模型不确定动态部分增加到情况1的30％，同时增大扰动幅值：

$\left\{\begin{gathered} {d_1} = 215\cos (0.1{\text{π}} t) + 35\sin (1.2{\text{π}} t) ，\\ {d_2} = 215\sin (0.5{\text{π}} t) + 450\sin (0.1{\text{π}} t)，\\ {d_3} = 110\cos (0.2{\text{π}} t) + 120\sin (0.1{\text{π}} t) + 45 。\\ \end{gathered} \right.$

(48)

不改变AUV的期望轨迹和设计参数，控制器参数及扰动观测器参数与情况1相同。仿真结果如图7～图11所示，可以明显看出本文设计的控制率在模型外部不确定和扰动较大的情况下仍能保持良好的性能，具有强鲁棒性。

5 结　语

本文提出了一种基于固定时间预设性能的积分滑模控制方法，以改善AUV在参数模型不确定下和外部洋流干扰下的轨迹跟踪问题。加入固定时间集总干扰观测器来预测和补偿未知环境干扰和系统不确定性，增强了控制系统的鲁棒性和抗干扰性，并实现了估计误差的固定时间收敛。随后，引入新型预设性能函数设置稳态误差带，可在期望时间内将误差收敛至0，采用改进的滑模趋近律，对系统施加全状态约束，使控制输入力（力矩）平缓，抖振现象明显降低。最后，从理论证明了系统为全局渐进稳定，在改变干扰力的情况下，仿真结果表示本文提出的控制方法抗干扰性更强，具有更好的鲁棒性和稳定性。